Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Возвести дробь в степень


Возведение дроби в степень. Возведение в нулевую степень.

Повторим определения, которые будут упоминаться в этой статье.

  • Дробь или обыкновенная дробь - это число вида \(\frac{m}{n}\), где \(m\) - целое число, а \(n\) - натуральное число. 

Пример: \(\frac{3}{4},\frac{1}{3},\frac{8}{9}\)

 

  • Степенью \(n\) числа \(a\) \(a^n\) называют произведение \(n\) множителей, каждый из которых равен \(а\). Число \(a\) называют основанием, число \(n\) – показателем степени.
  • Произведение двух множителей, которые равны между собой, называется квадратом числа.

Пример: \(a^2=a*a\) ;  \(2^2=2*2=4;\)  \(3^2=3*3=9;\)

  • Произведение трех множителей, которые равны между собой, называется кубом числа.

Пример: \(a^3=a*a*a\);   \(2^3=2*2*2=8;\)  \(3^3=3*3*3=27;\)

Число ноль не является натуральным. Однако, возведение в степень начинается именно с этого показателя степени. Любое  число, не равное нулю в  степени \(0\) равно единице:

\(a^0=1\), где  \(a\neq0\)

Пример: \(5^0=1;\;\;( \frac{2}{3})^0=1;\)

Степень любого ненулевого числа с единичным показателем равняется самому числу:

Пример: \(6^1=6;\;\;( \frac{8}{9})^1= \frac{8}{9};\)

Пример 1. Возведите в степень числа : \(( \frac{8}{9})^2; ( \frac{5}{6})^3; ( \frac{1}{2})^4; ( \frac{1}{8})^0;\)

Решение:

  1. \(( \frac{8}{9})^2= \frac{8*8}{9*9}= \frac{64}{81};\)
  2. \(( \frac{5}{6})^3=\frac{5*5*5}{6*6*6}=\frac{125}{216};\)
  3. \((\frac{1}{2})^4=\frac{1*1*1*1}{2*2*2*2}=\frac{1}{16};\)
  4. \(( \frac{1}{8})^0=1;\)

 

Пример 2. Возведите в степень числа : \(( \frac{2}{3})^5; \frac{5^4}{7^3}; ( \frac{1}{2})^8;( \frac{1}{9})^1;\)

Решение:

  1. \(( \frac{2}{3})^5= \frac{2*2*2*2*2}{3*3*3*3*3}= \frac{32}{243};\)
  2. \( \frac{5^4}{7^3};=\frac{5*5*5*5}{7*7*7}=\frac{625}{343};\)
  3. \((\frac{1}{2})^6=\frac{1*1*1*1*1*1}{2*2*2*2*2*2}=\frac{1}{64};\)
  4. \(( \frac{1}{9})^1= \frac{1}{9};\)

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Возведение алгебраической дроби в степень. Рабочие материалы

Дополнительные сочинения

На уроке будет рассмотрен более обобщенный вариант умножения дробей – это возведение в степень. Прежде всего, речь будет идти о натуральной степени дроби и о примерах, демонстрирующих подобные действия с дробями. В начале урока, также, мы повторим возведение в натуральную степень целых выражений и увидим, каким образом это пригодится для решения дальнейших примеров.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Возведение алгебраической дроби в степень

1. Правила возведения дробей и целых выражений в натуральную степень с элементарными примерами

Правило возведения обыкновенных и алгебраических дробей в натуральную степень:

Можно провести аналогию со степенью целого выражения и вспомнить, что понимается под возведением его в степень:

Пример 1. .

Как видно из примера, возведение дроби в степень – это частный случай умножения дробей, что изучалось на предыдущем уроке.

Пример 2. а) , б) – минус уходит, т. к. мы возвели выражение в четную степень.

Ответ. ; .

Для удобства работы со степенями вспомним основные правила возведения в натуральную степень:

– произведение степеней;

– деление степеней;

– возведение степени в степень;

– степень произведения.

Пример 3. – это известно нам еще с темы «Возведение в степень целых выражений», кроме одного случая: не существует.

2. Простейшие примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень

Далее рассмотрим примеры посложнее.

Пример 4. Возвести дробь в степень .

Решение. При возведении в четную степень минус уходит:

.

Ответ. .

Пример 5. Возвести дробь в степень .

Решение. Теперь пользуемся правилами возведения степени в степень сразу без отдельного расписывания:

.

Ответ..

Теперь рассмотрим комбинированные задачи, в которых нам будет необходимо и возводить дроби в степень, и умножать их, и делить.

Пример 6. Выполнить действия .

Решение. . Далее необходимо произвести сокращение. Распишем один раз подробно, как мы это будем делать, а затем будем указывать результат сразу по аналогии: . Аналогично (или по правилу деления степеней) . Имеем: .

Ответ. .

       

Пример 7. Выполнить действия .

Решение. . Сокращение осуществлено по аналогии с примером, разобранным ранее.

Ответ. .

Пример 8. Выполнить действия .

Решение. . В данном примере мы еще раз более подробно расписали процесс сокращения степеней в дробях, чтобы закрепить этот способ.

Ответ. .

3. Более сложные примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень (с учетом знаков и со слагаемыми в скобках)

Пример 9. Выполнить действия .

Решение. В данном примере уже пропустим отдельное умножение дробей, а сразу воспользуемся правилом их умножения и запишем под один знаменатель. При этом следим за знаками – в указанном случае дроби возводятся в четные степени, поэтому минусы исчезают. В конце выполним сокращение.

.

Ответ..

Пример 10. Выполнить действия .

Решение. В данном примере присутствует деление дробей, вспомним, что при этом первая дробь умножается на вторую, но перевернутую.

.

Ответ. .

На данном уроке мы рассмотрели возведение дробей в натуральную степень. В дальнейшем умение это делать и осуществлять действия с дробями, изученными ранее, мы будем использовать для преобразования рациональных выражений.

Список литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Портал для всей семьи.

2. Старая школа .

3. Алгебра, геометрия, физика .

Домашнее задание

1. №76. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Возвести дроби в степень: а) , б) .

3. Возвести дроби в степень: а) , б) .

4. Возвести дроби в степень: а) , б) .

5. Выполнить действия: а) , б) .

dp-adilet.kz

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Для начала давайте вспомним правило умножения обыкновенных дробей.          

Для того чтобы умножить дробь на дробь, надо числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение записать в числителе новой дроби, второе – в знаменателе.

Например

Аналогичным образом происходит умножение рациональных дробей. Давайте докажем, что это правило на самом деле действует при умножении рациональных дробей.

Иначе говоря, докажем, что произведение двух рациональных дробей тождественно равно дроби, у которой числитель равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей перемножаемых дробей при любых допустимых значениях переменных, кроме b равное нулю и d равное нулю.

Получили, что равенство верно при любых допустимых значениях переменных, т.е. является тождеством.

Правило умножения рациональных дробей:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби.

В буквенном виде это правило записывают так:  

Это правило выполняется и когда произведение трёх и более рациональных дробей.

Прежде чем выполнять умножение рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители. Это облегчит сокращение той рациональной дроби, которая получится в результате умножения.

Пример 1: умножить дроби.

Решение:

Пример 2: умножить дроби.

Решение:

Пример 3: Представить произведение дробей в виде рациональной дроби.

Решение:

Пример 4: выполнить умножение.

Решение:

Теперь рассмотрим, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Проверим это равенство на конкретных примерах.

   

Правило возведения рациональной дроби в степень:

Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби.

Пример 5: возвести в третью степень дробь.

       

Пример 6: возвести во вторую степень дробь.  

 

Пример 7:

     

Итоги

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби.

Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби.

videouroki.net

Возведение дроби в степень | Учеба-Легко.РФ

Дробь представляет собой отношение числителя к знаменателю, причём знаменатель не должен равняться нулю, а числитель может быть любой.

При возведении любой дроби в произвольную степень нужно возводить отдельно числитель и знаменатель дроби в эту степень, после чего мы должны эти степени сосчитать и таким образом получим дробь, возведённую в степень.

Например:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3

Отрицательная степень

Если мы имеем дело с отрицательной степенью, то мы должны сначала  “Перевернуть дробь”, а уж потом возводить её в степень по правилу написанному выше.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Буквенная степень

При работе с буквенными значениями такими как  “x” и “у” возведение в степень происходит по тому же правилу  что и раньше.

Также мы можем проверить себя возведя дробь ½ в 3 степень в результате чего мы получим ½ * ½ * ½  = 1/8 что в сущности тоже самое что и

(1/2)^3 = 1/8.

Буквенное возведение в степень x^y 

Умножение и деление дробей со степенями

Если мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, то само основание остается прежним, а показатели степеней мы складываем. Если же мы делим степени с одинаковым основаниями, тогда основание степени также остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются.

Это очень легко можно показать на примере:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Тоже самое мы могли бы получить если бы просто возвели в степень 3 и 4 отдельно знаменатель и числитель соответственно.

 

Возведение дроби со степенью в еще одну степень

При возведении дроби, которая уже находится в степени, ещё раз в степень мы должны сначало сделать внутреннее возведение в степень после чего переходить в во внешнюю часть возведения в степень. Другими словами мы можем просто напросто перемножить эти степени и возвести дробь в полученную степень.

Например:

(2^4)^2 = 2^ 4·2 = 2^8

Возведение в единицу, квадратный корень

Также нельзя забывать что возведение абсолютно любой дроби в нулевую степень даст нам 1, так же как и любое другое число при возведении в степень равную нулю мы получим 1.

Обычный квадратный корень также можно представить в виде степени дроби

Квадратный корень 3 = 3^(1/2)

Если же мы имеем дело с квадратным корнем под которым находится дробь, то мы можем представить эту дробь в числителе которой будет находится квадратный корень 2 – степени ( т.к. квадратный корень)

А в знаменателе также будет находится квадратный корень , т.е. другими словами мы будем видеть отношение двух корней, это может пригодится для решения некоторых задач и примеров.

Если мы возведём дробь, которая находится под квадратным корнем во вторую степень то мы получим ту же самую дробь.

Произведение двух дробей под одной степенью будет равнятся произведению этих двух дробей, каждая в отдельности из которых будет под своей степенью.

Помните: на ноль делить нельзя!

Также не стоит забывать об очень важном замечании для дроби такой как знаменатель не должен равняться нулю. В дальнейшем во многих уравнениях мы будем использовать это ограничение, называемое ОДЗ – область допустимых значений

При сравнении двух дробей с одним и тем же основанием но разными степенями, большее будет являться та дробь у которой степень будет больше, а меньшей та у которой степень меньше, при равенстве не только оснований, но и степеней, дробь считается одинаковой.

Примеры:

например: 14^3.8 / 14^(-0.2) = 14^(3.8 -0.2) = 139.6

6^(1,77) · 6^( - 0,75) = 6^(1,77+( - 0,75)) = 79,7 – 1,3 =  78,6

uclg.ru

Как возвести дробь в отрицательную степень?

1
  • Авто и мото
    • Автоспорт
    • Автострахование
    • Автомобили
    • Сервис, Обслуживание, Тюнинг
    • Сервис, уход и ремонт
    • Выбор автомобиля, мотоцикла
    • ГИБДД, Обучение, Права
    • Оформление авто-мото сделок
    • Прочие Авто-темы
  • ДОСУГ И РАЗВЛЕЧЕНИЯ
    • Искусство и развлечения
    • Концерты, Выставки, Спектакли
    • Кино, Театр
    • Живопись, Графика
    • Прочие искусства
    • Новости и общество
    • Светская жизнь и Шоубизнес
    • Политика
    • Общество
    • Общество, Политика, СМИ
    • Комнатные растения
    • Досуг, Развлечения
    • Игры без компьютера
    • Магия
    • Мистика, Эзотерика
    • Гадания
    • Сны
    • Гороскопы
    • Прочие предсказания
    • Прочие развлечения
    • Обработка видеозаписей

woprosi.ru

Подскажите пожалуйста как дробь возвести в степень???

Возводишь одновременно и числитель и знаменатель в заданную степень...

отдельно возвести в степень числитель и знаменатель

Нужно в эту степень возвести и числитель, и знаменатель.

нужно и числитель и знаменатель возвести в степень

touch.otvet.mail.ru