Пирамиды. Обсуждаем, рассчитываем, строим.Случайности, для меня не случайны. Основание высоты это пирамиды


виды пирамид, формулы объема и площади поверхности, апофема, высота — Колпаков Александр Николаевич

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора:Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:1) Содержащий апофему SK и высоту SP2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PAЧтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным, а второй реберным. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды:1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.3) , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:1) Все апофемы равны2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике: обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:1) Все боковые ребра равны2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Комментарий репетитора. Аналогично предыдущему пункту текст можно упростить и вместо этих условий произнести : «если имеется любая равная информация о боковых ребрах». При этом все апофемные треугольники будут равны все проекции боковых ребер будет равны P будет равноудалена от всех вершин основания и поэтому окажется центром описанной окружности.

Площадь полной поверхности пирамиды:Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней .Площадь боковой поверхностии — сумма площадей всех боковых граней .Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле , где p — полупериметр основания, а SK-апофема.

Правильная треугольная пирамида однозначно определяется двумя параметрами: один плоский, а другой пространственный: к плоскому я отношу любой элемент правильного треугольника (кроме угла), а к пространственному любой связующий параметр между основанием и точкой S: апофема, высота, углы наклона ребер, граней, объем, площадь поверхности и др. При наличие в условии задачи этих двух начальных данных репетитор с учеником может найти у такой пирамиды все что угодно.

Пирамида — обязательный пункт подготовки к ЕГЭ по математике. Програмный минимум по стереометрии включает в себя все вышеуказанные сведения, кроме третьей формулы вычисления объема пирамиды.

Колпаков Александр,репетитор по математике в Москве. Строгино

ankolpakov.ru

Свойства пирамиды, с примерами

В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, пирамиды бывают треугольные, четырехугольные и т.д.

Свойства пирамиды

  1. Около основания пирамиды можно описать окружность, если боковые ребра имеют одинаковую длину, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности. Боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы.
  2. Если боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания, то около основания пирамиды можно описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, а также высоты боковых граней имеют равную длину.
  3. Площадь боковой поверхности равняется половине произведения периметра основания на высоту боковой грани

       

  4. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту пирамиды

       

Свойства правильной пирамиды

  1. Боковые ребра правильной пирамиды равны между собой.
  2. Боковые грани правильной пирамиды равны между собой и являются равнобедренными треугольниками.
  3. Апофемы правильной пирамиды равны.
  4. В любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу.
  5. Все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида

Видеоурок 1: Задачи на пирамиду. Основные формулы

Видеоурок 2: Задача на пирамиду. Объем пирамиды

Видеоурок 3: Задача на пирамиду. Правильная пирамида

Лекция: Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида

Пирамида, её свойства

Пирамида – это объемное тело, которое имеет в основании многоугольник, а все её грани состоят из треугольников. 

Частным случаем пирамиды является конус, в основании которого лежит окружность.

Рассмотрим основные элементы пирамиды:

Апофема – это отрезок, который соединяет вершину пирамиды с серединой нижнего ребра боковой грани. Иными словами, это высота грани пирамиды.

На рисунке можно увидеть треугольники ADS, ABS, BCS, CDS. Если внимательно посмотреть на названия, можно увидеть, что каждый треугольник имеет в своем названии одну общую букву – S. То есть это значит, что все боковые грани (треугольники) сходятся в одной точке, которая называется вершиной пирамиды.

Отрезок ОS, который соединяет вершину с точкой пересечения диагоналей основания (в случае с треугольников – в точке пересечения высот), называется высотой пирамиды.

Диагональным сечением называют плоскость, которая проходит через вершину пирамиды, а также одну из диагоналей основания.

Так как боковая поверхность пирамиды состоит из треугольников, то для нахождения общей площади боковой поверхности необходимо найти площади каждой грани и сложить их. Количество и форма граней зависит от формы и размеров сторон многоугольника, который лежит в основании.

Единственная плоскость в пирамиде, которой не принадлежит её вершина, называется основанием пирамиды. 

На рисунке мы видим, что в основании лежит параллелограмм, однако, может быть любой произвольный многоугольник.

Свойства:

Рассмотрим первый случай пирамиды, при котором она имеет ребра одинаковой длины:

  • Вокруг основания такой пирамиды можно описать окружность. Если спроецировать вершину такой пирамиды, то её проекция будет находится в центре окружности.
  • Углы при основании пирамиды у каждой грани одинаковы.
  • При этом достаточным условием к тому, что вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а так же считать, что все ребра разной длины, можно считать одинаковые углы между основанием и каждым ребром граней.

Если Вам попалась пирамида, у которой углы между боковыми гранями и основанием равны, то справедливы следующие свойства:

  • Вы сможете описать окружность вокруг основания пирамиды, вершина которой проецируется точно в центр.
  • Если провести у каждой боковой грани высоты к основанию, то они будут равной длины.
  • Чтобы найти площадь боковой поверхности такой пирамиды, достаточно найти периметр основания и умножить его на половину длины высоты.
  • Sбп = 0,5PocH.
  • Виды пирамиды.
  • В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании пирамиды, они могут быть треугольными, четырехугольными и др. Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник (с равными сторонами), то такая пирамида будет называться правильной.

Правильная треугольная пирамида

Хотелось бы обратить особое внимание на правильную треугольную пирамиду.

Свойства:

  • Такая пирамида имеет равные боковые грани, а также равные боковые ребра.
  • Боковые грани такой пирамиды являются равнобедренными треугольниками.
  • Вокруг основания такой пирамиды можно вписать окружность с центром в месте пересечения высот треугольника, а так же в месте проецирования вершины. Более того, в основание такой пирамиды можно списать окружность, которая будет иметь аналогичными характеристики, описанные ранее.

Формула объема правильной пирамиды:

cknow.ru

Правильная пирамида

Правильная пирамида - частный случай пирамиды.

Определение 1. Пирамида называется правильной, если её  основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания. 

Определение 2. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Элементы правильной пирамиды

  • Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема. На рисунке обозначена как отрезок ON
  • Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
  • Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)  
  • Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
  • Диагональное сечение пирамиды - это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
  • Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной, четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр.

Свойства правильной пирамиды

Для решения задач необходимо знать свойства отдельных элементов, которые в условии обычно опускаются, так как считается, что ученик должен это знать изначально.

  • боковые ребра равны между собой
  • апофемы равны
  • боковые грани равны между собой (при этом, соответственно, равны их площади, боковые стороны и основания), то есть они являются равными треугольниками
  • все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
  • в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
  • если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π/n, где n — количество сторон многоугольника основания
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
  • около основания правильной пирамиды можно описать окружность (см. также радиус описанной окружности треугольника)
  • все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы
  • все высоты боковых граней равны между собой

Указания к решению задач. Свойства, перечисленные выше, должны помочь в практическом решении. Если требуется найти углы наклона граней, их поверхность и т. д., то общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для нахождения отдельных элементов пирамиды, поскольку многие элементы являются общими для нескольких фигур.

Необходимо разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы - треугольники, квадраты, отрезки. Далее, к отдельным элементам применить знания из курса планиметрии, что существенно упрощает нахождение ответа.

Формулы для правильной пирамиды

Формулы для нахождения объема и площади боковой поверхности:

Обозначения: V - объем пирамиды S - площадь основания h - высота пирамиды Sb - площадь боковой поверхности  a - апофема (не путать с α) P - периметр основания n - число сторон основания b - длина бокового ребра α - плоский угол при вершине пирамиды

Данная формула нахождения объема может применяться только для правильной пирамиды:

, где

V - объем правильной пирамиды h - высота правильной пирамиды n - число сторон правильного многоугольника, который является основанием для правильной пирамиды a - длина стороны правильного многоугольника

Правильная усеченная пирамида

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. 

Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

  •  Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды
  • Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобокими (равнобедренными) трапециями 

Примечания

См. также: частные случаи (формулы) для правильной пирамиды:

Как воспользоваться приведенными здесь теоретическими материалами для решения своей задачи:

  1. Ознакомьтесь со справочными материалами
  2. Выясните, по условию задачи, о какой именно правильной пирамиде идет речь
  3. После этого в дереве знаний справа, найдите подходящий урок с данной фигурой (см. решение задач про правильную пирамиду с треугольником в основании, с четырехугольником в основании). Если нужного решения не нашлось, попробуйте ознакомиться с содержанием соседних уроков, возможно, решение подобной задачи есть именно там
  4. Если Вы просмотрели весь раздел, но аналогичной задачи не нашлось, напишите о своей проблеме на форуме "раздел для школьников" в соответствующей теме. Обязательно ознакомьтесь предварительно с правилами форума.
Содержание главы:  Пирамида и вписанный конус | Описание курса | Апофема правильной пирамиды 

   

profmeter.com.ua

Пирамида. Усеченная пирамида

 

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани) (рис. 15). Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром.

 

Рис. 15

 

 

 

Рис. 16

 

Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой. Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.

Теоремы

1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.

Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:

где V – объем;

Sосн – площадь основания;

H – высота пирамиды.

 

Для правильной пирамиды верны формулы:

 

 

где p – периметр основания;

hа – апофема;

H – высота;

Sполн – площадь полной поверхности;

Sбок – площадь боковой поверхности;

Sосн – площадь основания;

V – объем правильной пирамиды.

 

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

 

 

 

Рис. 17

 

Для усеченной пирамиды справедливы формулы:

 

(4)

где S1, S2 – площади верхнего и нижнего оснований;

Sполн – площадь полной поверхности;

Sбок – площадь боковой поверхности;

H – высота;

V – объем усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды верна формула:

где p1 , p2 – периметры оснований;

hа – апофема правильной усеченной пирамиды.

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60º. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).

 
 

 

Рис. 18

 

Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС). Угол наклона бокового ребра (например SB) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB этим углом будет угол SBD. Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO и OB. Пусть длина отрезка BD равна 3а. Точкой О отрезок BD делится на части: и Из находим SO: Из находим:

Ответ:

Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.

Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:

Ответ: 112 см3.

Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).

 
 

 

Рис. 19

 

Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А1Е перпендикуляр из точки А1 на плоскость нижнего основания, A1D – перпендикуляр из А1 на АС. А1Е = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О – проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК – радиус вписанной в окружности и ОМ – радиус вписанной в окружности:

MK = DE.

По теореме Пифагора из

Площадь боковой грани:

 

 

Рис. 20

 

Ответ:

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD.

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:

 

 

 

Рис. 21

 

Аналогично и значит Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD. Изобразим трапецию ABCD отдельно (рис.22). Точка О – центр вписанной в трапецию окружности.

 

 

 

Рис. 22

 

Так как в трапецию можно вписать окружность, то или Из по теореме Пифагора имеем

Тогда

Площадь трапеции:

Значит,

Ответ:

Пример 5.Основание пирамиды – равносторонний треугольник со стороной а. Одна из боковых граней – равнобедренный прямоугольный треугольник, плоскость которого перпендикулярна плоскости основания. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 23).

 

Рис. 23

 

Площадь боковой поверхности данной пирамиды SABC состоит из суммы площадей ее боковых граней. Боковые грани – треугольники, один из которых прямоугольный и равнобедренный ( ), два других – равные треугольники Рассмотрим – по условию. Вычислим его площадь: Так как равнобедренный, то а так как то и следовательно в

Тогда

Рассмотрим SE найдем из По теореме Пифагора имеем Найдем DE. Для этого рассмотрим равносторонний треугольник основания (рис. 24). В отрезок DE является средней линией, значит, Находим SE:

 

 

Рис. 24

Теперь

Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Ответ:

Похожие статьи:

poznayka.org

Основание - высота - пирамида

Основание - высота - пирамида

Cтраница 1

Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба.  [1]

Основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.  [2]

Основание высоты пирамиды лежит вне пирамиды и от двух вершин основания удалено одинаково, а от третьей вершины находится на расстоянии, вдвое меньшем, чем от первых двух вершин.  [3]

Основанием высоты пирамиды служит центр вписанной в основание пирамиды окружности, центр сферы лежит на продолжении высоты пирамиды.  [4]

Соединим основание высоты пирамиды с точками А, В, С, D и спроектируем полученные отрезки на стороны основания. Пусть а, 6, с, d - длины этих проекций, h - высота пирамиды, х - искомое боковое ребро.  [5]

Через основание высоты пирамиды проводим высоту ромба ME и соединяем точки М и Е с S ( черт.  [6]

Точка О - основание высоты пирамиды, по доказанному есть цсьтр вписанной окружности.  [7]

Точка О - основание высоты пирамиды, по доказанному есть центр вписанной окружности.  [8]

Точка О - основание высоты пирамиды - по доказанному есть центр впнсапной окружности.  [9]

Из условия задачи следует, что основание высоты пирамиды будет находиться на пересечении диагоналей прямоугольника, так как боковые ребра пирамиды наклонены под одинаковыми углами к основанию ( черт.  [10]

Доказать, что если в основание пирамиды можно вписать окружность, а основание высоты пирамиды является центром этой окружности, то в пирамиду можно вписать сферу.  [11]

Доказать, что если в основание пирамиды можно вписать окружность, а основание высоты пирамиды является центром этой окружности, то в пирамиду можно вливать сферу.  [12]

Доказать, что если в основание пирамиды можно вписать окружность, а основание высоты пирамиды является центром этой окружности, то в пирамиду можно вписать сферу.  [13]

Найти площадь грани BCD, если сечение DKM имеет площадь q, a основание высоты пирамиды попадает в точку пересечения медиан основания АСВ.  [14]

Пирамидаможет не быть правильной, но если цилиндр в нее вписан, то основание высоты пирамиды должно лежать внутри многоугольника основания, а сам многоугольник основания должен быть таким, что в него можно вписать окружность.  [15]

Страницы:      1    2    3

www.ngpedia.ru

размеры пирамиды хеопса,длина основания,высота пирамиды

Пример наглой Клеветы.

Эта информация расположена на глухом, но относительно популярном сайте.

Называется статейка

"Пирамида "Хеопса": Размеры в метрах."

Зеленым отмечена достоверная информация, красным - наглая ложь. Синим - мои комментарии.Оранжевым, и другими оттенками - сомнительная информация.

«

Пирамида Хеопса, одна из трёх пирамид в Гизе, находится неподалёку от Каира и построена в форме правильной пирамиды с квадратом в основании. По данным точной реконструкции (она была частично разобрана на камень местными жителями):

  1. В основании: Квадрат со сторонами по 230.35 метров (b=230.35 м)
  2. Высота приамиды Хеопса: 146.71 метра (h=146.71 м)
  3. Боковая грань пирамиды представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник - угол при вершине 90o, два угла внизу - по 45o (Вопиющая ложь, такое бывает только в квадрате разделенном диагоналями, т.е. высота пирамиды = 0)
  4. Всего треугольных граней 4 (естественно, т.к. в основании - квадрат)
  5. Сложена пирамида из кубических блоков известняка, самый большой из которых имеет длину ребра 1.5 метра
  6. Вероятно, первоначально, к вершине пирамиды вели 210 ступеней (К чему бы это приложить?)

Золотые сечения: Обозначим c длиннy "лестницы", которую образует наклонная боковая грань пирамиды. По теореме Пифагора:

c2=h3+(b/2)2~186.52 метра (теорема правильная, цифры сомнительные)

(b/2)/c~0.618 золотое сечение. (свойство пирамиды золотого сечения)

Позднее была замечена ещё одна "золотая закономерность": Площадь основания пирамиды относится к площади всех 4 боковых граней пирамиды в пропорции "золотого сечения". Площадь боковой грани оказалась равна квадрату её высоты (bc/2 = h3).  (свойство пирамиды золотого сечения)

»

Вопрос: Кому нужна такая "Информация"?.

Дополнительная справка.

Математически точные размеры пирамиды живого сечения 3 порядка (Ф3), соответствующие пирамиде Хеопса, при длине основания 230.35 м имеет высоту  h = 146.505 м. При высоте h=146.71 м длина основания пирамиды  b = 230.673 м

Ниже приведены данные различных измерений разными исследователями в разное время.

Размер Howard-Vyse Tailor Smyth Petrie Cole Проскуряков
A

Длина

Основания

232,751 232,867 231,394 230,561 230,365 233,164
H

Высота

148,153 148,133 147,113 146,721 146,731 146,595
h

Апофема

188,395 188,415 187,158 186,592 186,539 187,300
a

угол наклона

грани

51°51' 51°49'57" 51°49' 51°50'34" 51°52'06" 51°30'21"
Ф=tg2a 1,620676 1,618623 1,616799 1,619834 1,622818 1,581158

Расхождения в основном связаны с тем, где бралась линия основания. Какая точка принималась за верхнюю, тоже не совсем понятно, т.к. вершина пирамиды усечена. Толи это была реальная верхняя точка, толи она определялась по линиям, продолжающим грани.

В частности если взять за основу измерения Проскурякова, то похоже, что основание он мерил по наиболее достижимой нижней линии, а высоту до реальной вершины. В этом случае получаем следующие размеры пирамиды Хеопса.

При основании    b =233,164 м.  Математическая высота пирамиды  h= 148.295 м.

Высота пирамиды, усеченной по третьей сфере h_= 146.344 м.

Если взять за основу                                   h_= 146.595 м.

Тогда                                                 b = 233.572 м  h= 148.554 м.

Апофема полной грани               c= 188.964 м. ((b/2)/c=0. 618034, или c/(b/2)=1.618034)

Апофема усеченной грани           c_= 186.478 м.

По ряду своих предположений, эти значения мне кажутся более правильными.

piramida-stroim.ru