Формулы площадей всех основных фигур. В равнобедренной трапеции с высотой 2 и углом


Все формулы высоты равнобедренной трапеции

1. Формула высоты равнобедренной трапеции через стороны и углы при основании

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c - равные боковые стороны

α - угол при нижнем основании

h - высота трапеции

 

Формулы длины высоты, (h ):

 

 

2. Формула высоты равнобедренной трапеции через диагонали и углы между ними

 

d - диагонали трапеции

α , β - углы между диагоналями

a , b - основания

h - высота трапеции

m - средняя линия

 

Формулы длины высоты, (h ):

 

3. Формула высоты равнобедренной трапеции через площадь

 

S - площадь трапеции

a , b - основания

h - высота трапеции

m - средняя линия

 

Формулы длины высоты, (h ):

 

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

www-formula.ru

Высота равнобедренной трапеции | Треугольники

Это свойство равнобедренной трапеции удобно доказать в общем виде в начале изучения темы, чтобы в дальнейшем использовать его при решении задач.

Утверждение.

Высота равнобедренной трапеции, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

AD=a,

BC=b

   

   

 

Дано: ABCD — трапеция,

AD ∥ BC, AB=CD, AD>BC,

AD=a, BC=b,

   

Доказать:

   

   

Доказательство:

1) Проведем высоту CK:

   

2) Четырехугольник ABCD — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Следовательно, его противоположные стороны равны: FK=BC=b.

3) Рассмотрим треугольники ABF и DCK.

∠AFB=90º, ∠DKC=90º (так как BF и CK — высоты трапеции).

AB=CD (по условию),

BF=CK (как высоты трапеции).

Следовательно, треугольники ABF и DCK равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

   

   

   

Что и требовалось доказать.

Поскольку средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, длина отрезка FD равна длине среднее линии трапеции.

www.treugolniki.ru

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны

Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, при решении задачи будет полезен следующий теоретический материал.

1. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований.           

 

Проведем  через точку C прямую CF, параллельную BD, и продлим прямую AD до пересечения с CF.

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

Четырехугольник  BCFD — параллелограмм ( BC∥DF как основания трапеции, BD∥CF по построению). Значит, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.  

Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Поскольку в равнобедренной трапеции диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, то есть треугольник ACF — равнобедренный с основанием AF. Значит, его высота CN является также медианой. А так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то

   

что в общем виде можно записать как

   

где h — высота трапеции, a и b — ее основания.

2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна средней линии.

Так как средняя линия трапеции m равна полусумме оснований, то

   

3. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты трапеции (или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).

Так как площадь трапеции находится по формуле

   

а высота, полусумма оснований и средняя линия равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями равны между собой:

   

то

   

   

   

4. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы оснований, а также  удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату средней линии.

Так как площадь выпуклого четырехугольника можно найти через его диагонали и угол между ними по формуле

   

sin 90º =1, и диагонали равнобедренной трапеции равны, то площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна

   

откуда

   

   

www.uznateshe.ru

Все формулы площади равнобедренной трапеции

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

а - нижнее основание

b - верхнее основание

с - равные боковые стороны

α - угол при нижнем основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S ):

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S ):

 

 

2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана  окружность

R - радиус вписанной окружности

D - диаметр вписанной окружности

O - центр вписанной окружности

H - высота трапеции

α, β - углы трапеции

а - нижнее основание

b - верхнее основание

 

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, (S ):

 

 

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

 

 

R - радиус вписанной окружности

m - средняя линия

O - центр вписанной окружности

c - боковые стороны

а - нижнее основание

b - верхнее основание

 

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию (S ):

 

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

 

 

d - диагональ трапеции

α, β - углы между диагоналями

 

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S ):

 

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

 

c - боковая сторона

m - средняя линия трапеции

α, β - углы при основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

 

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

h - высота трапеции

 

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S ):

www-formula.ru

Высота равнобедренной трапеции

 

1. Формула высоты равнобедренной трапеции через стороны и углы при основании

 

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c - равные боковые стороны

α - угол при нижнем основании

h - высота трапеции

 

Формулы длины высоты, (h ):

 

2. Формула высоты равнобедренной трапеции через диагонали и углы между ними

 

d - диагонали трапеции

α , β - углы между диагоналями

a , b - основания

h - высота трапеции

m - средняя линия

 

Формулы длины высоты, (h ):

 

3. Формула высоты равнобедренной трапеции через площадь

 

S - площадь трапеции

a , b - основания

h - высота трапеции

m - средняя линия

 

Формулы длины высоты, (h ):

 

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

zdesformula.ru

Площадь равнобедренной трапеции | Треугольники

Площадь равнобедренной трапеции можно найти с помощью любой из формул для нахождения площади трапеции в общем случае. Благодаря свойствам равнобедренной трапеции некоторые из этих формул могут быть упрощены.

I Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Как и для случая произвольной трапеции, площадь равнобедренной трапеции ABCD, AD∥BC, AB=CD,

   

   

Если AD=a, BC=b, BF=h, то формула площади трапеции принимает вид

   

II. Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.

Это верно, в частности, для равнобедренной трапеции.

Если MN — средняя линия трапеции ABCD, BF — её высота, то площадь трапеции равна

   

Если MN=m, BF=h, то

   

III. Площадь трапеции равна половине произведения её диагоналей на синус угла между ними.

Поскольку диагонали равнобедренной трапеции равны, площадь равнобедренной трапеции равна половине произведения квадрата её диагонали на синус угла между диагоналями.

Для равнобедренной трапеции ABCD

AD∥BC, AB=CD, AC∩BD=O,

   

Если AC=d, ∠COD=φ

   

VI. Площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями.

1) Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, так как sin 90º=1, предыдущая формула принимает вид:

   

2) Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярна, равна квадрату её высоты.

В равнобедренной трапеции ABCD

AD∥BC, AB=CD, AC∩BD=O, проведем высоту FK через точку пересечения диагоналей.

Прямоугольные треугольники AOD и BOC — равнобедренные (с основаниями AD и BC). Поэтому их высоты OK и OF являются также медианами. Следовательно, по свойству медианы, проведенной к гипотенузе

   

   

   

   

Таким образом, формула для нахождения площади равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями:

   

V. Площадь трапеции равна произведению её полупериметра на радиус вписанной окружности.

   

Так как в трапецию ABCD можно вписать окружность, то

AD+BC=AB+CD, то есть p=AD+BC или p=AB+CD=2AB.

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению суммы оснований на радиус окружности.

Если обозначить основания трапеции AD=a, BC=b, то

   

Также площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна удвоенному произведению боковой стороны на радиус окружности.

Если обозначить боковые стороны AB=CD=c, то формула площади трапеции в этом случае

   

Так как высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями, то площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического её оснований:

   

www.treugolniki.ru

13. Площадь равнобедренной трапеции

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

b - верхнее основание

a - нижнее основание

c - равные боковые стороны

α - угол при нижнем основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

 

 

2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

R - радиус вписанной окружности

D - диаметр вписанной окружности

O - центр вписанной окружности

H - высота трапеции

α, β - углы трапеции

 

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:

 

 

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d - диагональ трапеции

α, β - углы между диагоналями

 

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

 

 

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

m - средняя линия трапеции

c - боковая сторона

α, β - углы при основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

 

 

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

b - верхнее основание

a - нижнее основание

h - высота трапеции

 

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

 

www-formula.ru