В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см найдите сторону треугольника. Равносторонний треугольник вписан в треугольник


Свойства равностороннего треугольника | Треугольники

Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.

Свойства равностороннего треугольника

 

1) Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

 

 

2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:

AK=BF=CD.

Если a — сторона треугольника, то

   

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:

AO:OK=BO:OF=CO:OD=2:1.

5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан

до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:

BO=R,

   

или

   

 

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:

OF=r,

   

или

   

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

R=2r.

9) Площадь равностороннего треугольника равна

   

периметр —

   

www.treugolniki.ru

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.

1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.

Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр вписанной окружности.

AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.

   

   

2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:

   

   

Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

   

Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

   

3) Так как формула для нахождения площади равностороннего треугольника через сторону

   

можем найти площадь через r:

   

Таким образом, формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности —

   

3) Все отрезки, на которые стороны равностороннего треугольника делятся точками касания вписанной окружности, равны половине его стороны:

   

4) Центр вписанной в правильный треугольник окружности является также центром описанной около него окружности.

5) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

   

   

www.treugolniki.ru

Треугольник равносторонний: свойства, признаки, площадь, периметр

В школьном курсе геометрии огромное количество времени уделяется изучению треугольников. Ученики вычисляют углы, строят биссектрисы и высоты, выясняют, чем фигуры отличаются друг от друга, и как проще всего найти их площадь и периметр. Кажется, что это никак не пригодится в жизни, но иногда все-таки полезно узнать, например, как определить, что треугольник равносторонний или тупоугольный. Как же это сделать?

Типы треугольников

Три точки, которые не лежат на одной прямой, и отрезки, которые их соединяют. Кажется, что эта фигура - самая простая. Какими могут быть треугольники, если у них всего три стороны? На самом деле вариантов довольно большое количество, и некоторым из них уделяется особое внимание в рамках школьного курса геометрии. Правильный треугольник - равносторонний, то есть все его углы и стороны равны. Он обладает рядом примечательных свойств, о которых речь пойдет дальше.

У равнобедренного равны только две стороны, и он также довольно интересен. У прямоугольного и тупоугольного треугольников, как несложно догадаться, соответственно, один из углов прямой или тупой. При этом они также могут равнобедренными.

Существует и особый вид треугольника, называемый египетским. Его стороны равны 3, 4 и 5 единицам. При этом он является прямоугольным. Считается, что такой треугольник активно использовался египетскими землемерами и архитекторами для построения прямых углов. Есть мнение, что с его помощью были возведены знаменитые пирамиды.

И все-таки все вершины треугольника могут лежать на одной прямой. В этом случае он будет называться вырожденным, в то время как все остальные - невырожденными. Именно они и являются одним из предметов изучения геометрии.

Треугольник равносторонний

Разумеется, правильные фигуры вызывают всегда наибольший интерес. Они кажутся более совершенными, более изящными. Формулы вычисления их характеристик зачастую проще и короче, чем для обычных фигур. Это относится и к треугольникам. Неудивительно, что при изучении геометрии им уделяется достаточно много внимания: школьников учат отличать правильные фигуры от остальных, а также рассказывают о некоторых их интересных характеристиках.

Признаки и свойства

Как нетрудно догадаться из названия, каждая сторона равностороннего треугольника равна двум другим. Кроме того, он обладает рядом признаков, благодаря которым можно определить, правильная ли фигура или нет.

  • все его углы равны, их величина составляет 60 градусов;
  • биссектрисы, высоты и медианы, проведенные из каждой вершины, совпадают;
  • правильный треугольник имеет 3 оси симметрии, он не изменяется при повороте на 120 градусов.
  • центр вписанной окружности также является центром описанной окружности и точкой пересечения медиан, биссектрис, высот и срединных перпендикуляров.

Если наблюдается хотя бы один из вышеперечисленных признаков, то треугольник - равносторонний. Для правильной фигуры справедливы все упомянутые утверждения.

Все треугольники обладают рядом примечательных свойств. Во-первых, средняя линия, то есть отрезок, делящий две стороны пополам и параллельный третьей, равна половине основания. Во-вторых, сумма всех углов этой фигуры всегда равна 180 градусам. Кроме того, в треугольниках наблюдается еще одна любопытная взаимосвязь. Так, против большей стороны лежит больший угол и наоборот. Но это, конечно, к равностороннему треугольнику отношения не имеет, ведь у него все углы равны.

Вписанные и описанные окружности

Нередко в курсе геометрии учащиеся также изучают то, как фигуры могут взаимодействовать друг с другом. В частности, изучаются окружности, вписанные в многоугольники или описанные около них. О чем идет речь?

Вписанной называют такую окружность, для которой все стороны многоугольника являются касательными. Описанной - ту, которая имеет точки соприкосновения со всеми углами. Для каждого треугольника всегда можно построить как первую, так и вторую окружность, но только одну каждого вида. Доказательства двух этих теорем приводятся в школьном курсе геометрии.

Помимо вычисления параметров самих треугольников, некоторые задачи также подразумевают расчет радиусов этих окружностей. И формулы применительно к равностороннему треугольнику выглядят следующим образом:

r = a/√ ̅3;

R = a/2√ ̅3;

где r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности, a - длина стороны треугольника.

Вычисление высоты, периметра и площади

Основные параметры, вычислением которых занимаются школьники во время изучения геометрии, остаются неизменными практически для любых фигур. Это периметр, площадь и высота. Для простоты расчетов существуют различные формулы.

Так, периметр, то есть длина всех сторон, вычисляется следующими способами:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, где a - сторона правильного треугольника, R - радиус описанной окружности, r - вписанной.

Высота:

h = (√ ̅3/2)*a, где a - длина стороны.

Наконец, формула площади равностороннего треугольника выводится из стандартной, то есть произведения половины основания на его высоту.

S = (√ ̅3/4)*a2, где a - длина стороны.

Также эта величина может быть вычислена через параметры описанной или вписанной окружности. Для этого также существуют специальные формулы:

S = 3√ ̅3r2 = (3√ ̅3/4)*R2, где r и R - соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей.

Построение

Еще один интересный тип задач, касающийся в том числе и треугольников, связан с необходимостью начертить ту или иную фигуру, используя минимальный набор инструментов: циркуль и линейку без делений.

Для того чтобы построить правильный треугольник с помощью только этих приспособлений, необходимо выполнить несколько шагов.

  1. Нужно начертить окружность с любым радиусом и с центром в произвольно взятой точке А. Ее необходимо отметить.
  2. Далее нужно провести прямую через эту точку.
  3. Пересечения окружности и прямой необходимо обозначить как В и С. Все построения должны проводиться с максимально возможной точностью.
  4. Далее надо построить еще одну окружность с тем же радиусом и центром в точке С или дугу с соответствующими параметрами. Места пересечения будут обозначены как D и F.
  5. Точки B, F, D необходимо соединить отрезками. Равносторонний треугольник построен.

Решение подобных задач обычно представляет для школьников проблему, но это умение может пригодиться и в обычной жизни.

fb.ru

Как вписать равносторонний треугольник в окружность

  • Политика
  • Экономика
    • Недвижимость
    • Транспорт
    • Финансы
    • Энергетика
  • Происшествия
  • Cпорт
    • Единоборства
    • Новости автоспорта
    • Новости баскетбола
    • Новости Тенниса
    • Новости футбола России и Европы
    • Хоккей
  • Шоу-бизнес

Поиск

Топ100 последних новостей
  • Политика

www.chsvu.ru

равносторонний треугольник с высотой (h), вписан в окружность. Найти площадь круга.

Условие задачи:

Равносторонний треугольник у которого высота равна 3 м, вписан в окружность. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Дано:Высота треугольника, h = 3 м

Пояснение к рисунку:O - центр окружностиR - радиус описанной окружности

Найти площадь круга: S

Решение

Используем формулу площади круга через радиус. Но пока он нам не известен, его надо найти.

Определить радиус, нам поможет следующая формула. В ней он выражен через высоту вписанного треугольника, которую мы знаем.

Подставим радиус выраженный через высоту и преобразовав, получим следующие выражение.

Подставим значения.

Результат получился приблизительным, потому что число π нельзя выразить точно, оно имеет бесконечное количество знаков после запятой. В данном случаи, мы взяли  π ≈ 3.14

Ответ:

 

Калькулятор для расчета площади круга

 

www-formula.ru

В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см найдите сторону треугольника

треугольника. Неравенство треугольника. Будем говорить, что данные компоненты (стороны, углы и др.) определяют фигуру однозначно, если другая фигура с такими же компонентами обязательно равна исходной. Например, для треугольника две стороны и угол между ними, сторона и два прилежащих к.

В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см найдите сторону треугольника

В равностороннем треугольнике вписанная окружность радиус 4см найдите сторону треугольника

    Попроси больше объяснений Следить Отметить нарушение

8adik 27.04.2012

Ответы и объяснения

    vica28 середнячок

Сушествует такая формула: r=a / 2 √ 3

Где r — это радиус вписнной окружности в треугольник, а — это сторона равностороннего треугольника

    Комментарии Отметить нарушение

Пусть треугольник АВС с инцентром О (инцентр — центр вписанной окружности) имеет р=4 см, где р — радиус вписанной окружности. Проведём ВО до пересечения с АС. Получим точку Д. ВО — биссектриса, т. к. О — инцентр, а значит и медиана, и высота. АО — тоже биссектриса. Теперь рассмотрим тр. АВД. АВ/АД=АВ/(АС/2)=2/1. Значит, АО (по свойству биссектрисы) делит ВД в отношении 2/1. Отсюда ВД/ДО=3/1. ДО=р, значит ВД=12 см. Формула высоты правильного треугольника — Акор(3)/2, где А — сторона треугольника, кор(3)*кор(3)=3. Значит, сторона треугольника выражается через сторону так: 2Н/кор(3), где Н — высота равностороннего треугольника. Значит, сторона треугольника равна 2*12/кор(3)=8кор(3).

В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см найдите сторону треугольника

В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см найдите сторону треугольника

В равностороннем треугольнике вписанная окружность радиус 4см найдите сторону треугольника

    Попроси больше объяснений Следить Отметить нарушение

8adik 27.04.2012

Ответы и объяснения

    vica28 середнячок

Сушествует такая формула: r=a / 2 √ 3

Где r — это радиус вписнной окружности в треугольник, а — это сторона равностороннего треугольника

    Комментарии Отметить нарушение

Пусть треугольник АВС с инцентром О (инцентр — центр вписанной окружности) имеет р=4 см, где р — радиус вписанной окружности. Проведём ВО до пересечения с АС. Получим точку Д. ВО — биссектриса, т. к. О — инцентр, а значит и медиана, и высота. АО — тоже биссектриса. Теперь рассмотрим тр. АВД. АВ/АД=АВ/(АС/2)=2/1. Значит, АО (по свойству биссектрисы) делит ВД в отношении 2/1. Отсюда ВД/ДО=3/1. ДО=р, значит ВД=12 см. Формула высоты правильного треугольника — Акор(3)/2, где А — сторона треугольника, кор(3)*кор(3)=3. Значит, сторона треугольника выражается через сторону так: 2Н/кор(3), где Н — высота равностороннего треугольника. Значит, сторона треугольника равна 2*12/кор(3)=8кор(3).

В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см найдите сторону треугольника

В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см найдите сторону треугольника

Регистрация новых пользователей временно отключена

В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см найдите сторону треугольника

Ответ оставил Гость

Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения биссектрис.

В правильном треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами.

Значит, высоты здесь еще и срединные перпендикуляры, точка пересечения которых — центр описанной окружности.

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Так как биссектрисы=медианы, и пересекаются они в одной точке, Эта точка по свойству медиан делит медиану ( высоту) в отношении 2:1, считая от вершины угла.

Вся Высота равностороннего треугольника, следовательно, в 3 раза больше радиуса вписанной в него окружности.

Из формулы высоты равностороннего треугольника

Если тебя не устраивает ответ или его нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету Геометрия.

poiskvstavropole.ru

равносторонний треугольник вписан в окружность. Дан отрезок ОК. Найти площадь круга.

Условие задачи:

Равносторонний треугольник вписан в окружность. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью, если известно, что длина отрезка ОК равна 2 м.

Дано:Отрезок, ОК = 2 м

Пояснение к рисунку:O - центр окружностиR - радиус описанной окружностиh - высота треугольника

Найти площадь круга: S

Решение

Используем формулу площади круга через радиус. Но пока он нам не известен, его надо найти.

Определить радиус, нам поможет следующая формула. В ней он выражен через высоту вписанного треугольника, которую мы тоже пока не знаем.

Но очевидно, что высота равна сумме радиуса и отрезка ОК.

И уже на основании двух последних формул, подставим вместо высоты - сумму радиуса и отрезка ОК и преобразуем.

И на конец, получаем радиус окружности, выраженный через отрезок ОК.

Теперь, вместо радиуса подставляем выражение которое мы вывели. В результате получаем формулу искомой площади круга через длину отрезка ОК.

Вставляем значения.

Результат получился приблизительным, потому что число π нельзя выразить точно, оно имеет бесконечное количество знаков после запятой. В данном случаи, мы взяли  π ≈ 3.14

Ответ:

 

Калькулятор для расчета площади круга

 

www-formula.ru