Как определить расстояние между двумя точками, заданными координатами GPS? Расстояние между координатами точек


формулы, примеры, решения, формула расстояния между двумя точками

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Определение 1

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Расстояние между точками на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отр

www.zaochnik.com

Расстояние между двумя координатами сквозь Землю

Если вы хотите узнать кратчайшее расстояние между двумя точками земной поверхности, вы должны использовать ортодромию. На этом сайте уже есть два калькулятора для этого: один, использующий формулу гаверсинусов, и второй, использующий формулу Винсенти.

Однако, что если вам надо узнать расстояние между двумя точками напрямую, "сквозь Землю", а не по поверхности? В принципе, эта задача решается достаточно просто, за исключением пары тонких моментов. Калькулятор ниже рассчитывает расстояние между двумя точками сквозь Землю, а вывод формулы расчета вы можете найти под калькулятором.

Широта первой точкиДолгота первой точкиШирота второй точкиДолгота второй точкиТочность вычисления

Знаков после запятой: 3

Расстояние, км

 

Сохранить share extension

Расстояние сквозь Землю

Итак у нас есть две точки на земной поверхности, заданные широтой и долготой, и мы хотим знать расстояние между ними напрямую, сквозь Землю. Технически, широта и долгота представляют собой часть сферических координат в трехмерном пространстве, а именно: радиус - это радиус Земли, угол наклонения -это широта, и азимут - это долгота. Если мы преобразуем сферические координаты в декартовы координаты x, y, z, мы сможем с легкостью найти расстояние напрямую между этими точками, используя формулу Евклидова расстояния:

Определимся с нашей декартовой системой координат. Начальной точкой будет центр Земли, ось x будет указывать на точку пересечения нулевого меридиана с плоскостью экватора, ось y будет указывать на точку пересечения меридиана 90 градусов западной долготы с плоскостью экватора, а ось z будет указывать строго на север.

Декартова система координат

это долгота, это широта.

Для преобразования сферических координат к декартовым используем следующие формулы:

Теперь пара тонких моментов, которые возникают из-за того факта, что геодезия приближенно представляет форму Земли в виде сплющенного сфероида, или эллипсоида вращения. Поэтому, когда мы говорим о координатах, мы на самом деле говорим о координатах на поверхности референц-эллипсоида используемого в конкретной системе координат, в нашем случае это WGS 84. И рассчитанное расстояние, соответственно, будет расстоянием между двумя точками на поверхности референц-эллипсоида.

Это приводит к необходимости учета следующих факторов:

  • Радиус Земли (радиус эллипсоида) не является постоянной величиной, и зависит от широты рассматриваемой точки. Таким образом мы должны рассчитать значение радиуса для каждой точки отдельно. Это можно сделать используя алгоритм, описанный здесь.

  • широта указанная в WGS 84 - это геодезическая широта, которая определяется углом между плоскостью экватора и нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке, в отличие от геоцентрической широты, которая определяется углом между экваториальной плоскостью и центром эллипсоида. Так как в нашей декартовой системе координат начало координат находится в центре Земли, мы должны перейти от геодезических координат к геоцентрическим для обеих точек.

Калькулятор учитывает эти факторы, используя следующие формулы для преобразования широты и радиуса:,где - геоцентрическая широта, - геодезическая широта, - большая полуось референц-эллипсоида, - малая полуось референц-эллипсоида.

Итак, подводя итог, можно сказать, что для того, чтобы рассчитать растояние напрямую между двумя точками по заданным координатам, надо сделать следующее:

  • Рассчитать значение радиуса Земли в каждой точке в зависимости от широты
  • Рассчитать геоцентрическую широту в каждой точке
  • Перейти от сферических координат к декартовым используя долготу, рассчитанный радиус и рассчитанную геоцентрическую широту.
  • Рассчитать расстояние используя формулу Евклидова расстояния

planetcalc.ru

Формула расстояния между точками | Треугольники

Формула для нахождения расстояния между двумя точками A(x1;x2) B(x2;y2) на плоскости:

   

Доказательство:

Сначала рассмотрим частные случаи.

1) Если y1=y2,

то

   

 

К этой же формуле придём, если подставим координаты точек A и B в общую формулу:

   

2) Аналогично, если x1=x2:

   

Эту же формулу получим, подставив координаты A и B в общую формулу:

   

3) Если x1=x2 и y1=y2, AB=0. Формула для этого случая также верна.

4) Если x1≠x2, y1≠y2.

Проведём через точки A и B прямые, перпендикулярные координатным осям. Обозначим точку пересечения этих прямых через C.

Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора

   

Поскольку

   

   

или

   

Отсюда

   

Что и требовалось доказать.

www.treugolniki.ru

Как Определить Расстояние Между Двумя Точками, Заданными Координатами Gps?

Если есть под рукой карта Google, то расстояние между двумя точками с заданными координатами можно определить с помощью инструмента Линейка. Если этот инструмент не включен, его необходимо включить в Лаборатории карт (в левом нижнем углу). Координаты можно нанести на карту либо через окно Поиск, либо через задание Маршрута.

Кратчайшим расстоянием между двумя точками на сфере является длина дуги большого круга (круга, проходящего через эти две точки и центр сферы). Эта дуга называется ортодромией (имеется в виду наименьшая из двух дуг большого круга). Кратчайшее расстояние или длина ортодромии определяется формулой: L = R x Y где R – радиус сферы, Y – центральный угол в радианах. или L = пR x A/180 град. где A - центральный угол в градусах (п - "пи"). Пусть x1, y1 и x2, y2 - широта и долгота двух точек. Тогда центральный угол будет определяться сферическим законом косинусов: Y = arccos(sin x1 sin x2 + cos x1 cos x2 cos (y2 - y1)) Следует заметить, что при вычислениях с невысокой точностью (а тем более на калькуляторе) по этой формуле особенно при небольших расстояниях между точками, точность результата будет весьма невысока, поскольку центральный угол будет 0,99999999. (На 64-разрядных компьютерах точность может достигать нескольких метров на километр.) Поэтому для практических целей применялись другие формулы с использованием синус-верзусов (обращенных синусов), которые сыграли важную роль в навигации. В следующей формуле использован haversine (haversin, гаверсинус) - квадрат синуса половинного угла. где переменные: кратчайшее расстояние, радиус сферы, широта и долгота точек соответственно. Формула гаверсинусов хорошо работает при сравнительно небольших расстояниях, но имеет проблему для антиподов. Формула через арктангенс устраняет эту проблему. Центральный угол равен: Для расчета расстояния между двумя точками по GPS-координатам можно написать несложную программу. Вот тут можно "поиграть" с программкой на JavaScript. Для координат, приведенных в вопросе: L = 751 м. (эта цифра неплохо сходится с результатом, полученным Линейкой в картах Google). Скрипты: JavaScript, Python

otvet.expert

Как определить расстояние между двумя точками, заданными координатами GPS?

Если есть под рукой карта Google, то расстояние между двумя точками с заданными координатами можно определить с помощью инструмента Линейка.

Если этот инструмент не включен, его необходимо включить в Лаборатории карт (в левом нижнем углу).

Координаты можно нанести на карту либо через окно Поиск, либо через задание Маршрута.

Кратчайшим расстоянием между двумя точками на сфере является длина дуги большого круга (круга, проходящего через эти две точки и центр сферы). Эта дуга называется ортодромией (имеется в виду наименьшая из двух дуг большого круга).

Кратчайшее расстояние или длина ортодромии определяется формулой:

L = R x Y

где R радиус сферы,

Y центральный угол в радианах.

или

L = пR x A/180 град.

где A - центральный угол в градусах (п - quot;пиquot;).

Пусть x1, y1 и x2, y2 - широта и долгота двух точек. Тогда центральный угол будет определяться сферическим законом косинусов:

Y = arccos(sin x1 sin x2 + cos x1 cos x2 cos (y2 - y1))

Следует заметить, что при вычислениях с невысокой точностью (а тем более на калькуляторе) по этой формуле особенно при небольших расстояниях между точками, точность результата будет весьма невысока, поскольку центральный угол будет 0,99999999. (На 64-разрядных компьютерах точность может достигать нескольких метров на километр.)

Поэтому для практических целей применялись другие формулы с использованием синус-верзусов (обращенных синусов), которые сыграли важную роль в навигации.

В следующей формуле использован haversine (haversin, гаверсинус) - квадрат синуса половинного угла.

где переменные: кратчайшее расстояние, радиус сферы, широта и долгота точек соответственно.

Формула гаверсинусов хорошо работает при сравнительно небольших расстояниях, но имеет проблему для антиподов. Формула через арктангенс устраняет эту проблему. Центральный угол равен:

Для расчета расстояния между двумя точками по GPS-координатам можно написать несложную программу. Вот тут можно quot;поигратьquot; с программкой на JavaScript.

Для координат, приведенных в вопросе: L = 751 м. (эта цифра неплохо сходится с результатом, полученным Линейкой в картах Google).

Скрипты: JavaScript, Python

info-4all.ru