Возведение в степень: правила, примеры. Возведение в степень десятичной дроби


Дробная степень | Алгебра

Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

Определение.

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

   

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

   

2) При a=0 и r>0 

   

В частности,

   

При a<0 степень с дробным показателем не определяется.

Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.

Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:

   

Примеры.

Выполнить возведение в дробную степень:

   

   

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

   

   

   

   

Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

   

   

   

   

www.algebraclass.ru

Возведение в степень: правила, примеры, дробная степень

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Определение 1

Возведение в степень - это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число 0,5 в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени (0,5)5.

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите -2 в степень 4.

Решение

Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение 3272

Решение

Данную запись можно переписать в виде 3

www.zaochnik.com

Отрицательная степень | Алгебра

Что такое степень с отрицательным показателем (отрицательная степень)? Как выполнить возведение числа в отрицательную степень? Как возвести в отрицательную степень дробь?

Определение.

   

В частности, число в степени минус один — это число, обратное данному:

   

Если n — целое число, то речь идет о степени с целым отрицательным показателем и равенство верно для любого a, отличного от нуля (т.е. при a≠0).

Если n — дробное число, то речь идет о степени с рациональным показателем:

   

(m — целое число, n — натуральное число). Степень с дробным показателем определена только для положительных a (a>0).

В частности,

   

Дробь в степени с отрицательным показателем равна обратному этой дроби числу в степени с показателем, противоположным данному:

   

Другими словами, чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо эту дробь «перевернуть»(числитель и знаменатель поменять местами) и изменить знак  в показателе степени.

Дробь в минус первой степени — это «перевернутая» дробь.

В частности,

   

Рассмотрим примеры возведения чисел в степень с отрицательным показателем.

Для ускорения вычислений используем таблицу степеней.

Примеры.

   

   

   

   

   

Чтобы возвести в отрицательную степень смешанное число, надо сначала перевести его в неправильную дробь:

   

   

Возведем числа в степень с дробным отрицательным показателем:

   

   

   

   

При возведении в отрицательную степень десятичной дроби можно сначала перевести ее в обыкновенную и, если возможно, сократить:

   

   

   

Если в показателе степени стоит десятичная дробь,  нужно перевести ее в обыкновенную:

   

   

   

Возведение в степень с отрицательным показателем в алгебре встречается достаточно часто, поэтому важно вовремя усвоить эту тему.

www.algebraclass.ru

Калькулятор степеней онлайн | umath.ru

Калькулятор степеней поможет просто и быстро возвести число в степень онлайн. При этом показатель степени может быть как положительным, так и отрицательным!

Что такое степень числа?

Как возвести число в степень?

Чтобы понять, как возводить число в степень, рассмотрим несколько простых примеров.

Возведём в пятую степень число то есть вычислим значение выражения По определению, данному выше,

Вычислим, чему равно то есть чему равно число возведённое в третью степень.

Отрицательный показатель степени

Показатели степени могут быть не только положительными, но и отрицательными.

   

Например,

   

а

   

Как пользоваться калькулятором степеней

Калькулятор помогает возводить число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые целые числа и десятичные дроби. Показатель степени тоже может быть любой десятичной дробью, однако следует помнить о том, что для отрицательных чисел не определена операция возведения в нецелую степень.

При записи дробных чисел можно использовать как точку, так и запятую. В ответе большие числа записываются в так называемом «научном формате», то есть число выглядит как <число>e<количество нулей>. Например, , а

umath.ru

Максимова Елена Александровна Учитель математики, Ιкатегория 6 класс. «Возведение десятичной дроби в степень». Цели урок

МОУ Томинская СОШ

Максимова Елена Александровна

Учитель математики, Ιкатегория

6 класс.

«Возведение десятичной дроби в степень».

Цели урока:

  • Развитие и совершенствование навыков умножения десятичных дробей на основе возведения в степень.
  • Контроль за уровнем усвоения материала, научить учащихся оценивать свои знания.
  • Воспитывать чувство коллективизма, прививать умения выслушивать других
Оборудование: таблицы, компьютерный класс, компьютер, проектор, экран,

ЦОР Дрофа ДОС НФПК Математика 5-11. 6-6 классы. Числа и вычисления. П.4 Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей.

Авторская презентация:12 слайдов

Ход урока:

  1. Организационный момент.
Тема и цели урока высвечиваются на экране. Зачитывается ученикам.
  1. Устный счет: работа с компьютером.
^ Авторская презентация

Слайд № 1,2,3

ЦОР Дрофа ДОС НФПК Математика 5-11. 5-6 классы. Числа и вычисления. П.4 Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей.

№3,№6

Печатный текст «компьютер + принтер» - нет

«компьютер + проектор» - да

«компьютерный класс» - да

Проверка:

^

Авторская презентация

Слайды № 4,5

Печатный текст «компьютер + принтер» - нет

«компьютер + проектор» - да

«компьютерный класс» - да

Вопросы на слайдах:

  • Что значит «возвести число в квадрат»?
  • Что значит «Возвести число в куб»?
  • Что значит «Возвести число в n-ю степень»?
  • Любое ли число можно возвести в степень?
  1. Решения задач на возведение десятичной дроби в степень.

Вычислите:

1. 0,42 + 0,52

2. 0,62 – 0,32

3. 3• 0,42

4. (3 •0,4)2

5. 3,72 – 1,72

6. (3,7 – 1,7)2

№369

№398

  1. Реши задачу в группе.
Игра «Строители - отделочники»

Заполните таблицу

Длина комнаты 1,7 0,33 1,9 55,7
Ширина комнаты 0,6 0,27 24,1 0,042
периметр
Площадь
Класс делится на три группы. Каждая группа выполняет одно и то же задание, но с позиции Отделочников, собственников помещения и налоговой полиции.

5. Самостоятельная работа

Вариант 1.

1. Выполните умножение:

А) 5,23 •1,6;

Б) 7,824 • 5;

В) 1,26 •0,31;

Г) 0,125 • 0,16.

2. Запишите последовательность из пяти чисел, первое из которых равно 0,32, а каждое следующее в 2,5 раза больше предыдущего.

3. Автомобиль едет со скоростью 57,3 км/ч. какой путь он проедет за 42 минуты?

Вариант 1.

1. Выполните умножение:

А) 6,27 • 1,3;

Б) 5,315 • 6

В) 1,12 • 0,23;

0,375 • 0,08.

2. Запишите последовательность из пяти чисел, первое из которых равно 0,16, а каждое следующее в 2,5 раза больше предыдущего.

3. Поезд едет со скоростью 62,7 км/ч. какое расстояние он проедет за 36 минут?

6. Подведение итогов урока:

А). Выставление оценок;

Б). Задание на дом.

8. Окончание урока.

^ Авторская презентация

Слайды № 6,7

Анимация

Печатный текст

Дикторский текст

«компьютер + принтер» - нет

«компьютер + проектор» - да

«компьютерный класс» - да

Притча: Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: « Что ты делал целый день?». И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», и тот добросовестно ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!»

- ребята! Давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.

Кто работал как первый человек? (поднимают руки)

Кто работал добросовестно? (поднимают руки)

Кто принимал участие в строительстве храма? (поднимают руки)

Литература:

1. Т.Ю. Дюмина. Математика. Поурочные планы по учебнику Г.В. Дорофеева, С.Б. Суворовой, И.Ф. Шарыгина, 6 класс. 1 часть. Волгоград, «Учитель» 2006г.

^

Заполните таблицу

Длина комнаты 1,7 0,33 1,9 55,7
Ширина комнаты 0,6 0,27 24,1 0,042
периметр
Площадь

^

Заполните таблицу

Длина комнаты 1,7 0,33 1,9 55,7
Ширина комнаты 0,6 0,27 24,1 0,042
периметр
Площадь

^

Заполните таблицу

Длина комнаты 1,7 0,33 1,9 55,7
Ширина комнаты 0,6 0,27 24,1 0,042
периметр
Площадь

uch.znate.ru

Степень с натуральным показателем — методическая рекомендация. Математика, 5 класс.

1. Квадрат целого числа 1 вид - рецептивный лёгкое 1 Б. Необходимо вычислить квадрат целого числа.
2. Степень десятичной дроби (десятые) 1 вид - рецептивный лёгкое 1 Б. Необходимо возвести в степень десятичную дробь.
3. Степень десятичной дроби (сотые) 1 вид - рецептивный лёгкое 1 Б. Необходимо возвести в степень десятичную дробь.
4. Основание степени 0,1; 0,01 и 0,001 1 вид - рецептивный лёгкое 1 Б. Возведение в степень.
5. Десятичная дробь в степени 2 вид - интерпретация среднее 1 Б. Возведение в степень десятичной дроби.
6. Сторона квадрата 2 вид - интерпретация среднее 1 Б. Вычисление стороны квадрата, если известна площадь.
7. Значение числового выражения (разность) 2 вид - интерпретация среднее 4 Б. Вычисление значения выражения.
8. Равные числовые выражения 2 вид - интерпретация сложное 7 Б. Вычисление и сравнение значений выражений.
9. Значения числовых выражений 2 вид - интерпретация сложное 8 Б. Вычисление и сравнение значений выражений.
10. Буквенные выражения 2 вид - интерпретация сложное 8 Б. Вычисление значений буквенных выражений, если даны значения переменных.

www.yaklass.ru

Возведение дроби в степень: отрицательная, буквенная, со степенью

 

Дробь представляет собой отношение числителя к знаменателю, причём знаменатель не должен равняться нулю, а числитель может быть любой.

При возведении любой дроби в произвольную степень нужно возводить отдельно числитель и знаменатель дроби в эту степень, после чего мы должны эти степени сосчитать и таким образом получим дробь, возведённую в степень.

Например:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3

Отрицательная степень

Если мы имеем дело с отрицательной степенью, то мы должны сначала  “Перевернуть дробь”, а уж потом возводить её в степень по правилу написанному выше.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Буквенная степень

При работе с буквенными значениями такими как  “x” и “у” возведение в степень происходит по тому же правилу  что и раньше.

Также мы можем проверить себя возведя дробь ½ в 3 степень в результате чего мы получим ½ * ½ * ½  = 1/8 что в сущности тоже самое что и

(1/2)^3 = 1/8.

Буквенное возведение в степень x^y 

Умножение и деление дробей со степенями

Если мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, то само основание остается прежним, а показатели степеней мы складываем. Если же мы делим степени с одинаковым основаниями, тогда основание степени также остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются.

Это очень легко можно показать на примере:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Тоже самое мы могли бы получить если бы просто возвели в степень 3 и 4 отдельно знаменатель и числитель соответственно.

Возведение дроби со степенью в еще одну степень

При возведении дроби, которая уже находится в степени, ещё раз в степень мы должны сначало сделать внутреннее возведение в степень после чего переходить в во внешнюю часть возведения в степень. Другими словами мы можем просто напросто перемножить эти степени и возвести дробь в полученную степень.

Например:

(2^4)^2 = 2^ 4·2 = 2^8

Возведение в единицу, квадратный корень

Также нельзя забывать что возведение абсолютно любой дроби в нулевую степень даст нам 1, так же как и любое другое число при возведении в степень равную нулю мы получим 1.

Обычный квадратный корень также можно представить в виде степени дроби

Квадратный корень 3 = 3^(1/2)

Если же мы имеем дело с квадратным корнем под которым находится дробь, то мы можем представить эту дробь в числителе которой будет находится квадратный корень 2 – степени ( т.к. квадратный корень)

А в знаменателе также будет находится квадратный корень , т.е. другими словами мы будем видеть отношение двух корней, это может пригодится для решения некоторых задач и примеров.

Если мы возведём дробь, которая находится под квадратным корнем во вторую степень то мы получим ту же самую дробь.

Произведение двух дробей под одной степенью будет равнятся произведению этих двух дробей, каждая в отдельности из которых будет под своей степенью.

Помните: на ноль делить нельзя!

Также не стоит забывать об очень важном замечании для дроби такой как знаменатель не должен равняться нулю. В дальнейшем во многих уравнениях мы будем использовать это ограничение, называемое ОДЗ – область допустимых значений

При сравнении двух дробей с одним и тем же основанием но разными степенями, большее будет являться та дробь у которой степень будет больше, а меньшей та у которой степень меньше, при равенстве не только оснований, но и степеней, дробь считается одинаковой.

Примеры:

например: 14^3.8 / 14^(-0.2) = 14^(3.8 -0.2) = 139.6

6^(1,77) · 6^( - 0,75) = 6^(1,77+( - 0,75)) = 79,7 – 1,3 =  78,6

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Умножение и деление дробей: сокращение дробей + полезные советы Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПреобразование рациональных выражений: способы преобразований и примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru