Как решать уравнения с корнями. Уравнения с корнями примеры


Уравнение. Корень уравнения

Уравнение – это равенство, которое справедливо не при любых значениях входящих в него букв, а только при некоторых. Так же можно сказать, что уравнение является равенством, содержащим неизвестные числа, обозначенные буквами.

Например, равенство 10 - x = 2 является уравнением, так как оно справедливо только при x = 8. Равенство x2 = 49 это уравнение, справедливое при двух значениях x, а именно, при x = +7 и x = -7, так как (+7)2 = 49 и (-7)2 = 49.

Если вместо x подставить его значение, то уравнение превратится в тождество. Такие переменные, как x, которые только при определённых значениях обращают уравнение в тождество, называются неизвестными уравнения. Они обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита x, y и z.

Любое уравнение имеет левую и правую части. Выражение, стоящее слева от знака =, называется левой частью уравнения, а стоящее справа – правой частью уравнения. Числа и алгебраические выражения, из которых состоит уравнение, называются членами уравнения:

Корни уравнения

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Уравнение может иметь всего один корень, может иметь несколько корней или не иметь корней вообще.

Например, корнем уравнения

10 - x = 2

является число 8, а у уравнения

x2 = 49

два корня – +7 и -7.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Виды уравнений

Кроме числовых уравнений, подобных приведённым выше, где все известные величины обозначены числами, существуют ещё буквенные уравнения, в которых кроме букв, обозначающих неизвестные, входят ещё буквы, обозначающие известные (или предполагаемые известные) величины.

Пример:

x - a = b + c 3x + c = 2a + 5

По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с 1-м неизвестным, с 2-мя неизвестными, с 3-мя и более неизвестными.

Пример:

7x + 2 = 35 - 2x – уравнение с одним неизвестным 3x + y = 8x - 2y – уравнение с двумя неизвестными

naobumium.info

Как решать уравнения с корнями | ЧтоКак.ру

Иногда в уравнениях встречается знак корня. Многим школьникам кажется, что решать такие уравнения "с корнями" или, правильнее выражаясь, иррациональные уравнения очень сложно, но это не так.

Инструкция

1

В отличие от других типов уравнений, например, квадратных или систем линейных уравнений, для решения уравнений с корнями, или точнее, иррациональных уравнений, не существует стандартного алгоритма. В каждом конкретном случае необходимо подобрать наиболее подходящий метод решения, исходя из «внешнего вида» и особенностей уравнения.Возведение частей уравнения в одинаковую степень.Чаще всего для решения уравнений с корнями (иррациональных уравнений) применяется возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Как правило, в степень, равную степени корня (в квадрат для корня квадратного, в куб для корня кубического). При этом следует иметь ввиду, что при возведении левой и правой части уравнения в четную степень у него могут появиться «лишние» корни. Поэтому, в этом случае следует проверять полученные корни путем подстановки их в уравнение. Особое внимание при решении уравнений с квадратными (четными) корнями следует уделить области допустимых значений переменной (ОДЗ). Иногда одной только оценки ОДЗ достаточно для решения или существенного «упрощения» уравнения.Пример. Решить уравнение:?(5х-16)=х-2Возводим обе части уравнения в квадрат:(?(5х-16))?=(х-2)?, откуда последовательно получаем:5х-16=х?-4х+4х?-4х+4-5х+16=0х?-9х+20=0Решая полученное квадратное уравнение, находим его корни:х=(9±?(81-4*1*20))/(2*1)х=(9±1)/2х1=4, х2=5Подставив оба найденных корня в исходное уравнение, получаем верное равенство. Следовательно оба числа являются решениями уравнения.

2

Метод введения новой переменной.Иногда найти корни «уравнения с корнями» (иррационального уравнения) удобнее методом введения новых переменных. Фактически, суть этого метода сводится просто к более компактной записи решения, т.е. вместо того, чтобы каждый раз писать громоздкое выражение, его заменяют условным обозначением.Пример. Решить уравнение: 2х+?х-3=0Можно решить данное уравнение и возведением обеих частей в квадрат. Однако, сами вычисления при этом будут выглядеть довольно-таки громоздко. При введении новой переменной процесс решения получится намного элегантнее:Введем новую переменную: у=?хПосле чего получаем обыкновенное квадратное уравнение:2у?+у-3=0, с переменной у.Решив полученное уравнение, находим два корня:у1=1 и у2=-3/2,подставляя найденные корни в выражение для новой переменной (у), получаем:?х=1 и ?х=-3/2.Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным числом (если не затрагивать область комплексных чисел), то получаем единственное решение:х=1.

chtokak.ru

Как решать уравнения с корнями

Иногда в уравнениях встречается знак корня. Многим школьникам кажется, что решать такие уравнения "с корнями" или, правильнее выражаясь, иррациональные уравнения очень сложно, но это не так.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как решать уравнения с корнями" Как решать логарифмические уравнения Как решать неполное квадратное уравнение Как найти сумму корней уравнения

Инструкция

1

В отличие от других типов уравнений, например, квадратных или систем линейных уравнений, для решения уравнений с корнями, или точнее, иррациональных уравнений, не существует стандартного алгоритма. В каждом конкретном случае необходимо подобрать наиболее подходящий метод решения, исходя из «внешнего вида» и особенностей уравнения.

Возведение частей уравнения в одинаковую степень.

Чаще всего для решения уравнений с корнями (иррациональных уравнений) применяется возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Как правило, в степень, равную степени корня (в квадрат для корня квадратного, в куб для корня кубического). При этом следует иметь ввиду, что при возведении левой и правой части уравнения в четную степень у него могут появиться «лишние» корни. Поэтому, в этом случае следует проверять полученные корни путем подстановки их в уравнение. Особое внимание при решении уравнений с квадратными (четными) корнями следует уделить области допустимых значений переменной (ОДЗ). Иногда одной только оценки ОДЗ достаточно для решения или существенного «упрощения» уравнения.

Пример. Решить уравнение:

v(5х-16)=х-2

Возводим обе части уравнения в квадрат:

(v(5х-16))?=(х-2)?, откуда последовательно получаем:

5х-16=х?-4х+4

х?-4х+4-5х+16=0

х?-9х+20=0

Решая полученное квадратное уравнение, находим его корни:

х=(9±v(81-4*1*20))/(2*1)

х=(9±1)/2

х1=4, х2=5

Подставив оба найденных корня в исходное уравнение, получаем верное равенство. Следовательно оба числа являются решениями уравнения.

2

Метод введения новой переменной.

Иногда найти корни «уравнения с корнями» (иррационального уравнения) удобнее методом введения новых переменных. Фактически, суть этого метода сводится просто к более компактной записи решения, т.е. вместо того, чтобы каждый раз писать громоздкое выражение, его заменяют условным обозначением.

Пример. Решить уравнение: 2х+vх-3=0

Можно решить данное уравнение и возведением обеих частей в квадрат. Однако, сами вычисления при этом будут выглядеть довольно-таки громоздко. При введении новой переменной процесс решения получится намного элегантнее:

Введем новую переменную: у=vх

После чего получаем обыкновенное квадратное уравнение:

2у?+у-3=0, с переменной у.

Решив полученное уравнение, находим два корня:

у1=1 и у2=-3/2,

подставляя найденные корни в выражение для новой переменной (у), получаем:

vх=1 и vх=-3/2.

Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным числом (если не затрагивать область комплексных чисел), то получаем единственное решение:

х=1.

Как просто

masterotvetov.com

Квадратные уравнения. Примеры решения

Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения - это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше - существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный - ветки параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение - то в правой.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Перенесем константу с квадратного уравнения за знак равенства, получим выражение

Умножим обе части на 4а

Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения на множители

Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.

Задачи на квадратное уравнение

Задача 1. Найти корни квадратного уравнения

x^2-26x+120=0.

Решение: Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминантаКорень из данного значения равен 14, его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.Найденное значение подставляем в формулу корнейи получаем

 

Задача 2. Решить уравнение

2x2+x-3=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминантПо известным формулам находим корни квадратного уравнения

 

Задача 3. Решить уравнение

9x2-12x+4=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминантПолучили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле

 

Задача 4. Решить уравнение

x^2+x-6=0.

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравненияС второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.Корни уравнения равны

 

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см2.

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:х(18-х)=77;илих2-18х+77=0.Найдем дискриминант уравненияВычисляем корни уравненияЕсли х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).

 

Задача 6. Разложить квадратное 10x2-11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминантПодставляем найденное значение в формулу корней и вычисляемПрименяем формулу разложения квадратного уравнения по корнямиРаскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х2+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминантупростим его и приравняем к нулюПолучили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет - а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.

 

Пример 2. При каких значениях параметра а, уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0.Вычислим дискриминанти найдем значения а при котором оно положительноС первого условия получим а>3. Для второго находим дискриминант и корни уравненияОпределим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачиПодобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

yukhym.com

Как решать уравнения с корнями

Изредка в уравнениях встречается знак корня. Многим школьникам кажется, что решать такие уравнения «с корнями» либо, положительнее выражаясь, иррациональные уравнения дюже трудно, но это не так.

Инструкция

1. В различие от других типов уравнений, скажем, квадратных либо систем линейных уравнений, для решения уравнений с корнями, либо вернее, иррациональных уравнений, не существует стандартного алгорифма. В всем определенном случае нужно подобрать особенно подходящий способ решения, исходя из «внешнего вида» и особенностей уравнения.Возведение частей уравнения в идентичную степень.Почаще каждого для решения уравнений с корнями (иррациональных уравнений) используется возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Как водится, в степень, равную степени корня (в квадрат для корня квадратного, в куб для корня кубического). При этом следует иметь ввиду, что при возведении левой и правой части уравнения в четную степень у него могут возникнуть «лишние» корни. Следственно, в этом случае следует проверять полученные корни путем подстановки их в уравнение. Специальное внимание при решении уравнений с квадратными (четными) корнями следует уделить области возможных значений переменной (ОДЗ). Изредка одной только оценки ОДЗ довольно для решения либо значительного «облегчения» уравнения.Пример. Решить уравнение:?(5х-16)=х-2Возводим обе части уравнения в квадрат:(?(5х-16))?=(х-2)?, откуда ступенчато получаем:5х-16=х?-4х+4х?-4х+4-5х+16=0х?-9х+20=0Решая полученное квадратное уравнение, находим его корни:х=(9±?(81-4*1*20))/(2*1)х=(9±1)/2х1=4, х2=5Подставив оба обнаруженных корня в начальное уравнение, получаем правильное равенство. Следственно оба числа являются решениями уравнения.

2. Способ вступления новой переменной.Изредка обнаружить корни «уравнения с корнями» (иррационального уравнения) комфортнее способом вступления новых переменных. Реально, суть этого способа сводится примитивно к больше суперкомпактной записи решения, т.е. взамен того, дабы всякий раз писать массивное выражение, его заменяют условным обозначением.Пример. Решить уравнение: 2х+?х-3=0Можно решить данное уравнение и возведением обеих частей в квадрат. Впрочем, сами вычисления при этом будут выглядеть достаточно-таки массивно. При вступлении новой переменной процесс решения получится гораздо изящнее:Введем новую переменную: у=?хПосле чего получаем обычное квадратное уравнение:2у?+у-3=0, с переменной у.Решив полученное уравнение, находим два корня:у1=1 и у2=-3/2,подставляя обнаруженные корни в выражение для новой переменной (у), получаем:?х=1 и ?х=-3/2.Потому что значение квадратного корня не может быть негативным числом (если не затрагивать область комплексных чисел), то получаем исключительное решение:х=1.

Видео по теме

jprosto.ru

Внеклассный урок - Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени. Уравнение с одной переменной.

Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени

  

Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.

Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

 

Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x – 15 = x + 15

Итак:4х – х = 15 + 153х = 30х = 30 : 3х = 10

Результат: уравнение имеет один корень – число 10.

Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней. Например, уравнение (х-4)(х-5)(х-6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.

Уравнение может вовсе не иметь корней. Например, уравнение х+2=х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.

 

Равносильность уравнений.

Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.

Пример1:

Уравнения х + 3 = 5 и 3х – 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х=2.

Пример 2:

Уравнения х4 + 2 = 1 и х2 + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.

 

Целое уравнение с одной переменной

Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).

Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида.

Например:y2 + 3y – 6 = 0(здесь P(x) представлен в виде многочлена y2 + 3y – 6).

В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения.

В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).

 

Уравнение первой степени.

Уравнение первой степени можно привести к виду:

ax + b = 0,

где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Отсюда легко вывести значение x:

           bx = – —          a

Это значение x является корнем уравнения.

Уравнения первой степени имеют один корень.

 

Уравнение второй степени.

Уравнение второй степени можно привести к виду:

ax2 + bx + c = 0,

где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:

- если D > 0, то уравнение имеет два корня;

- если D = 0, то уравнение имеет один корень;

- если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).

 

Уравнение третьей степени.

Уравнение третьей степени можно привести к виду:

ax3 + bx2 + cx + d = 0,

где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.

 

Уравнение четвертой степени.

Уравнение четвертой степени можно привести к виду:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e  = 0,

где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.

 

Обобщение:

1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;

2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.

 

Пример 1: Решим уравнение

x3 – 8x2 – x + 8 = 0.

Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.Найдем их и тем самым решим уравнение.Разложим левую часть уравнения на множители:

x2(x – 8) – (x – 8) = 0.

Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:

x2(x – 8) – 1(x – 8) = 0.

Теперь сгруппируем многочлены x2 и –1, являющиеся множителями многочлена x–8. Получим две группы многочленов: (x2 –1) и (x – 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:

(x – 8)(x2 – 1) = 0.

Здесь выражение x2 – 1 можно представить в виде x2 – 12. А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x2 – 12 = (x – 1)(x + 1). Подставим в наше уравнение это выражение и получим:

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0.

Дальше все просто. При x – 8 = 0 всё уравнение тоже равно нулю. И так – в случае и с двумя остальными выражениями x – 1 и x + 1. Таким образом:

x – 8 = 0

x – 1 = 0

x + 1 = 0

Осталось найти корни нашего уравнения:

x1 = 0 + 8 = 8

x2 = 0 + 1 = 1

x3 = 0 – 1 = –1.

Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и –1.

 

Пример 2: Решим уравнение

(x2 – 5x + 4)(x2 – 5x +6) = 120.

Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом – методом введения новой переменной.В нашем уравнении дважды встречается выражение x2 – 5x.Мы можем обозначить его переменной y. То есть представим, что x2 – 5x = y.

Тогда наше уравнение обретает более простой вид:

(y + 4)(y + 6) = 120.

Раскроем скобки:

y2 + 4y + 6y + 24 = 120

y2 + 10y + 24 = 120

Приравняем уравнение к нулю:

y2 + 10y + 24 – 120 = 0

y2 + 10y – 96 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y2 + 10y – 96 = 0 имеет два корня:

y1 = -16

y2 = 6

Буквой y мы заменили выражение x2 – 5x. А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:

1) Сначала применяем значение y1 = –16:

x2 – 5x = –16

Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:

x2 – 5x + 16 = 0

Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.

2) Теперь применяем значение y2 = 6:

x2 – 5x = 6

x2 – 5x – 6 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:

x1 = –1

x2 = 6.

Уравнение решено. Оно имеет два корня: –1 и 6.

 

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x2 (такие уравнения называют биквадратными).

raal100.narod.ru