Нормальный вектор прямой, координаты нормального вектора прямой. Нормальный вектор прямой


Нормальный вектор прямой, координаты нормального вектора прямой

Для изучения уравнений прямой линии необходимо хорошо разбираться в алгебре векторов. важно нахождение направляющего вектора и нормального вектора прямой. В данной статье будут рассмотрены нормальный вектор прямой с примерами и рисунками, нахождение его координат, если известны уравнения прямых. Будет рассмотрено подробное решение.

Нормальный вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легче усваивался, нужно разбираться в понятиях линия, плоскость и определениями, которые связаны с векторами.  Для начала ознакомимся с понятием вектора прямой.

Определение 1

Нормальным вектором прямой называют любой ненулевой вектор, который лежит на любой прямой, перпендикулярной данной.

Понятно, что имеется бесконечное множество нормальных векторов, расположенных на данной прямой. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Получаем, что прямая является перпендикулярной одной из двух заданных параллельных прямых, тогда ее перпендикулярность распространяется и на вторую параллельную прямую. Отсюда получаем, что множества нормальных векторов этих параллельных прямых совпадают. Когда прямые a и а1 параллельные, а n→ считается нормальным вектором прямой a, также считается нормальным вектором для прямой a1.  Когда прямая а имеет прямой вектор, тогда вектор t·n→ является ненулевым при любом значении параметра t, причем также является нормальным для прямой a.

Используя определение нормального и направляющего векторов, можно прийти к выводу, что нормальный вектор перпендикулярен направляющему. Рассмотрим пример.

Если задана плоскость Оху, то множеством векторов для Ох является координатный вектор j→. Он считается ненулевым и принадлежащим координатной оси Оу, перпендикулярной Ох. Все множество нормальных векторов относит

www.zaochnik.com

Решение: Вектор нормальный вектор прямой

Высшая математика I.

Вариант 2.13

1.(С03.РП) Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Решение:

Вектор - нормальный вектор прямой

,

Запишем уравнение АВ:

Ответ: .

2.(8Т3.РП) Составить общее уравнение прямой, проходящей через точку и точку пересечения прямых и .

Решение:

Найдем координаты точки В – точку пересечения прямых и :

умножили второе уравнение на -2, а теперь их сложим

Получили координаты т. В().

Запишем уравнение АВ:

Ответ: .

3.(Т43.РП) Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точки , перпендикулярно плоскости .

Решение:

Общее уравнение плоскости имеет вид A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0

Т.к. плоскость проходит через точку М1(4,-3,3), то можно записать:

A(x-4)+B(y+3)+C(z-3)=0

Т.к. плоскость проходит через точку М2(1,1,-2), то можно записать:

A(x-1)+B(y-1)+C(z+2)=0

Искомая плоскость перпендикулярна плоскости заданной уравнением: По условию перпендикулярности плоскостей:

А1A2+B1B2+C1C2=0

1×А+(-3)×B+5×C=0

А=3B-5C

Подставим в нижнее уравнение

Ответ: .

4.(303) Найти расстояние от точки до прямой .

Решение:

Найдем точку пересечения перпендикуляра проходящего через точку А. Назовем ее Н(x,y,z).

АН:3(x-2)+4(y+1)+2z=03x+4y+2z-2=0

Параметрические уравнения прямой имеют вид:

Найдет t:

т.Н(4,-3,1)

Ответ: 3

5.(5Б3.РП) Найти те значения параметров и , при которых прямые и параллельны.

Решение:

Для вычисления направляющего вектора используем формулу:

Вычислим направляющий вектор прямой

Вычислим направляющий вектор прямой

Т.к. A||B

Получим систему уравнений:

Ответ: А=0, В=-1.

6.(733) Прямая параллельна плоскости , пересекает прямую и проходит через точку . Найти ординату точки пересечения прямой с плоскостью .

Решение:

Найдем k:

Запишем параметрические уравнения прямой :

Подставим х,у,z в уравнение L и получим значение t.

т.В(8;-8;5) принадлежит L

Запишем параметрические уравнения L:

Подставим данные значения в уравнение :

Найдем ординату точки пересечения

Ответ: -2,5.

7.(983). Найти радиус окружности, имеющей центр в точке , если она касается прямой .

Решение:

Для того, чтобы найти радиус окружности, можно найти расстояние от точки А до данной прямой и данное расстояние будет равно радиусу.

Воспользуемся формулой:

Ответ: 6

8. Дана кривая .

8.1. Доказать, что данная кривая – эллипс.

8.2.(ТТ3.РП) Найти координаты центра его симметрии.

8.3.(4Б3.РП) Найти его большую и малую полуоси кривой.

8.4.(2П3) Записать уравнение фокальной оси.

8.5. Построить данную кривую.

Решение:

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

Приведём уравнение кривой к каноническому виду:

Т.к. искомое не содержит ху, то остаемся в старой системе координат.

Получим

Приняв за новое начало точку , применим формулы преобразования координат

или

Это соответствует общему виду уравнения эллипса, у которого большая полуось равна 4, а малая полуось равна 2.

Фокальные радиус – векторы данного эллипса соответствуют уравнению

9. Дана кривая .

9.1. Доказать, что данная кривая – парабола.

9.2.(Л33). Найти значение её параметра .

9.3.(2Т3.РП). Найти координаты её вершины.

9.4.(7Б3). Написать уравнение её оси симметрии.

9.5. Построить данную кривую.

Решение:

Каноническое уравнение параболы имеет вид: y2=2px

В нашем примере

Т.е. данная кривая – парабола, симметричная относительно оси ординат.

При этом 2р=-12

р=-6, следовательно ветви параболы обращены в вниз.

Вершина параболы находится в точке (-3;-2)

Уравнение оси симметрии данной параболы: х=-3

10. Дана кривая .

10.1. Доказать, что данная кривая – гипербола.

10.2.(793.РП). Найти координаты центра её симметрии.

10.3.(8Д3.РП). Найти действительную и мнимую полуоси.

10.4.(ПС3.РП). Написать уравнение фокальной оси.

10.5. Построить данную кривую.

Решение:

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Преобразуем уравнение воспользовавшись формулами поворота оси координат:

Получим:

Найдём l из условия:

т.е. приравняем коэффициент при x`y` к нулю

Положим n=0, тогда

Тогда уравнение примет вид:

Приняв за новое начало точку , применим формулы преобразования координат

или

Действительная полуось равна 1; мнимая полуось равна 2

Общее уравнение фокальных радиус – векторов имеет вид:

gigabaza.ru

Общее уравнение прямой на плоскости

Уравнение вида называется общим уравнением прямой на плоскости. При различных численных значениях A, B и C, в том числе нулевых, оно может определять всевозможные прямые без исключения.

Одна из фундаментальных задач аналитической геометрии - составление общего уравнения прямой по точке, ей принадлежащей, и вектору нормали.

Вектор нормали - это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: . Координаты точки - и .

Общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали составляется по формуле:

  (1).

Пример 1. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и вектор нормали к ней .

Решение. Используя формулу (1), получаем:

Из примера 1 видно, что координаты вектора нормали пропорциональны числам A и B из общего уравнения прямой на плоскости. Это не совпадение, а закономерность! Поэтому в общем случае, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то вектор нормали к прямой можно записать так: .

Пример 2. Задано общее уравнение прямой на плоскости: . Записать вектор нормали к этой прямой.

Решение. В заданном уравнении , . Поэтому вектор нормали запишется:

.

Если вектор нормали перпендикулярен искомой прямой, то направляющий вектор параллелен ей. Направляющий вектор обычно записывается так: . Имеет место следующая зависимость координат направляющего вектора от чисел A и B общего уравнения прямой: .

Пример 3. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку и её направляющий вектор .

Решение. Используя формулу (2), имеем:

.

Далее путём преобразований получаем:

На всякий случай сделаем проверку - подставим в полученное общее уравнение прямой координаты точки, которая должна ей принадлежать:

.

Получили верное равенство. А координаты вектора связаны с числами A и B уравнения закономерностью . Значит, задание выполнено корректно.

Пример 4. Задано общее уравнение прямой на плоскости: . Записать направляющий вектор к этой прямой.

Решение. В заданном уравнении , . Поэтому направляющий вектор запишется:

.

Решая задачи контрольных работ, особенно, если задач много и к концу контрольной студент стремится наверстать упущенное за время обдумывания заданий, можно запутаться в знаках, записывая вектор нормали и направляющий вектор. Будьте внимательны!

Если заданы две точки и , то уравнение прямой, проходящей через эти точки, можно составить по формуле

.   (3)

Полученное выражение следует преобразовать к виду общего уравнения прямой.

Пример 5. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точки и .

Решение. Используя формулу (3), имеем:

.

Далее путём преобразований получаем:

Получили общее уравнение плоскости.

Во многих задачах аналитической геометрии возникает необходимость преобразовать уравнения одного вида к уравнению другого вида. Преобразование уравнения прямой с угловым коэффициентом в общее уравнение прямой делается достаточно просто: в уравнении вида всё переносим в левую часть, а в правой остаётся нуль. Получается уравнение вида .

Пример 7. Дано уравнение прямой с угловым коэффициентом . Записать уравнение этой прямой в общем виде и направляющий вектор этой прямой.

Решение. Всё переносим в левую часть, а в правой оставляем нуль:

.

Получили общее уравнение прямой. В нём . Поэтому направляющий вектор запишется так:

.

Рассмотрим особенности расположения прямой на плоскости в тех случаях, когда те или иные коэффициенты общего уравнения прямой равны нулю.

1. При уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат, так как кординаты точки удовлетворяют этому уравнению.

3. При уравнение определяет ось Ox, так как эта прямая одновременно параллельна оси Ox и проходит через начало координат. Аналогично, при уравнение определяет ось Oy.

Всё по теме "Прямая на плоскости

function-x.ru

Parafraf23

Электронный учебник по геометрии                                       

Глава 3. Прямая линия на плоскости

23. Нормальный вектор и нормальное уравнение прямой; переход от общего уравнения к нормальному  

         Определение. Вектор  называется ортогональным (нормальным или вектором нормали) прямой  , если он перпендикулярен ее направляющему вектору.

          Определение. Прямая, проходящая через точку  и имеющая направляющий вектор , называется нормалью прямой  в точке .

          Лемма. Если прямая  задана в прямоугольной декартовой системе координат  общим уравнением

,                                                                                  (1)

то вектор  является нормальным вектором прямой.

        Доказательство. В силу теоремы 38 направляющий вектор прямой  имеет координаты . Но .

        Задача 1. Написать уравнение прямой , заданной в прямоугольной декартовой системе координат нормальным вектором  и точкой .

Рис. 26

          Решение. Пусть  ― произвольная точка , тогда , но ,

, т.е. ,

, где .                                                                       (2)

        Вывод: если даны точка  и нормальный вектор , то наиболее просто записать общее уравнение (2).

        Рассмотрим единичный нормальный вектор прямой

. Заметим, что в силу следствия 1 из теоремы его координаты в прямоугольной декартовой системе координат  имеют вид , где .

       Задача 2. Написать уравнение прямой , заданной в прямоугольной декартовой системе координат  единичным нормальным вектором  и расстоянием  от начала координат  до прямой . Будем предполагать, что при   направлен от  к .

        Решение. Пусть  ― основание перпендикуляра, опущенного из  на .

 

 

 

Рис. 27

 

 Так как , , то

 ||.                                                                                           (3)

 Пусть  ― произвольная точка , тогда

.                                                                                             (4)

По правилу треугольника

.

 Подставим в (4). С учетом (3), имеем

.

Так как , , то получим уравнение

.                                                                                 (5)

        Определение. Уравнение (5) называется нормальным уравнением .

      Задача 3. Написать нормальное уравнение , заданной в прямоугольной декартовой системе координат    общим уравнением (1).

        Решение. Предполагая, что уравнения (1) и (5) определяют одну прямую , с учетом теоремы 40 имеем

если прямая  дана уравнением (1), то ее нормальное уравнение примет вид:

 ,                                                                  (6)

где  при ,

 при  и  при .

 

gm.chgpu.edu.ru

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор ( α1 , α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или

, где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

 

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

 

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках: 

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой:

 

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

C ледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .

Решение. Уравнение прямой имеет вид: , ab /2 = 8; a = 4; -4. a = -4 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Решение. Уравнение прямой имеет вид: , где х 1 = у 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

 

studfiles.net

Прямая на плоскости. Линейность уравнения прямой и обратное утверждение. Направляющий и нормальный векторы.

Прямая на плоскости. 

Общее уравнение прямой.

Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии.

Определение. Уравнение вида

F(x,y)=0 (1)

называется уравнением линии L в заданной системе координат, если этому удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Определение. Уравнение вида

Ах+Ву+С=0 (2)

при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В одновременно не равны нулю) определяют некоторую прямую в прямоугольной системе координат. Данное уравнение называется общим уравнением прямой.

Уравнение (2) есть уравнение первой степени, таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка и, обратно, каждая линия первого порядка есть прямая.

Рассмотрим три частных случая, когда уравнение (2) является неполным, т.е. какой-то из коэффициентов равен нулю.

1)      Если С=0, то уравнение имеет вид Ах+Ву=0 и определяет прямую, проходящую через начало координат т.к. координаты (0,0) удовлетворяют данному уравнению.

2)      Если В=0 (А≠0), то уравнение имеет вид Ах+С=0 и определяет прямую, параллельную оси ординат. Разрешив это уравнение относительно переменной х получим уравнение вида х=а, гдеа=-С/А, а— величина отрезка, который отсекает прямая на оси абсцисс. Если а=0 (С=0), то прямая совпадает с осью Оу (рис.1а). Таким образом, прямая х=0 определяет ось ординат.

3)      Если А=0 (В≠0), то уравнение имеет вид Ву+С=0 и определяет прямую, параллельную оси абсцисс. Разрешив это уравнение относительно переменной у получим уравнение вида у=b, гдеb=-С/В, b— величина отрезка, который отсекает прямая на оси ординат. Если b=0 (С=0), то прямая совпадает с осью Ох (рис.1б). Таким образом, прямая у=0 определяет ось абсцисс.

  

 а) б)

 Рис.1

Уравнение прямой в отрезках.

Пусть дано уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что ни один из коэффициентов не равен нулю. Перенесем коэффициент С в правую часть и разделим на -С обе части.

Используя обозначения, введенные в первом пункте, получим уравнение прямой «в отрезках»:

 (3)

Оно имеет такое название потому, что числа а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

Пример. Прямая задана общим уравнением 2х-3у+6=0. Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить эту прямую.

Решение. Выполним преобразования, аналогичные описанным выше, получим:

Чтобы построить эту прямую, отложим на оси Ох отрезок а=-3, а на оси Оу отрезок b=2. Через полученные точки проведем прямую (рис.2).

 

 Рис.2

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дано уравнение Ах+Ву+С=0 при условии, что коэффициент В не равен нулю. Выполним следующие преобразования

,   (4)

Уравнение (4), где k=-A/B, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Определение. Углом наклона данной прямой к оси Ох назовем угол α, на который нужно повернуть ось Ох, чтобы её положительное направление совпало с одним из направлений прямой.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох равен угловому коэффициенту, т.е k=tgα. Докажем, что –А/В действительно равно k. Из прямоугольного треугольника ΔОАВ (рис.3) выразим tgα, выполним необходимые преобразования и получим:

, что и требовалось доказать.
  

 Рис.3

Если k=0, то прямая параллельна оси Ох, и её уравнение имеет вид у=b.

Пример. Прямая задана общим уравнением 4х+2у-2=0. Составить для этой прямой уравнение с угловым коэффициентом.

Решение. Выполним преобразования, аналогичные описанным выше, получим:

где k=-2, b=1.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с данным угловым коэффициентом.

Пусть задана точка М0(х0,у0) прямой и её угловой коэффициент k. Запишем уравнение прямой в виде (4), где b—пока неизвестное число. Так как точка М0 принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (4): . Подставляя выражение для b в (4), получаем искомое уравнение прямой:  (5)

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(1,2) и под наклоном к оси Ох под углом 450.

Решение. k=tgα=tg450=1. Отсюда: .

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть даны две точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2). Запишем уравнение прямой в виде (5), где k пока неизвестный коэффициент:

Так как точка М2 принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (5): . Выражая отсюда и подставив его в уравнение (5) получим искомое уравнение: Если  это уравнение можно переписать в виде, более удобном для запоминания:  (6)

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точки М1(1,2) и М2(-2,3)

Решение. . Используя свойство пропорции, и выполнив необходимые преобразования, получим общее уравнение прямой:

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые l1 и l2:

l1 : , , и l2 : , , φ- угол между ними (). Из рис.4 видно: .
  

 Рис.4

Отсюда , или  (7) С помощью формулы (7) можно определить один из углов между прямыми. Второй угол равен .

Пример. Две прямые заданы уравнениями у=2х+3 и у=-3х+2. найти угол между этими прямыми.

Решение. Из уравнений видно, что k1=2, а k2=-3. подставляя данные значения в формулу (7), находим

. Таким образом, угол между данными прямыми равен .

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если прямые l1 и l2 параллельны, то φ=0 и tgφ=0. из формулы (7) следует, что , откуда k2=k1. Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то φ=π/2, α2= π/2+ α1 . . Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку. Линейность уравнения прямой и обратное утверждение.  Направляющий и нормальный векторы. Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной. Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой.

fizmatinf.blogspot.com

Направляющий вектор прямой, координаты направляющего вектора прямой

С понятием прямой линии тесно связано понятие ее направляющего вектора. Часто в задачах бывает удобнее рассматривать его вместо самой прямой. В рамках данного материала мы разберем, что же такое направляющий вектор прямой в пространстве и на плоскости, и расскажем, для чего можно его использовать.

В первом пункте мы сформулируем определение и покажем основные понятия на иллюстрациях, дополнив их конкретными примерами направляющего вектора. Далее мы посмотрим, как прямая и направляющие векторы взаимодействуют в прямоугольной системе координат и как можно вычислить координаты этого вектора, если мы знаем уравнение прямой. Все правила, как всегда, будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое направляющий вектор прямой

Для того чтобы понять эту тему, нам нужно хорошо представлять, что такое вообще прямая и как она может размещаться в пространстве и на плоскости. Кроме того, важно вспомнить ранее изученное понятие вектора. Об этом мы уже писали в отдельном материале. Если нужно, найдите и перечитайте эти статьи.

Сформулируем, что такое направляющий вектор.

Определение 1

Направляющим вектором прямой является любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.

Получается, что у каждой прямой есть бесконечное множество направляющих векторов. При этом все они будут являться коллинеарными в силу озвученного определения, ведь они лежат на одной прямой или параллельной ей другой прямой. Выходит, что если a→ является направляющий вектором прямой a, то другой направляющий вектор мы можем обозначить как t·a→ при любом значении t, соответствующем действительному числу.

Также из определения выше можно сделать вывод, что направляющие векторы двух параллельных прямых будут совпадать: если прямые a и a1 являются параллельными, то вектор a→ будет направляющим и для

www.zaochnik.com