Пересечение прямой с плоскостью и пересечение двух плоскостей. В пересекающихся плоскостях


Пересечение двух плоскостей | Начертательная геометрия

Пересечение двух плоскостей общего положения представляет собой прямую линию, поэтому для ее определения достаточно найти две точки, принадлежащие одновременно каждой из двух заданных плоскостей - так называемые общие точки.

Чтобы найти общие точки, достаточно ввести одну или две вспомогательные секущие плоскости γ1 и γ2.

Найти пересечение двух плоскостей общего положения линию l, если плоскости заданны пересекающимися прямыми b c и параллельными прямыми d e.

Пересечение двух плоскостей

Вспомогательная плоскость γ1 пересекает заданные плоскости по прямым n1 и n2, которые пересекаясь между собой дают первую точку искомой линии. Вспомогательная плоскость γ2 пересекает заданные плоскости по прямым m1 и m2, которые пересекаясь между собой дают вторую точку искомой линии. Проведя через найденные точки L1 и L2 прямую линию получаем искомое, пересечение двух плоскостей - линию l.

Определить линию пересечения l плоскостей заданных следами αH, αV и βH, βV.

Пересечение двух плоскостей

Задача на пересечение плоскостей заданных следами αH, αV и βH, βV.

Пересечение двух плоскостей

Задача на пересечение плоскостей заданных следами αH, αV и βH, βV причем αV ║ βV.

Пересечение двух плоскостей

Пересечение двух плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF.

Пересечение двух плоскостей

Вспомогательная плоскость γ1 пересекает заданные плоскости по прямым 1-2 и DE, которые пересекаясь между собой дают первую точку искомой линии - точка M. Вспомогательная плоскость γ2 пересекает заданные плоскости по прямым 3-4 и AC, которые пересекаясь между собой дают вторую точку искомой линии - точка N. Соединяем точки MN прямой линией получаем искомую линию l пересечения двух плоскостей.

Определение видимости пересекающихся плоскостей на плоскостях проекций выполняем, используя Конкурирующие точки: на фронтальной плоскости проекций - 1"≡6"; 1`, 6` и 5"≡ 7"; 5`, 7` - будет видна вершина D с прилегающими сторонами до линии пересечения. на горизонтальной плоскости проекций - 8`≡9`; 8", 9" и 10`≡ 11`; 10", 11" - будет видна вершина C с прилегающими сторонами до линии пересечения.

Построить линию пересечения двух плоскостей треугольник ABC и α(αH, αV)

Пересечение двух плоскостей

Графическая работа 1 представляет задачу на пересечение двух плоскостей заданных треугольником и ромбом

+

ngeo.fxyz.ru

Взаимное расположение плоскостей: теория и и примеры

Пусть две плоскости и заданы общими уравнениями и .

Вопрос об определении угла между ними сводится к определению угла между векторами нормалей к ним

и .

Из определения скалярного произведения и из выражения в координатах длин векторов и и их скалярного произведения получим

Условие параллельности плоскостей и эквивалентно условию коллинеарности векторов и и заключается в пропорциональности координат этих векторов:

.

Условие перпендикулярности плоскостей и может быть выражено равенством нулю скалярного произведения векторов нормалей к ним и :

.

Пример 1. Установить, параллельны ли две плоскости, одна из которых задана уравнением , а другая - уравнением .

Решение. Составим уравнения коэффициентов уравнений плоскостей:

Так как , то коэффициенты пропорциональны, следовательно данные две плоскости параллельны.

Необходимым и достаточным условием того, что три плоскости имеют только одну общую точку (то есть, пересекаются в этой точке), является условие неравенства нулю определителя, составленного из коэффициентов уравнений:

Это условие совпадает с условием того, что система линейных уравнений имеет одно единственное решение (пройдя по ссылке можно увидеть иллюстрацию как раз на примере плоскостей).

Решение системы общих уравнений плоскостей (если оно существует и единственное) и даёт точку пересечения трёх плоскостей.

Пример 3. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:

Решение. Сначала проверим, выполняется ли условие пересечения плоскостей в одной точке. Для этого установим, отличен ли от нуля определитель системы:

Определитель отличен от нуля, следовательно система уравнений имеет единственное решение, а, значит, три плоскости пересекаются в одной точке.

Для нахождения этой точки продолжим решать систему уравнений методом Крамера. Перенесём свободные члены в правые части уравнений:

Найдём определители при неизвестных:

Нетрудно заметить, что по формулам Крамера (определитель при неизвестной делить на определитель системы) все неизвестные оказались равными единице. Таким образом, получили точку пересечения трёх плоскостей:

(1; 1; 1).

Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.

Пример 4. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:

Решение. Проверим, пересекаются ли плоскости в одной точке. Для этого вычислим определитель системы:

Определитель равен нулю, следовательно, данные три плоскости не пересекаются в одной точке.

Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.

Пусть даны точка и плоскость . Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости, имеет вид

.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (3, -5, 1), и параллельной плоскости .

Решение. Подставляем в формулу, данную в теоретической сравке к этой главе, данные точки и другой плоскости. Получаем:

Последнее и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости.

Всё по теме "Прямая и плоскость"

  • Плоскость
  • Прямая в пространстве
  • Задачи на плоскость и прямую в пространстве
  • Прямая на плоскости

function-x.ru

Пересекающаяся плоскость - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3

Пересекающаяся плоскость

Cтраница 3

Однако в случае пересекающихся плоскостей в качестве посредников применяют только плоскости; более сложные поверхности не требуются, и в построении участвуют только прямые линии. Кроме того, количество проведенных плоскостей-посредников ограничивается двумя ( см. гл.  [31]

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьшая из величин двугранных углов, определяемых этими плоскостями.  [32]

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется величина наименьшего из двугранных углов, образованных этими плоскостями.  [33]

В пространстве даны две пересекающиеся плоскости т и а. На линии их пересечения взята точка А. Доказать, что из всех прямых, лежащих в плоскости т и проходящих через точку А, наибольший угол с плоскостью а образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей.  [34]

Пусть даны три попарно пересекающиеся плоскости р, Ч, г. Докажите, что если р 1 т и q А.  [35]

В пространстве даны две пересекающиеся плоскости аир. На линии их пересечения взята точка А. Докажите, что из всех прямых, лежащих в плоскости а и проходящих через точку А, наибольший угол с плоскостью Р образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей аир. Чему равен этот угол.  [36]

Когда одна или обе пересекающиеся плоскости симметрии будут заменены на плоскости скользящего отражения, то производная двойная ось, во 1первых, может стать винтовой двойной осью и, во-вторых, может и не совпадать с линией пересечения плоскостей симметричности, но, оставаясь параллельной этой линии, сместиться в сторону.  [37]

Если одна из двух пересекающихся плоскостей содержит перпендикуляр к другой, то и вторая плоскость содержит перпендикуляр к первой.  [38]

Найти горизонтальные следы двух пересекающихся плоскостей Р и Q, если известны их вертикальные следы и точка К, принадлежащая линии их пересечения ( фиг.  [39]

Поверхности, образованные частями пересекающихся плоскостей ( гранями) называются гранными поверхностями. К ним относятся пирамидальная и призматическая поверхности.  [40]

Если одна из двух пересекающихся плоскостей проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то их линия пересечения параллельна этой прямой.  [41]

Найти горизонтальные следы двух пересекающихся плоскостей Р и О, если известны их вертикальные следы и точка К.  [42]

Даны гномостереографические проекции двух пересекающихся плоскостей.  [44]

В одной из двух пересекающихся плоскостей, угол между которыми 60, расположена точка. Она удалена от другой плоскости на 2 / Зсм.  [45]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru

Пересекающиеся плоскости.

ДВЕ ПЛОСКОСТИ. Параллельные плоскости

Две плоскости могут быть параллельны друг к другу или пересекаться между собой.

 

Параллельные плоскости.

Две плоскости параллельны, если в каждой из них можно построить по две пересекающихся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны прямым другой плоскости.

 
Рис.1  
 

Наиболее простой случай – параллельность двух проецирующих плоскостей. Здесь достаточно параллельности следов плоскостей (рис.1).

В случае параллельности плоскостей общего положения необходимо в каждой из них указать по две соответственно параллельные прямые (рис.2). В качестве таких прямых можно взять главные линии плоскости или какие-то другие прямые. (АВС)║ (а ∩ b)║ (d ∩ c).

 

Пересекающиеся плоскости.

Основная задача – построение линии пересечения двух плоскостей, которая вполне определяется двумя точками, принадлежащими обеим плоскостям:

а) проецирующие

Проецирующие плоскости одного наименования, как перпендикулярные к одной и той же плоскости проекций, пересекаются по прямой линии также перпендикулярной к этой плоскости проекций (рис.3). Проецирующие плоскости разных наименований пересекаются по прямой, для которой они будут проецирующими плоскостями (рис.4).

 

б) Наиболее просто решается задача, если одна из пересекающихся плоскостей проецирующая (рис.5). (АВС)∩ =m; m1 . m – линия пересечения, так как линия пересечения принадлежит и плоскости , то 12 лежат на следе плоскости.

 

 

Рис. 5  

 

в) Две плоскости общего положения.

Рассмотрим случай пересечения плоскостей общего положения (рис.6).

Рис.6

Три плоскости пересекаются в одной точке, поэтому общий метод построения точек линии пересечения состоит в следующем: две пересекающиеся плоскости пересекаются третьей, вспомогательной плоскостью.

∩ =m; ∩ =n; m1∩n1=K1; K2

∩ = ; ∩ = ; ∩ =L1;L2 .

Через точки K и L проводим линию пересечения ℓ (рис.7).

 

Рис.7

 

Некоторого упрощения можно достичь, если вспомогательные плоскости проводить через прямые, задающие плоскости (рис.8). (АВС)∩ (DEF)=[LK].

 

Рис.8

 

Похожие статьи:

poznayka.org

Пересекающиеся плоскости - Энциклопедия по машиностроению XXL

Все механизмы можно разделить на плоские и пространственные, У плоского механизма точки его звеньев описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. У пространственного механизма точки его звеньев описывают неплоские траектории или траектории, лежащие в пересекающихся плоскостях.  [c.8]

Ломаными называются разрезы, полученные от рассечения предмета не параллельными, а пересекающимися плоскостями (рис. 257). Секущие плоскости условно повертывают около линии взаимного пересечения до совмещения с плоскостью, параллельной какой-либо из основных плоскостей проекций, поэтому ломаные разрезы могут быть фронтальными, горизонтальными или профильными.  [c.137]

ВЗАИМНО ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПЛОСКОСТИ  [c.54]

Взаимно пересекающие плоскоста  [c.55]

Пусть будет задано одно изображение некоторой многогранной поверхности, образованной частями пересекающихся плоскостей (рис. 158).  [c.111]

Рассмотрим схему построения линии взаимного пересечения двух призм, когда их основания лежат в пересекающихся плоскостях Qh и (рис. 174). Строим плоскость KMN,  [c.122]

В данном случае одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение — ГХП, поэтому линия их пересечения находится (рис. 56, б) без дополнительных построений (см. 2.3 24 3 30.3) ГП AB = J—2 (Г2 Г2").  [c.65]

Для определения видимости пересекающихся плоскостей относительно фронтальной плоскости проекций используем конкурирующие точки 1 и 5 (/ DF 5 АВ). Конкурирующие точки б и 7 (б АС 7 EF) позволяют, как это показано в п. 30.4(4), определить видимость плоскостей относительно горизонтальной плоскости проекций.  [c.66]

Задача рещается графически просто, если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей является проецирующей. В этом случае одна проекция линии I совпадает с вырожденной проекцией проецирующей плоскости, а вторая проекция строится из условия принадлежности второй из пересекающихся плоскостей. Например, на рис. 4.4, в фронтально проецирующая плоскость Г(Г2> и плоскость общего положения Ф(а II Ь) пересекаются по прямой т, фронтальная проекция т2 которой совпадает с вырожденной проекцией Г2  [c.112]

Пересекающиеся плоскости. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.  [c.41]

А теперь разберем один из частных случаен пересекающихся плоскостей, когда одна из них — проецирующая.  [c.41]

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ПЕРЕСЕКАЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ  [c.44]

Прямая ЛИВИЯ, пересекающая плоскость  [c.45]

Чтобы изобразить на эпюре прямую, пересекающую плоскость, необходимо задать их общую точку и показать, что нет второй такой точки.  [c.26]

Чтобы задать на эпюре явно пересекающиеся плоскости, изображают их линию, пересечения.  [c.29]

Точки К и К 2 на очерковых образующих фронтальной проекции конуса определены с помощью фронтальной плоскости о> , пересекающей плоскость р по фронтали f. Верхняя и нижняя точки сечения определены с помощью плоскости ( ), перпендикулярной к горизонталям плоскости (1 Плоскость и>2 пересекает коническую поверхность по образующим k.i и а плоскость по линии /—2. Заметим, что линия 1—2 может быть определена без помощи точки 2, так каК она проходит через точку пересечения оси конуса с фронталью / , Точки пересечения линии /—2 с образующими и являются высшей /Сз и низшей Кл точками искомой кривой. Так как обе эти точки расположены на одной поле конической поверхности и ни одна из них не является несобственной, кривая линия представляет собой эллипс. Центр его — точка С — является серединой отрезка [Кз - К-)]. Касательные к эллипсу в точках Кз и К горизонтальны.  [c.77]

Пример 1. Определить векторный момент пары сил, которая получается при сложении двух пар сил с моментами М,=40Н м и Л/2 = 30Н м, действующих на одно и то же твердое тело. Пары сил расположены в пересекающихся плоскостях, двугранный угол между которыми равен 60".  [c.38]

При массовой пластической деформации дислокации, движущиеся в кристаллической решетке по пересекающимся плоскостям, образуют неподвижные пороги, поэтому перемещение дислокаций тормозится. Суммарно это проявляется в виде упрочнения металла после определенной пластической деформации.  [c.107]

Исключение составляют два случая если плоскость, проходящая через ось j , задана следами если пересекающая плоскость прямая — профильная.  [c.236]

Пересечение прямых линий и плоскостей проецирующими плоскостями. Пересечение прямых линий плоскостями произвольного положения. Взаимно пересекающиеся плоскости произвольного положения. Прямые линии и плоскости, параллельные плоскости. Прямые линии и плоскости, перпендикулярные плоскости. Взаимно перпендикулярные прямые произвольного положения.  [c.5]

Рассмотрим сложение двух пар сил, расположенных в пересекающихся плоскостях и докажем следующую теорему  [c.43]

Пусть требуется сложить две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях / и //, имеющие моменты Mi и М2 (рис. 60). Выбрав силы этих пар равными по модулю  [c.43]

Чему равен момент пары сил, эквивалентной двум парам сил, расположенным в пересекающихся плоскостях  [c.48]

Каким будет абсолютное движение тела, участвующего в двух парах вращений, лежащих в пересекающихся плоскостях  [c.72]

Мы пришли к заключению, что для сложения двух пар, лежащих в пересекающихся плоскостях, достаточно сложить их моменты. Но методом доказательства от п к n-fl нетрудно показать, что теорема остается справедливой для любого количества пар сил, т. е.  [c.70]

Рассмотрим теперь точку В, повторим те же рассуждения. Если мы проведем через точки В и О плоскость В перпендикулярно скорости точки В, то скорости точек этой плоскости должны быть перпендикулярны плоскости В. Точки, лежащие на линии OOj пересечения плоскостей А н В, должны иметь скорости, перпендикулярные сразу обеим пересекающимся плоскостям, что невозможно. Следовательно, скорости точек этой прямой 00 в данное мгновение равны нулю. Мы пришли к убеждению, что при движении тела с одной неподвижной точкой через эту точку всегда можно провести ось, скорости точек которой в данное мгновение равны нулю. Эту ось называют мгновенной осью вращения .  [c.56]

Рассмотрим случай, когда пары сил не лежат в одной или параллельных плоскостях, а следовательно, лежат в пересекающихся плоскостях. Докажем, что две пары сил, действующие на одно и то же  [c.34]

Ломаными назынаются разрезы, полученные от рассечения предмета не параллельными, а пересекающимися плоскостями (рис. 72). Секущие плоскости условно повертывают около, 1инии взаимного пересечения до совмещения с плоскостью, яа-паллельной какой-либо из основых плос-  [c.207]

Одноименные следы пересекающихся плоскостей Р W Q (рис. 115, а) пересекаются в точках Г и Я, которые принадлежат обеим шюскостям, т. е. линии их пересечения. Так как эти точки расположены на плоскостях проекций, то, следовательно, они являются также следами линии пересечения плоско-С1ей. Чтобы на комплексном чертеже построить проекции линии пересечения двух плоскостей Р я Q, заданных следами Ру, Рц и Qy, Qu, необходимо отметить точки пересечения одноименных следов плоскостей, т.е. точки и и h (рис. 115.6) точка и -фрон-  [c.65]

На рис. 353 показана схема построения линии пересечения цилиндрических поверхностей для случая, когда их направляющие линии лежат в разньк пересекающихся плоскостях Q и и.  [c.242]

Две 1ГЛОСКОСГИ в пространстве могут бьт. либо взаимно параллельными, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекающимися. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей и будут рассмотрены ниже.  [c.40]

Пересекающиеся плоскости. Для построения линии пересечения двух плоскостей сх и /J определяют точки пересечения двух пар их горизонталей с любыми одинаковыми отметками каждой пары. На черт. 396 и 397 в точке М пересекаются горизонтали с отметкой , а в точке N — с отметкой 6. Прямая MN является искомой. На черт. 397 обе плоскости заданы масштабами падения, перпендикулярно которым проведены горизонтали (с отмег-кой 4 и 6). Нетрудно показать, что e j/u уулы падении двух плоскостей одинаковы, то проекция линии их пересечения является биссектрист / у. ла, образованного проекциями горизоптилеи данных плоскостей.  [c.183]

Если плоскость явлТчется проецирующей, задача изображения прямой линии, лежащей в этой плоскости, пересекающей ее или параллельной ей, становится очевидной. На чёрт, 106—106 показаны прямая т, лежащая в горизонтально проецирующей плоскости Э прямая т, пересекающая горизонтально проецирующую плоскость V в точке At прямая /я, пересекающая плоскость б за пределами чертежа, и прямая т, параллельная горизонтально проецирующей плоскости е. На черт. 109 изображена прямая, параллельная фронтально проецирующей плоскости.  [c.27]

В случае, если одна из плоскостей проецирующая, становится о гевидным не только взаимное расположение плоскостей, но и, их линия пересечения. На черт 126 изображены две пересекающиеся плоскости а(а ла) и fi AB ). Линия их пересечения 1—2 очевидна.  [c.30]

Рассмотрим случай, когда пары сил не лежат в одной или параллельных плоскостях, а расположены в пересекающихся ПJЮ кo тяx. Докажем, что две пары сил, действующие на одно и то же тело и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, векторный йомент которой равен сумме векторных моментов заданных пар сил.  [c.36]

Пусть имеюгся две пары сил (f l, F ) и ( 2, F 2) (рис. 31), ле-жаи1ие в пересекающихся плоскостях. Эги пары сил можно получить из пар сил, как угодно расположенных в пересекающихся плоскостях, путем параллельного псрспоса, поворота в плоскости действия и одновременного изменения плеч и сил пар. Сложим силы в гочках А ц В ио правилу параллелограмма. После сложения получим две силы R и R  [c.37]

Итак, при сложении двух пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях, получается MeueajieitmnaM пара сил. Обозначим М векторный момент пары сил R, R ). Тогда на основании формул (4) и (7)  [c.37]

Таким образом, чтобы сложить две пары сил, лежащие в пересекающихся плоскостях, надо сложить их векторные мометы по правилу параллелограмма в какой-либо точке тела, например в точке В (рис. 31). Сложение пар сил, лежащих в одной плоскосги или параллельных плоскостях, есгь частный случай Jюжeния пар сил в пересекающихся плоскостях, так как в тгом случае их векторные моменты параллельны и, следовал ельно, векторное сложение перейдет в алгебраическое.  [c.37]

Решение задачи по определению линии пересечения плоскостей значительно упрощается, если одна из плоскостей занимает проецирующее положение. Из рис. 187 и 188 видно, насколько проще решается задача, когда одна из пересекающихся плоскостей — проецирующая, по сравнению с задачей (см. пример 1, рис. 183), в которой обе плоскости занимают общее положение. В этих случаях появляется возможность воспользоваться инвариантом (Ф с ( )/ (р I л, ) => Ф с hop, поэтому одна из проекций линии пересечения (I на рис. 187 и Г на рис. 188) нходит в состав исходных данных задачи (/ на рис. 187 и Г = fofj на рис.  [c.130]

Пусть нмеется две пары сил (Fi, F ) и (Fi, F() (рис. 40), лежащие в пересекающихся плоскостях. Эти пары сил можно получить из пар сил, как угодно расположенных в пересекающихся плоскостях, путем параллельного переноса, поворота в плоскости действия и одновре-  [c.34]

mash-xxl.info

Пересечение прямой с плоскостью и пересечение двух плоскостей

Построение точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью сводится к построению второй проекции точки на эпюре, так как одна проекция точки всегда лежит на следе проецирующей плоскости, потому что все, что находится в проецирующей плоскости, проецируется на один из следов плоскости. На рис. 224,а показано построение точки пересечения прямой EF с фронтально-проецирующей плоскостью треугольника АВС (перпендикулярной плоскости V) На плоскость V треугольник АВС проецируется в отрезок а'с' прямой линии, и точка k' будет также лежать на этой прямой и находиться в точке пересечения е'f' с а'с'. Горизонтальную проекцию строят с помощью линии проекционной связи. Види­мость прямой относительно плоскости треугольника ABC определяют по взаимному расположению проекций треугольника ABC и прямой EF на плоскости V. Направление взгляда на рис. 224,а указано стрелкой. Тот участок прямой, фронтальная проекция которого находится выше проекции треугольника, будет видимым. Левее точки k' проекция прямой находится над проекцией треугольника, следовательно, на плоскости H этот участок видимый.

На рис. 224, б прямая EF пересекает горизонтальную плоскость Р. Фронтальная проекция k' точки К — точки пересечения прямой EF с плоскостью Р — будет находиться в точке пересечения проекции е'f' со следом плоскости Рv, так как горизонтальная плоскость является фронтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальную проекцию k точки K находят с помощью линии проекционной связи.

Рис. 224

Построение линии пересечения двух плоскостей сводится к нахождению двух точек, общих для этих двух плоскостей. Для построения линии пересечения этого достаточно, так как линия пересечения — прямая, а прямая задается двумя точками. При пересечении проецирующей плоскости с плоскостью общего положения одна из проекций линии пересечения совпадает со следом плоскости, находящимся в той плоскости проекций, к которой перпендикулярна проецирующая плоскость. На рис. 225, а фронтальная проекция m'n' линии пересечения MN совпадает со следом Pv фронтально-проецирующей плоскости Р, а на рис. 225,б горизонтальная проекция kl совпадает со следом горизонтально-проецирующей плоскости R. Другие проекции линии пересечения строятся с помощью линий проекционной связи.

Рис. 225

Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (рис. 226, а) выполняют с помощью вспомогательной проецирующей плоскости R, которую проводят через данную прямую EF. Строят линию пересечения 12 вспомогательной плоскости R с заданной плоскостью треугольника ABC, получают в плоскости R две прямые: EF — заданная прямая и 12 — построенная линия пересечения, которые пересекаются в точке К.

Рис. 226

Нахождение проекций точки К показано на рис. 226,б. Построения выполняют в следующей последовательности.

Через прямую EF проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость R. Ее след RH совпадает с горизонтальной проекцией ef прямой EF.

Строят фронтальную проекцию 1'2' линии пересечения 12 плоскости R с заданной плоскостью треугольника ABC с помощью линий проекционной связи, так как горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с горизонтальным следом RH плоскости R.

Определяют фронтальную проекцию k' искомой точки К, которая находится в пересечении фронтальной проекции данной прямой с проекцией 1'2' линии пересечения. Горизонтальная проекция точки строится с помощью линии проекционной связи.

Видимость прямой относительно плоскости треугольника ABC определяется способом конкурирующих точек. Для определения видимости прямой на фронтальной плоскости проекций (рис. 226,б) сравним координаты Y точек 3 и 4, фронтальные проекции которых совпадают. Координата Y точки 3, лежащей на прямой ВС, меньше координаты Y точки 4, лежащей на прямой EF. Следовательно, точка 4 находится ближе к наблюдателю (направление взгляда указано стрелкой) и проекция прямой изображается на плоскости V видимой. Прямая проходит перед треугольником. Левее точки К' прямая закрыта плоскостью треугольника ABC.

Видимость на горизонтальной плоскости проекций показывают, сравнив координаты Z точек 1 и 5. Так как Z1 > Z5, точка 1 видимая. Следовательно, правее точки 1 (до точки К) прямая EF невидимая.

Рис. 227

Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения применяют вспомогательные секущие плоскости. Это показано на рис. 227,а. Одна плоскость задана треугольником ABC, другая — параллельными прямыми EF и MN. Заданные плоскости (рис. 227, а) пересекают третьей вспомогательной плоскостью. Для простоты построений в качестве вспомогательных плоскостей берут горизонтальные или фронтальные плоскости. В данном случае вспомогательная плоскость R является горизонтальной плоскостью. Она пересекает заданные плоскости по прямым линиям 12 и 34, которые в пересечении дают точку К, принадлежащую всем трем плоскостям, а следовательно, и двум заданным, т. е. лежащую на линии пересечения заданных плоскостей. Вторую точку находят с помощью второй вспомогательной плоскости Q. Найденные две точки К и L определяют линию пересечения двух плоскостей.

На рис. 227,б вспомогательная плоскость R задана фронтальным следом. Фронтальные проекции линий пересечения 1'2' и 3'4 плоскости R с заданными плоскостями совпадают с фронтальным следом Rv плоскости R, так как плоскость R перпендикулярна плоскости V, и все, что в ней находится (в том числе и линии пересечения) проецируется на ее фронтальный след Rv. Горизонтальные проекции этих линий построены с помощью линий проекционной связи, проведенных от фронтальных проекций точек 1', 2', 3', 4' до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих прямых в точках 1, 2, 3, 4. Построенные горизонтальные проекции линий пересечения продлевают до пересечения друг с другом в точке k, которая является горизонтальной проекцией точки К, принадлежащей линии пересечения двух плоскостей. Фронтальная проекция этой точки находится на следе Rv.

Для построения второй точки, принадлежащей линии пересечения, проводят вторую вспомогательную плоскость Q. Для удобства построений плоскость Q проведена через точку С параллельно плоскости R. Тогда для построения горизонтальных проекций линий пересечения плоскости Q с плоскостью треугольника АВС и с плоскостью, заданной параллельными прямыми, достаточно найти две точки: с и 5 и провести через них прямые, параллельные ранее построенным проекциям линий пересечения 12 и 34, так как плоскость Q ║ R. Продолжив эти прямые до пересечения друг с другом, получают горизонтальную проекцию l точки L, принадлежащей линии пересечения заданных плоскостей. Фронтальная проекция l' точки L лежит на следе Qv и строится с помощью линии проекционной связи. Соединив одноименные проекции точек К и L, получают проекции искомой линии пересечения.

Если в одной из пересекающихся плоскостей взять прямую и построить точку пересечения этой прямой с другой плоскостью, то эта точка будет принадлежать линии пересечения этих плоскостей, так как она принадлежит обеим заданным плоскостям. Построим таким же образом вторую точку, можно найти линию пересечения двух плоскостей, так как для построения прямой достаточно двух точек. На рис. 228 показано такое построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками.

Рис. 228

Для данного построения берут одну из сторон треугольника и строят точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника. Если это не удается, берут другую сторону этого же треугольника, затем третью. Если и это не привело к нахождению искомой точки, строят точки пересечения сторон второго треугольника с первым.

На рис. 228 построена точка пересечения прямой EF с плоскостью треугольника ABC. Для этого через прямую EF проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость S и строят фронтальную проекцию 1'2' линии пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника АВС. Фронтальная проекция 1'2' линии пересечения, пересекаясь с фронтальной проекцией e'f' прямой EF, дает фронтальную проекцию m' точки пересечения М. Горизонтальную проекцию m точки М находят с помощью линии проекционной связи. Вторая точка, принадлежащая линии пересечения плоскостей заданных треугольников, - точка N - точка пересечения прямой ВС с плоскостью треугольника DEF. Через прямую ВС проводят фронтально-проецирующую плоскость R, и на плоскости H пересечение горизонтальных проекций прямой ВС и линии пересечения 34 дает точку n - горизонтальную проекцию искомой точки. Фронтальная проекция построена с помощью линии проекционной связи. Видимые участки заданных треугольников определяют с помощью конкурирующих точек для каждой плоскости проекций отдельно. Для этого выбирают точку на одной из плоскостей проекций, которая является проекцией двух конкурирующих точек. По вторым проекциям этих точек определяют видимость, сравнивая их координаты.

Например, точки 5 и 6 - точки пересечения горизонтальных проекций bc и de. На фронтальной плоскости проекций проекции этих точек не совпадают. Сравнив их координаты Z, выясняют, что точка 5 закрывает точку 6, так как координата Z5, больше координаты Z6. Следовательно, левее точки 5 сторона DE невидимая.

Видимость на фронтальной плоскости проекций определяю с помощью конкурирующих точек 4 и 7, принадлежащих отрезкам DE и ВС, сравнивая их координаты Y4 и Y7 Так как Y4>Y7, сторона DE на плоскости V видимая.

Следует отметить, что при построении точки пересечения прямой с плоскостью треугольника точка пересечения может оказаться за пределами плоскости треугольника. В этом случае, соединив полученные точки, принадлежащие линии пересечения, обводят только тот ее участок, который принадлежит обоим треугольникам.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Какие координаты точки определяют ее положение в плоскости V?

2. Что определяют координата Y и координата Z точки?

3. Как располагаются на эпюре проекции отрезка, перпендикулярного плоскости проекций Н? Перпендикулярного плоскости проекций V?

4. Как располагаются на эпюре проекции горизонтали, фронтали?

5. Сформулируйте основное положение о принадлежности точки прямой.

6. Как отличить на эпюре пересекающиеся прямые от скрещивающихся?

7. Какие точки называют конкурирующими?

8. Как определить, какая из двух точек видимая, если их проекции на фронтальной плоскости проекций совпали?

9. Сформулируйте основное положение о параллельности прямой и плоскости.

10. Какой порядок построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения?

11. Какой порядок построении линии пересечения двух плоскостей общего положения?

studfiles.net

В чем разница пересекающихся и скрещивающихся линий?

Для начала - в написании, деточка

Пересекающиеся линии образуют 4 прямых угла например ( + ) , а скрещивающиеся образуют 2 тупых и 2 острых угла ( Х )

Пересекаются - кривые, а скрещиваются - прямые.

Пересекающиеся=имеют хоть 1 общую точку... а скрещивающиеся=НЕТ....

пересекающиеся - находятся в одной плоскости и имеют точку пересечения, а скрещивающиеся - находятся в разных плоскостях не пересекаются, т. е. точек пересечения нет. вроде так.

touch.otvet.mail.ru