Решение неполных квадратных уравнений. 8-й класс. Решения квадратных неполных уравнений


Решение неполных квадратных уравнений.

В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным. Как мы видим коэффициент при х2 не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

1)    Если b = 0, с ≠ 0, то ах2 + с = 0;

2)    Если b ≠ 0, с = 0, то ах2 + bх = 0;

3)    Если b= 0, с = 0, то ах2 = 0.

  • Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах2 + с = 0.

Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим

ах2 = ‒с. Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х2 = ‒с/а.

Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня 

x = ±√(–c/a).

Если же ‒c/a < 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.

Пример 1. Решите уравнение 2х2 ‒ 32 = 0.

Решение

2х2 = 32

х2 = 32/2

х2 = 16

х = ± 4

Ответ: х1 = ‒ 4, х2 = 4.

Пример 2. Решите уравнение 2х2 + 8 = 0.

Решение

2х2 = ‒ 8

х2 = ‒ 8/2

х2 = ‒ 4

Ответ: уравнение решений не имеет.

  • Разберемся как же решаются уравнения вида ах2 + bх = 0.

Чтобы решить уравнение ах2 + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах+ b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах+ b = 0. Решая уравнение ах+ b = 0, получим ах= ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах2 + bх = 0, всегда имеет два корня х1 = 0 и х2 = ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.

Закрепим наши знания на конкретном примере.

Пример 3. Решить уравнение 3х2 ‒ 12х = 0.

Решение

х(3х ‒ 12) = 0

х= 0 или 3х – 12 = 0

              3х = 12

               х = 12/3

               х = 4

Ответ: х1 = 0, х2 = 4.

  • Уравнения третьего вида ах2 = 0 решаются очень просто.

Если ах2 = 0, то х2 = 0. Уравнение имеет два равных корня х1 = 0, х2 = 0.

Для наглядности рассмотрим схему.

Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.

Пример 4. Решить уравнение 7х2 = 0.

Решение

х2 = 0

х1,2 = 0

Ответ: х1, 2 = 0.

Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Решить уравнение

Решение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

Сократим

5(5х2 + 9) – 6(4х2 – 9) = 90.

Раскроем скобки

25х2 + 45 – 24х2 + 54 = 90.

Приведем подобные

х2 + 99 = 90.

Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный

х2 = – 9.

Ответ: корней нет.

Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.

Если у вас появились вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки, мы вместе решим возникшие проблемы.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Решение неполных квадратных уравнений

Разделы: Математика

Цель: Создание условий для овладения учащимися способами решения различных видов неполных квадратных уравнений.

Актуализация: ах2 + вх + с = 0 Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых, это уравнение в котором один из коэффициентов в или с равен нулю. Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

1. Устная работа

Является ли уравнение квадратным? Назвать коэффициенты каждого квадратного уравнения. Выбрать неполное квадратное уравнения.

1) 5х3 – х + 4 = 0

2) х2 + 3х+ 1 = 0

3) 3х + 8 = 0

4) 9х2 – 5х = 0

5) 6х –х2 = 0

6) х3 – х = 0

7) 3х2 – 5х – 4 =0

8) 2х2+ 4 = 0

9) 6х2 = 0

10) 9х – х2= 0

УЭ-1

Решение неполных квадратных уравнений вида ах2 = 0.

Если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0.

Пример: 5х2 = 0, х = 0, х = 0 – корень уравнения.

Реши самостоятельно:

1) -19х2 = 0 (1б)

2) 6х2= 0 (1б)

3) 0, 5 х2 = 0 (1б)

Корректирующие задания:

1) -20х2 = 0 (1б)

2) 0, 7х2 = 0 (1б)

3) 18х2=0 (1б)

Указание: проверив и набрав 3 балла, приступай к решению следующего этапа, в противном случае – решай корректирующие задания.

УЭ-2

Решение квадратного уравнения вида : ах2+ вх = 0.

Если уравнение имеет вид ах2 + вх = 0, то используют метод разложения на множители

х(ах + в) =0.х = 0 или ах + в = 0, решением уравнения являются два корня х = 0; х = а/в.

Пример:

2х2– 7х = 0

х(2х – 7) = 0

х = 0 или х = 3, 5

Реши самостоятельно:

1) 9х2 – х = 0 (1б)

2) 0, 5х2 – х = 0 (2б)

3) -20х2+ х = 0 (1б)

Корректирующие задания:

1) 8х2 + х = 0 (1б)

2) 0, 4х2 – х = 0 (2б)

3) 60х2 – х = 0 (1б)

Указание: Проверив и набрав 4 балла, приступай к выполнению следующего элемента, в противном случае решай корректирующие задания.

УЭ-3

Решение квадратного уравнения вида ах2+ с = 0.

Если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду х2= - с/а

В случае, когда – а/с – отрицательное число, то уравнение х2 = - с/а не имеет корней.

В случае, когда – с/а положительное число, т.е.-с/а =к, то уравнение х2= к имеет два корня .

Пример 1.

3х2 + 10 = 0

3х2= -10

х2 = - 10/3 

корней нет

Пример 2.

-2х2 + 7 = 0

-2х2 = -7

х2= 3, 5

х =

Реши самостоятельно:

1) 9х – х2 = 0 (1б)

2) 16х2 – 9 = 0 (1б)

3) -1/3х2 + 3/14 = 0 (2б)

Корректирующие задания:

1) 8 – 9х2 = 0 (1б)

2) 3х2 + 7 = 0 (1б)

3) -1/2х2 + 1/8 = 0 (2б)

УЭ-4

Решить самостоятельно уравнения:

1) 9х – х2 = 0 (2б)

2) 25х2 = 0 (1б)

3) 9х – 36 = 0 (2б)

Корректирующие задания:

1) 20х – х = 0 (2б)

2) 1, 8х = 0 (1б)

3) 25х – 1 = 0 (2б)

Указание: Проверив и набрав 5 баллов, вы получаете оценку “5”.

Домашнее задание: учебник стр.114, № 620.

Желаю успеха!

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Квадратные уравнения (способы решения)

Разделы: Математика

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их книгописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.

Определение

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c - действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным . Числа a, b, c носят следующие названия: a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.

Корни уравнения ax2 + bx + c = 0 находят по формуле

Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

  • если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
  • если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
  • если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Формулы

Полное квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

  1. c = 0, то уравнение примет видax2 + bx = 0.x(ax + b) = 0 ,x = 0 или ax + b = 0, x = -b : a.
  2. b = 0, то уравнение примет видax2 + c = 0,x2 = -c / a,x1, 2 = ±√(-c / a).
  3. b = 0 и c = 0 , то уравнение примет видax2 = 0,x = 0

Решение неполного квадратного уравнения

Квадратные уравнения с комплексными переменными

Сначала рассмотрим простейшее квадратное уравнение z2 = a, где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

  1. имеет один корень z = 0, если а = 0;
  2. имеет два действительных корня z1, 2 = ±√a
  3. Не имеет действительных корней, если a < 0

Решение квадратных уравнений с помощью графиков

Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим способом. Например x2 + x + 1 = 0. Решим уравнение. Для этого построим два графика y = x2; y = x + 1.

y = x2, квадратичная функция, график парабола.y = x + 1, линейная функция, график прямая.

Графики пересекаются в двух точках, уравнение имеет два корня. Ответ: x ≈ -0,6; x ≈ 2,6.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Процессы Скорость км/ч Время ч. Расстояние км. Вверх по реке Вверх по протоку V течения V притока
10 - x 35 / (10 - x) 35
10 - x + 1 18 / (10 - x + 1) 18
x
x + 1

Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, составим уравнение.

ОДЗ: ∀ x ≠ 9, 10.

Практикум

т.к. D1 Ответ: корней нет. Ответ: x = 2,5.

Заключение

Ещё в древности люди пользовались ими не зная, что это – квадратные уравнения.

В наше время невозможно представить себе решение как простейших, так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках, без применения решения квадратных уравнений.

Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое

Презентация

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Решение неполных квадратных уравнений. 8-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (690,2 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: закрепить и проверить знания, умения и навыки обучающихся при решении неполных квадратных уравнений.

Задачи:

Образовательные:

  • совершенствовать умения решений неполных квадратных уравнений;
  • выработать прочные навыки использования алгоритма при решении неполных квадратных уравнений;
  • пользоваться умением самопроверки.

Развивающие:

  • развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать выводы;
  • активизация самостоятельной деятельности;
  • развивать познавательный интерес;
  • развивать наглядно–действенное творческое воображение.

Воспитательные:

  • воспитание коммуникативной и информационной культуры учащихся; взаимоуважение, трудолюбие;
  • эстетическое воспитание через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради, через наглядные и дидактические пособия.

Тип урока:закрепление умений и навыков.

Форма организации обучения: индивидуальная, парная.

Девиз урока: «Набираться ума в ученье, храбрости в сраженье. Без муки нет науки. Была бы охота – заладится всякая работа».

Ход урока

I. Организационный момент.

1) Вступительное слово учителя.

Тема нашего урока «Решение неполных квадратных уравнений». В маршрутном листе выберите рисунок соответствующий вашему настроению.

2) Проверка домашнего задания. (Оценивается самими учащимися). Если выполнили полностью и верно оценивается «5», допущена ошибка, но выполнялась работа самостоятельно, оценивается «4», если работа выполнялась с посторонней помощью, оценивается «3». Оценки выставляются в «Маршрутный лист». (слайды 2–3)

С домашним заданием разобрались. Кстати, а вы знаете, когда появились первые квадратные уравнения? Оказывается очень давно. Их решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры. Уравнения вида аx2=в научил решать Диофант Александрийский в дошедших до нас 6 из 13 книг «Арифметика».

Наша задача на сегодняшний урок отработать навыки решения неполных квадратных уравнений. А для этого давайте вспомним основные понятия для подготовки решений уравнений.

II. Актуализация опорных знаний.

(Работа выполняется под копирку, один экземпляр сдается)

1. Вспомни. (слайд 4)

Квадратное уравнение это выражение вида:

;;, где коэффициенты – любые действительные числа, причем .

2. Установи соответствие. (слайд 5)

1.   свободный член
2.   первый или старший коэффициент
3.   второй коэффициент.

3. Установите соответствие. (слайд 6)

Квадратное уравнение называют:

1. приведенным 1. присутствуют все три слагаемых
2. неприведенным если 2.
3. полным 3. присутствуют не все три слагаемых
4. неполным 4.

4. Установите соответствие. (слайд 7)

Сколько корней имеет уравнение:

Каждый правильный ответ оценивается 1 баллом. Баллы суммируются и выставляются в маршрутный лист.

III. Закрепление умений и навыков.

1. Работа в парах. Найти ошибку. (слайд 8)

а) х2 – 2х = 0   б) х2 – 1 = 0   в) 6х2 – 24х = 0
х(2х) = 0   х2 = 1   6х(х – 4) = 0
х = 0   х = 1   х=0 или х = – 4

Проверка. (слайд 9)

а) х2 – 2х = 0   б) х2 – 1 = 0   в) 6х2 – 24х = 0
х(х – 2) = 0   х2 = 1   6х(х – 4) = 0
х = 0 или х = 2   х = 1 или х = – 1   х=0 или х = 4
Ответ: 0; 2.   Ответ: -1; 1.   Ответ: 0; 4.

Каждый правильный ответ оценивается 1 баллом. Баллы суммируются и выставляются в маршрутный лист. (Можно использовать памятку)

2. Решить уравнения на доске и в тетрадях: 252(г), 253(а). (слайд 10)

Литературная пауза: вставить слово.

Когда уравнение решаешь дружок, Ты должен найти у него …(корешок), Значение буквы проверить несложно, Подставь в… (уравнение) его осторожно, Коль верное … (равенство) выйдет у вас, То… (корнем) значение зовите то час.

IV. Самостоятельная работа.

1) Тест. (Выполняется под копирку)(слайд 11–14)

  1. Корнями уравнения х2 – 5х = 0 являются: 1) x1= 0 x2 = -5 2) x1= 0 x2 = 5 3) x1= 5 x2 = -5

  2. Найдите корни уравнения х2 – 25 = 0 являются: 1) x1= – 5 x2 = 5 2) x1= – 25 x2 = 25 3) x1= – 5 x2 = 5

  3. Корнями уравнения 121х2 = 0 являются: 1) x1= – 11 или x2 = 11 2) x1= 0 3) x1= 11

  4. Какое из данных уравнений не имеет корней: 1) х2 – 19 = 0 2) х2 + 19 = 0 3) х2 – 19х = 0 4) х2 + 19х = 0.

Проверка. (слайд 15)

1.1 2.1 3.2 4.2

Каждый правильный ответ оценивается 1 баллом. Баллы суммируются и выставляются в маршрутный лист.

2) «Реши уравнения и угадай слово». (слайд 16)

В Г Д З И К Л М Н О П Р С Т У А Я
1 0,5 -2 4 5 -1  -2 -6 -0,5 0 3 -7  2 -3 -4 -5 7
Вариант 1   Вариант 2
х2 – 49 = 0   10х2 – 40 = 0
8х2 + 16х = 0   5х2 – 125= 0

Ответы: 1 вариант: ядро; 2 вариант: сила.

Каждая правильная буква – 1 балл. Баллы суммируются и выставляются в маршрутный лист.

V. Итоги урока.

Итак, чем мы занимались сегодня на уроке?

Подсчитываются баллы в маршрутном листе и выставляются оценки:

27-22 балла – «5», 21-17 балла – «4», 16-13 балла – «3».

Домашнее задание: п 21,  521(в),  523(б),  532,  5526*. (слайд 17)

Выберите рисунок, в маршрутном листе соответствующий вашему настроению после пройденного урока и отметьте его.

И в заключении: Не всегда уравнения Разрешают сомнения, Но итогом сомнения Может быть озарение.

Приложение.

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Как решать неполные квадратные уравнения?

Научившись решать уравнения первой степени, безусловно, хочется работать с другими, в частности, с уравнениями второй степени, которые по-другому называются квадратными.

Квадратные уравнения - это уравнения типа ах ² + bx + c = 0, где переменной является х, числами будут - а, b, с, где а не равняется нулю.

Если в квадратном уравнении один или другой коэффициент (с или b) будет равняться нулю, то это уравнение будет относиться к неполному квадратному уравнению.

Как решить неполное квадратное уравнение, если ученики до сих пор умели решать только уравнения первой степени? Рассмотрим неполные квадратные уравнения разных видов и несложные способы их решения.

а) Если коэффициент с будет равен 0, а коэффициент b не будет равен нулю, то ах ² + bх + 0 = 0 сводится к уравнению вида ах ² + bх = 0.

Чтобы решить такое уравнение, нужно знать формулу решения неполного квадратного уравнения, которая заключается в том, чтобы левую часть его разложить на множители и позже использовать условие равенства произведения нулю.

Например, 5х ² - 20х = 0. Раскладываем левую часть уравнения на множители, при этом совершая обычную математическую операцию: вынос общего множителя за скобки

5х (х - 4) = 0

Используем условие, гласящее, что произведения равны нулю.

5 х = 0 или х - 4 = 0

х = 0/5 х = 4

х = 0

Ответом будет: первый корень - 0; второй корень - 4.

б) Если b = 0, а свободный член не равен нулю, то уравнение ах ² + 0х + с = 0 сводится к уравнению вида ах ² + с = 0. Решают уравнения двумя способами: а) раскладывая многочлен уравнения  в левой части на множители; б) используя свойства арифметического квадратного корня. Такое уравнение решается одним из методов, например:

4х ² - 25 = 0

4х ² = 25

х ² = 25/4

х = ± √ 25/4

 х = ± 5/2. Ответом будет: первый корень равен 5/2; второй корень рав

elhow.ru

Неполные квадратные уравнения и методы их решения с примерами

Неполные квадратные уравнения представляют собой частный случай равенств второго порядка. Необходимо уметь решать эти уравнения, поскольку они часто встречаются не только в математических, но и в физических задачах. Методам их решения посвящена эта статья.

Квадратные уравнения: полные и неполные

Перед тем как разбирать способы решения неполных квадратных уравнений, следует рассмотреть, что они собой представляют.

На рисунке ниже изображен общий вид равенств второго порядка, которые так называются из-за максимального значения степени переменной (она равна 2), содержащейся в них.

Где a, b и c - числа (коэффициенты). Неполное уравнение получается тогда, когда один из этих коэффициентов становится равным нулю (за исключением числа a, поскольку если оно занулится, то уравнение перестанет быть квадратным). Поскольку остается всего три возможные комбинации нулевых коэффициентов, то выделяют следующие типы неполных равенств второго порядка:

  1. Только b=0. Тогда уравнение преобразуется к виду a*x2 + c = 0. Оно называется чистым или простым неполным равенством квадратного типа.
  2. Только c=0. Тогда получаем вид: a*x2 + b*x = 0. Оно получило название смешенного неполного уравнения квадратного.
  3. Наконец, если b=0 и c=0, то мы имеем выражение a*x2=0.

Последний вид неполного уравнения не рассматривается ни в одном математическом курсе, поскольку его решение является очевидным и единственно возможным: x=0.

Можно ли решать неполные уравнения с помощью формулы с дискриминантом?

Да, можно, поскольку этот способ является универсальным для любых выражений второго порядка. Однако неполные уравнения квадратные в 8 классе школы уже встречаются, и изучаться они начинают раньше, чем полные равенства этого типа, для которых уже приводится формула с дискриминантом. Кроме того, рассматриваемый вид равенств является достаточно простым, чтобы применять к ним универсальные формулы и производить ряд ненужных вычислений.

Рассмотрим простые и понятные способы решения неполных уравнений второго порядка.

Решение простого неполного уравнения

Схема его решения в общем случае представлена на рисунке ниже.

Объясним подробнее каждый отмеченный на ней шаг. Первым делом необходимо привести уравнение к виду, указанному в начале этой схемы. Условие задачи может быть так составлено, что исходное равенство будет содержать больше двух слагаемых. Все их необходимо упростить (умножить, сложить и вычесть) до вида чистого неполного равенства.

После этого свободный член c переносится в правую часть равенства и делится на коэффициент a. Для получения неизвестных x остается взять квадратный корень из отношения -c/a, при этом нужно не забывать и учитывать, что он может быть, как со знаком минус, так и с положительным знаком.

Что следует из представленной на рисунке формулы? Во-первых, корней чистого неполного квадратного равенства всегда 2-а, при этом по модулю они оба равны, а по знаку отличаются. Во-вторых, если числа c и a имеют один знак, то корни x будут мнимыми, если c и a разного знака, тогда получаются два действительных решения.

Решение смешанного неполного уравнения

Для решения квадратного уравнения, у которого c=0, следует проделать такой же первый шаг, как и в случае определения корней чистого неполного равенства, то есть привести его к виду с двумя слагаемыми: одно из них должно содержать x2, а другое x. Затем, следует применить метод факторизации, то есть разложить левую часть равенства на множители. В отличие от полного уравнения это сделать очень просто, поскольку один из множителей всегда будет иксом. Сказанное выше можно записать в виде формулы:

x*(a*x+b) = 0.

Это равенство имеет решение, если каждый его множитель является нулем. Результат вычисления корней представлен на рисунке ниже.

Таким образом, корни этого типа неполного уравнения всегда будут действительными числами, причем один из них равен нулю. Знак второго корня определяется отношением ненулевых коэффициентов b/a.

Примеры математических задач

Теперь приведем наглядные примеры квадратных неполных уравнений с решением.

Пример 1. Найдите корни равенства 135-(2x + 3) (2x - 3) = 0. Раскрываем скобки, получаем: 135-4*x2+9=0. Заметим, что члены, содержащие x в первой степени, сократились. Выполняя перенос свободных членов в правую часть и деление их на -4, получаем: x2 = 36. Откуда следуют два корня: 6 и -6.

Пример 2. 23*(x2-2)=34*x-46. Как и в первом случае, раскрываем скобки и переносим все слагаемые в левую часть. Имеем: 23*x2-46-34*x+46=0. Теперь сокращаем свободные члены и разлагаем сумму на множители, получаем: x*(23*x-34)=0. Откуда следует, что x=0 и x = 34/23≈1,47826.

Решение примеров показало, что алгоритм нахождения корней любого вида неполного уравнения второго порядка является достаточно простым, поэтому нет никакого смысла запоминать представленные на рисунках выше формулы.

Пример физической задачи

Многие школьники слышали от своего учителя физики о том, что Галилео Галилей в XVII веке проводил эксперименты по вычислению ускорения свободного падения, сбрасывая различные тела с башни в Пизе. Многим это покажется любопытным, но не существует ни одного исторического свидетельства, что такие эксперименты ученый действительно проводил. Однако в том же XVII веке их выполнил другой итальянец.

Джованни Риччоли - астроном и иезуит, который смог действительно вычислить ускорение падения свободного, сбрасывая глиняные шары с высоты башни Азинелли, находящейся в городе Болонье. Риччоли получил значение ускорения равное 9,6 м/с2 (современная величина равна 9,81 м/с2). Зная это число, необходимо определить, сколько времени глиняный шар падал на землю, учитывая, что высота башни равна 97,6 метра.

Для решения задачи необходимо вспомнить, что путь при равноускоренном движении выражается формулой: l=v0*t+g*t2/2. Поскольку в момент, когда Риччоли отпускал шар, скорость последнего была равна нулю, то член v0*t = 0. Тогда мы приходим к уравнению: 97,6 = 9,6*t2/2. Откуда получаем, что t = 4,51 секунды (отрицательный корень был сознательно отброшен).

fb.ru

Квадратные уравнения, примеры решений

Теория по квадратным уравнениям

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Квадратным уравнением называется уравнение вида , где .

Возможны такие случаи:

, тогда имеем квадратное уравнение вида и .

, тогда имеем квадратное уравнение вида , если ; если – корней нет.

, тогда имеем квадратное уравнение вида .

, тогда имеем полное квадратное уравнение , которое решается или с помощью дискриминанта:

   

Или по теореме Виета:

   

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Решить следующие неполные квадратные уравнения

   

Решение 1) В уравнении вынесем за скобки . Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, следовательно:

   

или

   

2) В уравнении перенесем свободный член вправо и раздели его на коэффициент при :

   

3) В уравнении перенесем свободный член вправо и раздели его на коэффициент при :

   

У данного квадратного уравнения нет корней.

4) уравнение равносильно уравнению , которое имеет два совпадающих корня .

Ответ

Корней нет

ПРИМЕР 2
Задание Решить квадратное уравнение
Решение Подсчитаем для заданного уравнения, чему равен дискриминант:

   

Так как , то уравнение имеет два совпадающих корня:

   

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение
Решение Вычислим дискриминант для исходного уравнения, получим:

   

Так как , данное уравнение решений не имеет.

Ответ Корней нет.
ПРИМЕР 4
Задание Решить квадратное уравнение
Решение Дискриминант заданного уравнения, равен

   

Следовательно, уравнение имеет два различных корня

   

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Решить уравнение, используя теорему Виета:
Решение Пусть и – корни квадратного уравнения, по следствию из теоремы Виета

   

Проанализируем полученные равенства. Произведение корней отрицательно, следовательно, корни имеют разные знаки. Разложим –12 на множители, учитывая, что они должны быть числами разного знака. Возможны такие варианты: –12 и 1; 12 и –1; –6 и 2; 6 и –2; –4 и 3; 4 и –3. Так как сумма корней равна 1, то корнями будут числа и .

Ответ

ru.solverbook.com