§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка. Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду онлайн


§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

причем предполагается, что среди чисел есть хотя бы одно ненулевое.

Существует система координат (называемая канонической), в которой уравнение кривой второго порядка имеет вид, приведенный в таблице (канонический вид).

эллипс

гипербола

парабола

мнимый эллипс (эта “кривая” не имеет действительных точек)

на действительной плоскости “кривая” имеет лишь одну точку

две пересекающиеся прямые

две параллельные прямые

две совпадающие прямые

две мнимые параллельные прямые (“кривая” не имеет ни одной действительной точки)

Задача 1. Изобразить кривую, найти ее характеристики:

Р

ешение. Надо привести это уравнение к каноническому виду. Выделим полные квадраты по и поСледовательно, данная кривая является эллипсом. Его центр:Полуоси:Для нахождения координат фокусов находим параметр(половину расстояния между фокусами):Отсюда получаем фокусы:Эксцентриситет:

Задача 2. Составить уравнение гиперболы с асимптотами касающейся оси

Р

ешение. Уравнения асимптот гиперболы с центром имеют видСледовательно, центр гиперболы имеет координаты

и Нарисуем гиперболу, учитывая, что она касается оси абсцисс.

Из рисунка видно, что Так кактоТак как действительная ось гиперболы параллельна осито в правой части уравнения будетвместоОтсюда получаем уравнение:

Задача 3. Найти площадь области, ограниченной кривой

Решение. В случае, когда коэффициенты при иравны друг другу, то поворотом системы координат на угол вможно избавиться от произведенияв уравнении кривой. Напишем формулы поворота на угол

(здесь – координаты точки в исходной системе координат, а– координаты той же точки в системе координат, повернутой на угол. Приполучаем прямые и обратные формулы:

Подставим обратные формулы в уравнение кривой:

Следовательно, . Отсюда

)

Рис. 5.30

. Рисуем оси эллипса, находим отрезкии(его полуоси). Далее строим отрезок(рис. 5.34) и фокусыэллипса.

Задача 4. Установить, что уравнение

определяет эллипс, найти его центр и полуоси.

Решение. Преобразуем это уравнение:

, или

, или

.

Положим и уравнение примет видЭто уравнение эллипса с полуосямии.

Задача 5. Установить, что уравнение определяет гиперболу, найти ее центр и полуоси.

Подберём угол , после поворота на который уравнение кривой не будет содержать произведения переменныхи. Подставим формулы поворота в заданное уравнение, которое лучше переписать в виде:

,

,

.

Найдём такой угол , чтобы в последнем уравнении не содержалось слагаемое. Достаточно положить,, то есть,.

Тогда преобразование примет вид

- поворот против часовой стрелки вокруг точки , а уравнение кривой (5.28) в новой системе координат:

- это уравнение гиперболы с полуосями и центром в точке (рис. 5.16).

studfiles.net

Определить вид кривой 2-го порядка онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Приведём примеры кривых второго порядка, для которых можно определить канонический вид онлайн:

Кривая

Уравнение Канонический вид Тип Измерение
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0 x^2=1 Две параллельные прямые Кривая
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0 y^2=4*sqrt(2)*x Парабола Линия
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0 x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0 Вырожденный эллипс Линия
5*x^2+ 4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0 x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1 Эллипс

Ислледование на определение вида кривой будет выглядеть примерно так:

Имеется два способа: Прямой метод и метод инвариантов:

Дано ур-ние кривой 2-порядка: $$5 x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$ где $$a_{11} = 5$$ $$a_{12} = 2$$ $$a_{13} = 4$$ $$a_{22} = 8$$ $$a_{23} = 7$$ $$a_{33} = 5$$ Вычислим определитель $$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$ или, подставляем $$\Delta = \left|\begin{matrix}5 & 2\\2 & 8\end{matrix}\right|$$ $$\Delta = 36$$ Т.к. $$\Delta$$ не равен 0, то находим центр канонической системы координат. Для решаем систему уравнений $$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$ $$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$ подставляем коэффициенты $$5 x_{0} + 2 y_{0} + 4 = 0$$ $$2 x_{0} + 8 y_{0} + 7 = 0$$ тогда $$x_{0} = - \frac{1}{2}$$ $$y_{0} = - \frac{3}{4}$$ Тем самым мы перешли к уравнению в системе координат O'x'y' $$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$ где $$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$ или $$a'_{33} = 4 x_{0} + 7 y_{0} + 5$$ $$a'_{33} = - \frac{9}{4}$$ тогда ур-ние превратится в $$5 x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ Делаем поворот системы полученной координат на угол φ $$x' = \tilde x \cos{\left (\phi \right )} - \tilde y \sin{\left (\phi \right )}$$ $$y' = \tilde x \sin{\left (\phi \right )} + \tilde y \cos{\left (\phi \right )}$$ φ - определяется из формулы $$\cot{\left (2 \phi \right )} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$ подставляем коэффициенты $$\cot{\left (2 \phi \right )} = - \frac{3}{4}$$ тогда $$\phi = - \frac{1}{2} \operatorname{acot}{\left (\frac{3}{4} \right )}$$ $$\sin{\left (2 \phi \right )} = - \frac{4}{5}$$ $$\cos{\left (2 \phi \right )} = \frac{3}{5}$$ $$\cos{\left (\phi \right )} = \sqrt{\frac{1}{2} \cos{\left (2 \phi \right )} + \frac{1}{2}}$$ $$\sin{\left (\phi \right )} = \sqrt{- \cos^{2}{\left (\phi \right )} + 1}$$ $$\cos{\left (\phi \right )} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$ $$\sin{\left (\phi \right )} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$$ подставляем коэффициенты $$x' = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}$$ $$y' = - \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y$$ тогда ур-ние превратится из $$5 x'^{2} + 4 x' y' + 8 y'^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ в $$8 \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right)^{2} + 4 \left(- \frac{\tilde x}{5} \sqrt{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde y\right) \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right) + 5 \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \tilde x + \frac{\tilde y}{5} \sqrt{5}\right)^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ упрощаем $$4 \tilde x^{2} + 9 \tilde y^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ Данное уравнение является эллипсом $$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = 1$$ - приведено к каноническому виду. Центр канонической системы координат в точке O:

(-1/2, -3/4)

Базис канонической системы координат $$\vec e_1 = \left ( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \quad - \frac{\sqrt{5}}{5}\right )$$ $$\vec e_2 = \left ( \frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right )$$

Метод инвариантов

Дано ур-ние линии 2-порядка: $$5 x^{2} + 4 x y + 8 x + 8 y^{2} + 14 y + 5 = 0$$ Это уравнение имеет вид: $$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$ где $$a_{11} = 5$$ $$a_{12} = 2$$ $$a_{13} = 4$$ $$a_{22} = 8$$ $$a_{23} = 7$$ $$a_{33} = 5$$ Инвариантами данного уравнения при преобразовании координат являются определители: $$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$

|a11 a12| I2 = | | |a12 a22|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$

|a11 a13| |a22 a23| K2 = | | + | | |a13 a33| |a23 a33|

подставляем коэффициенты $$I_{1} = 13$$

|5 2| I2 = | | |2 8|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}5 & 2 & 4\\2 & 8 & 7\\4 & 7 & 5\end{matrix}\right|$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \left|\begin{matrix}- \lambda + 5 & 2\\2 & - \lambda + 8\end{matrix}\right|$$

|5 4| |8 7| K2 = | | + | | |4 5| |7 5|

$$I_{1} = 13$$ $$I_{2} = 36$$ $$I_{3} = -81$$ $$I{\left (\lambda \right )} = \lambda^{2} - 13 \lambda + 36$$ $$K_{2} = 0$$ Т.к. $$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$ то по признаку типов линий: данное уравнение имеет тип : эллипс. Составляем характеристическое уравнение для нашей линии: $$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$ или $$\lambda^{2} - 13 \lambda + 36 = 0$$ $$\lambda_{1} = 9$$ $$\lambda_{2} = 4$$ тогда канонический вид уравнения будет $$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$ или $$9 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - \frac{9}{4} = 0$$ $$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} = 1$$ - приведено к каноническому виду.

www.kontrolnaya-rabota.ru

4.4. Приведение к каноническому виду уравнения кривой 2-го порядка

Общее уравнение кривой 2-го порядка:

(23)

Уравнение (23) можно представить в виде , где – квадратичная форма уравнения кривой, а – линейная функция.

Приведение уравнения кривой (23) к каноническому виду начинается с приведения к каноническому виду соответствующей квадратичной формы . Её матрица Из характеристического уравнения находятся собственные значения и матрицы , при этом , так как . Затем находят соответствующие собственные векторы, которые после нормировки образуют ОНБ .

В новом базисе квадратичная форма примет канонический вид:

. (24)

Переход от ОНБ к ОНБ описывается матрицей , в столбцах которой находятся координаты векторов ОНБ . Связь между координатами и определяется из уравнения т. е.

. (25)

Подставляя зависимости (25) в линейную функцию получим:

Тогда уравнение (23) примет вид:

(26)

Выделяя в (26) полные квадраты, получим каноническое уравнение одной из кривых 2-го порядка. О какой кривой идет речь, можно определить сразу по матрице квадратичной формы. Если , то линия, задаваемая уравнением (23), Эллиптического типа, если – Гиперболического, если – Параболического типа.

Пример 20. Определить тип кривой 2-го порядка и построить её:

Решение. Уравнение кривой представим в виде Где – квадратичная форма, – линейная функция.

Квадратичная форма, соответствующая заданной кривой, Её матрица .

Так как , то кривая параболического типа. Составим характеристическое уравнение и найдём собственные значения матрицы :

Собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям:

Построим ОНБ из собственных векторов:

Матрица перехода Выполним проверку соответствия ориентации ОНБ ориентации ОНБ : , значит, ориентация совпадает. В этом базисе .

Так как то Подставляя эти разложения в линейную часть кривой, получим:

Тогда уравнение кривой примет вид или т. е. где Заданная кривая изображена на рисунке 1.

Рисунок 1

Пример 21. Привести уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду и определить тип кривой:

Решение. Уравнение кривой представим в виде Где – квадратичная форма, – линейная функция.

В нашем случае , её матрица .

Определим тип кривой. Для этого вычислим Так как То заданная кривая эллиптического типа.

Приведем квадратичную форму к каноническому виду. Для нахождения собственных значений матрицы составим характеристическое уравнение: Т. е. , тогда .

Теперь найдём соответствующие им собственные векторы:

Построим ОНБ: , тогда матрица перехода от ОНБ к ОНБ имеет вид: Так как значит, ориентация ОНБ соответствует ориентации ОНБ .

Матрица заданной квадратичной формы в базисе имеет вид: , а сама квадратичная форма: .

Напомним, что матрица может быть получена в результате преобразования подобия: , где – матрица перехода к новому ОНБ. Координаты и связаны между собой соотношением: т. е. .

Преобразуем линейную часть уравнения кривой:

Теперь можно записать уравнение кривой в координатах :

Таким образом, выполнен первый шаг в преобразовании кривой к каноническому виду, в результате которого в исходном уравнении кривой исчезло слагаемое, содержащее произведение координат и .

Выделим полные квадраты: или . Если то каноническое уравнение заданной кривой 2-го порядка примет вид и задаёт эллипс с полуосями Кривая изображена на рисунке 2.

Рисунок 2

Литература: [3, 6, 7, 15].

< Предыдущая Следующая >
 

matica.org.ua

§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

причем предполагается, что среди чисел есть хотя бы одно ненулевое.

Существует система координат (называемая канонической), в которой уравнение кривой второго порядка имеет вид, приведенный в таблице (канонический вид).

эллипс

гипербола

парабола

мнимый эллипс (эта “кривая” не имеет действительных точек)

на действительной плоскости “кривая” имеет лишь одну точку

две пересекающиеся прямые

две параллельные прямые

две совпадающие прямые

две мнимые параллельные прямые (“кривая” не имеет ни одной действительной точки)

Задача 1. Изобразить кривую, найти ее характеристики:

Р

ешение. Надо привести это уравнение к каноническому виду. Выделим полные квадраты по и поСледовательно, данная кривая является эллипсом. Его центр:Полуоси:Для нахождения координат фокусов находим параметр(половину расстояния между фокусами):Отсюда получаем фокусы:Эксцентриситет:

Задача 2. Составить уравнение гиперболы с асимптотами касающейся оси

Р

ешение. Уравнения асимптот гиперболы с центром имеют видСледовательно, центр гиперболы имеет координаты

и Нарисуем гиперболу, учитывая, что она касается оси абсцисс.

Из рисунка видно, что Так кактоТак как действительная ось гиперболы параллельна осито в правой части уравнения будетвместоОтсюда получаем уравнение:

Задача 3. Найти площадь области, ограниченной кривой

Решение. В случае, когда коэффициенты при иравны друг другу, то поворотом системы координат на угол вможно избавиться от произведенияв уравнении кривой. Напишем формулы поворота на угол

(здесь – координаты точки в исходной системе координат, а– координаты той же точки в системе координат, повернутой на угол. Приполучаем прямые и обратные формулы:

Подставим обратные формулы в уравнение кривой:

Следовательно, . Отсюда

)

Рис. 5.30

. Рисуем оси эллипса, находим отрезкии(его полуоси). Далее строим отрезок(рис. 5.34) и фокусыэллипса.

Задача 4. Установить, что уравнение

определяет эллипс, найти его центр и полуоси.

Решение. Преобразуем это уравнение:

, или

, или

.

Положим и уравнение примет видЭто уравнение эллипса с полуосямии.

Задача 5. Установить, что уравнение определяет гиперболу, найти ее центр и полуоси.

Подберём угол , после поворота на который уравнение кривой не будет содержать произведения переменныхи. Подставим формулы поворота в заданное уравнение, которое лучше переписать в виде:

,

,

.

Найдём такой угол , чтобы в последнем уравнении не содержалось слагаемое. Достаточно положить,, то есть,.

Тогда преобразование примет вид

- поворот против часовой стрелки вокруг точки , а уравнение кривой (5.28) в новой системе координат:

- это уравнение гиперболы с полуосями и центром в точке (рис. 5.16).

studfiles.net

4.3.7 Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Уравнение второго порядка вида

определяет на плоскости кривую. Группа членов называется квадратичной формой, – линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы.

Матрица называется матрицей квадратичной формы. Здесь . Чтобы матрицу привести к диагональному виду, необходимо за базис взять собственные векторы этой матрицы, тогда , где и – собственные числа матрицы .

В базисе из собственных векторов матрицы квадратичная форма будет иметь канонический вид: .

Эта операция соответствует повороту осей координат. Затем производится сдвиг начала координат, избавляясь тем самым от линейной формы.

Канонический вид кривой второго порядка: , причем:

А) если – эллипс, в частности, при это окружность;

Б) если имеем гиперболу;

В) если либо , то кривая является параболой и после поворота осей координат имеет вид (здесь ). Дополняя до полного квадрата, будем иметь: .

Пример 14. Дано уравнение кривой

в системе координат , где и .

1. Определить тип кривой.

2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.

3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:

; . Вид квадратичной формы: .

Исходное уравнение определяет гиперболу.

Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать , однако тип кривой остался тот же – гипербола.

Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы . .

Собственный вектор, отвечающий числу при : .

В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора .

Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу , находим из системы

.

; .

Итак, имеем новый ортонормированный базис .

По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:

или

; . (*)

Вносим выражения и в исходное уравнение и, после преобразований, получаем: .

Выделяем полные квадраты: .

Проводим параллельный перенос осей координат в новое начало: , .

Если внести эти соотношения в (*) и разрешить эти равенства относительно и , то получим: , . В системе координат данное уравнение имеет вид: .

Для построения кривой строим в старой системе координат новую: ось задается в старой системе координат уравнением , а ось уравнением . Начало новой системы координат является точкой пересечения этих прямых.

Для упрощения восприятия разобьем процесс построения графика на 2 этапа:

1. Переход к системе координат с осями , заданными в старой системе координат уравнениями и Соответственно.

2. Построение в полученной системе координат графика функции.

Окончательный вариант графика выглядит следующим образом

Аналогично можно упростить, то есть привести к каноническому виду, поверхность второго порядка.

Для самостоятельной работы.

1. Оператор в пространстве действует по закону .

А) Доказать, что вектор является собственным вектором оператора . Найти его собственное число.

Б) Привести матрицу оператора к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найти этот базис и соответствующую ему матрицу.

Ответ: ; ; .

2. Доказать, что матрица к диагональному виду не приводится.

3. Даны уравнения кривых:

А) ;

Б) ;

В) .

Определить тип кривых; кривую а) построить.

Ответ: а) эллипс; б) парабола; в) гипербола.

< Предыдущая Следующая >
 

matica.org.ua

АГ. Приведение уравнения алгебраической линии второго порядка к каноническому виду

Теоретический минимум

Алгебраические линии второго порядка достаточно часто встречаются в математике и физике, поэтому их исследование представляет собой важнуюзадачу. К счастью, это исследование несложно провести в наиболее общем виде до конца. В частности можно показать, что общее уравнениеприводится двумя преобразованиями к значительному более простому - каноническому виду. Эти преобразования допускают геометрическую интерпретацию.Уравнение (1) определяет кривую одного из трёх типов (вырожденные случаи упомянем ниже отдельно): эллипс, гиперболу или параболу. Эти кривые обычнорасположены по отношению к осям координат "неудачно". Смысл преобразований, приводящих уравнение кривой к каноническому виду, заключается впереходе к системе координат, по отношению к которой кривая будет расположена так, как показано на рис. 1 а, б, в. Обратите внимание: эллипс и гипербола имеютцентр симметрии, и начало координат совмещено с ним. Также следует отметить, что большая ось эллипса расположена вдоль оси абсцисс, а мнимая ось гиперболы -вдоль оси ординат. У параболы вершина совмещена с началом координат, а ветви направлены вправо. Случаям рис. 1 а, б, в соответствуют уравненияИменно к такой форме и нужно приводить уравнение кривой второго порядка: в этом случае понятно расположение кривой на координатной плоскости, и легкоопределяются её основные характеристики.

Возможны два типа преобразований системы координат : параллельный перенос(начало координат переносится в точку ) и поворот на угол (против часовой стрелки)Параллельный перенос может исключить слагаемые, пропорциональные и ; поворот исключает слагаемое, пропорциональное .

Перед тем как начинать преобразовывать уравнение, следует вычислить т.н. малый дискриминант . Он позволяет определить тип кривой: соответствует эллипсу, соответствует гиперболе, соответствует параболе (опять-такивозможны случаи вырождения). Если , то первое действие - перенос начала координат в центр симметрии кривой. Выполняем преобразование (2) и требуем обращения в нуль линейных слагаемых по переменным и . Второе действие - поворот, после которогоисчезнет слагаемое, пропорциональное .

Если , то у кривой нет центра симметрии. Поэтому сначала выполняется поворот, убирающий слагаемое, пропорциональное .Затем выполняется сдвиг, с помощью которого вершина параболы совмещается с началом координат.

Наконец, упомянем о вырожденных случаях. Эллипс может выродиться в точку или вовсе стать мнимым. Гипербола может выродиться в две пересекающиеся прямые .Парабола может выродиться в две параллельные прямые , одну прямую или две мнимые прямые ().

Заметим, что несложно вывести формулы, с помощью которых можно сразу по уравнению (1) указать преобразование координат, приводящее этоуравнение к каноническому виду и сам этот вид. Однако запоминать эти формулы сложно да и не нужно: все преобразования исключительно просты.Также существуют и другие характерные числа, роль которых подобна роли малого дискриминанта (большой дискриминант, полуинварианты) -они позволяют, не проводя преобразований, указать не только тип кривой, но и отделить вырожденные случаи. Кроме того, через них выражаютсякоэффициенты уравнения кривой в канонической форме. Эти формулы здесь также не обсуждаются.

Рассмотрим несколько примеров. Задание - привести уравнение к каноническому виду.

Примеры.

Пример 1. Случай центральной кривой.

Здесь , т.е. уравнение описывает кривую гиперболического типа. Это значит, что нужно начинать с параллельногопереноса системы координат. Применяя замену (2), получаем.Требуем, чтобы коэффициенты при линейных слагаемых обратились в нуль:Уравнение принимает вид.Теперь выполняем поворот (3):.Требуем обращения в нуль коэффициента при слагаемом, пропорциональном :.Мы выбрали один угол поворота, хотя их существует целое семейство. Уравнение принимает видили.Уже понятно, что это уравнение гиперболы, но в каноническом виде справа должна быть, строго говоря, единица. Поэтому нужно повернутьсистему координат ещё на угол - переменные поменяются местами и уравнение примет канонический вид.На рис. 2 изображена гипербола в исходной системе координат, и изображены оси координат, в которых уравнение гиперболы имеетканонический вид.

Пример 2. Случай нецентральной кривой: случай преобразования сводящегося к повороту.

Здесь , т.е. уравнение описывает кривую параболического типа. Это значит, что нужно начинать с поворота системы координат. Применяя замену (3), получаем.Требуем обращения в нуль коэффициента при :.Опять-таки выбран один из возможных углов поворота. Подстановка этих функций угла поворота в уравнение кривой приводит к уравнению.И снова понятно, что получилось уравнение параболы, но оно не каноническое. Для приведения к каноническому виду нужно выполнить ещё одинповорот на угол .На рис. 3 изображена данная парабола в исходной системе координат, и изображены оси координат, в которых уравнение имеет канонический вид.

Пример 3. Случай нецентральной кривой.

Здесь , т.е. уравнение описывает кривую параболического типа. Это значит, что нужно начинать с поворота системы координат. Применяя замену (3), получаем.Требуем обращения в нуль коэффициента при :.И снова выбран один из возможных углов поворота. Подстановка этих функций угла поворота в уравнение кривой приводит к уравнению.Теперь нужно выполнить параллельный перенос системы координат, чтобы совместить вершину параболы с началом координат.Применять формальную процедуру замены координат нет необходимости (хотя можно сделать и так) - вместо этого перепишем уравнение тождественно.Фактически был выделен полный квадрат. Таким образом, второе преобразование очевидно:.Приходим к каноническому уравнению параболы:.На рис. 4 изображена данная парабола в исходной системе координат, и изображены оси координат, в которых уравнение имеет канонический вид.Также изображена система координат, получающаяся после первого преобразования - поворота.

Пример 4. Отсутствие геометрического образа.

Здесь , т.е. уравнение описывает кривую эллиптического типа. Это значит, что нужно начинать с параллельногопереноса системы координат. Применяя замену (2), получаем.Требуем, чтобы коэффициенты при линейных слагаемых обратились в нуль:.Уравнение принимает вид.Теперь выполняем поворот (3):.Чтобы пропорциональное слагаемое обратилось в нуль, выберем, например, .Уравнение преобразуется к виду.Такое уравнение не задаёт кривой на плоскости (т.н. мнимый эллипс).

corum.mephist.ru

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

В главе "Поверхности второго порядка", где рассматривались поверхности второго порядка, было выписано их общее уравнение (13.1), а дальше для каждой поверхности использовалась своя прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имело канонический вид. В этом разделе мы выясним, как по общему уравнению найти такую систему координат. Результаты этого раздела используются и для приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Достаточно будет во всех рассуждениях отбросить третью координату.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка, коэффициенты в котором обозначены специальным образом

(19.7)

где -- числа, причем хотя бы одно из чиселотлично от нуля.

Выделим квадратичную часть выражения, стоящего в уравнении слева,

Такое выражение называется квадратичной формой от трех переменных. Составим матрицу

Эта матрица называется матрицей квадратичной формы . Она является симметричной, то есть, или, другими словами,. Следует обратить внимание на то, как эта матрица составлена. На диагонали у нее стоят коэффициенты при квадратах переменных, а в остальных местах -- половины коэффициентов при произведениях переменных.

Исходная система координат является прямоугольной, поэтому скалярное произведение векторов с координатными столбцами ,задается формулой. Сформулируем две теоремы, позволяющие пользоваться приведенным ниже алгоритмом.

Теорема 19.4Если матрица -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Пусть -- матрица квадратичной формы. По сформулированной теореме у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим их,,, и пусть эти векторы имеют координаты

Базис i,j,kназовем старым, а базис-- новым. Тогда матрица перехода 19.1.4.а будет иметь вид

Выберем новую систему координат так, что начало координат не изменяется, а новые базисные векторы,,задают направления новых координатных осей,,(рис. 19.8).

Рис.19.8.Система координат

Тогда координаты точкиявляются координатами ее радиус-вектораи, следовательно, при замене базиса меняются по формуле (18.1)

(19.8)

Теорема 19.5Пусть собственные векторы ,,матрицы квадратичной формы, образующие ортонормированный базис, соответствуют собственным числам,,. Тогда в системе координатквадратичная форма принимает вид

    

Если мы из равенства (19.8) выпишем выражение,,через новые переменные,,и подставим в уравнение (19.7), то обнаружим, что квадратичная его часть и линейная часть преобразуются независимо друг от друга. В результате уравнение в системе координатимеет вид

(19.9)

Хотя бы одно из чисел ,,отлично от нуля, иначе матрицабыла бы нулевой.

Рассмотрим три случая.

  1. Пусть все собственные числа ,,отличны от нуля. В уравнении (19.9) выделим полные квадраты

Выполним параллельный перенос системы координат , взяв за новое начало системы координат точку(см. формулы (13.21)). Тогда в новой системе координатуравнение запишется в виде

Здесь возможны следующие варианты.

    1. Пусть . Перенесемв правую часть и поделим обе части на, получим

      1. Если числа ,,отрицательны, то ни одна точка пространства не удовлетворяет этому уравнению. Говорят, что оно определяет мнимый эллипсоид.

      2. Если числа ,,положительны, то уравнение является каноническим уравнением эллипсоида.

      3. Если одно из чисел ,,отрицательно, а остальные положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение однополостного гиперболоида.

      4. Если одно из чисел ,,положительно, остальные отрицательны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

    1. Пусть .

      1. Если все числа,,положительны, то только начало координат удовлетворяет этому уравнению. Поверхность выродилась в точку.

      2. Если одно из чисел,,отрицательно, а два положительны, то (после переименования осей) получим каноническое уравнение конуса.

Если же два числа отрицательны или все три отрицательны, то, умножив обе части уравнения на , получим случай2или случай1.

  1. Пусть одно из чисел ,,равно нулю, а два других отличны от нуля. Допустим, что. Тогда в уравнении (19.9) выделим полные квадраты по переменным,

    1. Пусть . Преобразуем уравнение к виду

Поделим обе части уравнения на и выполним параллельный перенос осей координат, взяв за новое начало координат точку. Получим уравнение

      1. Если числаиположительны, то это -- каноническое уравнение эллиптического параболоида.

      2. Если,, получим каноническое уравнение гиперболического параболоида.

Если числа иотрицательны или,, то сменим направление у осина противоположное и получим либо случай1, либо случай2.

    1. Пусть . Тогда поверхность является цилиндрической, образующие которой параллельны оси, а направляющей служит кривая на плоскостис уравнением

Анализ поверхностей с таким уравнением предоставляем читателю.

  1. Пусть только одно из чисел ,,отлично от нуля. Допустим, что. Тогда в уравнении (19.9) выделим полный квадрат по переменному

    1. Пусть хотя бы одно из чисел ,отлично от нуля. Тогда на плоскостивозьмем две перпендикулярные прямыеи. Возьмем новую систему координат, у которой начало будет в точке, осьнаправлена по оси, осьнаправлена вдоль второй прямой, а осьнаправлена вдоль первой прямой. Тогда уравнение примет вид

Это -- уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит кривая на плоскостис уравнением

Анализ возможных поверхностей оставляем читателю.

    1. Пусть . Тогда уравнение принимает вид

      1. Если число справа положительно, то уравнение определяет две плоскости

      1. Если число справа равно нулю, то уравнение определяет одну плоскость

      1. Если число справа отрицательно, то ни одна точка пространства уравнению не удовлетворяет.

Итак, получен алгоритм, позволяющий установить, какая поверхность задается уравнением второго порядка и каково ее положение в пространстве.

        Пример 19.11Приведите уравнение поверхности

к каноническому виду.

Решение.Квадратичная форма имеет вид

Выписываем ее матрицу

Находим ее собственные числа. Для этого запишем характеристическое уравнение

После вычисления определителя получим

Подбором находим один корень . Преобразуем уравнение, выделяя множитель

или

откуда

Находим два других корня характеристического уравнения и.

Находим собственные векторы. Для собственного числа для координат собственного вектораполучим систему уравнений

Решая ее находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в качестве собственного вектора можно взять . Для собственного числадля координат собственного вектораполучим систему уравнений

Отсюда находим собственный вектор . Для собственного числадля координат собственного вектораполучим систему уравнений

Отсюда находим собственный вектор .

Легко проверить, что , то есть собственные векторы попарно ортогональны. Их длины равны соответственно,,. Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты

Матрица перехода имеет вид

Старые координаты связаны с новыми уравнением , то есть

(19.10)

Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах будут служить собственные числа

Приводим подобные члены

Выделим полные квадраты

или

Выполняем параллельный перенос осей координат

Новое начало системы координат имеет координаты

В исходной системе координат точка в соответствии с формулами (19.10) имеет координаты

Рис.19.9.Система координат

В новой системе координат (рис. 19.9) уравнение принимает канонический вид

Это уравнение является каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Его центр находится в точке , две вещественные оси параллельны векторам,, вещественные полуоси равны,. Мнимая ось параллельна вектору, мнимая полуось равна. Изображение гиперболоида приведено на рисунке 19.10.

Рис.19.10.Изображение гиперболоида

studfiles.net