Кому число Пи, а кому неравенство "ХУ". Пи величина


Что такое число пи и какова его история

Одним из самых загадочных чисел, известных человечеству, безусловно, является число Π (читается – пи). В алгебре это число отражает величину соотношения длины окружности и ее диаметра. Ранее эту величину называли лудольфовым числом. Как и откуда взялось число Пи доподлинно не известно, но математики делят на 3 этапа всю историю числа Π, на древний, классический и эру цифровых компьютеров.

Число П – иррационально, то есть его нельзя представить в виде простой дроби, где числитель и знаменатель целые числа. Поэтому, такое число не имеет окончания и является периодическим. Впервые иррациональность П доказал И. Ламберт в 1761 году.

Кроме этого свойства, число П не может являться еще и корнем какого-нибудь многочлена, а потому является числом трансцендентным. Это свойство, когда было доказано в 1882 году, положило конец почти сакральному спору математиков «о квадратуре круга», который продолжался на протяжении 2 500 лет.

Известно, что первым ввел обозначение этого числа британец Джонс в 1706 году. После того как появились труды Эйлера, использование такого обозначения стало общепринятым.

Чтобы детально разобраться, что такое число Пи, следует сказать, что его использование настолько широко, что трудно даже назвать область науки, в которой бы без него обходятся. Одно из самых простых и знакомых еще из школьной программы значений – это обозначение геометрического периода. Отношение длины круга к длине его диаметра является постоянной и равно 3, 14. Это значение было известно еще древнейшим математикам в Индии, Греции, Вавилоне, Египте. Наиболее ранний вариант вычисления соотношения относится к 1900 году до н. э. Более приближенное к современному значение П вычислил китайский ученый Лю Хуэй, кроме того, он изобрел и быстрый способ такого вычисления. Его величина оставалась общепринятой на протяжении почти 900 лет.

Классический период развития математики ознаменовался тем, что чтобы установить точно, что такое число Пи, ученые стали использовать методы математического анализа. В 1400-х годах индийский математик Мадхава использовал для вычисления теорию рядов и определил период числа П с точностью до 11 цифр после запятой. Первым европейцем, после Архимеда, который исследовал число П и внес значительный вклад в его обоснование, стал голландец Людольф ван Цейлен, который определил уже 15 цифр после запятой, а в завещании написал весьма занимательные слова: «…кому интересно – пусть идет дальше». Именно в честь этого ученого, число П и получило свое первое и единственное за всю историю именное название.

Эпоха компьютерных вычислений привнесла новые детали в понимание сущности числа П. Так, чтобы выяснить, что такое число Пи, в 1949 году впервые была использована вычислительная машина ЭНИАК, одним из разработчиков которой был будущий «отец» теории современных компьютеров Дж. фон Нейман. Первое измерение велось на протяжении 70 часов и дало 2037 цифр после запятой в периоде числа П. Отметка в миллион знаков была достигнута в 1973 году. Кроме того, в этот период были установлены и другие формулы, отражающие число П. Так, братья Чудновские смогли найти такую, которая позволила вычислить 1 011 196 691 цифр периода.

Вообще следует отметить, что чтобы ответить на вопрос: "Что такое число Пи?", многие исследования стали напоминать соревнования. Сегодня уже суперкомпьютеры занимаются вопросом, какое же оно на самом деле, число Пи. интересные факты, связанные с этими исследованиями, пронизывают практически всю историю математики.

Сегодня, например, проводятся мировые чемпионаты по запоминанию числа П и фиксируются мировые рекорды, последний принадлежит китайцу Лю Чао, за сутки с небольшим, назвал 67 890 знаков. В мире есть даже праздник числа П, который отмечается 14 марта как «День числа Пи».

По данным на 2011 год уже установлено 10 триллионов цифр периода числа.

fb.ru

ЧИСЛО ПИ | Энциклопедия Кругосвет

ЧИСЛО p – отношение длины окружности к ее диаметру, – величина постоянная и не зависит от размеров окружности. Число, выражающее это отношение, принято обозначать греческой буквой 241 (от «perijereia» – окружность, периферия). Это обозначение стало употребительным после работы Леонарда Эйлера, относящейся к 1736, однако впервые оно было употреблено Уильямом Джонсом (1675–1749) в 1706. Как и всякое иррациональное число, оно представляется бесконечной непериодической десятичной дробью:

p = 3,141592653589793238462643… Нужды практических расчетов, относящихся к окружностям и круглым телам, заставили уже в глубокой древности искать для 241 приближений с помощью рациональных чисел. Сведения о том, что окружность ровно втрое длиннее диаметра, находятся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение числа p есть и в тексте Библии: «И сделал литое из меди море, – от края до края его десять локтей, – совсем круглое, вышиною в пять локтей, и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом» (3 Цар. 7. 23). Так же считали и древние китайцы. Но уже во 2 тыс. до н.э. древние египтяне пользовались более точным значением числа 241, которое получается из формулы для площади круга диаметра d:

.

Этому правилу из 50-й задачи папируса Райнда соответствует значение 4(8/9)2» 3,1605. Папирус Райнда, найденный в 1858, назван так по имени его первого владельца, его переписал писец Ахмес около 1650 до н.э., автор же оригинала неизвестен, установлено только, что текст создавался во второй половине 19 в. до н.э. Хотя каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно. В так называемом Московском папирусе, который был переписан неким учеником между 1800 и 1600 до н.э. с более древнего текста, примерно 1900 до н.э., есть еще одна интересная задача о вычислении поверхности корзины «с отверстием 4½». Неизвестно, какой формы была корзина, но все исследователи сходятся во мнении, что и здесь для числа p берется то же самое приближенное значение 4(8/9)2.

Чтобы понять, каким образом древние ученые получили тот или иной результат, нужно попытаться решить задачу, используя только знания и приемы вычислений того времени. Именно так поступают исследователи старинных текстов, однако решения, которые им удается найти, вовсе не обязательно «те самые». Очень часто для одной задачи предлагается несколько вариантов решения, каждый может выбрать себе по вкусу, однако никто не может утверждать, что именно им пользовались в древности. Относительно площади круга кажется правдоподобной гипотеза А.Е.Раик, автора многочисленных книг по истории математики: площадь круга диаметра d сравнивается с площадью описанного вокруг него квадрата, из которого по очереди удаляются малые квадраты со сторонами и (рис. 1). В наших обозначениях вычисления будут выглядеть так: в первом приближении площадь круга S равна разности между площадью квадрата со стороной d и суммарной площадью четырех малых квадратов А со стороной d:

Далее из полученной площади нужно вычесть площадь восьми квадратов B со стороной d, и тогда площадь круга будет приближенно равна следующему выражению:

В пользу этой гипотезы свидетельствуют аналогичные вычисления в одной из задач Московского папируса, где предлагается сосчитать

С 6 в. до н.э. математика стремительно развивалась в Древней Греции. Именно древнегреческие геометры строго доказали, что длина окружности пропорциональна ее диаметру (l = 2 p R; R – радиус окружности, l – ее длина), а площадь круга равна половине произведения длины окружности и радиуса:

S = ½ l R = p R2.

Эти доказательства приписывают Евдоксу Книдскому и Архимеду.

В 3 в. до н.э. Архимед в сочинении Об измерении круга вычислил периметры вписанных в окружность и описанных около нее правильных многоугольников (рис. 2) – от 6- до 96-угольника. Таким образом он установил, что число p находится между 3 10/71 и 3 1/7, т.е. 3,14084 < p < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (p » 3,14166) нашел знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (2 в.), но оно не вошло в употребление.

Индийцы и арабы полагали, что p = . Это значение приводит так же и индийский математик Брахмагупта (598 – ок. 660). В Китае ученые в 3 в. использовали значение 3 7/50, которое хуже приближения Архимеда, но во второй половине 5 в. Цзу Чун Чжи (ок. 430 – ок. 501) получил для p приближение 355/113 (p » 3,1415927). Оно осталось неизвестно европейцам и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом только в 1585. Это приближение дает ошибку лишь в седьмом десятичном знаке.

Поиски более точного приближения p продолжались и в дальнейшем. Например, аль-Каши (первая половина 15 в.) в Трактате об окружности (1427) вычислил 17 десятичных знаков p. В Европе такое же значение было найдено в 1597 году. Для этого ему пришлось вычислять сторону правильного 800 335 168-угольника. Нидерландский ученый Лудольф Ван Цейлен (1540–1610) нашел для него 32 правильных десятичных знака (опубликовано посмертно в 1615), это приближение называется лудольфовым числом.

Число p появляется не только при решении геометрических задач. Со времени Ф.Виета (1540–1603) разыскание пределов некоторых арифметических последовательностей, составляемых по простым законам, приводило к тому же числу p. В связи с этим в определении числа p принимали участие почти все известные математики: Ф.Виет, Х.Гюйгенс, Дж.Валлис, Г.В.Лейбниц, Л.Эйлер. Они получали различные выражения для 241 в виде бесконечного произведения, суммы ряда, бесконечной дроби.

Например, в 1593 Ф.Виет (1540–1603) вывел формулу

В 1658 англичанин Уильям Броункер (1620–1684) нашел представление числа p в виде бесконечной непрерывной дроби

,

однако неизвестно, как он пришел к этому результату.

В 1665 Джон Валлис (1616–1703) доказал, что

,

или

.

Эта формула носит его имя. Для практического нахождения числа 241 она мало пригодна, но полезна в различных теоретических рассуждениях. В историю науки она вошла как один из первых примеров бесконечных произведений.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) в 1673 установил следующую формулу:

выражающую число p /4 как сумму ряда. Однако этот ряд сходится очень медленно. Чтобы вычислить p с точностью до десяти знаков, потребовалось бы, как показал Исаак Ньютон, найти сумму 5 млрд чисел и затратить на это около тысячи лет непрерывной работы.

Лондонский математик Джон Мэчин (1680–1751) в 1706, применяя формулу

получил выражение

arctg 1 = 4 arctg – arctg .

Подстановка в него arctg 1 = и рядов для arctg x (arctg x = ) приводит к формуле

,

которая до сих пор считается одной из лучших для приближенного вычисления p. Чтобы найти те же десять точных десятичных знаков, потребуется всего несколько часов ручного счета. Сам Джон Мэчин вычислил p со 100 верными знаками.

C помощью того же ряда для arctg x и формулы

p = 24 arctg + 8 arctg + 4 arctg

значение числа p было получено на ЭВМ с точностью до ста тысяч десятичных знаков. Такого рода вычисления представляют интерес в связи с понятием случайных и псевдослучайных чисел. Статистическая обработка упорядоченной совокупности указанного количества знаков p показывает, что она обладает многими чертами случайной последовательности.

Есть несколько забавных способов запомнить число p точнее, чем просто 3,14. Например, выучив следующее четверостишие, можно без труда назвать семь десятичных знаков p:

Нужно только постараться

И запомнить все как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

(С.Бобров Волшебный двурог)

Подсчет количества букв в каждом слове следующих фраз так же дает значение числа p:

«Что я знаю о кругах?» (p » 3,1416). Эту поговорку предложил Я.И.Перельман.

«Вот и знаю я число, именуемое Пи. – Молодец!» (p » 3,1415927).

«Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать» (p » 3,14159265359).

Учитель одной из московских школ придумал строку: «Это я знаю и помню прекрасно», а его ученица сочинила забавное продолжение: «Пи многие знаки мне лишни, напрасны». Это двустишие позволяет определить 12 цифр.

А так выглядит 101 знак числа p без округления

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

В наше время с помощью ЭВМ значение числа p вычислено с миллионами правильных знаков, но такая точность не нужна ни в каких вычислениях. А вот возможность аналитического определения числа p имеет принципиальное значение для геометрии. В частности, в неевклидовой геометрии p также входит в некоторые формулы, но уже не как отношение длины окружности к диаметру (в неевклидовой геометрии это отношение не является постоянным).

В окончательном выяснении арифметической природы числа p решающую роль сыграла замечательная формула Эйлера:

e2241i = 1,

где e – основание натуральных логарифмов, i = .

Кстати, Эйлеру принадлежат и другие красивые формулы, включающие 241:

,

,

.

В последней формуле в числителе стоят все простые числа, а знаменатели отличаются от них на единицу, причем знаменатель больше числителя, если тот имеет вид 4n + 1, и меньше в противном случае.

Хотя еще с конца 16 в., т.е. с тех пор, как сформировались сами понятия рациональных и иррациональных чисел, многие ученые были убеждены в том, что p – число иррациональное, но только в 1766 немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777), основываясь на открытой Эйлером зависимости между показательной и тригонометрической функциями, строго доказал это. Число p не может быть представлено в виде простой дроби, как ни были бы велики числитель и знаменатель.

В 1882 профессор Мюнхенского университета Карл Луиз Фердинанд Линдеман (1852–1939) используя результаты, полученные французским математиком Ш.Эрмитом, доказал, что p – число трансцендентное, т.е. оно не является корнем никакого алгебраического уравнения anxn + an–1xn–1+ … + a1x + a0 = 0 с целыми коэффициентами. Это доказательство поставило точку в истории древнейшей математической задачи о квадратуре круга. Тысячелетия эта задача не поддавалась усилиям математиков, выражение «квадратура круга» стало синонимом неразрешимой проблемы. А все дело оказалось в трансцендентной природе числа p.

В память об этом открытии в зале перед математической аудиторией Мюнхенского университета был установлен бюст Линдемана. На постаменте под его именем изображен круг, пересеченный квадратом равной площади, внутри которого начертана буква p.

Марина Федосова

www.krugosvet.ru

Пи (число) - это... Что такое Пи (число)?

Иррациональные числаγ - ζ(3) — √2 — √3 — √5 — φ — α — e — π — δ
Система счисления Оценка числа
Двоичная 11,00100100001111110110…
Десятичная 3,1415926535897932384626433832795…
Шестнадцатеричная 3,243F6A8885A308D31319…
Рациональное приближение 22⁄7, 223⁄71, 355⁄113,103993/33102, …

(перечислено в порядке увеличения точности)

Непрерывная дробь [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, … ]

(Эта непрерывная дробь не периодическая. Записана в линейной нотации)

Евклидова геометрия радиан = 180°

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Первые 1000 знаков после запятой числа π[1] Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности — это число «пи»

(произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.[2] Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Старое название — лудольфово число.

Свойства

Трансцендентность и иррациональность

  •  — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году[3] году путём разложения числа в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел и .
  •  — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Транcцендентность числа была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году.[4]
  • В 1934 году Гельфонд доказал трансцендентность числа .[5] В 1996 году Юрий Нестеренко доказал, что для любого натурального n числа и алгебраически независимы, откуда, в частности, следует трансцендентность чисел и .[6][7]
  • является элементом кольца периодов (а значит, вычислимым и арифметическим числом). Но неизвестно, принадлежит ли к кольцу периодов.

Соотношения

Известно много формул числа :

  • Кратные ряды :
здесь простые числа

История

Символ константы

Впервые обозначением этого числа греческой буквой воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.

Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

История числа шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.

Геометрический период

То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам. Самое раннее из известных приближений датируется 1900 годом до н. э.; это 25/8 (Вавилон) и 256/81 (Египет), оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Ведийский текст «Шатапатха-брахмана» даёт как 339/108 ≈ 3,139.

Алгоритм Лю Хуэя для вычисления

Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления . Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку и предположил, что примерно равняется 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Чжан Хэн во II веке уточнил значение числа , предложив два его эквивалента: 1) 92/29 ≈ 3,1724…; 2) ≈ 3,1622.

В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416. Варахамихира в 6 веке пользуется в «Панча-сиддхантике» приближением .

Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм (англ. Liu Hui's π algorithm) для вычисления с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для по следующему принципу:

Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.

В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что ≈ 355/113, и показал, что 3,1415926 < < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа в течение последующих 900 лет.

Классический период

До II тысячелетия было известно не более 10 цифр . Дальнейшие крупные достижения в изучении связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда. В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграма (англ. Madhava of Sangamagrama) нашёл первый из таких рядов:

Этот результат известен как ряд Мадхавы — Лейбница, или ряд Грегори — Лейбница (после того как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). Однако этот ряд сходится к очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в

Мадхава смог вычислить как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа , из которых 16 верные.

Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на вычисление числа с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа . Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число иногда называли «лудольфовым числом», или «константой Лудольфа».

Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета:

,

найденная Франсуа Виетом в 1593 году. Другим известным результатом стала формула Валлиса:

,

выведенная Джоном Валлисом в 1655 году.

Аналогичные произведения:

Произведение, доказывающее родственную связь с числом Эйлера e :

В Новое время для вычисления используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

Первую эффективную формулу нашёл в 1706 году Джон Мэчин (англ. John Machin)

Разложив арктангенс в ряд Тейлора

,

можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа с большой точностью.

Формулы такого типа, в настоящее время известные как формулы Мэчина (англ. Machin-like formula), использовались для установки нескольких последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления в эпоху компьютеров. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счетчиком Иоганном Дазе (англ. Johann Dase), который в 1844 году по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр в уме. Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Вильямом Шенксом (англ. William Shanks), у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков .

Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы числа , чего нельзя было достичь лишь только с помощью одного численного вычисления. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность . В 1735 году была установлена связь между простыми числами и , когда Леонард Эйлер решил знаменитую Базельскую проблему (англ. Basel problem) — проблему нахождения точного значения

,

которое составляет . И Лежандр, и Эйлер предполагали, что может быть трансцендентным, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.

Считается, что книга Уильяма Джонса «Новое введение в математику» c 1706 года первая ввела в использование греческую букву для обозначения этой константы, но эта запись стала особенно популярной после того, как Леонард Эйлер принял её в 1737 году. Он писал:

Существует множество других способов отыскания длин или площадей соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к длине окружности как 1 к

Эра компьютерных вычислений

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр , которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было открытие в 1960 году быстрого преобразования Фурье, что позволило быстро осуществлять арифметические операции над очень большими числами.

В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для , некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд:

.

Братьями Чудновскими в 1987 году найдена похожая на неё:

,

которая даёт примерно по 14 цифр на каждый член ряда. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр десятичного разложения. Эта формула используется в программах, вычисляющих на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.

В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент (англ. Richard P. Brent) и Юджин Саламин (англ. Eugene Salamin (mathematician)) независимо друг от друга открыли алгоритм Брента — Саламина (англ. Gauss–Legendre algorithm), который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков.[9] Алгоритм состоит из установки начальных значений

и итераций:

пока an и bn не станут достаточно близки. Тогда оценка даётся формулой

При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден Джонатаном Боруэйном (англ. Jonathan Borwein) Питером Боруэйном (англ. Peter Borwein).[10] При помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Hitachi из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа (англ. Bailey–Borwein–Plouffe formula), открытая в 1997 году Саймоном Плаффом (англ. Simon Plouffe) и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована[11]. Эта формула,

примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа без вычисления предыдущих.[11] С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHex использовал видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления квадриллионного бита числа , который оказался нулём.[12]

В 2006 году Саймон Плафф, используя PSLQ, нашёл ряд красивых формул.[13] Пусть q = eπ, тогда

и другие вида

где q = eπ, k — нечётное число, и a, b, c — рациональные числа. Если k — вида 4m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

для рационального p у которого знаменатель — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубо рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов.[14]

31 декабря 2009 года французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов.[15]

2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо (яп.)русск. рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой.[16][17]

19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой[18][19].

Рациональные приближения

  •  — Архимед,
  •  — дана в книге индийского мыслителя и астронома Ариабхаты в V веке н. э.,
  •  — приписывается современнику Ариабхаты китайскому астроному Цзу Чунчжи.

Нерешённые проблемы

Метод иглы Бюффона

На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к при увеличении числа бросков до бесконечности.[26] Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло.[27]

Стихотворение для затвердевания в памяти 8-11 знаков числ π:

Чтобы нам не ошибаться,Надо правильно прочесть:Три, четырнадцать, пятнадцать,Девяносто два и шесть.

Надо только постаратьсяИ запомнить всё как есть:Три, четырнадцать, пятнадцать,Девяносто два и шесть.

Три, четырнадцать, пятнадцать,Девять, два, шесть, пять, три, пять.Чтоб наукой заниматься,Это каждый должен знать.

Можно просто постаратьсяИ почаще повторять:«Три, четырнадцать, пятнадцать,Девять, двадцать шесть и пять».

Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера:

Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пятьВосемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шестьДва шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль дваВосемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один

Существуют стихи, в которых первые цифры числа π зашифрованы в виде количества букв в словах:

Это я знаю и помню прекрасно:Пи многие знаки мне лишни, напрасны.Доверимся знаньям громаднымТех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

Раз у Коли и АриныРаспороли мы перины.Белый пух летал, кружился,Куражился, замирал,Ублажился,Нам же далГоловную боль старух.Ух, опасен пуха дух!

— Георгий Александров

Дополнительные факты

Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле
  • Древние египтяне и Архимед принимали величину от 3 до 3,160, арабские математики считали число .[28]
  • Неофициальный праздник «День числа пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа . Считается[29], что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.
  • Ещё одной датой, связанной с числом , является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа .
  • Мировой рекорд по запоминанию знаков числа после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки.[30][31] В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число до 100-тысячного знака после запятой,[32] однако проверить это официально не удалось.[33]
  • В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен билль (см.: en:Indiana Pi Bill), законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2.[34] Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора университета Пердью, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона.
  • «Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска.[35]
  • По состоянию на 2010 год вычислено 5 триллионов знаков после запятой[17].
  • По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов знаков после запятой[19].

В культуре

См. также

Примечания

  1. ↑ PI
  2. ↑ Это определение пригодно только для евклидовой геометрии. В других геометриях отношение длины окружности к длине её диаметра может быть произвольным. Например, в геометрии Лобачевского это отношение меньше, чем .
  3. ↑ Lambert, Johann Heinrich. Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, стр. 265–322.
  4. ↑ Доказательство Клейна приложено к работе «Вопросы элементарной и высшей математики», ч. 1, вышедшей в Гёттингене в 1908 году.
  5. ↑ Weisstein, Eric W. Постоянная Гельфонда (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Иррациональное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  7. ↑ Модулярные функции и вопросы трансцендентности
  8. ↑ Weisstein, Eric W. Pi Squared (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  9. ↑ Brent, Richard (1975), Traub, J F, ed., "«Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation»", Analytic Computational Complexity (New York: Academic Press): 151–176, <http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html>   (англ.)
  10. ↑ Jonathan M Borwein. Pi: A Source Book. — Springer, 2004. — ISBN 0387205713 (англ.)
  11. ↑ 1 2 David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe. On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants // Mathematics of Computation. — 1997. — В. 218. — Т. 66. — С. 903—913. (англ.)
  12. ↑ Fabrice Bellard. A new formula to compute the nth binary digit of pi  (англ.). Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 11 января 2010.
  13. ↑ Simon Plouffe. Indentities inspired by Ramanujan’s Notebooks (part 2)  (англ.). Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 11 января 2010.
  14. ↑ Установлен новый рекорд точности вычисления числа π
  15. ↑ Pi Computation Record
  16. ↑ Число «Пи» рассчитано с рекордной точностью
  17. ↑ 1 2 5 Trillion Digits of Pi — New World Record (англ.)
  18. ↑ Определено 10 триллионов цифр десятичного разложения для π
  19. ↑ 1 2 Round 2… 10 Trillion Digits of Pi
  20. ↑ Weisstein, Eric W. Мера иррациональности (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  21. ↑ Weisstein, Eric W. Pi (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  22. ↑ en:Irrational number#Open questions
  23. ↑ Some unsolved problems in number theory
  24. ↑ Weisstein, Eric W. Трансцендентное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  25. ↑ An introduction to irrationality and transcendence methods
  26. ↑ Обман или заблуждение? Квант № 5 1983 год
  27. ↑ Г. А. Гальперин. Биллиардная динамическая система для числа пи.
  28. ↑ Лудольфово число. Пи. Pi.
  29. ↑ Статья в Los Angeles Times «Желаете кусочек »? (название обыгрывает сходство в написании числа и слова pie (англ. пирог)) (англ.).
  30. ↑ Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi
  31. ↑ Interview with Mr. Chao Lu
  32. ↑ How can anyone remember 100,000 numbers? — The Japan Times, 17.12.2006.
  33. ↑ Pi World Ranking List
  34. ↑ The Indiana Pi Bill, 1897  (англ.)
  35. ↑ В. И. Арнольд любит приводить этот факт, см. например книгу Что такое математика (ps), стр. 9.

Литература

Ссылки

dic.academic.ru

ЧИСЛО ПИ - это... Что такое ЧИСЛО ПИ?

  • число — Прие моч ное Источник: ГОСТ 111 90: Стекло листовое. Технические условия оригинал документа Смотри также родственные термины: 109.    Число бетатронных колебаний …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • число — сущ., с., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? числа, чему? числу, (вижу) что? число, чем? числом, о чём? о числе; мн. что? числа, (нет) чего? чисел, чему? числам, (вижу) что? числа, чем? числами, о чём? о числах   математика 1. Числом… …   Толковый словарь Дмитриева

  • ЧИСЛО — ЧИСЛО, числа, мн. числа, чисел, числам, ср. 1. Понятие, служащее выражением количества, то, при помощи чего производится счет предметов и явлений (мат.). Целое число. Дробное число. Именованное число. Простое число. (см. простой1 в 1 знач.).… …   Толковый словарь Ушакова

  • ЧИСЛО — абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от… …   Философская энциклопедия

  • Число — Число  грамматическая категория, выражающая количественные характеристики предметов мысли. Грамматическое число  одно из проявлений более обшей языковой категории количества (см. Категория языковая) наряду с лексическим проявлением («лексическое… …   Лингвистический энциклопедический словарь

  • ЧИСЛО e — Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e kt, где k число,… …   Энциклопедия Кольера

  • число — а; мн. числа, сел, слам; ср. 1. Единица счёта, выражающая то или иное количество. Дробное, целое, простое ч. Чётное, нечётное ч. Считать круглыми числами (приблизительно, считая целыми единицами или десятками). Натуральное ч. (целое положительное …   Энциклопедический словарь

  • ЧИСЛО — ср. количество, счетом, на вопрос: сколько? и самый знак, выражающий количество, цифра. Без числа; нет числа, без счету, многое множество. Поставь приборы, по числу гостей. Числа римские, арабские или церковные. Целое число, ·противоп. дробь.… …   Толковый словарь Даля

  • ЧИСЛО — ЧИСЛО, а, мн. числа, сел, слам, ср. 1. Основное понятие математики величина, при помощи к рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не… …   Толковый словарь Ожегова

  • ЧИСЛО Е — ЧИСЛО «Е» (ЕХР), иррациональное число, служащее основанием натуральных ЛОГАРИФМОВ. Это действительное десятичное число, бесконечная дробь, равная 2,7182818284590...., является пределом выражения (1/ ) при п, стремящемся к бесконечности. По сути,… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • число — Количество, наличность, состав, численность, контингент, сумма, цифра; день.. Ср. . См. день, количество . небольшое число, несть числа, расти числом... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские… …   Словарь синонимов

  • dic.academic.ru

    Число пи - это... Что такое Число пи?

    Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности — это число «пи».

    Число π (произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».

    Символ константы

    История

    Впервые обозначением этого числа греческой буквой воспользовался британский математик Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

    Оценки

    • (Архимед),
    • (дана в книге индийского мыслителя и астронома Арьябхаты в V веке н. э.),
    • (оценка приписывается современнику Арьябхаты древнекитайскому астроному Цзу Чун-цжи).
    • 510 знаков после запятой: π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

    Свойства

    Соотношения

    Известно много формул с числом π:

    Трансцендентность и иррациональность

    Нерешенные проблемы

    • Неизвестно, являются ли числа π и e алгебраически независимыми.
    • Неизвестно, являются ли числа π + e, π − e, πe, π / e, πe, ππ, ee трансцендентными.
    • До сих пор ничего не известно о нормальности числа π; неизвестно даже, какие из цифр 0-9 встречаются в десятичном представлении числа π бесконечное количество раз.

    История вычисления

    Архимед, возможно, первым предложил способ вычисления π математическим способом. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Так, для шестиугольника (см. рисунок) получается .

    Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку .

    В древнекитайских трудах попадаются самые разные оценки, из которых самая точная — это известное китайское число 355/113. Цзу Чунчжи (V век) даже считал это значение точным.

    В Индии Арьябхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416

    Заслуживает упоминания результат арабского математика Гиясэддина Джемшид ибн Масуд ал-Каши, завершившего в 1424 году труд под названием «Трактат об окружности», в котором он приводит 17 цифр числа π (из них 16 верных).

    Лудольф ван Цейлен (1536—1610) затратил десять лет на вычисление числа π с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n=60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Cirkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа π. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число π иногда называли «лудольфовым числом», или «константой Лудольфа».

    В Новое время для вычисления π используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

    Первую эффективную формулу нашёл в 1706 Джон Мэчин (John Machin):

    Разложив арктангенс в ряд Тейлора, можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа π с большой точностью. Эйлер, автор обозначения π, получил 153 верных знака.

    В 1873 году англичанин В. Шенкс потратил 15 лет и вычислил 707 знаков; правда, начиная с 527-го знака, все они оказались ошибочными. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков π.

    Очень быстро работают вычислительные алгоритмы, основанные на формулах Рамануджана

    и Чудновского

    В 1997 году Дэйвид Х. Бэйли, Питер Боруэйн и Саймон Плуфф открыли способ быстрого вычисления произвольной двоичной цифры числа π без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле

    Метод иглы Бюффона

    На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к при увеличении числа бросков до бесконечности. Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло.[2]

    Мнемонические правила

    1.

    Чтобы нам не ошибаться, Надо правильно прочесть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть. Надо только постараться И запомнить всё как есть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть. Три, четырнадцать, пятнадцать, Девять, два, шесть, пять, три, пять. Чтоб наукой заниматься, Это каждый должен знать. Можно просто постараться И почаще повторять: «Три, четырнадцать, пятнадцать, Девять, двадцать шесть и пять.»

    2. Подсчитайте количество букв в каждом слове в нижеприведенных фразах (без учета знаков препинания) и запишите эти цифры подряд — не забывая про десятичную запятую после первой цифры «3», разумеется. Получится приближенное число Пи.

    Это я знаю и помню прекрасно: Пи многие знаки мне лишни, напрасны.

    Кто и шутя, и скоро пожелаетъ Пи узнать число — ужъ знаетъ!

    Вот и Миша и Анюта прибежали Пи узнать число они желали.

    (Вторая мнемоническая запись верна (с округлением последнего разряда) только при использовании дореформенной орфографии: при подсчете количества букв в словах необходимо учитывать твердые знаки!)

    Еще один вариант этой мнемонической записи:

    Это я знаю и помню прекрасно:Пи многие знаки мне лишни, напрасны.Доверимся знаньям громаднымТех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

    3.

    Раз у Коли и Арины Распороли мы перины. Белый пух летал, кружился, Куражился, замирал, Ублажился, Нам же дал Головную боль старух. Ух, опасен пуха дух!

    Если соблюдать стихотворный размер, можно довольно быстро запомнить:

    Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пятьВосемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шестьДва шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль дваВосемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один

    Забавные факты

    • Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π.
    • Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π.
    • Украинец Андрей Слюсарчук установил новый мировой рекорд по запоминанию числа пи. Точное воссоздание в объеме 1 млн.знаков. (28.02.2006, Львов) [3]
    • Предыдущий мировой рекорд по запоминанию знаков числа π принадлежит японцу Акира Харагути (Akira Haraguchi). Он запомнил число π до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком. (на запоминание ушло 10 лет)[4]
    • В штате Индиана (США) в 1897 был выпущен билль(см. Indiana Pi Bill), законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2[5]. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью (англ.), присутствовавшего во время рассмотрения принятия данного закона.
    • «число Пи для гренландских китов равно 3.14» написано в «Справочнике китобоя» 60-х годов выпуска.[6]

    Примечания

    • Числовой интервал
    • Числовая мистика

    Смотреть что такое "Число пи" в других словарях:

    • число — Прие моч ное Источник: ГОСТ 111 90: Стекло листовое. Технические условия оригинал документа Смотри также родственные термины: 109.    Число бетатронных колебаний …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

    • число — сущ., с., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? числа, чему? числу, (вижу) что? число, чем? числом, о чём? о числе; мн. что? числа, (нет) чего? чисел, чему? числам, (вижу) что? числа, чем? числами, о чём? о числах   математика 1. Числом… …   Толковый словарь Дмитриева

    • ЧИСЛО — ЧИСЛО, числа, мн. числа, чисел, числам, ср. 1. Понятие, служащее выражением количества, то, при помощи чего производится счет предметов и явлений (мат.). Целое число. Дробное число. Именованное число. Простое число. (см. простой1 в 1 знач.).… …   Толковый словарь Ушакова

    • ЧИСЛО — абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от… …   Философская энциклопедия

    • Число — Число  грамматическая категория, выражающая количественные характеристики предметов мысли. Грамматическое число  одно из проявлений более обшей языковой категории количества (см. Категория языковая) наряду с лексическим проявлением («лексическое… …   Лингвистический энциклопедический словарь

    • ЧИСЛО e — Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e kt, где k число,… …   Энциклопедия Кольера

    • число — а; мн. числа, сел, слам; ср. 1. Единица счёта, выражающая то или иное количество. Дробное, целое, простое ч. Чётное, нечётное ч. Считать круглыми числами (приблизительно, считая целыми единицами или десятками). Натуральное ч. (целое положительное …   Энциклопедический словарь

    • ЧИСЛО — ср. количество, счетом, на вопрос: сколько? и самый знак, выражающий количество, цифра. Без числа; нет числа, без счету, многое множество. Поставь приборы, по числу гостей. Числа римские, арабские или церковные. Целое число, ·противоп. дробь.… …   Толковый словарь Даля

    • ЧИСЛО — ЧИСЛО, а, мн. числа, сел, слам, ср. 1. Основное понятие математики величина, при помощи к рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не… …   Толковый словарь Ожегова

    • ЧИСЛО Е — ЧИСЛО «Е» (ЕХР), иррациональное число, служащее основанием натуральных ЛОГАРИФМОВ. Это действительное десятичное число, бесконечная дробь, равная 2,7182818284590...., является пределом выражения (1/ ) при п, стремящемся к бесконечности. По сути,… …   Научно-технический энциклопедический словарь

    • число — Количество, наличность, состав, численность, контингент, сумма, цифра; день.. Ср. . См. день, количество . небольшое число, несть числа, расти числом... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские… …   Словарь синонимов

    dic.academic.ru

    Число «Пи»

    14 мар 2012

    14 марта математики отмечают один из самых необычных праздников — Международный день числа «Пи». Эта дата выбрана неслучайно: числовое выражение π (Пи) — 3,14 (3 месяц (март)  14 число). 

    Впервые с этим необычным числом школьники сталкиваются уже в младших классах при изучении круга и окружности. Число π — математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к длине ее диаметра. Т.е если взять окружность с диаметром равным единице, то длина окружности и будет равна числу «Пи». Число π имеет бесконечную математическую продолжительность, но в повседневных вычислениях используют упрощенное написание числа, оставляя только два знака после запятой, — 3,14.

    В 1987 году этот день отмечался впервые. Физик Ларри Шоу из Сан-Франциско заметил, что в американской системе записи дат (месяц / число) дата 14 марта — 3/14 совпадает с числом π (π = 3,1415926…). Обычно  празднования начинаются в 1:59:26 дня (π = 3,1415926…).

    История числа «Пи»

    Предполагается, что история числа π начинается в Древнем Египте. Египетские математики определяли площадь круга диаметром Dкак (D-D/9)2. Из данной записи видно, что в то время число π приравнивали к дроби (16/9)2, или 256/81, т.е. π 3,160...

    В VI в. до н.э. в Индии в религиозной книге джайнизма есть записи, свидетельствующие о том, что число π в то время принимали равным квадратному корню из 10, что даёт дробь 3,162...В III в. до  н.э.Архимед в своей небольшой работе "Измерение круга" обосновал три положения:

    1. Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
    2. Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
    3. Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3  10/71.

    Последнее положение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10 / 71и 3*1/7, а это означает, что число «пи» равно  3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...В V в. до н.э. китайский математик  Цзу Чунчжи нашёл  более точное значение этого числа: 3,1415927...Впервой половине XV в. астроном и математикал-Каши вычислил π с 16 десятичными знаками.

    Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виетнашёл число π только с 9 правильными десятичными знаками: он сделал 16 удвоений числа сторон многоугольников. Ф.Виетпервым заметил, что π можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, оно позволило вычислить π с какой угодно точностью.

    В 1706 г английский математик У.Джонсон ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру и обозначил его современным символом π первой буквой греческого слова periferia—окружность.

    На протяжении длительного периода времени учёные всего мира пытались разгадать тайну этого загадочного числа.

    В чем же сложность вычисления значения π ?

    Число π является иррациональным: его невозможно выразить в виде дроби p/q, где p и q целые числа, данное число не может быть корнем алгебраического уравнения. Нельзя указать алгебраическое или дифференциальное уравнение, корнем которого будет π, поэтому данное число называется трансцендентным и вычисляется путём рассмотрения какого-либо процесса и уточняется за счет увеличения шагов рассматриваемого процесса. Множественные попытки просчитать максимальное количество знаков числа π привели к тому, что сегодня, благодаря современной вычислительной технике, можно рассчитать последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой.

    Цифры десятичного представления числа π достаточно случайны. В десятичном разложении числа можно найти любую последовательность цифр. Предполагают, что в данном числе в зашифрованном виде есть все написанные и ненаписанные книги, любая информация, которую только можно представить, находится в числе π.

    Можете сами попробовать разгадать тайну этого числа самостоятельно. Записать число «Пи» полностью, конечно не получится. Но самым любопытным предлагаю рассмотреть первые 1000 знаковчисла π  = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899   8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502   8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

    Запоминаем число «Пи»

    В настоящее время с помощью вычислительной техники вычислено в десять триллионов знаков числа «Пи». Максимальное число цифр,  которое смог запомнить человек составляет сто тысяч.

    Чтобы запомнить максимальное количество знаков числа «Пи», используют различные стихотворные «запоминалки», в которых слова с определённым количеством букв располагаются в такой же последовательности, как цифры в числе «Пи»: 3,1415926535897932384626433832795….  Для восстановления числа необходимо подсчитать число символов в каждом из слов и записать по порядку.

    Вот и знаю я число, именуемое "Пи". Молодец! (7 цифр)

    Вот и Миша и Анюта прибежалиПи узнать число они желали. (11 цифр)

    Это я знаю и помню прекрасно:Пи многие знаки мне лишни, напрасны.Доверимся знаньям громаднымТех, пи кто сосчитал, цифр армаду. (21 цифра)

    Раз у Коли и АриныРаспороли мы перины.Белый пух летал, кружился,Куражился, замирал,Ублажился,Нам же далГоловную боль старух.Ух, опасен пуха дух! (25 знаков)

    Можно использовать рифмованные строки, которые помогают запомнить нужное число.

    Чтобы нам не ошибиться,Нужно правильно прочесть:Три, четырнадцать, пятнадцать,Девяносто два и шесть

    Если очень постараться,Можно сразу пи прочесть:Три, четырнадцать, пятнадцать,Девяносто два и шесть.

    Три, четырнадцать, пятнадцать,Девять, два, шесть, пять, три, пять.Чтоб наукой заниматься,Это каждый должен знать.

    Можно просто постаратьсяИ почаще повторять:«Три, четырнадцать, пятнадцать,Девять, двадцать шесть и пять».

    Остались вопросы? Хотите знать больше о числе "Пи"?Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.Первый урок – бесплатно!

    Зарегистрироваться

    www.tutoronline.ru

    Число Пи и его загадка. Вся Вселенная в числе Пи.

    Я не люблю писать, я не люблю бюрократические замашки, я не могу высказывать с поэтическим вдохновением мысли, которые предназначены и дают урок для многих читающих.

    Хотелось бы с Вами порассуждать в начале что такое число ПИ.

    В числе ПИ очень много загадок. Вернее это даже не загадки, а своего рода какая-то Истина, которую за всю историю человечества никто еще не разгадал. Я высказываю только свое личное мнение, и оно не может претендовать на совершенный идеал или истину.

    Что такое число Пи? Число ПИ — математическая «константа», выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Сначала по невежеству его (это отношение) считали равным трем, что было грубо приближенно, но им хватало. Но когда времена доисторические сменились временами древними (т.е. уже историческими), то удивлению пытливых умов не было предела: оказалось, что число три весьма неточно выражает это соотношение. С течением времени и развитием наук это число стали полагать равным двадцати двум седьмым. Английский математик Август де Морган назвал как-то число ПИ “…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу”. Неутомимые ученые продолжали и продолжали вычислять десятичные знаки числа Пи, что является на самом деле дико нетривиальной задачей, потому что просто так в столбик его не вычислить: число это не только иррациональное, но и трансцендентное (это вот как раз такие числа, которые не вычисляются путем простых уравнений).

    В процессе вычислений этих самых знаков было открыто множество разных научных методов и целых наук. Но самое главное – в десятичной части числа пи нет повторений, как в обычной периодической дроби, а число знаков после запятой у него – бесконечно. На сегодняшний день проверено, что в 500 млрд. знаков числа пи повторений действительно нет. Есть основания полагать, что их нет вообще.

    Поскольку в последовательности знаков числа пи нет повторений – это значит, что последовательность знаков числа пи подчиняется теории хаоса, точнее, число пи – это и есть хаос, записанный цифрами. Более того, при желании, можно этот хаос представить графически, и есть предположение, что этот Хаос разумен. В 1965-м году американский математик М. Улэм, сидя на одном скучном собрании, от нечего делать начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число пи. Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Попутно он обводил все простые числа кружками. Каково же было его удивление и ужас, когда кружки стали выстраиваться вдоль прямых!

    В десятичном хвосте числа пи можно отыскать любую задуманную последовательность цифр. Любая последовательность цифр в десятичных знаках числа пи рано или поздно найдется. Любая!

    Ну и что? – спросите вы. А то. Прикиньте: если там есть ваш телефон (а он есть), то ведь там же есть и телефон той девушки, которая не захотела дать вам свой номер. Более того, там есть и номера кредиток, и даже все значения выигрышных номеров завтрашнего тиража лотереи. Да что там, вообще всех лотерей на много тысячелетий вперед. Вопрос в том, как их там отыскать…

    Если зашифровать все буквы цифрами, то в десятичном разложении числа пи можно найти всю мировую литературу и науку, и рецепт изготовления соуса бешамель, и все священные книги всех религий. Это строгий научный факт. Ведь последовательность БЕСКОНЕЧНА и сочетания в числе ПИ не повторяются, следовательно она содержит ВСЕ сочетания цифр, и это уже доказано. А раз все, то ВСЕ. В том числе и такие, которые соответствуют выбранной вами книге.

    А это опять-таки означает, что там содержится не только вся мировая литература, которая уже написана (в частности и те книги, которые сгорели и т.д.), но и все книги, которые еще БУДУТ написаны. В том числе и Ваши статьи на сайтах.  Получается, что это число (единственное разумное число во Вселенной!) и управляет нашим миром. Надо только рассмотреть побольше знаков, найти нужный участок и расшифровать его. Это чем-то сродни парадоксу со стадом шимпанзе, долбящем по клавиатуре. При достаточно долгом (можно даже оценить это время) эксперименте они напечатают все пьесы Шекспира.

    Тут же напрашивается аналогия с периодически появляющимися сообщениями о том, что в Ветхом Завете, якобы, закодированы послания потомкам, поддающиеся прочтению с помощью хитроумных программ. Отметать сходу такую экзотическую особенность Библии не совсем мудро, кабаллисты веками занимаются поиском таких пророчеств, но хотелось бы привести сообщение одного исследователя, который с помощью компьютера нашел в Ветхом завете слова о том, что в Ветхом Завете нет никаких пророчеств. Скорее всего, в очень большом тексте, так же, как и в бесконечных цифрах числа ПИ, можно не только закодировать любую информацию, но и “найти” фразы, изначально не заложенные туда.

    Для практики, в пределах Земли достаточно 11 знаков после точки. Тогда, зная, что радиус Земли равен 6400 км или 6,4*1012 миллиметров, получится, что мы, отбросив двенадцатую цифру в числе  ПИ после точки при вычислении длины меридиана, ошибемся на несколько миллиметров. А при расчете длины Земной орбиты при вращении вокруг Солнца (как известно, R=150*106 км = 1,5*1014 мм) для такой же точности достаточно использовать число ПИ с четырнадцатью знаками после точки, да что уж там мелочиться — диаметр нашей Галактики около 100.000 световых лет (1 световой год примерно равен 1013 км) или 1018 км или 1030 мм., а еще в XVII веке были получены 34 знака числа ПИ, избыточные для таких расстояний,  а их на данный момент вычислено до 12411-триллионного знака!!!

    Отсутствие периодически повторяющихся цифр, а именно, исходя их формулы Длина окружности=Пи*D окружность не замыкается, так как нет конечного числа. Этот факт также может тесно быть связан с спиральным проявлением в нашей жизни …

    Есть еще гипотеза о том, что все (или некоторые) универсальные постоянные (постоянная Планка, число Эйлера, универсальная гравитационная постоянная, заряд электрона и т.д.) со временем меняют свои значения, так как меняется кривизна пространства из-за перераспределения материи или по другим, не известным нам причинам. Рискуя навлечь гнев просвещенного сообщества, можем предположить, что и рассматриваемое сегодня число ПИ, отражающее свойства Вселенной, может со временем меняться. Во всяком случае, никто не может нам запретить заново найти значение числа ПИ, подтвердив (или не подтвердив) имеющиеся значения.

    Наглядное отображение как понять, что такое число ПИ

    Вот такая Вот …ПИ… ребята!

    In Love, Rostislav!

    p.s. Вы можете скачать первый миллион знаков после запятой в числе ПИ. скачать

    zengarden.in