Как найти область определения и область значения функции. Область значения как определить


область определения и область значений функций + ПРИМЕРЫ

Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.

Функция это правило, с помощью которого  по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.

Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).

НАПРИМЕР у=5+х 

1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3 

2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)

Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).

НАПРИМЕР.

1.у=1/х.            (наз.гипербола)

2. у=х^2.          (наз. парабола)

3.у=3х+7.         (наз. прямая)

4. у= √ х.           (наз. ветвь параболы)

Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции. 

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается  D (f) или D (y).

 Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

3. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

4. D (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

Зависимая переменная (кот. мы обозначаем у ) имеет название значение функции.

Область значения функции

Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).

Рассмотрим  Е (у) для 1.,2.,3.,4.

1. Е (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

3. Е (у)=( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел 

4. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

Рассмотрим примеры подробнее

1) Постановка задачи. Найти функции у= 4х/(3+х)

Решение.

1. Найдем D (у)//т.е. какие значения может принимать х. для этого найдем ОДЗ(область допустимых значений дроби)

3+х≠0

х≠-3

значит D (у) данной функции  ( ∞; 3) и (3;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 3.

2. Найдем  Е (у)//т.е. какие значения может принимать у, при всех возможных х

решаем уравнение вида 4х/(3+х)=А, где  А є Е (у)

(3+х)А=4х

3А=4х-хА

3А=х(4-А)

х=3А/(4-А)

значит Е (у) данной функции ( ∞; 4) и (4;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 4.

2) Постановка задачи. Найти  D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике

 График функций D (у)и Е (у)

Область определения(значения х) смотрим по оси х- это промежуток [ 4; 7], 

Областью значения(значения у) смотрим по оси у- это промежуток [ 4; 4].

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Графический способ решения уравнений: алгоритм и примеры графиков Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСвойства функции: разбираем на примере

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Область значений функции, теория и примеры

Область значений основных элементарных функций

  1. Для линейной функции y=kx+b область значений E\left(y\right):y\in R.
  2. Для обратной пропорциональности, то есть функции заданной формулой y=\frac{k}{x} ,\ \left(k\ne 0\right), область значений: E\left(y\right):y\in \left(-\infty ,\; 0\right)\bigcup \left(0,\; +\infty \right).
  3. Значение y_{o} =y\left(x_{o} \right)=-\frac{D}{4a}, где D=b^{2} -4ac дискриминант, называется ординатой вершины параболы, задаваемой уравнением y=ax^{2} +bx+c \left(a\ne 0\right).

Действительно, абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле x_{0} =-\frac{b}{2a}, тогда

    \[y\left(x_{o} \right)=a\cdot \left(-\frac{b}{2a} \right)^{2} +b\cdot \left(-\frac{b}{2a} \right)+c=\frac{ab^{2} }{4a^{2} } -\frac{b^{2} }{2a} +c=\frac{b^{2} -2b^{2} +4ac}{4a} =-\frac{D}{4a} \]

Итак, для квадратичной функции y=ax^{2} +bx+c: если a<0, то ветки параболы направлены вниз и значение y_{o} является наибольшим значением функции, то есть E\left(y\right):y\in \left(-\infty ,\; y_{o} \right]; если a>0, то ветки направлены вверх и значение y_{o} является наименьшим значением функции, то есть E\left(y\right):y\in \left[y_{o} ,\; +\infty \right).

  1. Для логарифмической функции y=\log _{a} x область значений E\left(y\right):y\in R.
  2. Для показательной функции y=a^{x} \left(a>0\right) область значений E\left(y\right):y\in \left(0,\; +\infty \right).
  3. Для тригонометрических функции y=\sin x;\ y=\cos x область значений E\left(y\right):y\in \left[-1,\; 1\, \right], для y=\text{tg} x;\ y=\text{ctg} x область значений — множество всех действительных чисел.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как найти область значения функции?

Функцию можно построить по точкам: подставлять в формулу значение переменной и ставить на графике соответствующие точки. Но при этом нет никакой гарантии, что вы не пропустите точку экстремума или разрыва. Да и процесс это долгий и нудный. Поэтому гораздо рациональнее найти область определения, область значений и все критические точки функции. Поговорим об этом подробнее.

Что такое область значения функции

Область значения функции y=f(x) – это множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех значений х из области определения х € Х. Обозначается область значения как Е y=f(x).

Про область определения написано в статье Как найти область определения функции. Эти две области иногда путают, что недопустимо. Чтобы лучше понять, что это такое, рассмотрим конкретные примеры.

Например, функция y=f(x)=sinx. Для наглядности можно нарисовать синусоиду. Тогда мы увидим, что х может изменяться от -∞ до +∞, y=f(x) определена при х € -∞; +∞. При этом f(x) изменяется от -1 до +1, других значений она не принимает. Значит, область определения функции х € -∞; +∞, область значения Е у = -1; +1. Т.е. область определения – это значения х, при которых функция существует. А область значения – это те значения функции, которые она принимает во всей области определения.

Рассмотрим другой простой пример: у=1/х. Рисовать гиперболы мы тоже умеем и знаем, что при х=0 значение функции не определено, т.е. в этой точке она не существует. При х=0 мы имеем разрыв функции. Значит, область определения х € (-∞ < 0; 0 < ∞), область значения Е у = (-∞ < 0; 0 < ∞).

Если мы знаем область определения функции, нам нужно найти максимальное и минимальное значение функции – это и будет область значений.

Как найти область значений функции: пример

  • Имеем функцию у = 1 / (х² - 4).

Сначала ищем производную функции, чтобы найти точки экстрем

elhow.ru

Как определить область значений

Решать функции в повседневной жизни приходится не часто, но когда сталкиваешься с такой необходимостью, быстро сориентироваться бывает сложно. Начните с определения области значений.

Инструкция

  • Вспомните, что функция - это такая зависимость переменной Y от переменной Х, при которой каждому значению переменной X соответствует единственное значение переменной Y. Переменная X является независимой переменной или аргументом. Переменная Y - зависимая переменная. Считается также, что переменная Y является функцией от переменной X. Значения функции равны значениям зависимой переменной.
  • Для наглядности записывайте выражения. Если зависимость переменной Y от переменной X является функцией, то сокращенно это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.) Символом f(x) обозначьте значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.
  • Областью определения функции f(x) называется «множество всех действительных значений независимой переменной х, при которых функция определена (имеет смысл)». Обозначьте: D(f) (англ. Define – определять.)Пример: Функция f(x) = 1x+1 определена для всех действительных значений x, удовлетворяющих условию х+1 ≠ 0,т.е. х≠-1. Поэтому D(f) = (-∞;-1)U(-1;∞).
  • Областью значений функции y=f(x) называется «множество всех действительных значений, которые занимает независимая переменная y». Обозначение: E(f) (англ. Exist – существовать).Пример:Y=x2 -2x+10; так как x2 -2x +10 = x2 -2x +1+9+(x-1)2 +9, то наименьшее значение переменной у=9 при х=1,поэтому E(y) =[9;∞)
  • Все значения независимой переменной отображают собой область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, отражают область значений функции.
  • Область значений функции полностью зависит от ее области определения. В том случае, если область определения не задана, значит, она меняется от минус бесконечности до плюс бесконечности, тем самым, поиск значения функции на концах отрезка сводится к описку предела этой функции от минус и плюс бесконечности. Соответственно, если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считается, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
  • Для нахождения множества значений функций надо знать основные свойства элементарных функций: область определения, область значения, монотонность, непрерывность, дифференцируемость, четность, нечетность, периодичность и т.д.

completerepair.ru

Как найти область значения функции

Лекция 19. Функция. Область определения и множество значений функции.

Функция — одно из важнейших математических понятий.

Определение: Если каждому числу из некоторого множества x поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на этом множестве задана функция y(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y — зависимой переменной или значением функции или простофункцией.

Говорят также, что переменная y является функцией от переменной x.

Обозначив соответствие некоторой буквой, например f, удобно писать: y=f (x), то есть, значение y получается из аргумента x с помощью соответствия f. (Читают: y равно f от x.) Символом f (x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному x.

Пример 1 Пусть функция задается формулой y=2x2–6. Тогда можно записать, что f(x)=2x2–6. Найдем значения функции для значений х, равных, например, 1; 2,5;–3; т. е. найдем f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2•12–6=–4; f(2,5)=2•2,52–6=6,5; f(–3)=2•(–3)2–6= 12.

Заметим, что в записи вида y=f (x) вместо f употребляют и другие буквы: g, и т. п.

Определение: Область определения функции — это все значения x, при которых существует функция.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Другими словами, область определения функции, заданной формулой, является все значения аргумента, за исключением тех, которые приводят к действиям, которые мы не можем выполнить. На данный момент мы знаем только два таких действия. Мы не можем делить на нуль и не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Определение: Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют область значения функции.

Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины l железного стержня от температуры нагревания t выражается формулой , где l0 начальная длина стержня, а —коэффициент линейного расширения. Указанная формула имеет смысл при любых значениях t. Однако, областью определения функцииl=g(t) является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.

Пример.

Укажите область значений функции y = arcsinx.

Решение.

Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1), то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1, а наибольшее при x = 1.

Мы получили область значений функции арксинуса

.

Найдите множество значений функции

на отрезке [1; 4].

Решение.

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку [1; 4]:

Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках

:

Следовательно, множеством значений функции на отрезке является интервал

.

Сейчас покажем, как находить множество значений непрерывной функции y = f(x) на открытых интервалах (a; b),

.

Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем односторонние пределы на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах открытого интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.

studopedia.ru>

Область значений функции

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция[1][2][3].

Определение

Пусть на множестве X {\displaystyle X} задана функция f {\displaystyle f} , которая отображает множество X {\displaystyle X} в Y {\displaystyle Y} , то есть: f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} . Тогда областью (или множеством) значений функции f {\displaystyle f} называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y {\displaystyle Y} и обозначается f ( X ) {\displaystyle f(X)} :

f ( X ) = y = f ( x ) , x ∈ X {\displaystyle f(X)=\\,y=f(x),\,x\in X\} .

Множество значений функции f {\displaystyle f} обозначается также символами E ( f ) {\displaystyle E(f)} , R ( f ) {\displaystyle R(f)} или r a n f {\displaystyle \mathrm {ran} \,f} (от англ. range).

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называют её кодомен, то есть множество Y {\displaystyle Y} в обозначении функции f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} [4], сохраняя термин множество значений для обозначения совокупности всех значений функции f {\displaystyle f} .

Множество значений f ( X ) {\displaystyle f(X)} называется также образом множества X {\displaystyle X} при отображении f {\displaystyle f} .

Иногда множество значений функции называют множеством всех значений или областью изменения функции[3].

ru.wikipedia.org>

Как найти область определения функции и область значения??? приведите пример и опишите подробнее пожалуйста

Маря

Каждая функция содержит два типа переменных: независимую переменную и зависимую переменную. Например, в функции y = f(x) = 2x + y «х» является независимой переменной, а «у» - зависимой переменной. Область определения функции - это множество чисел, на котором задается функция (другими словами, это те значения «х», которые можно подставить в данное уравнение). Область значений функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения (другими словами, это те значения «у», которые вы получаете при подста Если функция задана дробным выражением, найдите корни выражения, стоящего в знаменателе. Для этого приравняйте выражение, стоящее в знаменателе, к нулю и найдите «х». 1,Пример: дана функция е (х) = х + 5 / х - 2. Эта функция задана дробным выражением. Найдите корни выражения в знаменателе: х – 2 = 0; х = 2.новке всех возможных значений «х»). 2. Запишите область определения функции. После нахождения корней выражения в знаменателе запишите область определения функции в математической форме. В нашем примере знаменатель равен 0 при х = 2, следовательно х не может принимать значение 2 (так как на 0 делить нельзя). Область определения запишется в следующем виде: (-∞; 2)U(2; +∞). Читается так: от минус бесконечности до двух и от двух до плюс бесконечности. 3.Нарисуйте координатную плоскость: проведите ось Х (горизонтально) и ось Y (вертикально). 4. На осях координат нанесите числовые отметки (через равные промежутки). 5.Найдите точки графика. Для этого подставьте в данную функцию значения «х» (из области определения функции) и найдите значения «у». В нашем примере подставьте любые значения «х», кроме 2, так как 2 исключена из области определения. 6.Отложите точки на координатной плоскости. Затем соедините их плавной линией. 7. Найдите область значений функции. Для этого на координатной плоскости найдите такую горизонтальную прямую, которая не пересекается с графиком функции. Точка пересечения этой прямой и оси Y будет исключена из области значений функции. В нашем примере прямая, заданная функцией у = 1, не пересекает график исходной функции. Следовательно «у» не принимает значение 1 и оно исключается из области значений функции. Математически область значений записывается так: (-∞,1)U(1,+∞) Читается так: от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности.

Лира

Область определения функции это то множество значений, которые может принимать аргумент функции. Например, для y(x)=x/x-1 ООФ будет интервал от минус бесконечности до 1 и от 1 до плюс бесконечности (х не равно 1). Область значения функции это то множество значений, которое может принимать функция. Например, для y(x)=sin(x) ОЗФ это отрезок от -1 до 1.

Что такое область значения функции? мне нужно определение.

Катя

Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех . Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения . Область значений функции обозначают как E(f). Область значений функции и множество значений функции - это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции.

Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений функции (ОДЗ) . Область допустимых значений функции – это есть область определения функции.

Как найти область значений/изменений функции?

у=x^2-4x+7 у=8x-x^2-10

мб это и простейшее уравнение...но чтоөто для меня не доходит как решить...=Ь

Naumenko

области определения и значений функций отдельно решение квадратных уравнений отдельно: http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg21.html ссылка на справочный сайт по элементарной математике. выпишите формулы и решайте, аккуратно считая. решите пару сотен уравнений и будете знатоком этого дела. Успеха!

Rideamus com

Область значений, множество значений, область изменения это суть одно и то же. Другими словами, каким может быть у, зависимая переменная. У тебя две параболы, первая ветви вверх, вторая - вниз. Т. е. область значений первой будут все у от вершины и до бесконечности, второй - от минус бесконечности и до вершины. Осталось найти вершину 1) x=-b/(2a)=4/2=2 y=2^2-4*2+7=3 E(y)=[3;+oo) 2) x=-b/(2a)=-8/(2*(-1))=4 y=8*4-4^2-10=32-16-10=6 E(y)=(-oo;6]

Читайте также

zna4enie.ru

Как найти область определения и область значения функции

Чтобы найти область определения и значения функции f, нужно определить два множества. Одно из них является совокупностью всех значений аргумента x, а другое состоит из соответствующих им объектов f(x).

Инструкция

  • На первом этапе любого алгоритма исследования математической функции следует найти область определения. Если этого не сделать, то все расчеты будут бесполезной тратой времени, поскольку на ее основе формируется область значений. Функция – это определенный закон, по которому элементы первого множества ставятся в соответствие другому.
  • Чтобы найти область определения функции, нужно рассмотреть ее выражение с точки зрения возможных ограничений. Это может быть присутствие дроби, логарифма, арифметического корня, степенной функции и т.д. Если таких элементов несколько, то для каждого из них составьте и решите свое неравенство, чтобы выявить критические точки. Если ни одного ограничения нет, то область определения представляет собой все числовое пространство (-∞; ∞).
  • Бывает шесть видов ограничений:Степенная функция вида f^(k/n), где знаменатель степени – четное число. Выражение, стоящее под корнем, не может быть меньше нуля, следовательно, неравенство выглядит так: f ≥ 0.Функция логарифма. По свойству выражение, стоящее под его знаком, может быть только строго положительным: f > 0.Дробь f/g, где g – тоже функция. Очевидно, что g ≠ 0.tg и ctg: x ≠ π/2 + π•k, поскольку в этих точках эти тригонометрические функции не существуют (cos или sin, стоящие в знаменателе, обращаются в ноль).arcsin и arccos: -1 ≤ f ≤ 1. Ограничение накладывается областью значений этих функций.Степенная функция со степенью в виде другой функции того же аргумента: f^g. Ограничение представляется в виде неравенства f>0.
  • Чтобы найти область значения функции, подставьте в ее выражение все точки из области определения путем перебора одного за другим. Существует понятие множества значений функции на интервале. Эти два термина следует различать, за исключением случая, когда заданный интервал совпадает с областью определения. В противном случае это множество является подмножеством области значений.

completerepair.ru

Область значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения

Зачастую в рамках решения задач нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, это нужно делать при решении разных типов неравенств, оценках выражений и др.

В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми ее можно вычислить, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графиками. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление об области значений функции.

Начнем с базовых определений.

Определение 1

Множество значений функции y = f(x) на некотором интервале x представляет собой множество всех значений, которые данная функция принимает при переборе всех значений x∈X.

Определение 2

Область значений функции y=f(x) – это множество всех ее значений, которые она может принять при переборе значений x из области x∈(f).

Область значений некоторой функции принято обозначать E(f).

Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.

 Важно также различать область значений и область допустимых значений переменной x для выражения в правой части y=f(x). Область допустимых значений x для выражения f(x) и будет областью определения данной функции.

Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.

www.zaochnik.com