Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла. Синус внешнего угла равен синусу внутреннего


Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна .

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине — это угол, смежный с углом . Если угол острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

Обратите внимание, что:

Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. В треугольнике угол равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .

Пусть — внешний угол при вершине .

Зная , найдем по формуле

Получим:

2. В треугольнике угол равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине .

Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна , . Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен .

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Как найти синус внешнего угла?

Синусы углов необходимо бывает вычислять не только в прямоугольном треугольнике, но и в любом другом. Для этого нужно провести высоту треугольника (перпендикуляр к одной из сторон, опущенный из противоположного угла) и решать задачу как для прямоугольного треугольника, используя в качестве одного из катетов высоту.

Как находить синус внешнего угла треугольника

Сначала нужно понять, что такое внешний угол. У нас есть произвольный треугольник АВС. Если одну из сторон, например, АС, продолжить за пределы угла ВАС и нарисовать луч АО, то новый угол ОАВ будет внешним. Вот его синус мы и будем искать.

Для решения задачи нам нужно из угла АВС опустить перпендикуляр ВН на сторону АС. Это будет высота треугольника. Ход решения задачи будет зависеть от того, что нам известно.

Самый простой вариант - если известен угол ВАС. Тогда задача решается предельно легко. Поскольку луч ОС – прямая, то угол ОАС=180°. Значит, угол ОАВ и ВАС – смежные, а синусы смежных углов равны по величине.

Рассмотрим другую задачу: в произвольном треугольнике АВС известна сторона: AB=a и высота ВН=h. Нужно найти синус угла ОАС. Поскольку у нас теперь получился прямоугольный треугольник АВН, синус угла АВН будет равен отношению катета ВН к гипотенузе АВ:

Это тоже просто. Более сложная задача, если известна высота h и стороны AC=c, ВС=b, при этом нужно найти синус угла ОАВ.

По теореме Пифагора находим катет СН треугольника ВСН:

  • BC² = BH² + CH²   b² = h² + CH²,
  • CH² = b² - h², CH = √( b² - h²).

Отсюда можно найти отрезок АН стороны АС:

  • AH = AC - CH = c - √( b² - h²).

Теперь опять используем теорему Пифагора, чтобы найти третью сторону АВ треугольника АВН:

  • AB² = BH² + AH² = h² + (c - √( b² - h²))².

Синус угла ВАС равен отношению высоты ВН треугольника к стороне АВ:

  • sinBAC = BH/AH = h/( c - √( b² - h²)).

Поскольку углы ОАВ и ВАС смежные, их синусы равны по величине.

Так, комбинируя теорему Пифагора, определение синуса и некоторые другие теоремы (в частности, о смежных углах) можно решить практически большинство задач о треугольниках, в том числе найти синус внешнего угла. Иногда могут понадобиться дополнительные построения: провести высоту из нужного угла, продолжить сторону угла за его пределы и т.п.

elhow.ru

Внешний угол треугольника. Задание В7

Если в геометрической задаче присутствуют слова "внешний угол треугольника", нам надо вспомнить несколько фактов:

1. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом треугольника:

2. Сумма смежных углов равна 180°

3. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним:

 Чтобы найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника, нужно найти эту функцию соответствующего внутреннего угла, а затем воспользоваться следующим формулами приведения:

(1)

(2)

(3)

Необходимо также вспомнить, как тригонометрические функции острого угла выражаются одна через другую:

Прежде чем приступать к разбору решений задач, рекомендую вам прочитать статью о соотношении сторон и углов в прямоугольном треугольнике.

Рассмотрим решение задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике: .

1. Задание B7 (№ 27382)

В треугольнике ABC угол C равен ,  , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

Найдем тангенс угла А, а затем воспользуемся формулой приведения.

АС=4, ВС найдем по теореме Пифагора:

Отсюда . Соответственно, по формуле приведения (3), тангенс внешнего угла при вершине А равен -0,25.

Ответ: -0,25

2. Задание B7 (№ 27386)

В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен 0,1. Найдите .

Воспользуемся формулой приведения (2): sinA=0,1

Ответ: 0,1.

3. Задание B7 (№ 27387)

В треугольнике ABC угол C равен , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

Найдем сначала sin A. Он равен синусу внешнего угла треугольника при вершине А. То есть  .

Найдем cosA c помощью основного тригонометрического тождества:

Ответ: 0,96

4. Задание B7 (№ 27389)

В треугольнике ABC угол C равен  , синус внешнего угла при вершине A равен . Найдите .

Найдем сначала sin A. Он равен синусу внешнего угла треугольника при вершине А. То есть  .

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому 

Ответ: 0,96

5. Задание B7 (№ 27392)

В треугольнике ABC угол C равен  , косинус внешнего угла при вершине A равен  . Найдите .

Если  косинус внешнего угла при вершине A равен , то cos A=. Отсюда sinA=0,96

Ответ: 0,96

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В"

ege-ok.ru

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника. Продолжаем рассматривать задачи на решение прямоугольного треугольника. Такие типы заданий имеются в прототипах открытого банка заданий по математике. Некоторые примеры мы уже рассмотрели в статьях «Прямоугольный треугольник. Часть 1» и «Прямоугольный треугольник. Часть 2». В этой статье разберём задачи, в которых необходимо определить значения тригонометрических функций внешнего угла треугольника (или внутреннего, когда дано значение внешнего).

Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине

Угол DAB является внешним.

Стоит повторить определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике, также основные тригонометрические формулы для решения прямоугольного треугольника.  Вспомним основные из них:

А также формулы приведения (не все). Отмечу одну типичную ошибку, которую допускают (из-за невнимательности). При решении подобных задач часто используется формула основного тригонометрического тождества:

Из  неё мы получаем:

*Запись с ошибкой (её часто допускают — теряют квадрат):

Будьте внимательны!

Рассмотрим задачи:

В треугольнике ABC угол C равен 900, sin A = 0,27. Найдите синус внешнего угла при вершине А.

Углы ВАС и BAD смежные, значит:

По свойству синуса:

А лучше раз и навсегда запомнить сам факт того, что синусы смежных углов равны, и вам даже не будет необходимости что-то записывать при решении такой задачи, ответ вы озвучите сразу.

Ответ: 0,27

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

 

В треугольнике ABC угол C равен 900, . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

Углы ВАС и BAD смежные, значит:

Значит по свойству тангенса (используем формулу приведения):

То есть необходимо найти тангенс угла ВАС.  Известно, что:

Синус угла ВАС нам известен. Найдём его косинус.

Из основного тригонометрического тождества:

Вычисляем тангенс:

Таким образом  tg BAD = – tg BAC = – 0,3

Ответ: – 0,3

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

Посмотреть решение 

В треугольнике ABC угол C равен 900, АВ = 6, .  Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

 

Углы ВАС и BAD смежные, значит:

По свойству косинуса:

Найдём cos BAC   Для этого необходимо найти сторону АС. По теореме Пифагора:

Значит АС = 3.

По определению косинуса:

Таким образом, cos DAB = – cos BAC = – 0,5.   

Ответ: – 0,5

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

Посмотреть решение 

В треугольнике ABC угол C равен 900, косинус внешнего угла при вершине A равен  . Найдите sin A.

Углы ВАС и BAD смежные, значит:

В данной задаче можем найти косинус угла ВАС, а затем используя основное тригонометрическое тождество синус этого угла.

По свойству косинуса (используем формулу приведения):

Значит

Найдём sin BAC.  Из основного тригонометрического тождества получим:

Ответ: 0,9

В треугольнике ABC угол C равен 900, тангенс внешнего угла при вершине A равен  –2/9.  Найдите tg = B.

Из свойств прямоугольного треугольника мы знаем, что tg ABC = ctg BAC.

Найдём ctg BAC. Известно, что tg BAC ∙ ctg BAC = 1, значит

Тангенс угла ВАС найти не сложно. Углы BAC и BAD смежные. Это  значит, что

По свойству тангенса:   

Значит

Таким образом:

Ответ: 4,5

В треугольнике ABC угол C равен 900, косинус внешнего угла при вершине A  равен  – 0,7; АВ = 20. Найдите AC.

Найти АС мы сможем, если нам будет известен косинус угла ВАС. Так как по определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

Найдём косинус. По его свойству:

*Использовали формулу приведения.

Значит

Таким образом:

Ответ: 14

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

Посмотреть решение 

Посмотреть решение 

Посмотреть решение 

В треугольнике ABC АС = ВС, АВ = 12, тангенс внешнего угла при вершине A равен  . Найдите AC.

Построим  высоту CH.

Найдём  тангенс внутреннего угла.  По свойству тангенса:

Сторона АС является гипотенузой в прямоугольном треугольнике АСН. В этом треугольнике зная тангенс острого угла и один катет мы без труда можем найти второй катет.

Высота проведённая к основанию равнобедренного треугольника является медианой, то есть АН = ВН, a АВ = 2АН:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH: по определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

Следовательно:

В прямоугольном треугольнике  нам известны катеты АН и СН.

По теореме Пифагора мы можем найти гипотенузу АС:

Таким образом, АС = 9.

Ответ: 9

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

В будущем будем рассматривать другие задачи, не пропустите! Успехов Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Как найти синус внешнего угла

По определению любой угол составляют два несовпадающих луча, которые выходят из единственной общей точки - вершины. Если один из лучей продолжить за вершину, это продолжение вместе со вторым лучом образует еще один угол - он называется смежным. Смежный угол в вершине любого выпуклого многоугольника называют внешним, так как он лежит вне участка поверхности, ограниченного сторонами этой фигуры.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти синус внешнего угла" Как найти косинус внешнего угла Как найти синус угла по сторонам треугольника Как выразить синус через косинус

Инструкция

1

Если вам известно значение синуса внутреннего угла (??) геометрической фигуры, вычислять что-либо нет необходимости - синус соответствующего ему внешнего угла (??) будет иметь точно такое же значение: sin(??) = sin(??). Это определяется свойствами тригонометрической функции sin(??) = sin(180°-??). Если бы требовалось узнать, например, значение косинуса или тангенса внешнего угла, эту величину нужно было бы брать с противоположным знаком.

2

Существует теорема о том, что в треугольнике сумма величин двух любых внутренних углов равна величине внешнего угла третьей вершины. Используйте ее в том случае, если величина внутреннего угла, соответствующего рассматриваемому внешнему (??), неизвестна, а углы (?? и ??) в двух других вершинах приведены в условиях. Найдите синус от суммы известных углов: sin(??) = sin(??+??).

3

Задача с теми же исходными условиями, что и в предыдущем шаге, имеет и другое решение. Оно вытекает из другой теоремы - о сумме внутренних углов треугольника. Так как эта сумма, согласно теореме, должна быть равна 180°, величину неизвестного внутреннего угла можно выразить через два известных (?? и ??) - она будет равна 180°-??-??. Это означает, что вы можете использовать формулу из первого шага, заменив в нем величину внутреннего угла этим выражением: sin(??) = sin(180°-??-??).

4

В правильном многоугольнике величина внешнего угла при любой вершине равна величине центрального угла, а значит, может быть рассчитана по той же формуле, что и он. Поэтому, если в условиях задачи дано число сторон (n) многоугольника, при вычислении синуса любого внешнего угла (??) исходите из того, что его величина равна полному обороту, поделенному на число сторон. Полный оборот в радианах выражается удвоенным числом Пи, поэтому формула должна иметь такой вид: sin(??) = sin(2*?/n). При расчетах в градусах удвоенное Пи замените на 360°: sin(??) = sin(360°/n). Как просто

masterotvetov.com

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине А — это угол, смежный с углом А. Если угол А острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

Обратите внимание, что:

sin (180°-α) = sin αcos (180°-α) = — cos αtg (180°-α) = — tg α

Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

Пусть — внешний угол при вершине А.

Зная cos , найдем tg по формуле

Получим:

2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A = 0,1. Найдите синус внешнего угла при вершине B.

Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов А и В равна 90°, sin B = cos A = 0,1. Тогда и синус внешнего угла при вершине В также равен 0,1.

Дата добавления: 2015-08-17; просмотров: 490 | Нарушение авторских прав

Задача B4: простая логика и умение считать без калькулятора | Теория вероятностей на ЕГЭ по математике | Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. | Вероятность: логика перебора. | Текстовая задача В13 — легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ | Задача В13. Задания на проценты, сплавы, растворы, на движение по окружности и нахождение средней скорости | ЕГЭ без ошибок. Считаем быстро и без калькулятора | Все формулы по геометрии. Задача В3: площади фигур | Геометрия на ЕГЭ по математике | Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника |mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.006 сек.)

mybiblioteka.su

Синус

см. также синус некоторых углов (sin 60, sin 30, sin 45).

Для прямоугольного треугольника ABC синусом (sin) угла A будет соотношение сторон BC и AB.

Синус угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin A = BC / AB

Значение функции синуса угла альфа в прямоугольном треугольнике будет всегда одинаковым для одного и того же угла независимо от размеров сторон треугольника.

Функция синус угла (sin)

СИНУС (sin) – тригонометрическая величина, функция угла, изменяющаяся с изменением угла. «Синус» переводится с латинского как «изгиб», «кривизна».

 Двигая подвижный радиус по полному кругу против часовой стрелки, получаем положительные углы от 0° до 360°. 

Двигая подвижный радиус по полному кругу по часовой стрелке, получаются отрицательные углы, соответственно от 0° до -360°.

В прямоугольном треугольнике сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а остальные стороны – катетами.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике есть отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Рассмотрим на окружности изменения функции синуса острого угла, построив на неподвижной стороне угла (ОА) катет прямоугольного треугольника (ОС), у которого гипотенузой будет подвижный радиус (ОВ) (Рис. 1).

По определению синуса угла: sin⁡ a=ВС / ОВ .

Для единичной окружности, где ОВ = 1, это длина отрезка ВС. Следовательно, синус угла – это величина проекции подвижного отрезка ОВ на ось у.

Рассмотрим изменения функции sin α (отрезка ВС) при движении подвижного радиуса по окружности и увеличении угла. Пределы изменения синуса угла будем определять по квадрантам.

В I квадранте ( ВС ):

при α = 0º sin α = 0;

при 0º < α < 90º 0 < sin α < 1;

при α = 90º sin α = 1.

Во II квадранте ( В1С1 ):

при α = 90º sin α = 1;

при 90º < α < 180º 1 > sin α > 0;

при α = 180º sin α = 0.

За пройденный первый полукруг sin α изменился от 0 до 0, а наибольшее его значение, равное 1, совпадает с длиной радиуса на положительной полуоси у.

Второй полукруг движения подвижного радиуса можно рассматривать как положительное направление (при движении ОВ дальше против часовой стрелки) и как отрицательное направление (если ОВ вращать по часовой стрелке). Рассмотрим только положительное направление.

В III квадранте ( В2С2 ):

при α = 180º sin α = 0;

при 180º < α < 270º 0 > sin α > -1;

при α = 270º sin α = -1;

В IV квадранте ( В3С3 ):

при α = 270º sin α = -1;

при 270º < α < 360º -1 < sin α < 0;

при α = 360º sin α = 0.

За пройденный второй полукруг sin α изменился от 0 до 0, а наименьшее его значение, равное -1, совпадает с длиной радиуса, но отрицательной полуоси у.

За весь оборот подвижного радиуса ОВ, от совпадения с ОА до второго их совпадения, угол численно изменился от 0º до 360º, а численное значение синуса угла изменялось в пределах от 1 до -1.

см. также - таблица значений основных углов тригонометрических функций.

 Начать курс обучения

profmeter.com.ua