Как найти координаты точки пересечения двух прямых. Пересечение 2 прямых


Пересечение двух прямых. Угол и точка пересечения

Параметры пересечения двух прямых

Перпендикулярная прямая

Это задача наверное одна из самых популярных и востребованных  в школьных учебниках. Задачи, основанные на эту тему многообразны. Это и определение точки пересечения двух прямых, это и определение уравнения прямой, проходящяя через точку на исходной прямой под каким либо углом.

Эту тему мы раскроем, используя в своих вычислениях  данные полученные с помощью Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам

Именно там было рассмотрено преобразование общего уравнения прямой, в уравнение с угловым коэффициентом и обратно, и определения остальных парметров прямой по заданным условиям.

Что же нам не хвататет для того, что бы решать те задачи, которым посвящена эта страница?

1. Формулы вычисления одного из углов  между двумя пересекающимися прямыми.

Если мы имеем две прямые  которые заданы уравнениями:

  и 

то один из углов вычисляется так:

2.  Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящяя через заданную точку 

 

Из формулы 1, мы можем увидеть два пограничных состояния

а) когда   тогда  и следовательно  эти две заданные прямые паралельны ( или совпадают)

б) когда , тогда ,   и следовательно эти прямые перпендикулярны, то есть  пересекаются под прямым углом.

 

Какие могут быть исходные данные  для решения подобных задач, кроме заданной прямой?

- точка на прямой и угол под которым вторая прямая его пересекает

- второе уравнение прямой

Какие же задачи  может позволить решить бот ?

1. Заданы  две прямые ( явным или не явным образом например по двум точкам). Вычислить точку пересечения и углы по которыми они пересекаются.

2. Задана одна прямая , точка на прямой и  один угол. Определить уравнение прямой, перескающую заданную под указанным углом

Примеры

 

Две прямые заданы  уравнениями. Найти точку пересечения этих прямых и углы под которым они пересекаются

 

 

 

 

 

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

 

получаем следующий результат

 

Уравнение первой прямой

y = 2.2 x + ( 1.2  )

Уравнение второй прямой

y = 0.4285714285714 x + ( -5  )

Угол пересечения двух прямых(в градусах)

-42.357454705937

Точка пересечения двух прямых

x = -3.5

y = -6.5

 

 

 

 

Не забудьте что параметры двух линий  разделяются запятой, а параметры каждой линии точкой с запятой.

 

 

Прямая проходит через две точки (1:-4) и (5:2) . Найти уравнение прямой, которая проходит через точку (-2:-8) и пересекает исходную прямую под углом 30 градусов.

Одна прямая нам известна, так как известны две точки через которые  она проходит.

Осталось определить уравнение второй прямой . Одна точка нам известна, а вместо второй указан угол, под которым первая прямая пересекает вторую. 

Вроде все известно, но тут главное не ошибится. Речь идет об угле(30 градусов) не между осью абсцисс и линией, а между первой и второй линией.

Для этого мы постим так. Определим параметры первой линии, и узнаем под каким углом она пересекает ось абсцисс.

Для этого воспользуемся Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам

line xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Параметры прямой линии  по заданным параметрам

Общее уравнение Ax+By+C = 0

Коэффициент А = -6

Коэффициент B = 4

Коэффициент C = 22

Уравнение прямой в отрезках  x/a+y/b = 1

Коэффициент a= 3.6666666666667

Коэффициент b = -5.5

Уравнение прямой c угловым коэфициентом  y = kx + b

Коэффициент k = 1.5

Угол наклона к оси ( в градусах) f = 56.309932474019

Нормальное уравнение прямой x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Коэффициент p = 3.0508510792386

Коэффициент q = 2.5535900500422

Расстояние между точками=7.211102550928

Расстояние от точки до прямой li =

Видим что первая линия пересекает ось под углом 56.309932474019 градусов.

В искходных данных не сказано как именно пересекает вторая линия, первую. Можно ведь построить две линии удовлетворяющих условиям, первая  повернутая на 30 градусов  ПО часовой стрелке, а вторая на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке.

Давайте их и посчитаем

Если вторая линия повернута на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке, то вторая линия будет иметь градус пересечения с осью абсцисс 30+56.309932474019 = 86.309932474019 градусов

Тогда мы можем посчитать любым способом уравнение второй прямой

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Параметры прямой линии  по заданным параметрам

Общее уравнение Ax+By+C = 0

Коэффициент А = 23.011106998916

Коэффициент B = -1.4840558255286

Коэффициент C = 34.149767393603

Уравнение прямой в отрезках  x/a+y/b = 1

Коэффициент a= -1.4840558255286

Коэффициент b = 23.011106998916

Уравнение прямой c угловым коэфициентом  y = kx + b

Коэффициент k = 15.505553499458

Угол наклона к оси ( в градусах) f = 86.309932474019

Нормальное уравнение прямой x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Коэффициент p = -1.4809790664999

Коэффициент q = 3.0771888256405

Расстояние между точками=23.058912962428

Расстояние от точки до прямой li =

 

то есть наше уравнение второй линии есть y=15.505553499458x+23.011106998916

Проверим??

 

узнаем угол пересечения двух прямы х что мы нашли y=15.505553499458x+23.011106998916 и y=1.5x-5.5

 

line_p k=15.505553499458;b=23.011106998916,k=1.5;b=-5.5

 

Уравнение первой прямой

y = 15.505553499458 x + ( 23.011106998916  )

Уравнение второй прямой

y = 1.5 x + ( -5.5  )

Угол пересечения двух прямых(в градусах)

-29.999999999998

Точка пересечения двух прямых

x = -2.0357001242414

y = -8.553550186362

Как видно угол межуд прямыми именно такой какой нам задали в задании.

Задача решена.

Да, аналогично можно посчитать уравнение прямой которое было бы повернуто  на 30 градусов по часовой стрелке

  • Пересечение прямой и кривой второго порядка >>

www.abakbot.ru

П.6.3.Как найти точку пересечения двух прямых? — Мегаобучалка

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решениемсистемы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:1) Составить уравнение одной прямой .2) Составить уравнение второй прямой .3) Выяснить взаимное расположение прямых . 4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Пример 13.

Найти точку пересечения прямых

Решение: Точку пересечения целесообразно искать аналитическим методом. Решим систему:

Ответ:

 

П.6.4. Расстояние от точки до прямой

Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.

Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Расстояние от точкидо прямой выражается формулой

Пример 14.

Найти расстояние от точки до прямой

Решение: всё что нужно - аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ:

 

П.6.5. Угол между прямыми.

Пример 15.

Найти угол между прямыми .

1. Проверяем перпендикулярны ли прямые:

Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:, значит, прямые не перпендикулярны.2. Угол между прямыми найдём с помощью формулы:Таким образом:Ответ:

 

Кривые второго порядка. Окружность

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат 0ху.

Кривой второго порядка называется линия на плоскости, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат точки М(х, у, z). В общем случае это уравнение имеет вид:

где коэффициенты А, В, С, D, E, L – любые действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А, B, С отлично от нуля.

Далее рассмотрим четыре вида кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

1.Окружностью называется множество точек на плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки М0(х0, у0) постоянно и равно R. Точка М0 называется центром окружности, а число R – ее радиусом

– уравнение окружности с центром в точке М0(х0, у0) и радиусом R.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то имеем:

– каноническое уравнение окружности.

Эллипс.

Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек есть величина постоянная (причем эта величина больше расстояний между данными точками). Данные точки называются фокусами эллипса.

– каноническое уравнение эллипса.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса и обозначается: , . Так как , то < 1.

Следовательно, с уменьшением отношение стремится к 1, т.е. b мало отличается от а и форма эллипса становится ближе к форме окружности. В предельном случае при , получается окружность, уравнение которой есть

х2 + у2 = а2 .

 

Гипербола

Гиперболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемыхфокусами, есть величина постоянная (при условии, что эта величина меньше расстояния между фокусами и не равна 0).

Пусть F1, F2 – фокусы, расстояние между ними обозначим через 2с,

– каноническое уравнение гиперболы.

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается , т.е. . Так как , то . Из формулы имеем: ,

Следовательно, эксцентриситет характеризует форму гиперболы.

Парабола

Параболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки (называемой фокусом) равно расстоянию до данной прямой (называемой директрисой).

Пусть F – фокус, l – директриса параболы, р – расстояние от фокуса F до директрисы l (назовем р параметром параболы).

– каноническое уравнение параболы.

Заметим, что уравнение при отрицательном р также задает параболу, которая будет расположена слева от оси 0у . Уравнение описывает параболу, симметричную относительно оси 0у, лежащую выше оси 0х при р > 0 и лежащую ниже оси 0х при р < 0.

 

megaobuchalka.ru

Координаты точки пересечения двух прямых

Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.

Точка пересечения двух прямых – определение

Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.

Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать , быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся  в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Определение точки пересечения прямых звучит так:

Определение 1

Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.

Если на плоскости имеется система координат Оху, то задаются две прямые a и b. Прямой a соответствует общее уравнение вида A1x+B1y+C1=0, для прямой b - A2x+B2y+C2=0. Тогда M0(x0, y0) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить , будет ли точка М0 являться точкой пересечения этих прямых.

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться  в точке, координаты которой  являются решением заданных уравнений A1

www.zaochnik.com

Пересечение прямых Википедия

Пересечение прямых.

В евклидовой геометрии пересечение двух прямых может быть пустым множеством, точкой или прямой. Различение этих случаев и поиск точки пересечения используется, например, в компьютерной графике, при планировании движения[en] и для обнаружения столкновений.

В трёхмерной евклидовой геометрии, если две прямые не находятся в той же самой плоскости, они называются скрещивающимися и не имеют точек пересечения. Если прямые находятся в одной плоскости, имеется три возможности. Если они совпадают, они имеют бесконечно много общих точек (а именно, все точки на этих прямых). Если прямые различны, но имеют один и тот же наклон, они параллельны и не имеют общих точек. В противном случае они имеют одну точку пересечения.

В неевклидовой геометрии две прямые могут пересекаться в нескольких точках и число непересекающихся с данной прямой других прямых (параллельных) может быть больше единицы.

Пересечение двух прямых[ | код]

Необходимым условием пересечения двух прямых является принадлежность их одной плоскости, то есть эти прямые не должны быть скрещивающимися. Выполнение этого условия эквивалентно вырожденности тетраэдра, у которого две вершины лежат на одной прямой, а две другие — на другой (т.е. объём этого тетраэдра равен нулю). Алгебраическую форму этого условия можно посмотреть в статье «Проверка скрещенности».

Если заданы по две точки на каждой прямой[ | код]

Рассмотрим пересечение двух прямых L1{\displaystyle L_{1}\,} и L2{\displaystyle L_{2}\,} на плоскости, где прямая L1{\displaystyle L_{1}\,} определена двумя различными точками (x1,y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})\,} и

ru-wiki.ru

Пересечение прямой и кривой второго порядка

Уравнение кривой второго порядка
Уравнение кривой
Уравнение прямой к угловым коэффициентом
Уравнение прямой
Координаты пересечения кривой и прямой
Первая координата
Вторая координата

 

Продолжим наш анализ кривых второго порядка и сейчас  мы готовы представить сервис который позволяет рассчитывать  точки пересечения произвольной прямой и произвольно заданной кривой второго порядка. Таким образом бот позволяет рассчитывать точки пересечения:

 

- прямой и параболы

- прямой и эллипса

- прямой и окружности

- прямой и гиперболы

- прямой и параболы

Для тех посетителей  кому интересно, сообщаем общую формулу расчета точек пересечения кривой второго порядка и прямой

Если прямая  представлена в виде  , а кривая в виде   то решая квадратное уравнение вида

где 

получаем две точки абсцисс , которые являются корнями квадратного уравнения.

поставив эти значения в уравнение прямой , мы определяем две точки ординат и таким образом у нас есть пара точек  пересечения прямой и кривой.

Синтаксис для XMPP клиентов

kp2_line параметры прямой;kp2=коэффициенты кривой через пробел

параметры прямой -  могут быть различны. лучше по этому вопросы прочитать статью Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам

коэффициенты кривой  - формат  такой же как в статье Расчет кривых второго порядка на плоскости

Примеры использования

Найти точки пересечения  прямой проходящей через точки (0, 2) и (-3,-8) и параболы заданная уравнением 

Прямая задана  двумя точками. Обратившись к вышеупомянутной  статье по расчету прямой линии мы видим,  что параметры линии надо записать так

а коэффициенты кривой второго порядка  имеют вид  3 0 0 -8 -1 3

Теперь мы записываем  все данные

kp2_line xa=0;ya=2;xb=-3;yb=-8;kp2=3 00 -8 -1 3

и получаем результат

Точки пересечения кривой второго порядка вида

( 3 ) x^2 + ( -8 ) x + ( -1 ) y + ( 3 )   = 0

и прямой вида

y = 3.3333333333333*x + (2)

Первая координата x = 3.6874 y = 14.291333333333

Вторая координата x = 0.0904 y = 2.3013333333333

 

Определить координаты пересечения прямой  и окружности 

Для решения этой задачи нам придется  раскрыть скобки   для уравнения окружности

результат будет вот такой  

Таким образом коэффициенты кривой будут вот такие

1 1 0 -6 2 -15

а коэффиценты прямой запишем вот так

A=2;B=5;C=-8

и общий вид запроса будет вот такой

kp2_line A=2;B=5;C=-8;kp2=1 1 0 -6 2 -15

Ответ бота

Точки пересечения кривой второго порядка вида

( 1 ) x^2 + ( 1 ) y^2 + ( -6 ) x + ( 2 ) y + ( -15 )   = 0

и прямой вида

y = -0.4*x + (1.6)

Первая координата x = 7.9655 y = -1.5862

Вторая координата x = -1.0000 y = 2

 

Истинность расчетов  легко проверяется  подстановкой в уравнение прямой или окружности

Прямая пересекает ось абсцисс под углом 50 градусов и проходит через точку (2,-1). Определить точки пересечения данной прямой и эллипса который  проходить через три точки (3,-2) (3,1) (-6,-1)

Несмотря на то, что  нет ниодного явного уравнения, бот сможет Вам дать правильный ответ

Для прямой линии известны два параметра это координаты точки и угловой коэффициент.

Угловой коэффициент  связан с углом  к оси абсцисс следующим выражением

 где F - это угол в радианах, а k - это угловой коэффициент

тогда зная угол в 50 градусов, угловой коэффициент равен 1.19175359259421

k=1.19175359259421;xa=2;ya=-1

А для кривой второго порядка  зная, что эллипс может быть выражен  в виде 

запишем данные таким образом 3:-2 3:1 -6:-1 0 0 1

kp2_line k=1.19175359259421;xa=2;ya=-1;kp2=3:-2 3:1 -6:-1 0 0 1

Получаем ответ

Точки пересечения кривой второго порядка вида

( 0.022222222 ) x^2 + ( -0.600000000 ) y^2 + ( -0.200000000 ) xy + ( 1 )   = 0

и прямой вида

y = 1.1917535925942*x + (-3.3835071851884)

Первая координата x = 1.4997 y = -1.5962343223749

Вторая координата x = 3.6632 y = 0.98212457520267

 

Удачных расчетов!!

 

  • Периметр многоугольника по его координатам >>

www.abakbot.ru

Как найти координаты точки пересечения двух прямых

Если две прямые не параллельны, то они неукоснительно пересекутся в одной точке. Обнаружить координаты точки пересечения 2-х прямых дозволено как графическим, так и арифметическим методом, в зависимости от того, какие данные предоставляет задача.

Вам понадобится

  • — две прямые на чертеже;
  • — уравнения 2-х прямых.

Инструкция

1. Если прямые теснее начерчены на графике, обнаружьте решение графическим методом. Для этого продолжите обе либо одну из прямых так, дабы они пересеклись. После этого подметьте точку пересечения и опустите из нее перпендикуляр на ось абсцисс (как водится, ох).

2. При помощи шкалы делений, подмеченных на оси, обнаружьте значение х для этой точки. Если она находится на позитивном направлении оси (справа от нулевой отметки), то ее значение будет правильным, в отвратном случае – негативным.

3. Верно также обнаружьте ординату точки пересечения. Если проекция точки расположена выше нулевой отметки – она правильная, если ниже – негативная. Запишите координаты точки в виде (х, у) — это и есть решение задачи.

4. Если прямые заданы в виде формул у=kх+b, вы можете также решить задачу графическим методом: начертите прямые на координатной сетке и обнаружьте решение описанным выше методом.

5. Испробуйте обнаружить решение задачи, применяя данные формулы. Для этого составьте из этих уравнений систему и решите ее. Если уравнения даны в виде у=kх+b, примитивно приравняйте обе части с х и обнаружьте х. После этого подставьте значение х в одно из уравнений и обнаружьте у.

6. Дозволено обнаружить решение методом Крамера. В таком случае приведите уравнения к виду А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0. Согласно формуле Крамера х=-(С1В2-С2В1)/(А1В2-А2В1), а у=-(А1C2-А2С1)/(А1В2-А2В1). Обратите внимание, если знаменатель равен нулю, то прямые параллельны либо совпадают и, соответственно, не пересекаются.

7. Если вам даны прямые в пространстве в каноническом виде, перед тем, как начать поиск решения, проверьте, не параллельны ли прямые. Для этого оцените показатели перед t, если они пропорциональны, скажем, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t и x=-1+6t, y=-1+4t, z=-5+2t, то прямые параллельны. Помимо того, прямые могут скрещиваться, в этом случае система не будет иметь решения.

8. Если вы узнали, что прямые пересекаются, обнаружьте точку их пересечения. Вначале приравняйте переменные из различных прямых, условно заменив t на u для первой прямой и на v для 2-й прямой. Скажем, если вам даны прямые x=t-1, y=2t+1, z=t+2 и x=t+1, y=t+1, z=2t+8 вы получите выражения типа u-1=v+1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Выразите из одного уравнения u, подставьте в другое и обнаружьте v (в данной задаче u=-2,v=-4). Сейчас, дабы обнаружить точку пересечения, подставьте полученные значения взамен t (без разницы, в первое либо второе уравнение) и получите координаты точки x=-3, y=-3, z=0.

Для рассмотрения 2-х пересекающихся прямых довольно рассмотрения их в плоскости, так как две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости. Зная уравнения этих прямых , дозволено обнаружить координату их точки пересечения .

Вам понадобится

  • уравнения прямых

Инструкция

1. В декартовых координатах всеобщее уравнение прямой выглидит так: Ax+By+C = 0. Пускай две прямые пересекаются. Уравнение первой прямой имеет вид Ax+By+C = 0, 2-й прямой — Dx+Ey+F = 0. Все показатели (A, B, C, D, E, F) обязаны быть заданы.Дабы обнаружить точку пересечения этих прямых надобно решить систему этих 2-х линейных уравнений.

2. Для решения первое уравнение комфортно умножить на E, а второе — на B. В итоге уравнения будут иметь вид: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Позже вычитания второго уравнения из первого, получится: (AE-DB)x = FB-CE. Отсель, x = (FB-CE)/(AE-DB).По аналогии первое уравнение начальной системы дозволено умножить на D, второе — на A, после этого вновь из первого вычесть второго. В итоге, y = (CD-FA)/(AE-DB).Полученные значения x и y и будут координатами точки пересечения прямых .

3. Уравнения прямых также могут записываться через угловой показатель k, равный тангенсу угла наклона прямой. В этом случае уравнение прямой имеет вид y = kx+b. Пускай сейчас уравнение первой прямой — y = k1*x+b1, а 2-й прямой — y = k2*x+b2.

4. Если приравнять правые части этих 2-х уравнений, то получится: k1*x+b1 = k2*x+b2. Отсель легко получить, что x = (b1-b2)/(k2-k1). Позже подстановки этого значения x в всякое из уравнений, получится: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Значения x и y будут задавать координаты точки пересечения прямых .В случае, если две прямые параллельны либо сопадают, то они не имеют всеобщих точек либо имеют безмерно много всеобщих точек соответственно. В этих случаях k1 = k2, знаменатели для координат точек пересечения будут обращаться в нуль, следственно, система не будет иметь классического решения.Система может иметь только одно классическое решение, что безусловно, потому что две несовпадающие и не параллельные друг другу прямые могут иметь только одну точку пересечения .

Видео по теме

jprosto.ru

1.10. Условия пересечения прямых

  Условия пересечения прямых в пространстве
 Если  и  - направляющие векторы двух прямых, а  и  - точки на этих прямых, то прямые пересекаются или скрещиваются в зависимости от того, компланарны или нет векторы и (рис.9).
Прямые скрещиваются, если смешанное произведение  (рис.9 a).
Прямые пересекаются, если смешанное произведение  (рис.9 b).
Рис. 9 a
   
Рис. 9 b
  Задача  Решение  Ответ: 

При каком значении  прямые  и   пересекаются?

Для первой прямой: направляющий вектор  и точка . Для второй прямой: направляющий вектор  и точка . Вычислим координаты вектора  и учтем, что прямые пересекаются, если смешанное произведение векторов  и  равно нулю.

=.

Поскольку , то .

.

nww13.narod.ru