Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и наоборот. Перевод двоичных чисел в восьмеричную систему счисления


Перевод числа из двоичной системы в восьмеричную систему счисления

Для перевода двоичных чисел в восьмеричные. Нужно, начиная от запятой влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих число, на тройки цифр, каждое полученное трехзначное число отдельно перевести в восьмеричную систему счисления; если крайние правая или левая группы цифр не будут полными тройками, их дополняют соответственно справа и слева нулями; затем каждую триаду заменяют соответствующей цифрой восьмеричной системы счисления.

Примеры:

дано двоичное число 1101111011, разбитое на группы по три двоичные цифры, можно записать как 1 101 111 011 и затем после записи каждой группы одной восьмеричной цифрой получить восьмеричное число 15738.

1. 1011101,10011 число переводим на восьмеричный,

1 011 101,100 11 → 001 011 101,100 011 → 125,438;

Двоичная система счисления

000

001

010

011

100

101

110

111

Восьмеричная система счисления

0

1

2

3

4

5

6

7

Перевод числа из двоичной системы в шестнадцатеричную систему

Для перевода двоичных чисел в шестнадцатеричную систему, нужно, начиная от запятой влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих число, на четверки цифр, каждое полученное четырехзначное число отдельно перевести в шестнадцатеричную систему счисления; если крайние правая или левая группы цифр не будут полными четверками, их дополняют соответственно справа и слева нулями; затем заменяют соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

Двоичное число 1101111011, использованное в предыдущем примере, после разбиения на группы по четыре двоичных цифры, можно записать как 11 0111 1011 и после выражения каждой группы одной шестнадцатиричной цирой получить шестнадцатиричное число 37В.

Пример: 101111,100011 легко перевести на шестнадцатеричную,

10 1111,1000 11 → 0010 1111,1000 1100 → 2F8C16;

Представим в виде таблицы:

Двоичная система счисления

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

Шестнадцатеричная система счисления

0

1

2

3

4

5

6

7

Двоичная система

счисления

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Шестнадцатеричная система счисления

8

9

A

B

C

D

E

F

Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе

Сложение. Операция сложения выполняется так же, как и в десятичной системе. Переполнение разряда приводит к появлению единицы в следующем разряде:

0+0=0 1+0=1

1+1=10 0+1=1

Пример: Выполним сложение двух двоичных чисел 101+11 (в десятичной системе это 5+3=8).

Сложение лучше выполнять в столбик, добавив недостающие нули.

101

+ 011

Рассмотрим процесс сложения поэтапно.

1. Выполняется сложение в младшем разряде: 1+1=10. В младшем разряде суммы записывается 0,и единица переносится в следующий старший разряд.

2. Суммируются цифры следующего слева разряда и единица переноса: 0+1+1=10. В этом разряде суммы записывается 0, и опять единица переносится в старший разряд.

3. Суммируются цифры третьего слева разряда и единица перенса: 1+0+1=10. В этом разряде записывается 1, и единица переносится в следующий старший разряд и .т.д.

В результате получили: 101

+ 011

1000

Итак, 10002=810

studfiles.net

Алгоритмы перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

 

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (q = 2n), может производиться по упрощённому алгоритму. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (q = 21), восьмеричной (q = 23) и шестнадцатеричной (q = 24) системами счисления.

 

 

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную. Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи.

2 = 2i . Так как 2 = 21, то i = 1 бит.

Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации.

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

8 = 2i . Так как 8 = 23, то i = 3 бита.

Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Переведем таким способом двоичное число 1010012 в восьмеричное:

101    0012 => 518.

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры:

Двоичные триады

000

001

010

011

100

101

110

111

Восьмеричные цифры

0

1

2

3

4

5

6

7

Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой, группе окажется меньше трех цифр, дополнить ее справа нулями. Далее необходимо триады заменить на восьмеричные числа.

Например, преобразуем дробное двоичное число А2 = 0,1101012 в восьмеричную систему счисления:

Двоичные триады

110

101

Восьмеричные цифры

6

5

Получаем: А8 = 0,658.

Теперь преобразуем число 101 001,110 1012 в восьмеричную систему счисления

Вы убедились что это 51,658

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи.

16 = 2i . Так как 16 = 24, то i = 4 бита.

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями.

Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Переведем целое двоичное число А2 = 1010012 в шестнадцатеричное:

Двоичные тетрады

0010

1001

Шестнадцатеричные цифры

2

9

В результате имеем: А16 = 2916.

Переведем дробное двоичное число А2 =0,1101012 в шестнадцатеричную систему счисления:

Двоичные тетрады

1101

0100

Шестнадцатеричные цифры

D

4

Получаем: А16 = 0,D416.

Для того чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления, необходимо произвести преобразования по рассмотренным выше алгоритмам отдельно для его целой и дробной частей.

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную. Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа - в группу из четырех цифр (тетраду).

Например, преобразуем дробное восьмеричное число А8 = 0,478 в двоичную систему счисления:

Восьмеричные цифры

4

7

Двоичные триады

100

111

Получаем: А2 = 0,1001112 .

Переведем целое шестнадцатеричное число А16 = АВ16 в двоичную систему счисления:

Шестнадцатеричные цифры

А

В

Двоичные тетрады

1010

1011

В результате имеем: А2 = 101010112

Значит

  1. если необходимо перевести число из из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную нам проще сделать это через двоичную.Необходимую для записи  двоичных чисел в развёрнутой форме таблицу степеней двойки удобнее иметь в таком виде:

  2. если необходимо перевести число из десятичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, удобней это делать через двоичную систему счисления, используя ту же самую таблицу степеней. Простой способ сделать это показан в скринкасте

Списываем и заполняем таблицу используя таблицу соответствия (вертикальная таблица выше)

Записываем в тетрадь разделение двоичных чисел на триады и тетрады.

  1. В таблицу записываем только значащие цифры.

  2. Разделитель при записи рациональных чисел — запятая.

  3. Из восьмеричной системы в шестнадцатеричную переводим через двоичную

  4. Из шестнадцатеричной системы в восьмеричную переводим через двоичнуюдля этого нам надо по разному разбивать цифры двоичного числа на группы

Bin

Oct

Hex

Сколько нолей дописали разбивая

На триады

На тетрады

11011,01

 

 

 

 

100001,1

 

 

 

 

 

1000,4

 

 

 

 

3567,2

 

 

 

 

 

3АВ,8

 

 

 

 

80,4

 

 

Задание

Чертим в тетради такую же таблицу и вписываем в неё исходные данные

Или

На 5 - переводим свои двоичные числа в десятичные через развёрнутую форму записи

www.oivt.ru

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и наоборот

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

Двоичная система счисления имеет основание 2 и две цифры: 0 и 1.

Восьмеричная система имеет основание 8 и цифры: 0, 1, …, 7.

Шестнадцатеричная система имеет основание 16 и цифры: 0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F.

Ниже приведена таблица 1 соответствия чисел от 0 до 15 в данных системах счисления.

Таблица 1 Соответствие чисел в разных системах счисления

Десятичная Шестнадцатеричная Восьмеричная Двоичная
A B C D E F

Для преобразования целого числа Zp→Zqв случае q=pr, где r – целое число, большее единицы, достаточно Zp разбить справа налево на группы по r цифр и каждую из них независимо перевести в систему q.

Т.е. для перевода любого целого двоичного числа в восьмеричное (8=23) необходимо разбить его справа налево на группы по 3 цифры (триады, самая левая группа может содержать менее трех двоичных цифр), а затем каждой группе поставить в соответствие ее восьмеричный эквивалент.

Пример 10. Перевести число 11011001 из двоичной системы в восьмеричную.

11011001(2)=11011001=331(8)

т.к. 11(2)=3(8),

011(2)=3(8),

001(2)=1(8).

А перевод целого двоичного числа в шестнадцатеричное (16=24) производится путем разбиения данного числа на группы по 4 цифры (тетрады).

Пример 11. Перевести число 1100011011001 из двоичной системы в шестнадцатеричную.

1100011011001 (2)=1100011011001=18D9(16)

т.к. 1(2)=1(16),

1000(2)=8(16),

1101(2)=D(16),

1001(2)=9(8).

Задания.

Перевести следующие числа из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную:

1) 1110101011(2)à?(8), (16)

2) 10101001011(2)à? (8), (16)

3) 11110101101(2)à? (8), (16)

4) 1000010111110(2)à? (8), (16)

5) 101010101(2)à? (8), (16)

6) 1011010101101(2)à? (8), (16)

1.3.2 Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную

Для преобразования целого числа Zp→Zq в случае p=qr, где r – целое число, большее единицы, достаточно каждую цифру числа Zp заменить соответствующим r-разрядным числом в системе счисления q, дополняя его при этом нулями слева до группы в r цифр.

То есть, перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичные производится обратным путем – сопоставлением каждому знаку числа соответствующей триады (тетрады).

Пример 12. Перевести число 331 из восьмеричной системы в двоичную.

331(8)=11011001=11011001.

т.к. 3(8)=11(2), (первое число не обязательно дополнять до триады)

3(8)=11(2), а если дополнит до триады, то 011,

1(8)=1(2), а если дополнить до триады, то 001.

Пример 13. Перевести число 18D9 из шестнадцатеричной системы в двоичную.

18D9 (16)=1100011011001=1100011011001 (16)

т.к. 1(16)=1(2),

8(16)=1000(2),

D(16)=1101(2),

9(8)=1001(2).

Задания.

Перевести следующие числа из восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

1) 3A74(16)à?(2) 7) 2A9C(16)à?(2)

2) 746(8)à?(2) 8) 2535(8)à?(2)

3) 7BCD(16)à?(2) 9) 152E(16)à?(2)

4) 253(8)à?(2) 10) 1624(8)à?(2)

5) 1F67(16)à?(2) 11) 7FD(16)à?(2)

6) 637(8)à?(2) 12) 251(8)à?(2)

 

Кодирование чисел. Прямой, обратный и дополнительный коды. Сложение чисел с фиксированной запятой в прямом, обратном и дополнительных кодах

 

 

В современных ЭВМ используется 2 способа представления двоичных чисел – с фиксированной и с плавающей запятой. В формате с фиксированной запятой используется как беззнаковое представление чисел, так и представление чисел со знаком, где знак кодируется двоичной цифрой – обычно плюсу соответствует 0, а минусу – 1. Под код знака обычно отводится старший разряд a0 двоичного вектора a0a1a2…an, называемый знаковым.

Запятая может быть фиксирована после любого разряда двоичного числа, но чаще всего используется 2 формата: целые числа, когда запятая фиксируется после младшего разряда an, и дробные числа – запятая фиксируется после a0.

Мы будем рассматривать дробные числа a0,a1a2…an.

Кодирование чисел

Прямой код

Пусть А= a0,a1a2…an.Если A>0, то А= 0,a1a2…an, если же A<0, то А= =1,a1a2…an.Приведенное кодирование дробных двоичных чисел со знаком принято называть прямым кодом числа и обозначается [A]d. То есть,

Пример 14.Если A=0,110101, то [A]d=0,110101.

Если A=-0,101110, то [A]d=1,101110.

Обратный код

Представление обратного кода определяется следующим соотношением:

Т.е. обратный код положительного числа равен самому числу. Для получения обратного кода отрицательного числа достаточно присвоить знаковому разряду значение 1 и проинвертировать все остальные разряды числа.

Для перехода из обратного кода в прямой осуществляется преобразование т.е. [[A]i]=[A]d.

Пример 15.Если A=-0,111000, то [A]i=1,000111.

Если A=-0,101110, то [A]i=1,010001.

Дополнительный код

Представление дополнительного кода определяется следующим соотношением:

Дополнительный код положительного числа равен самому числу. Дополнительный код отрицательного числа дополняет исходное число до основания системы счисления. Дополнительный код отрицательного числа образуется в соответствии:

Первый способ.Для преобразования отрицательного числа в дополнительный код следует преобразовать его сначала в обратный код и добавить единицу к младшему разряду обратного кода.

Второй способ: оставить без изменения все младшие нули и одну младшую единицу, остальные разряды проинвертировать.

Пример 16.Если A=-0,111000, то [A]i=1,000111, а [A]c=1,001000.

ЕслиA=-0,101110, то[A]i=1,010001, а[A]c=1,010010.

Задания.

Перевести следующие числа в прямой, обратный и дополнительный код:

1) 0,0111 6) -0,11110101

2) -0,0111 7) 0,1010110

3) -0,1000 8) -0,1000110

4) -0,0101 9) 0,10100000

5) -0,10100010 10) -0,10111000

studopedya.ru

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и обратный перевод

 

При переводе двоичного числа в восьмеричную систему счисления в двоичном числе справа налево выделяю группы по три разряда в каждой и каждую такую тройку записывают в виде восьмеричной цифры. Если в группе, куда входят старшие разряды числа, нет трех разрядов, то недостающие подразумеваются равными нулю.

При переводе двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления в двоичном числе справа налево выделяю группы по четыре разряда в каждой и каждую такую четверку записывают в виде шестнадцатеричной цифры. Если в группе, куда входят старшие разряды числа, нет четырех разрядов, то недостающие подразумеваются равными нулю.

Перевод из восьмеричной (шестнадцатеричной) системы счисления выполняются аналогично: один символ восьмеричной заменяется тремя двоичными, один символ шестнадцатеричной заменяется четырьмя двоичными

 

Примеры:

1) Переведем число в восьмеричную систему счисления

Для этого разобьем данное число справа налево на тройки. Каждую тройку заменим соответствующим восьмеричным числом.

2) Переведем число в шестнадцатеричную систему счисления.

Для этого разобьем данное число справа и слева от запятой на четверки справа налево. Каждую тройку заменим соответствующим шестнадцатеричным числом.

3) Переведем число из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную. Для этого представим каждую шестнадцатеричную цифру соответствующим двоичным числом.

Арифметические действия в различных системах счисления

Двоичная система счисления

 

Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются по правилам, указанным в таблице 2.

 

Таблица 2 – Арифметические операции в двоичной системе счисления

сложение вычитание умножение
0+0=0 0 - 0=0 0*0=0
0+1=1 1 - 0=1 0*1=0
1+0=1 1 - 1=0 1*0=0
1+1=10 10 – 1=1 1*1=1

Примеры:

1) 2)

10011 100010011 101

× 10110 101 110111

00000 111

10011 101

10011 1000

00000 0000

10011 101

110100010 111

101

3) 4)

1011,1 1011,1

+ 101,01 - 101,01

0000,11 110,01

 

 

Восьмеричная система счисления

 

Действия над числами в восьмеричной системе счисления выполняются согласно правилам, указанным в таблицах 3, 4, 5.

Таблица 3 – Сложение восьмеричных чисел

 

Таблица 4 – Вычитание восьмеричных чисел

 
- - - - - - - -
- - - - - - -
- - - - - -
- - - - -
- - - -
- - -
- -
-

В таблице не заполнены те места, где при вычитании уменьшаемое меньше вычитаемого. На практике в этом случае вычитание производится так же, как и в десятичной системе счисления, т.е. занимается единица с ее весом из соседнего старшего разряда числа.

 

Таблица 5 –Умножение восьмеричных чисел

 

Примеры:

 

1) 2)

 

7,58 351,7

+ 14,68 - 23,1

24,38 326,6

 

3) 4)

127,12 301,3 21

× 32,5 21

66362 71

25624 63

40536 63

4420,422 63

 

cyberpedia.su

Перевод числа из двоичной системы в восьмеричную систему счисления

Для перевода двоичных чисел в восьмеричные. Нужно, начиная от запятой влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих число, на тройки цифр, каждое полученное трехзначное число отдельно перевести в восьмеричную систему счисления; если крайние правая или левая группы цифр не будут полными тройками, их дополняют соответственно справа и слева нулями; затем каждую триаду заменяют соответствующей цифрой восьмеричной системы счисления.

Примеры:

дано двоичное число 1101111011, разбитое на группы по три двоичные цифры, можно записать как 1 101 111 011 и затем после записи каждой группы одной восьмеричной цифрой получить восьмеричное число 15738.

1. 1011101,10011 число переводим на восьмеричный,

1 011 101,100 11 → 001 011 101,100 011 → 125,438;

Двоичная система счисления

000

001

010

011

100

101

110

111

Восьмеричная система счисления

0

1

2

3

4

5

6

7

Перевод числа из двоичной системы в шестнадцатеричную систему

Для перевода двоичных чисел в шестнадцатеричную систему, нужно, начиная от запятой влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих число, на четверки цифр, каждое полученное четырехзначное число отдельно перевести в шестнадцатеричную систему счисления; если крайние правая или левая группы цифр не будут полными четверками, их дополняют соответственно справа и слева нулями; затем заменяют соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

Двоичное число 1101111011, использованное в предыдущем примере, после разбиения на группы по четыре двоичных цифры, можно записать как 11 0111 1011 и после выражения каждой группы одной шестнадцатиричной цирой получить шестнадцатиричное число 37В.

Пример: 101111,100011 легко перевести на шестнадцатеричную,

10 1111,1000 11 → 0010 1111,1000 1100 → 2F8C16;

Представим в виде таблицы:

Двоичная система счисления

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

Шестнадцатеричная система счисления

0

1

2

3

4

5

6

7

Двоичная система

счисления

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Шестнадцатеричная система счисления

8

9

A

B

C

D

E

F

Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе

Сложение. Операция сложения выполняется так же, как и в десятичной системе. Переполнение разряда приводит к появлению единицы в следующем разряде:

0+0=0 1+0=1

1+1=10 0+1=1

Пример: Выполним сложение двух двоичных чисел 101+11 (в десятичной системе это 5+3=8).

Сложение лучше выполнять в столбик, добавив недостающие нули.

101

+ 011

Рассмотрим процесс сложения поэтапно.

1. Выполняется сложение в младшем разряде: 1+1=10. В младшем разряде суммы записывается 0,и единица переносится в следующий старший разряд.

2. Суммируются цифры следующего слева разряда и единица переноса: 0+1+1=10. В этом разряде суммы записывается 0, и опять единица переносится в старший разряд.

3. Суммируются цифры третьего слева разряда и единица перенса: 1+0+1=10. В этом разряде записывается 1, и единица переносится в следующий старший разряд и .т.д.

В результате получили: 101

+ 011

1000

Итак, 10002=810

studfiles.net

Перевод числа из двоичной системы в восьмеричную систему счисления — МегаЛекции

Для перевода двоичных чисел в восьмеричные. Нужно, начиная от запятой влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих число, на тройки цифр, каждое полученное трехзначное число отдельно перевести в восьмеричную систему счисления; если крайние правая или левая группы цифр не будут полными тройками, их дополняют соответственно справа и слева нулями; затем каждую триаду заменяют соответствующей цифрой восьмеричной системы счисления.

Примеры:

дано двоичное число 1101111011, разбитое на группы по три двоичные цифры, можно записать как 1 101 111 011 и затем после записи каждой группы одной восьмеричной цифрой получить восьмеричное число 15738.

1. 1011101,10011 число переводим на восьмеричный,

1 011 101,100 11 → 001 011 101,100 011 → 125,438;

Двоичная система счисления
Восьмеричная система счисления

Перевод числа из двоичной системы в шестнадцатеричную систему

Для перевода двоичных чисел в шестнадцатеричную систему, нужно, начиная от запятой влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих число, на четверки цифр, каждое полученное четырехзначное число отдельно перевести в шестнадцатеричную систему счисления; если крайние правая или левая группы цифр не будут полными четверками, их дополняют соответственно справа и слева нулями; затем заменяют соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

Двоичное число 1101111011, использованное в предыдущем примере, после разбиения на группы по четыре двоичных цифры, можно записать как 11 0111 1011 и после выражения каждой группы одной шестнадцатиричной цирой получить шестнадцатиричное число 37В.

Пример: 101111,100011 легко перевести на шестнадцатеричную,

10 1111,1000 11 → 0010 1111,1000 1100 → 2F8C16;

Представим в виде таблицы:

Двоичная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления

 

Двоичная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления A B C D E F

Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе

Сложение. Операция сложения выполняется так же, как и в десятичной системе. Переполнение разряда приводит к появлению единицы в следующем разряде:

0+0=0 1+0=1

1+1=10 0+1=1

Пример: Выполним сложение двух двоичных чисел 101+11 (в десятичной системе это 5+3=8).

Сложение лучше выполнять в столбик, добавив недостающие нули.

+ 011

Рассмотрим процесс сложения поэтапно.

1. Выполняется сложение в младшем разряде: 1+1=10. В младшем разряде суммы записывается 0,и единица переносится в следующий старший разряд.

2. Суммируются цифры следующего слева разряда и единица переноса: 0+1+1=10. В этом разряде суммы записывается 0, и опять единица переносится в старший разряд.

3. Суммируются цифры третьего слева разряда и единица перенса: 1+0+1=10. В этом разряде записывается 1, и единица переносится в следующий старший разряд и .т.д.

В результате получили: 101

+ 011

Итак, 10002 =810

Вычитание.

При вычитании двоичных чисел нужно помнить что

0-0=0

0-1=1

1-0=1

1-1=0

Пример. Найти разность двоичных чисел: 1010-101. Выполним вычитание в столбик, начиная с младшего разряда:

_1010

101

Рассмотрим процесс вычитания поэтапно.

1. Для младшего разряда имеем: 0-1. Поэтому занимаем единицу в старшем разряде и находим

10-1=1.

2. В следующем разряде уже будет 0-0=0.

3.В разряде слева опять имеем 0-1. Занимаем единицу в старшем разряде и находим 10-1=1.

4. в следующем разряде остался 0.

 

В результате получили: _1010

101

Умножение.

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

Пример. Найти произведение двоичных чисел: 1012 и 1102. Выполним произведение чисел в столбик, начиная с младшего разряда:

*101 Проверка: 1012=1*22+0*21+1*20=5

´110 1102=1*22+1*21+0*20=6

+101

101

111102= 1*24+1*23+1*22+1*21+0*20=16+8+4+2+0=3010, т.е. 5*6=30

Рассмотрим процесс умножения поэтапно.

1. Умножая на младший разряд по таблице, имеем 000.

2. Умножая на следующий разряд, получаем 101, но со сдвигом на один разряд влево.

3. Умножая на старший разряд, получаем также 101, но со сдвигом на один разряд влево.

4. Теперь с учетом таблицы сложения двоичных чисел складываем и получаем результат 111102.

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Самостоятельная работа студента с преподователям:

1. Задания: Представьте в виде суммы степеней основания числа:

1. 110101012 6. 1101,0112

2. 111110102 7. 0,1001012

3. 101010112 8. 11,101012

4. 111001012 9. 111,101002

5. 111010012 10. 101,100012

 

Задания: записать следующих двоичных чисел в восьмеричной системе

1. 111101100112 6. 1101010,11002

2. 1101101012 7. 1010110,01012

3. 1101001102 8. 11010,011012

4. 101001102 9. 1000,11012

5. 10000112 10. 11101,0012

3. Задания: записать следующих двоичных чисел в шестнадцатеричной системе 1 1. 1 1111101010102 6. 101010101,110012

2. 11010101001112 7. 101010101,10101012

  1. 100011101012 8. 1010111,010102
  2. 10100110112 9. 11111,110002
  3. 10010100112 10. 101,10110112

4. Задания: Выполните сложение:

1. 0110+0110= 6. 1101+0110=

2. 11001+10111= 7. 1010+011=

3. 10001+11101= 8. 10111+1011=

4. 11001+11100= 9. 111010+1110=

5. 11000+11101= 10. 110011+100011=

5. Задания: Выполните вычитание:

1. 11010-01101= 6. 10111-1001=

2. 1101-0110= 7. 111011-11001=

3. 1101-111= 8. 10111-11100=

4. 10001-1011= 9. 11110-1001=

5. 11011-1001= 10. 101011-10111=

6. Задания: Выполните умнажение:

1. 1011´110= 6. 1101´101=

2. 11001´111= 7. 1010´101=

3. 0101´10= 8. 10001´111=

4. 1000´101= 9. 1110´1001=

5. 10111´1100= 10. 11011´100=

Самостоятельная работа студента:

Задания. Заполните таблицу:

Десятичная с.с. Двоичная с.с. Восьмеричная с.с. Шестнадцатиричная с.с.
I-Вариант 358,95      
     
     
      164А
I I -Вариант 634,67      
     
      7АС
     
I I I -Вариант 582,02      
      1Ғ6Е
     
     
IV-Вариант 369,025      
     
     
      4D61
V-Вариант 468.15      
     
     
      2D4A
VI-Вариант 654.27      
     
      5AD
     
VII-Вариант 286.52      
      1D8E
     
     
VIII-Вариант 492.025      
     
     
      4C61
IX-Вариант 417.75      
     
     
952F
X-Вариант 744.67      
     
      78FC
     
XI-Вариант 542.92      
      4D67
     
     

Контрольные вопросы:

1. Что называют двоичной системы счисления?

2. Что такое двоичное число?

3. Каждый разряд двоичного числа как называется?

4. Как можно перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления?

5. Как можно перевести положительную десятичную дробь в двоичную?

 

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

Перевод числа из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной), дополнив, если необходимо нулями, и каждую группу заменить соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой

ПРИМЕР:Перевести двоичное число 10010100010010,101 112 в восьмеричное и шестнадцатеричное.

10010100010010,101 112 = 010 010 100 010 010, 101 1102 = 2 2 4 2 2, 5 68

10010100010010,1011 12 = 0010 0101 0001 0010, 1011 10002 = 2 5 1 2, В816

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.Переведите число из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы, аналогично приведенным примерам.

Номер варианта

Число

Номер варианта

Число

1

110010110010,1011

9

111000101001,001001

2

100011010010,011011

10

100011110010,1001

3

110010100110,100101

11

111000010101,011001

4

100111001000,00110

12

101010100001,00111

5

101100001110,100111

13

110011010101,1011

6

110011000100,001001

14

101010001011,1001

7

101000100111,100011

15

101100011100,001101

8

101100001101,001101

16

101000011111,11001

  1. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Во всех позиционных системах счисления арифметические операции выполняются так же, как и в десятичной системе – сложение, вычитание и умножение – столбиком, деление – углом. Для каждой системы счисления существуют свои таблицы сложения и умножения.

    1. Сложение

Таблицы сложения составляются с помощью Правила Счета.

Сложение в двоичной системе

Сложение в восьмеричной системе

+

0 1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7 10

2 3 4 5 6 7 10 11

3 4 5 6 7 10 11 12

4 5 6 7 10 11 12 13

5 6 7 10 11 12 13 14

6 7 10 11 12 13 14 15

7 10 11 12 13 14 15 16

Сложение в шестнадцатеричной системе

+

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

2

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

3

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

4

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

5

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

6

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

7

7

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

8

8

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

9

9

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

A

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

B

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

C

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

1B

D

D

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

1B

1C

E

E

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

1B

1C

1D

F

F

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1A

1B

1C

1D

1E

При сложении цифры суммируются по разрядам, и, если при этом возникает переполнение, то 1 переносится в старший разряд (влево).

ПРИМЕР 1:Сложить числа 14 и 7 в различных позиционных системах счисления.

Десятичная: 1410 + 710Двоичная: 1 1102 + 1112 Восьмеричная: 168 + 78

Шестнадцатеричная: Е16 + 716

Ответ: 14 + 7 = 2110 = 10 1012 = 258 = 1516

Проверка.Преобразуем полученные двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные суммы в десятичные:

10 1012 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 2110

258 = 2 x 81 + 5 x 80 = 16 + 5 = 2110

1516 = 1 x 161 + 5 x 160 = 16 + 5 = 2110

ПРИМЕР 2:Сложить числа 15, 6 и 4 в различных позиционных системах счисления.

Десятичная:1510 + 610 + 410Двоичная: 1 1112 + 1102 + 1002

Восьмеричная: 178 + 68 + 48Шестнадцатеричная: F16 + 616 + 416

Ответ: 1510 + 610 + 410 = 2510 = 11 0012 = 318 = 1916

Проверка.Преобразуем полученные двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные суммы в десятичные:

11 0012 = 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 2510

318 = 3 x 81 + 1 x 80 = 24 + 1 = 2510

1916 = 1 x 161 + 9 x 160 = 16 + 9 =2510

ПРИМЕР 3:Сложить числа 41,5 и 31,75 в различных позиционных системах счисления.

Десятичная: 41,510+ 31,7510Двоичная: 101 001,1 + 11 111,11

Восьмеричная: 51,48 + 37,68Шестнадцатеричная: 29,816 + 1F,C16

Ответ:41,510 + 31,7510 = 73,2510 = 1 001 001,012 = 111,28 = 49,416

Проверка.Преобразуем полученные двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные суммы в десятичные:

1 001 001,012 = 1x26 + 0x25 + 0x24 + 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x 2-2 =

= 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1/4 =

= 73,2510

111,28 = 1 x 82 + 1 x 81 + 1 x 80 + 2 x 8-1 = 64 + 8 + 1 + 2/8 = 73,2510

49,416 = 4 x 161 + 9 x 160 + 4 x 16-1 = 64 + 9 + 4/16 = 73,2510

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.Сложить числа в различных позиционных системах счисления, аналогично примеру 1.Сделать проверку.

Номер варианта

Числа

Номер варианта

Числа

1

18 и 56

9

49 и 39

2

34 и 12

10

27 и 58

3

63 и 34

11

76 и 26

4

48 и 14

12

14 и 79

5

25 и 23

13

82 и 17

6

72 и 41

14

57 и 34

7

52 и 23

15

36 и 47

8

85 и 23

16

68 и 16

studfiles.net