Что такое уравнение? Как решать уравнения? Уравнение с иксом как решить


Что такое уравнение? Как решать уравнения?

Что такое уравнение?

        Уравнение – одно из краеугольных понятий всей математики. Как школьной, так и высшей. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это очень простое понятие. Ниже сами убедитесь. :) Так что же такое уравнение?

        То, что это слово однокоренное со словами «равный», «равенство», возражений, думаю, ни у кого не вызывает. Уравнение – это два математических выражения, соединённых между собой знаком равенства «=». Но… не каких попало. А таких, в которых (хотя бы в одном) содержится неизвестная величина. Или по-другому переменная величина. Или сокращённо просто «переменная». Переменных может быть одна или несколько. В школьной математике чаще всего рассматриваются уравнения с одной переменной. Которая обычно обозначается буквой x. Или другими последними буквами латинского алфавита - y, z, t и так далее.  

        Мы пока тоже будем рассматривать уравнения с одной переменной. С двумя переменными или более – в специальном уроке.

Что значит решить уравнение?

        Идём дальше. Переменная в выражениях, входящих в уравнение, может принимать любые допустимые значения. На то она и переменная. :) При каких-то значениях переменной получается верное равенство, а при каких-то – нет. Решить уравнение – это значит найти все такие значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение получается верное равенство. Или, более научно, тождество. Например, 5=5, 0=0, -10=-10. И так далее. :) Или доказать, что таких значений переменной не существует.

        Я специально акцентирую внимание на слове «исходное». Почему — будет ясно чуть ниже.

        Эти самые значения переменной, при подстановке которых уравнение обращается в тождество, называются очень красиво - корнями уравнения. Если доказано, что таких значений нет, то в таком случае говорят, что уравнение не имеет корней.

Зачем нужны уравнения?

        Для чего нам нужны уравнения? В первую очередь, уравнения – очень мощный и наиболее универсальный инструмент для решения задач. Самых разных. :) В школе, как правило, работают с текстовыми задачами. Это задачи на движение, на работу, на проценты и многие-многие другие. Однако применение уравнений не ограничивается одними лишь школьными задачками про бассейны, трубы, поезда и табуретки. :)

        Без умения составлять и решать уравнения не решить ни одной сколь-нибудь серьёзной научной задачи - физической, инженерной или экономической. Например, рассчитать, куда попадёт ракета. Или ответить на вопрос, выдержит или не выдержит нагрузку какая-нибудь ответственная конструкция (лифт или мост, например). Или спрогнозировать погоду, рост (или падение) цен или доходов…

        В общем, уравнение – ключевая фигура в решении самых разнообразных вычислительных задач.

Какие бывают уравнения?

        Уравнений в математике несметное количество. Самых разных видов. Однако все уравнения можно условно разделить всего на 4 класса:

        1) Линейные,

        2) Квадратные,

        3) Дробные (или дробно-рациональные),

        4) Прочие.

        Разные виды уравнений требуют и разного подхода к их решению: линейные уравнения решаются одним способом, квадратные – другим, дробные – третьим, тригонометрические, логарифмические, показательные и прочие – тоже решаются своими методами.

        Прочих уравнений, разумеется, больше всего. Это и иррациональные, и тригонометрические, и показательные, и логарифмические, и многие другие уравнения. И даже дифференциальные уравнения (для студентов), где неизвестным является не число, а функция. Или даже целое семейство функций. :) В соответствующих уроках мы подробно разберём все эти типы уравнений. А здесь у нас – базовые приёмы, которые применимы для решения совершенно любых (да-да, любых!) уравнений. Называются эти приёмы равносильные преобразования уравнений. Их всего два. И нигде их не обойти. Так что знакомимся!

Как решать уравнения? Тождественные (равносильные) преобразования уравнений.

        Решение любого уравнения заключается в поэтапном преобразовании входящих в него выражений. Но преобразований не абы каких, а таких, чтобы суть всего уравнения не менялась. Несмотря на то, что после каждого преобразования уравнение будет видоизменяться и в конечном счёте станет совсем не похоже на исходное. Такие преобразования в математике называются равносильными или тождественными. Среди всего многообразия тождественных преобразований уравнений выделяется два базовых. О них и пойдёт речь. Да-да, всего два! И каждое из них заслуживает отдельного внимания. Применение этих двух тождественных преобразований в том или ином порядке гарантирует успех в решении 99% всех уравнений.

        Итак, знакомимся!

        Первое тождественное преобразование:

        К обеим частям уравнения можно прибавить (или отнять) любое (но одинаковое!) число или выражение (в том числе и с переменной).

        Суть уравнения при этом останется прежней. Это преобразование вы применяете всюду, наивно думая, что переносите какие-то члены из одной части уравнения в другую, меняя знак. :)

        Например, такое крутое уравнение:

        Тут и думать нечего: переносим минус тройку вправо, меняя минус на плюс:

            

            

        А что же происходит в действительности? А на самом деле вы прибавляете к обеим частям уравнения тройку! Вот так:

          

        Суть всего уравнения от прибавления к обеим частям тройки не меняется. Слева остаётся чистый икс (чего мы, собственно, и добиваемся), а справа – что уж получится.

        Перенос слагаемых из одной части в другую – это сокращённый вариант первого тождественного преобразования. Ошибиться здесь можно лишь в одном – забыть сменить знак при переносе. Например, такое уравнение:

            

        Дело нехитрое. Работаем прямо по заклинанию: с иксами влево, без иксов – вправо. Какое слагаемое с иксом у нас справа? Что? 2x? Неверно! Справа у нас -2x (минус два икс)! Поэтому в левую часть это слагаемое перенесётся с плюсом:

            

        Полдела сделано, иксы собрали слева. Осталось перенести единицу вправо. Опять вопрос – с каким знаком? Слева перед единицей ничего не написано – значит, подразумевается, что перед ней стоит плюс. Поэтому вправо единичка перенесётся уже с минусом:

            

        Вот почти и всё. Слева приводим подобные, а справа – считаем. И получаем:

        А теперь проанализируем наши махинации с переносом слагаемых. Что мы сделали, когда перенесли -2x влево? Да! Мы прибавили к обеим частям нашего злого уравнения выражение 2x. Я же говорил, что прибавлять (отнимать) мы имеем право любое число и даже выражение с иксом! Лишь бы одно и то же. :) А когда перенесли единичку вправо? Совершенно верно! Мы отняли от обеих частей уравнения единичку. Вот и всё.) Вот и вся суть первого равносильного преобразования.

        Или такой пример – для старшеклассников:

          

        Уравнение логарифмическое. Ну и что? Какая разница? Всё равно первым шагом делаем базовое тождественное преобразование – переносим слагаемое с переменной (то есть, -log3x) влево, а числовое выражение log34 переносим вправо. Со сменой знака, разумеется:

            

        Вот и всё. Кто дружит с логарифмами, тот в уме дорешает уравнение и получит: 

        

        Что? Хотите синусы? Пожалуйста, вот вам синусы:

            

        Снова выполняем первое тождественное преобразование - переносим sin x влево (с минусом), а -1/4 переносим вправо (с плюсом):

            

            

        Получили простейшее тригонометрическое уравнение с синусом, решить которое для знающих также не составляет труда.

        Видите, насколько универсально первое равносильное преобразование! Встречается везде и всюду и не обойти его никак. Поэтому надо уметь его делать на автомате. Главное – не забывать менять знак при переносе! Продолжаем знакомиться с тождественными преобразованиями уравнений.)

        Второе тождественное преобразование:

        Обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же неравное нулю число или выражение.

        Это тождественное преобразование мы тоже постоянно применяем, когда нам в уравнении мешают какие-то коэффициенты и мы хотим от них избавиться. Безопасно для самого уравнения. :) Например, такое злое уравнение:

          

        Тут каждому ясно, что x = 3. А как вы догадались? Подобрали? Или ткнули пальцем в небо и угадали?

        Чтобы не подбирать и не гадать (мы с вами всё-таки математики, а не гадалки :)), нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на четвёрку. Которая нам и мешает.

        Вот так:

           

        Эта палка с делением означает, что на четвёрку делятся обе части нашего уравнения. Вся левая часть и вся правая часть:

           

        Слева четвёрки благополучно сокращаются и остаётся икс в гордом одиночестве. А справа при делении 12 на 4 получается, естественно, тройка. :)

        Или такое уравнение:

           

        Что делать с одной седьмой? Перенести вправо? Не-а, нельзя! Одна седьмая с иксом умножением связана. Коэффициент, понимаешь. :) Нельзя коэффициент оторвать и перенести отдельно от икса. Только всё выражение (1/7)x целиком. Но – незачем. :) Снова вспоминаем про умножение/деление. Что нам мешает? Дробь 1/7, не так ли? Вот и давайте избавимся от неё. Как? А в результате какого действия у нас пропадает дробь? Дробь у нас пропадает при умножении на число, равное её знаменателю! Вот и умножим обе части нашего уравнения на 7:

            

        Слева семёрки сократятся и останется как раз одинокий икс, а справа, если вспомнить таблицу умножения, получится 21:

            

            

        Теперь пример для старшеклассников:

           

        Чтобы добраться до икса и тем самым решить наше злое тригонометрическое уравнение, нам надо сначала получить слева чистый косинус, безо всяких коэффициентов. А двойка мешает. :) Вот и делим на 2 всю левую часть:

           

        Но тогда и правую часть тоже придётся разделить на двойку: это уже МАТЕМАТИКА требует. Делим:

           

        Получили справа табличное значение косинуса. И теперь уравнение решается за милую душу.)

        

          

        Всё понятно с умножением/делением? Отлично! Но… внимание! В данном преобразовании, несмотря на всю его простоту, кроется источник очень досадных ошибок! Называется он потеря корней и приобретение посторонних корней.

        Выше я уже сказал, что обе части уравнения можно умножать (делить) на любое число или выражение с иксом. Но с одной важной оговоркой: выражение, на которое умножаем (делим) должно быть отлично от нуля. Именно этот пунктик, который многие поначалу просто игнорируют, и приводит к таким досадным промахам. Собственно, смысл этого ограничения понятен: на ноль умножать глупо, а делить вообще нельзя. Разберёмся, что к чему? Начнём с деления и с потери корней.

        Допустим, есть у нас такое вот такое уравнение:

          

       Здесь прямо-таки руки чешутся взять и поделить обе части уравнения на общую скобку (x-1):

          

           

           

        Допустим, в задании на ЕГЭ сказано найти сумму корней этого уравнения. Что в ответ писать будем? Тройку? Если вы решили, что тройку, то вы попали в засаду. Под названием «потеря корней». :) В чём же дело?

        А давайте в исходном уравнении раскроем скобки и соберём всё слева:

           

           

           

        Получили классическое квадратное уравнение. Решаем через дискриминант (или через теорему Виета) и получаем два корня:

           

           

        Стало быть, сумма корней равна 1+3 = 4. Четыре, а не три! Куда у нас «пропал» корень

        x = 1 

        при первом способе решения? А единичка у нас пропала как раз во время деления обеих частей на скобочку (x-1). Почему так произошло? А всё потому, что при x = 1 у нас обнуляется эта самая скобочка (x-1). А делить мы имеем право только на отличное от нуля выражение! Как можно было бы избежать потери этого корня? И вообще потери корней? Для этого, во-первых, перед делением на какое-то выражение с иксом всегда дописываем условие, что это выражение отлично от нуля. И находим нули этого выражения. Вот так (на примере нашего уравнения):

            

            

        А во-вторых, чтобы какие-то корни у нас не пропали в процессе деления, мы должны отдельно проверить в качестве кандидатов в корни все нули нашего выражения (того, на которое делим). Как? Просто подставить их в исходное уравнение и посчитать. В нашем случае проверяем единичку:

          

            

        Всё честно. Значит, единичка – корень!

        А вообще, на будущее, всегда старайтесь избегать деления на выражение с иксом. Потеря корней – штука очень опасная и досадная! Применяйте любые другие способы – раскрытие скобок и особенно разложение на множители. Разложение на множители - самый простой и безопасный способ избежать потери корней. Для этого собираем всё слева, потом выносим общий множитель (на который так хотим «сократить») за скобки, раскладываем на множители и дальше приравниваем каждый получившийся множитель к нулю. Например, наше уравнение можно было бы вполне безобидно решить не только приведением к квадратному, но и разложением на множители. Смотрите сами:

           

        Переносим влево всё выражение (x-1) целиком. Со знаком минус:

           

        Выносим (x-1) за скобку как общий множитель и раскладываем на множители:

           

           

        Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем теперь (в уме!) каждую скобку к нулю и получаем наши законные два корня:

            

            

        И ни один корень не потерялся!

        Разберём теперь противоположную ситуацию – приобретение посторонних корней. Такая ситуация возникает при умножении обеих частей уравнения на выражение с иксом. Сплошь и рядом встречается при решении дробно-рациональных уравнений. Например, такое несложное уравнение:

            

        Дело знакомое – умножаем обе части на знаменатель, чтобы избавиться от дроби и получить уравнение в линеечку:

            

            

            

            

        Приравниваем каждый множитель к нулю и получаем два корня:

            

            

        Вроде бы, всё хорошо. Но попробуем сделать элементарную проверку. И если при x = 0 у нас всё славненько срастётся, получится тождество 2=2, то при x = 1 получится деление на ноль. Чего делать нельзя категорически. Не годится единичка в качестве корня нашего уравнения. В таких случаях говорят, что x = 1 – так называемый посторонний корень. Единичка является корнем нашего нового уравнения без дроби x(x-1) = 0, но не является корнем исходного дробного уравнения. Как же появляется этот посторонний корень? Он появляется при домножении обеих частей на знаменатель x-1. Который при x = 1 как раз обращается в ноль! А мы имеем право умножать только на отличное от нуля выражение!

        Как же быть? Вообще не умножать? Тогда мы совсем ничего решить не сможем. Каждый раз проверку делать? Можно. Но зачастую трудоёмко, если исходное уравнение слишком накрученное. В таких случаях спасают три волшебные буквы - ОДЗ. Область Допустимых Значений. И чтобы исключить появление посторонних корней, при умножении на выражение с иксом всегда надо дополнительно записывать ОДЗ. В нашем случае:

        Вот теперь при этом ограничении можно смело умножать обе части на знаменатель. Все вредные последствия от такого умножения (т.е. посторонние корни) мы исключим по ОДЗ. И нашу единичку безжалостно выкинем.

        Итак, появление посторонних корней не так опасно, как потеря: ОДЗ – штука мощная. И жёсткая. Она нам всегда отсеет всё лишнее. :) Мы с ОДЗ будем дружить и подробнее познакомимся в отдельном уроке.

        Вот и все тождественные преобразования.) Всего два. Однако у неопытного ученика могут возникать некоторые трудности, связанные с последовательностью их применения: в каких-то примерах начинают с домножения (или деления), в каких-то – с переноса. Например, такое линейное уравнение:

          

       С чего начинать? Можно начать с переноса:

          

           

           

       А можно сначала поделить обе части на пятёрку, а затем – переносить. Тогда числа попроще станут и считать будет легче:

          

           

           

           

        Как видим, и так, и сяк можно. Вот и возникает у некоторых учеников вопрос: «Как правильно?» Ответ: «По-всякому правильно!» Кому как удобнее. :) Лишь бы ваши действия не противоречили правилам математики. А последовательность этих самых действий зависит исключительно от личных предпочтений и привычек решающего. Однако, с опытом такие вопросы отпадут сами собой, и в итоге не математика будет командовать вами, а вы – математикой. :)

        В заключение хочу отдельно сказать о так называемых условно тождественных преобразованиях, справедливых при некоторых условиях. Например, возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Или извлечение корня из обеих частей. Если показатель степени нечётный, то ограничений никаких – возводите и извлекайте без опасений. А вот если чётный, то такое преобразование будет тождественным только если обе части уравнения неотрицательны. Об этих подводных камнях мы подробно поговорим в теме про иррациональные уравнения.

        А у меня на сегодня всё. Успехов вам в решении уравнений! :)

abudnikov.ru

Как решать дробные уравнения? | Александр Будников

        Итак, друзья, продолжаем осваивать решение основных типов алгебраических уравнений. Мы с вами уже хорошо (надеюсь) знаем, как именно надо решать линейные и квадратные уравнения. Осталось разобрать ещё один основной тип уравнений – дробные уравнения.

        Иногда их называют более научно и солидно - дробные рациональные уравнения. Или дробно-рациональные уравнения. Это сути не меняет.)

        Итак, начнём наше знакомство!

Что такое дробное уравнение? Примеры.

        Дробное уравнение, как следует непосредственно из названия, - это уравнение, в котором есть дроби. Обязательно. Причём (важно!) не просто дроби, а дроби, у которых есть икс в знаменателе. Хотя бы в одном.

        Например, вот такое уравнение:

        Или такое:

        

        Или вот такое:

        И так далее.) Напоминаю, что, если в знаменателях сидят только числа, то эти уравнения к дробным не относятся! Либо это линейные уравнения, либо квадратные.

        Например:

        Это линейное уравнение, хотя тут тоже есть дроби. Почему? Да потому, что в знаменателях дробей – только числа! Четвёрка и пятёрка. И ни один из знаменателей не содержит икса.

        Или такое уравнение:

        Это обычное квадратное уравнение, несмотря на наличие дроби 1/5. Опять же, по причине того, что деления на неизвестное нигде нету.

        В общем, вы поняли.

Как решать дробные уравнения?

        Как это ни странно, дробные уравнения в большинстве своём решаются довольно просто. Каким же именно образом? Первым делом надо избавиться от дробей! Это ключевой шаг в решении любого дробного уравнения, который должен быть освоен идеально. Ибо после того, как все дроби исчезли, уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы уже с вами знаем, что делать.)

        Но… Как же нам избавиться от дробей?! Легко! Применяя всё те же старые добрые тождественные преобразования! В нашем случае это – умножение всего уравнения на одно и то же выражение. В чём суть?

        Нам надо помножить обе части уравнения на одно и то же выражение. Но не просто выражение, а такое, чтобы все знаменатели посокращались! Одним махом.) И дальше, без знаменателей, жизнь станет гораздо проще и веселее.)

        Это только на конкретном примере показать можно. Итак, решаем первое уравнение из нашего списка:

        Первое, что приходит на ум – перенести всё в одну сторону, привести всё к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так делают только в одном случае – при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. А в уравнениях нам надо сразу умножить обе части на такое выражение, которое нам позволит сократить все знаменатели. И какое же это выражение?

        Давайте его конструировать.) В левой части для ликвидации знаменателя нам необходимо умножение на х+3, а в правой – на 3. Но умножать обе части уравнения математика позволяет только на одно и то же выражение! Поэтому нам надо скомбинировать такое выражение, которое одновременно делится как на х+3, так и на 3. Очевидно, это 3(х+3). То есть, по сути, общий знаменатель обеих дробей.

        Итак, для ликвидации всех дробей наше уравнение надо умножать на 3(х+3).

        Умножаем:

        Это самое обычное умножение дробных выражений, но, так уж и быть, распишу детально:

        Прошу обратить внимание: скобки (х+3) я не раскрываю! Так, целиком, их и пишу, как будто бы это одна буква. Ибо наша основная на данный момент задача – от дробей избавиться, а не париться с раскрытием скобок!

        А вот теперь мы видим, что в левой части сокращается целиком (х+3), а в правой 3. Чего мы и добивались! И теперь, с чувством глубокого удовлетворения, производим сокращение:

        

        Вот и отлично. Дробей больше нет. После сокращения получилось безобидное линейное уравнение:

        6 = х+3

        А его (надеюсь) уже решит каждый:

        х = 3

 

        Решим теперь следующий примерчик, чуть посложнее:

        

        И опять избавляемся от того, что нам не нравится. В данном примере это дробь 20/х. Одна единственная. Для её ликвидации надо левую часть домножить на знаменатель. То есть, просто на х. Но тогда и правую часть тоже надо домножить на х: так уж второе тождественное преобразование требует. Вот и домножаем! Всю левую часть и всю правую часть:

        

        С чистой совестью сокращаем икс слева и получаем уравнение уже безо всяких дробей, в линеечку.

        

        20 = х(9-х)

        А вот теперь, когда все дроби исчезли напрочь, раскрываем скобки:

        20 = 9х – х2

        Следующим шагом переносим всё влево:

        х2 – 9х + 20 = 0

        Получили классическое квадратное уравнение. Решаем через дискриминант (или по теореме Виета) и получаем два корня:

        х1 = 4

        х2 = 5

        Как вы видите, в первом случае уравнение после преобразований стало линейным, а здесь – квадратным. А бывает и так, что после ликвидации дробей вообще все иксы сокращаются и остаётся что-нибудь типа 3=3 или 1=4. Надеюсь, такой сюрприз вас уже нисколько не удивит.) Если всё же удивит, то прогуляйтесь по ссылочке:

        Линейные уравнения. Как решать линейные уравнения? А чуть конкретнее – особые случаи при решении линейных уравнений.

        Разумеется, иногда встречаются и неожиданности. И одну из них мы как раз рассмотрим прямо сейчас.

        Решаем третье уравнение по списку:

        А вот тут некоторые могут и зависнуть. На что же такое надо домножить наше уравнение, чтобы за один шаг сократились все знаменатели? Можно, конечно, тупо взять и перемножить все три знаменателя, получить

        x(x2+2x)(x+2)

        и домножить на это длинное выражение. Но… Может быть, есть выражение попроще?)

        Вынужден открыть тайну: да, всё гораздо проще! Если в совершенстве владеть таким мощным приёмом, как разложение на множители.)

        А попробуем-ка разложить каждый из знаменателей на множители! Ну, с х и х+2 точно ничего не сделать, а вот х2+2х вполне себе раскладывается! Выносим икс за скобку и получаем:

        х2+2х = х(х+2)

        Вставим наше разложение в исходное уравнение:

        Вот теперь всё и прояснилось.) Теперь уже отчётливо видно, что гораздо проще будет умножить обе части уравнения на х(х+2). Это выражение гораздо короче и прекрасно делится на каждый из знаменателей: и на x, и на (х+2), и на х(х+2). Вот и умножаем.

        Напоминаю, что эта вертикальная палочка с умножением означает, что обе части нашего уравнения мы умножаем на х(х+2).

        Расписываю подробно. В левой части я буду использовать скобки: там сумма дробей. В правой части скобки не нужны: там одна дробь. Вот и пишем:

        А теперь производим умножение. В левой части большие скобки умножаем на наше выражение х(х+2). Разумеется, по правилу раскрытия скобок, сначала первую дробь, затем – вторую. Ну, а в правой части, по правилу умножения дробей, просто умножаем числитель:

        Малые скобки в числителях не раскрываем! Они нам сейчас для сокращения понадобятся! Кстати, прошу обратить внимание на один важный момент: в числителе первой дроби выражение (х-3) при умножении я взял в скобки! Почему? Потому, что мы умножаем весь числитель целиком! Дело всё в том, что частенько народ числитель записывает вот так:

        х – 3∙х(х+2)

        Это категорически неверно. Дальше можно не решать…

        Но у нас всё верно, надо дорешивать. С удовольствием сокращаем все дроби:

        

        (x-3)(x+2) + 3 = x

        Раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем всё слева:

        x2 + 2x – 3x – 6 + 3 – х = 0

        x2 – 2x – 3 = 0

        И снова получили квадратное уравнение.) Решаем и получаем два корня:

        x1 = -1

        x2 = 3

        Вот и всё. Это ответ.)

        Из этого примера можно сделать важный вывод:

        Если знаменатели дробей можно разложить на простые множители – обязательно делаем это! Пригодится при ликвидации дробей. Причём раскладываем всё до упора!

           Кстати сказать, если бы мы домножили всё уравнение на произведение знаменателей 

        x(x2+2x)(x+2), 

        то, в конце концов, тоже всё получилось бы. Всё лишнее посокращалось. Если ошибок по дороге не наляпать.) Но зачем же упускать шанс облегчить себе жизнь, правда?

        Как вы видите, всё просто и логично. Мы меняем исходное уравнение так, чтобы после наших преобразований из примера исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это – дроби. И точно так же мы будем поступать и со всякими логарифмами, синусами и прочей жестью.) Мы всегда будем от всего этого избавляться.)

        Всё просто, но… Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение этих трёх дробных уравнений вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных уравнений. Даже очень простых, подобных этим. К сожалению…

 

ОДЗ в дробных уравнениях.

        А сейчас мы с вами научимся обходить одну из главных ловушек на ЕГЭ! Попадаются в неё все – и троечники, и отличники. Но для начала посмотрим, попадёте вы в неё или нет.)

        Допустим, надо решить вот такое простое уравнение:

        Дело уже привычное и знакомое. Умножаем всё уравнение на знаменатель (х+1) и получаем:     

        Напоминаю, что со скобками (х+1) работаем целиком, как с одной буквой! Производим умножение:

        Сокращаем знаменатель:

        

        3x2 + 2x – 1 =  5(x+1)

        Раскрываем оставшиеся скобки, переносим всё влево, приводим подобные:

        3x2 + 2x – 1 =  5x + 5

        3x2 - 3x – 6 = 0

        Делим всё уравнение на 3 и получаем:

        х2 – х – 2 = 0

        Самое обычное квадратное уравнение. Решаем и получаем два корня:

        х1 = -1

        х2 = 2

        Предположим, в задании на ЕГЭ сказано записать в ответе меньший из корней, если корней более одного. Что писать будем? Если вы решили, что ответ -1, то вы попали в ловушку. И задание вам не засчитают, да. Зря старались… Правильный ответ был 2. Два, а не минус один…

        Так в чём же дело? А вы попробуйте проверку сделать. Подставьте каждый из найденных корней в исходное уравнение. И, если при х=2 у вас всё славненько срастётся, получится тождество 5=5, то при х=-1 получится деление на ноль! Чего делать нельзя категорически. Нет такой операции ни в природе, ни в математике… Что это значит? Это значит, что х=-1 – так называемый посторонний корень. Или лишний корень. Он не является корнем нашего исходного уравнения и в ответе никак не учитывается. Его мы просто отбрасываем. Окончательный корень один. А именно: х=2.

        Так, стоп! Нам же говорили, что всё уравнение можно умножать на одно и то же выражение! Это же тождественное преобразование!

        Да, тождественное. Я не спорю. Но при одном маленьком ограничении, которое многие поначалу просто игнорируют. А именно – выражение, на которое умножаем (делим), отлично от нуля! А скобочка (х+1) при х=-1 обращается в ноль! Так что всё честно.

        И что нам теперь делать? Совсем не умножать? Тогда мы вообще ничего не решим! Каждый раз проверку делать? Это с ума сойдёшь. Особенно, если уравнение навороченное или корни некрасивые (иррациональные, к примеру).

        Нет, мы с вами пойдём красивым и элегантным путём. Обратимся за помощью к трём волшебным буквам! Догадались? Да! Это ОДЗ! Область Допустимых Значений.

        Что такое ОДЗ? Это такие значения икса, которые могут быть в принципе. Или которые разрешены для данного примера.

        Например, в уравнении

        мы ещё пока не знаем, чему равен икс, верно? Мы уравнение пока не решили. Но зато мы железно знаем, что икс не может равняться нулю ни в коем случае! На ноль делить нельзя. На любое другое число – целое, дробное, отрицательное, иррациональное – ради бога. А вот на ноль – никак. Стало быть, в этом примере ОДЗ: х – любое число, кроме нуля. Идея ясна?

        Как записывать ОДЗ? Как искать ОДЗ? Тоже легко. На первом этапе всегда внимательно осматриваем исходный пример и ищем опасные места. Что значит опасные места? Это места, где возможны запретные действия. Действия, которые при каких-то значениях икса могут оказаться недопустимыми с точки зрения математики. В нашей теме такое действие всего одно – деление. Нельзя делить на ноль. Есть ещё ограничения в корнях чётной степени, в логарифмах и в тригонометрии. Их мы тоже рассмотрим в соответствующих уроках.

        Как только опасные места найдены, рядышком с примером выписываем условия, которые не приводят к бессмыслице. После этого мы, глядя на эти условия, наоборот, вычисляем запретные иксы. И исключаем их из ОДЗ. Вот и всё.

        Я специально акцентирую внимание на словах «исходный пример». Любое преобразование может изменить ОДЗ, и мы можем получить неверный ответ.

        Важно! Для поиска ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем всего лишь маленькие кусочки примера для нахождения запретных иксов. "Многа букаффф", да. Но на практике вся процедура выглядит до ужаса элементарно.

        Итак, берём наше уравнение:

        Ничего пока что не решаем, а именно внимательно осматриваем исходное уравнение. Осмотрев, мы сразу замечаем операцию деления на х+1. Это потенциально опасная операция: при каких-то значениях икса выражение х+1 может оказаться равным нулю. На который делить нельзя. Поэтому обезопасим себя вот такой записью:

        х+1 ≠ 0

        х ≠ -1

        Вот и всё. Это и будет ОДЗ для нашего уравнения. Вот и вся процедура нахождения ОДЗ. На практике запись и нахождение ОДЗ обычно оформляют так:

        Вот так. Как только мы себя обезопасили такой записью, дальше мы уже можем делать с уравнением всё что хотим – переносить члены, домножать, делить... Вот и домножаем всё уравнение на (х+1), чтобы ликвидировать дробь. Это по-прежнему будет не совсем тождественным преобразованием, но все вредные последствия от нарушения тождественности мы исключим по ОДЗ.

        Умножаем:

        3x2 + 2x – 1 =  5(x+1)

        А теперь разберёмся, в какой же момент мы с вами попали в засаду с появлением постороннего корня х=-1. Как раз в момент домножения всего уравнения на (х+1) и ликвидации знаменателя. Знаменатель исчез, и вместе с ним исчезли и соответствующие ограничения на иксы. Бесследно. И для нового уравнения, уже без дробей, на икс уже не накладывается никаких запретов! Любым теперь может быть икс…

        В математике это явление называется расширение ОДЗ.

        Но теперь мы уже с вами народ бдительный. Исходные ограничения (х≠-1) мы записали и сохранили.

        И дальше спокойно решаем уравнение безо всяких дробей и получаем два корня:

        х1 = -1

        х2 = 2

        А вот теперь сопоставляем наши результаты и условия ОДЗ и видим в наших кандидатах на ответ один из иксов в качестве запретного! Минус один. Это означает, что в окончательный ответ его включать нельзя. Это посторонний корень, появившийся в процессе решения без нашего желания. Стало быть, минус единицу мы безжалостно вычёркиваем и в ответ не включаем. Вот и всё.)

        А в трёх других уравнениях? Там что, нет ОДЗ? Есть, конечно. Есть деление на икс – есть и ОДЗ.

        В первом уравнении:

        Во втором уравнении:

        

        В третьем уравнении:       

           

        Я специально в этих примерах ничего не сказал про ОДЗ. Чтобы вас не испугать раньше времени.) В этих трёх уравнениях ОДЗ никак не сказалась на ответе. Повезло. Так бывает.) Но в заданиях ОГЭ и ЕГЭ ОДЗ, как правило, влияет на ответ! Так что мы с ОДЗ дружить будем! И во всех темах, где необходимо, мы будем про ОДЗ вспоминать. Чтобы не упасть лицом в грязь.)

        Итак, подведём итог нашим умозаключениям практическими советами.

 

        Для успешного решения любого дробного уравнения необходимо выполнить (правильно) пять пунктов:

        1) Разложить все знаменатели на множители (если требуется). До упора. Переписать пример с учётом этого факта.

        2) Внимательно исследовать пример на наличие опасных операций. Найти ОДЗ, записать рядышком с примером и временно (до конца решения) забыть про неё.

        3) Сообразить, на что надо умножить обе части уравнения, чтобы все дроби исчезли напрочь.

        4) Выполнить это самое умножение и решить пример уже безо всяких дробей. Получить решения (кандидаты в ответ).

        5) Вспомнить про ОДЗ и сопоставить найденные решения с условиями ОДЗ. Те решения, которые не входят в ОДЗ, безжалостно выбросить. Записать окончательный ответ.

 

        Всё понятно или что-то не очень? Отдельно ещё раз заострю своё (и ваше) внимание на предварительном разложении знаменателей дробей на множители.

        Во-первых, если знаменатель дроби УЖЕ разложен на множители, то искать ОДЗ для неё становится несравненно проще. Почему проще – поясняю на примере. Допустим, дана нам вот такая дробь:

        Как нам найти ОДЗ для этой дроби? Очень просто. Знаменатель не должен равняться нулю. Так и записываем:

        x2 – 3x ≠ 0

        Как теперь найти запретные иксы? Очевидно, надо решить неполное квадратное уравнение:

        x2 – 3x = 0

        Напоминаю, для его успешного решения достаточно вынести икс за скобки:

        х(х-3) = 0

        Приравняв в уме каждый множитель к нулю, получим наши иксы:

        х1 = 0

        х2 = 3

        Вспоминаем, что найденные иксы – это запретные значения! И исключаем их из ОДЗ:

        х ≠ 0;    х ≠ 3

        Ну как? Много возни? Согласен, много. А теперь смотрите, насколько всё проще и быстрее, когда знаменатель предварительно разложен на множители:

        Это была первая причина. А вот вторая. Когда знаменатели всех дробей предварительно разложены на множители, гораздо проще и быстрее становится искать то самое выражение, на которое надо умножать всё уравнение, чтобы ликвидировать все дроби! Этот момент вы уже прочувствовали на третьем примере.

        Замечу, что разложение на множители – единственное безопасное действие, никак не сказывающееся на ОДЗ исходного примера. В отличие от сокращения и приведения подобных, к примеру. Посему – раскладываем, не стесняемся.)

        А теперь, вооружившись таким мощным супероружием, как ОДЗ, и практическими советами, разберём очередной пример. Супердетально разберём!

        Решить уравнение:

        Решаем строго по пунктам. Выполняем пункт первый:

        1) Разложить все знаменатели на множители (если требуется). До упора. Переписать пример с учётом этого факта.

        Знаменатели наших дробей НЕ разложены на множители. Приступаем сначала к разложению. Вынесение общего множителя за скобки и формула разности квадратов – мощные штуки!)

        2x – x2 = x(2-x)

        2x + x2 = x(2+x)

        4 – x2 = 22 – x2 = (2-x)(2+x)

        Вот так. А теперь переписываем уравнение с учётом наших разложений:

 

        2) Внимательно исследовать исходный пример на наличие опасных операций. Найти ОДЗ, записать рядышком с примером и временно (до конца решения) забыть про неё.

        Итак, начинаем осматривать исходный пример на наличие опасных операций.

        Внимание! Не складываем дроби, не приводим подобные, не сокращаем!!!

        Подобные преобразования запросто могут изменить ОДЗ, и мы запросто можем получить неверный ответ! Оно нам надо?! Ещё раз напоминаю: до поиска ОДЗ с исходным примером мы не делаем НИЧЕГО! Кроме разложения на множители. Оно – безопасно и даже полезно.)

        Берём и именно осматриваем наш исходный пример. И замечаем три опасных места: каждая из дробей таит в себе возможное деление на ноль.

        Вот и пишем:

        Знак системы (фигурная скобка) здесь не зря поставлен. Она означает, что все три неравенства должны выполняться одновременно! Мы ведь ОДЗ записываем не для каждой дроби по отдельности, а для всего примера целиком.)

        Решаем теперь эти неравенства методом "от противного". То есть, делаем из неравенств уравнения:

        x(2-x) = 0

        x(2+x) = 0

        (2-x)(2+x) = 0

        Из этих трёх уравнений мы и будем искать запретные иксы. Уравнения очень простые: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Вот и приравниваем в уме или на черновике каждый множитель к нулю.

        Для первого уравнения получаем: x1 = 0;  x2 = 2.

        Вспомнив, что это запретные иксы, получим: х ≠ 0;  x ≠ 2.

        Точно так же решаются и два оставшихся уравнения.

        Для второго уравнения получаем: x ≠ 0;  x ≠ -2.

        И, наконец, для третьего уравнения получаем: x ≠ 2;  x ≠ -2.

        Видно, что некоторые запретные значения иксов повторяются. Разумеется, для записи ОДЗ мы их не будем дублировать. В результате запись ОДЗ для нашего уравнения будет выглядеть вот так:

        ОДЗ:

        Видите, насколько полезно предварительно раскладывать знаменатели на множители! В уме ОДЗ записывается!

        Можно приступать к третьему пункту.

 

        3) Сообразить, на что надо умножить обе части уравнения, чтобы все дроби исчезли напрочь.

        На что такое надо умножить всё уравнение, чтобы все дроби пропали напрочь? И вот тут разложение на множители тоже здорово играет на руку!

        Понятно, что для ликвидации первой дроби, надо её домножать на x(2-x), вторую – на x(2+x) и третью - на (2-x)(2+x). А для того, чтобы сразу сократились бы все дроби, надо скомбинировать выражение, которое одинаково хорошо делится и на х(2-х), и на х(2+х), и на (2-х)(2+х).

        Вот оно, это выражение:

        х(2-x)(2+x)

        Как же я до него додумался? Очень просто: составил произведение всех неповторяющихся множителей всех знаменателей. Чтобы ничего не забыть и лишнего не взять.) Приступаем к четвёртому пункту:

 

        4) Выполнить это самое умножение и решить пример уже безо всяких дробей. Получить решения (кандидаты в ответ).

        Итак, умножаем:

        И снова, чтобы не запутаться и не ошибиться, используем скобки:

        

        Производим умножение. Раскрываем большие скобки, малые – не трогаем!

        Сокращаем все дроби:

        

        2 + x + (x-4)(2-x) = 2x

        Как обычно, раскрываем скобки, приводим подобные и собираем все члены слева:

        2 + x + 2x – x2 – 8 + 4x – 2x = 0

        -x2 + 5x – 6 = 0

        Помним, что минус перед квадратом икса крайне неудобен для дальнейшей работы, посему умножаем всё на (-1):

        x2 – 5x + 6 = 0

        Решаем простенькое квадратное уравнение и получаем корни:

        x1 = 2

        x2 = 3

        Нашли кандидатов в ответ. Самое время вспомнить про ОДЗ. Про самый последний пункт:

 

        5) Вспомнить про ОДЗ и сопоставить найденные решения с условиями ОДЗ. Те решения, которые не входят в ОДЗ, безжалостно выбросить. Записать окончательный ответ.

Итак, наши решения:

        x1 = 2

        x2 = 3

        Условия ОДЗ:

        

        Сопоставляем и… Опаньки! А ведь двойка – запретное значение! Нас не проведёшь! ОДЗ – штука жёсткая. В отвал двойку!

        Окончательный ответ: х = 3.

 

        Вот, собственно, и всё, что я хотел сказать. Как вы видите, всё достаточно просто. Если не просто механически зазубрить алгоритм, а понимать смысл каждого его пункта. А теперь решаем самостоятельно:

        

        Ответы (по традиции, в беспорядке):

        x = 3

        x = -1

        x = 4

        x1 = -1;  x2 = -9

        x = -2

        Всё совпало! Поздравляю! У вас иксов поболее будет? Хм… Про ОДЗ не забыли, случаем? Кое-какие корни выбрасывать надо! ОДЗ учли, а всё равно не выходит? Да-а-а... Проблемка. Такие уравнения надо уметь решать: слишком уж они популярны во многих темах математики. Особенно – в текстовых задачках! Но не отчаивайтесь! Перечитайте урок ещё раз и прогуляйтесь по смежным темам: разложение на множители, квадратные уравнения, линейные уравнения и (особенно!) тождественные преобразования уравнений. И всё получится.)

abudnikov.ru

Решить уравнение с х онлайн решателем

Для обозначения неизвестного числа используются буквенные обозначения. Именно значение этих букв и приходится искать с помощью решений уравнения.

Так же читайте нашу статью "Решить уравнение Эйлера онлайн"

Работая над решением уравнения, мы стараемся на первых этапах привести его к более простому виду, позволяющему получить результат с помощью простых математических манипуляций. Для этого мы выполняем перенос слагаемых с левой стороны на правую, изменяем знаки, умножаем/делим части предложения на какое-то число, раскрываем скобки. Но выполняем все эти действия мы только с одной целью - получения простого уравнения.

Уравнения \[rx+c=0\] - является уравнением с одной неизвестной линейного вида, в котором r и c - обозначение для числовых значений. Чтобы решить уравнение данного вида необходимо произвести перенос его членов:

\[x=-b\div a.\]

Например, нам необходимо решить такое уравнение:

\[3-2х=5-3х\]

Начинаем решение данного уравнения с переноса его членов: с \[х\] - в левую часть, остальные - в правую. При переносе помним о том, что меняется \[+\] на \[-.\] Получим:

\[-2х+3х=5-3\]

Выполнив простые арифметические действия, получим следующий результат:

\[x=2\]

Где можно решить уравнение с х онлайн?

Решить уравнение с иксом онлайн вы можете на нашем сайте pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

pocketteacher.ru

Решение линейных уравнений с примерами

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид  

aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х;  0,3х = 0;  x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) - линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает  уравнение  3х + 7 = 13 в верное равенство, так  как  3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

aх = ‒ b.

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим 3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда 3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть      х = 9 : 3.

Значит, значение х = 3 является  решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3.

Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение  0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много  решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения  является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки: 5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены: 5х – 3х ‒ 2х =  – 12  ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены: 0х = 0.

Ответ: х -  любое число.

Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение  0х = - b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но  b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем  в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены: х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены:  0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение 

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на  – 22 , Получим х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2),  третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное  х = 1/4 : 2, х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

Решение

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

8х = ‒1

х = ‒1 : 8

х = ‒ 0, 125

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

Решение

– 30 + 18х = 8х – 7

18х  – 8х =  – 7 +30

10х = 23

х = 23 : 10

х = 2,3

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

 

Решение:

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

-19х = 36

х = 36 : (-19)

х = - 36/19

Ответ: - . 

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 37-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2), то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6, получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда f(6) = 37-4 = 33 = 27

Ответ: 27.

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

Например, как решить дробное уравнение:x/5+4=9Умножаем обе части на 5. Получаем:х+20=45 x=45-20=25

Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

b/x + c = d

Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:

  • значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
  • нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

1/x + 2 = 5

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

1 + 2x = 5х

И решаем обычное уравнение

5x – 2х = 13x = 1х = 1/3

Ответ: х = 1/3

Решим уравнение посложнее:

Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую - на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

4 = х + 2

х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

Ответ: х = 2.

Для закрепления материала рекомендуем еще посмотреть видео.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями, то отписывайтесь в комментариях.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

решение уравнений с иксом

Примеры решаемых уравнений

Примеры решаемых уравнений (простых)
Система не умеет решать абсолютно все уравнения из ниже перечисленных, но вдруг Вам повезет :) Решение Алгебраических (по алгебре): Квадратных, кубических и других степеней уравнений x^4-x=0 Решение Тригонометрих уравнений sin(2*x)=1
Правила ввода уравнений
В поле 'Уравнение' можно делать следующие операции:
Правила ввода функций
В функции f можно делать следующие операции:Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,52*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание Функция f может состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):absolute(x) Функция - абсолютное значение x (модуль x или |x|) arccos(x) Функция - арккосинус от xarccosh(x) Функция - арккосинус гиперболический от xarcsin(x) Функция - арксинус от xarcsinh(x) Функция - арксинус гиперболический от xarctan(x) Функция - арктангенс от xarctanh(x) Функция - арктангенс гиперболический от xe Функция - e это то, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция - экспонента от x (тоже самое, что и e^x) floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) log(x) or ln(x) Функция - Натуральный логарифм от x (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) pi Число - "Пи", которое примерно равно 3.14 sign(x) Функция - Знак xsin(x) Функция - Синус от xcos(x) Функция - Косинус от xsinh(x) Функция - Синус гиперболический от xcosh(x) Функция - Косинус гиперболический от xsqrt(x) Функция - Корень из от xx^2 Функция - Квадрат xtan(x) Функция - Тангенс от xtanh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решение уравнений бесплатно - Калькулятор Онлайн

С подробным решением:

С быстрым решением:

Вы учитесь? Тогда данные сервисы должны хоть как-то вам помочь. Решение уравнений онлайн позволяет быть уверенным в правильности решения уравнения.В каждом из разделов приведены различные виды способов для помощи Вам. Правила ввода уравнений везде читайте и должно получиться.Вообще этот сделан только для помощи Вам. Вы должны сами научиться решать уравнения - это пригодится в жизни (поможет по жизни мыслить логически в финансовых, экономических и инженерных вопросах)Данный сервис позволяет проверить свои решения на правильность

Это он-лайн сервис в один шаг:

  • Ввести уравнение с неизвестным x

Перейти: "Решение обычных уравнений с ответом" →

Это он-лайн сервис в один шаг:

  • Ввести дифференциальное уравнение с неизвестной функцией y

Перейти: "Дифференциальные уравнения с ответом" →

Это он-лайн сервис в один шаг:
  • Введите выражение, которое надо упростить
Перейти: Онлайн сервис "Упрощение выражений" →

Это он-лайн сервис в три шага:

  • Ввести множитель a при неизвестной x в квадрате
  • Ввести множитель b при неизвестной x
  • Ввести свободное слагаемое с

Перейти: Решение квадратных уравнений →

www.kontrolnaya-rabota.ru