Скалярное произведение векторов: теория и решения задач. Скалярное произведение векторы


Скалярное произведение векторов: теория и решения задач

Определение 1. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения векторов согласно определению 1:    (1)

Можно встретить и другое название этой операции: внутреннее произведение.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

Сформулируем другое определение, эквивалентное определению 1.

Определение 2. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:

   (2)

или

   (3)

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены "на блюдечке с голубой каёмочкой", то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:

Решение:

Определение 3. Скалярное произведение векторов - это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат.

На плоскости

Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами

и

,

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

.

В пространстве

Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

и

,

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:

.

Геометрические свойства

В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие.

На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла - φ1 и φ2. Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения. Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π, то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ1.

1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами - прямой (90 градусов или π/2), если скалярное произведение этих векторов равно нулю:

.

Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.

2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое - меньше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно.

3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое - больше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

Пример 3. Даны длины двух векторов и угол между ними:

.

Определить, при каком значении числа векторы и ортогональны (перпендикулярны).

Решение. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:

.

Теперь вычислим каждое слагаемое:

.

Составим уравнение (равенство произведения нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:

Ответ: мы получили значение λ = 1,8, при котором векторы ортогональны.

Пример 4. В координатах даны векторы:

.

Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?

Решение. Вычислять будем путём сложения произведений соответствующих координат.

.

Получили отрицательное число, поэтому векторы образуют тупой угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили нуль, поэтому векторы образуют прямой угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца:

Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц:

Результат тот же, что и полученный способом, который мы уже рассмотрели. Получили одно единственное число, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом.

В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов - произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.

Пример 6. Найти скалярные произведения пар векторов

и

,

используя матричное представление.

Решение. Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:

Аналогично представляем вторую пару и находим:

Как видим, результаты получились те же, что и у тех же пар из примера 4.

Чтобы выразить скалярное произведение векторов

                              (1)

в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:

То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины. Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:

Так как векторы

попарно перпендикулярны, то попарные произведения ортов будут равны нулю:

Теперь выполним умножение векторных многочленов:

 

Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:

Получаем формулу косинуса угла между двумя векторами:

Пример 7. Даны три точки A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Найти угол .

Решение. Находим координаты векторов:

,

.

По формуле косинуса угла получаем:

Следовательно, .

Пример 8. Даны два вектора

и

Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.

Решение.

1.Сумма

2.Разность

3.Длина

4.Скалярное произведение

5.Угол между и :

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 12. Среди векторов

Найти а) коллинеарные; б) ортогональные.

Решение.

а) проверим пропорциональность соответствующих координат векторов - условие коллинеарности (повторение материала предыдущей части темы "Векторы").

Для векторов и :

 

Равенство не выполняется.

Для векторов и :

Равенство выполняется.

Для векторов и :

Равенство не выполняется.

Наше исследование показало, что коллинеарны векторы и .

б) найдём скалярные произведения векторов.

Наше исследование показало, что ортогональны векторы и и и .

Расчёт работы постоянной силы

Посмотрите ещё раз на рисунок в начале статьи. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из начала координат в конец вектора B под действием постоянной силы F = A, образующей угол с перемещением S = A. Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна . Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы F = B на вектор перемещения S = A.

Скалярное произведение векторов позволяет находить угол между двумя векторами. Поэтому оно часто встречается в последующих разделах математики, особенно, аналитической геометрии. Стоит ли говорить о том, что нахождение скалярного произведения векторов - фундаментальный навык для любого будущего инженера, проектирующего всё что угодно, от гладильных досок и лестниц-стремянок до зданий, или для программиста, собирающегося разрабатывать игры?

Экономический смысл скалярного произведения векторов

В экономических задачах можно рассматривать скалярное произведение вектора цен p на вектор объёма проданных товаров x . Скалярное произведение px в этом случае даёт суммарную стоимость проданных товаров x при ценах p . Например, если объём всех товаров, проданных предприятием, выражается вектором x = (400; 750; 200; 300), элементы которого означают соответственно количество товаров различных групп, а цены в одних и тех же денежных единицах заданы в соответствующем порядке вектором p = (3; 2,1; 1,2; 0,5), то скалярное произведение

выражает суммарную стоимость всех товаров x.

Поделиться с друзьями

Начало темы "Векторы"

Продолжение темы "Векторы"

function-x.ru

Скалярное произведение векторов, формула и примеры

Определение и формула скалярного произведения векторов

Если векторы заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

   

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

   

Выражение называется скалярным квадратом вектора .

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

   

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

   

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

   

5. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны (перпендикулярны):

   

6. .

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

   

8. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение этих векторов будет положительным числом (так как косинус острого угла – положительное число). Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла есть величина отрицательная). Имеют место и обратные утверждения.

9. Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен , а скалярное произведение будет положительным. Угол между противоположно направленными векторами равен и их скалярное произведение отрицательно.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Скалярное произведение двух векторов и его свойства

Определение. Скалярным произведением двух векторов иназывается число, равное произведению модулей векторовина косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов иобозначают, или.

Итак, по определению

,

где - угол между векторамита.

Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению считают равным нулю.

Поскольку по формуле

то формулу скалярного произведения можно записать еще и таким образом:

или

.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из векторов на проекцию второго вектора на направление первого.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1.Скалярное произведение коммутативно, то есть для любых векторов . (2.14)

2. , т.е. для произвольного вектора его скалярный квадрат равняется квадрату модуля этого вектора. Отсюда. (2.15)

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нулю.

4. Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного множителя, то есть. (2.16)

5. Скалярное произведение дистрибутивный относительно сложения, то есть для произвольных трех векторов имеет место равенство

.

6. Векторы ортонормального базиса удовлетворяют соотношениям:

,

.

Рассмотрим теперь два вектора и, которые заданы координатами в прямоугольной системе координат:;,

Т.е.,.

Тогда, пользуясь перечисленными свойствами скалярного произведения, получим,

, скалярное произведение двух векторов в ортонормальном базисе равно сумме произведений их соответствующих координат.

, модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Косинус угла между двумя векторами .

Для ортонормального базиса получим:

и условие ортогональности двух векторов приобретает вид: .

Если ,,

при ,

при.

Векторное произведение двух векторов, его свойства

Определение 2.21. Векторным произведением вектора на векторназывается вектор(рис. 2.15), у которого: 1) длина численно равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

2) вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторыи, т.е.и;

3) вектор направлен таким образом, чтобы кратчайший поворот от векторак векторуосуществлялся против часовой стрелки, если смотреть на него из конца вектора.

Векторное произведение векторов иобозначается символомили.

Из определения вытекает, что .Свойства:

1) - антикоммутативность;

2) - ассоциативность относительно скалярного множителя;

3) - дистрибутивность относительно сложения;

4) означает коллинеарность векторови.

Для векторного произведения основных ортов справедлива такая таблица (табл.2.1).

Таблица 2.1

С использованием этой таблицы можно доказать, что если векторы изаданные своими координатами в прямоугольной системе координатт.е.

; ,

то

.

Если иколлинеарны, тои из (2.31) получим, что, - условие коллинеарности векторов.

Векторное произведение может использоваться для вычисления площади параллелограмма, а значит, треугольника и любого плоского многоугольника, а также для вычисления момента силы. В случае, когда тело неподвижно закреплено в т., а в т.этого тела приложена сила, тогда момент силы, а величина момента равна.

Пример Сила приложена к точке. Определить момент этой силы относительно начала координат.

studfiles.net

Как найти скалярное произведение векторов, примеры решений

Формула

Пусть даны векторы и . Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом:

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Примеры решений

Пример 1
Найти скалярное произведение векторов и
Решение

В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их:

Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу.

Ответ
Пример 2

В пространстве заданы начала и концы векторов: Требуется найти скалярное произведение векторов и .

Решение

В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы и . Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора):

Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение:

Ответ

В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Скалярное, векторное и смешанное произведение

векторы. ДЕЙСТВИЯ НАД векторами. Скалярное,

 ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

 1. Векторы, Действия над векторами.

Основные определения.

Определение 1. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром.

(Масса тела, объем, время и т.д.)

Определение 2. Величина, характеризуемая числовым значением и направлением, называется векторной или вектором.

(Перемещение, сила, скорость и т.д.)

Обозначения: ,или,.

 Геометрический вектор – это направленный отрезок.

Для вектора – точкаА – начало, точка В – конец вектора.

Определение 3. Модуль вектора – это длина отрезка AB.

Определение 4. Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым, обозначается .

Определение 5. Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то они называются сонаправленными.

Определение 6. Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и равны по модулю.

Действия над векторами.

1) Сложение векторов.

Опр. 6. Суммой двух векторов иявляется диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения(правило параллелограмма).

 Рис.1. 

Опр. 7. Суммой трех векторов ,,называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах(правило параллелепипеда).

Опр. 8. Если А, В, С – произвольные точки, то +=(правило треугольника).

 рис.2 

 Свойства сложения.

1о. +=+(переместительный закон).

2о. + (+) = (+) += (+) +(сочетательный закон).

3о.  + (–) +.

2) Вычитание векторов.

Опр. 9. Под разностью векторов ипонимают вектор =  – такой, что+ = .

В параллелограмме – это другая диагональ СД (см.рис.1).

3) Умножение вектора на число.

Опр. 10. Произведением вектора на скалярk называется вектор

= k = k,

имеющий длину ka, и направление, которого:

1.     совпадает с направлением вектора , еслиk > 0;

2.     противоположно направлению вектора , еслиk < 0;

3.     произвольно, если k = 0.

Свойства умножения вектора на число.

1о. (k + l)=k + l.

 k(+) =k + k.

2o. k(l) = (kl).

3o. 1 = , (–1) = – , 0 = .

Свойства векторов.

Опр. 11. Два вектора иназываютсяколлинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Теорема 1. Два ненулевых вектора иколлинеарны,  когда они пропорциональны т.е.

= k, k – скаляр.

Опр. 12. Три вектора ,,называютсякомпланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.

Теорема 2. Три ненулевых вектора ,,компланарны,  когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е.

= k + l, k ,l – скаляры.

Проекция вектора на ось.

Теорема 3. Проекция вектора на ось (направленная прямая)l равна произведению длины вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е.  = a  cos ,  = (,l).

  рис.3.

 2. Координаты вектора

Опр. 13. Проекции вектора на координатные осиОх, Оу, Оz называются координатами вектора. Обозначение: ax, ay, az.

Длина вектора: 

Пример: Вычислить длину вектора .

 Решение:

 Расстояние между точками и вычисляется по формуле:.

 Пример: Найти расстояние между точками М (2,3,-1) и К (4,5,2).

Действия над векторами в координатной форме.

Даны векторы =ax, ay, az и =bx, by, bz.

1.     ( )=ax  bx, ay  by, az  bz.

2.     =ax, ay, az, где  – скаляр.

 Скалярное произведение векторов.

Определение: Под скалярным произведением двух векторов и

понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. =,  - угол между векторами и . 

 Свойства скалярного произведения:

1.     =

2.     (+) =

3.    

4.    

5.     , где   – скаляры.

6.     два вектора перпендикулярны (ортогональны), если  .

7.     тогда и только тогда, когда .

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: , где  и .

Пример: Найти скалярное произведение векторов и

Решение:

 Векторное проведение векторов.

Определение: Под векторным произведением двух векторов ипонимается вектор,для которого:

-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , гдеугол между векторамии

-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е.

-если векторы  неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

 Свойства векторного произведения:

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е.

2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е.

4.Для любых трех векторов   справедливо равенство

5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов и:

 Векторное произведение в координатной форме.

 Если известны координаты векторов  и ,то их векторное произведение находится по формуле:

  .

 Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и, вычисляется по формуле:

Пример: Вычислить площадь треугольника с вершинами (1;-1;2),(5;-6;2),(1;3;-1).

Решение: .

, , тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом:

,

 Смешанное произведение векторов.

Определение: Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов  называется число, определяемое по формуле: .

 Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не меняется при циклической  перестановке его сомножителей, т.е. .

2.При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. .

3.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0.

4.Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .

 Если известны координаты векторов , то смешанное произведение находится по формуле:

Пример: Вычислить смешанное произведение векторов .

Решение: 

 3. Базис системы векторов.

 Определение. Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространству R.

Замечание. Если система состоит из конечного числа векторов, то их обозначают одной и той же буквой с разными индексами.

Пример.

Определение. Любой вектор вида =называется линейной комбинацией векторов . Числа - коэффициентами линейной комбинации.

Пример. .

Определение. Если вектор   является линейной комбинацией векторов , то говорят, что вектор  линейно выражается через векторы .

Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-зависимой.

Пример. Система векторов линейно-зависима, т. к. вектор.

Определение базиса. Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1. Базис пространства :.

 2. В системе векторов базисом являются векторы:, т.к.линейно выражается через векторы.

Замечание. Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1)     записать координаты векторов в матрицу,

2)    с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3)     ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4)    количество векторов в базисе равно рангу матрицы. 

studfiles.net

Свойства скалярного произведения векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

   

Замечание. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то их скалярное произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом:

   

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

   

2. .

3. .

4. .

5. Длина вектора равна

   

6. Величина угла (а точнее косинус этого угла) между ненулевыми векторами и равна частному скалярного произведения этих векторов и произведения их длин:

   

7. Два ненулевых вектора и ортогональны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

   

8. Угол между двумя ненулевыми векторами и является острым тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно; и является тупым – когда скалярное произведение отрицательно.

9. Длина проекции вектора на ось, образованную вектором , равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :

   

10. Если векторы и заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

   

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Найти модуль вектора , если
Решение Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного квадрата этого вектора:

   

   

Ответ
ПРИМЕР
Задание Найти скалярное произведение векторов и
Решение Искомое скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат рассматриваемых векторов, то есть

   

Ответ

ru.solverbook.com

12. Скалярное произведение векторов, свойства, приложения.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и:где- угол между векторамии; еслилибо, тоИз определения скалярного произведения следует, чтогде, например,есть величина проекции векторана направление вектора.

Скалярный квадрат вектора:

Свойства скалярного произведения:

теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

Угол между векторами:

Оценка угла между векторами: в формулезнак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

Проекция вектора на направление, определяемое единичным вектором:,

условие ортогональности[2] (перпендикулярности) векторови:

Площадь параллелограмма, натянутого на два вектораи, равна

Скалярное произведение в координатах

Если то

Угол между векторами

13. Векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов.

Векторным произведением вектора на векторв пространственазывается вектор, удовлетворяющий следующим требованиям:

длина вектора равна произведению длин векторовина синус угламежду ними:;

вектор ортогонален каждому из векторови;

вектор направлен так, что тройка векторовявляется правой.

14.Смешанное произведение векторов

Сме́шанное произведе́ние векторов— скалярное произведение векторана векторное произведение векторови:

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторови:

Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторови, взятому со знаком "минус":

В частности,

Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю.

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда образованного векторамии; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

15.Прямая линия на плоскости, её общее уравнение и его исследование.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оxy.

Теорема.

Всякое уравнение первой степени вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением видапри некотором наборе значений A, B и C.

Докажемсначала, что уравнение видазадает прямую на плоскости.

Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению, то есть,. Вычтем из левой и правой частей уравнениясоответственно левую и правую части равенства, при этом получаем уравнение вида, которое эквивалентно.

Уравнение представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторови. То есть, множество всех точекопределяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора. Если бы это было не так, то векторыине были бы перпендикулярными и равенствоне выполнялось бы.

Таким образом, уравнение задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение видазадает эту же прямую. На этом первая часть теоремы доказана.

Теперь докажем, что всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида .

Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку,- нормальный вектор прямойa, и пусть- плавающая точка этой прямой. Тогда векторыиперпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, то есть,. Полученное равенство можно переписать в виде. Если принять, то получим уравнение, которое соответствует прямойa.

На этом доказательство теоремы завершено.

studfiles.net