Уравнение касательной к графику функции. Найти уравнение касательной


Уравнение касательной

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение уравнения касательной.

Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции y=f(x) в точке x_0  проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси OX) равен производной функции в точке x_0 .

k=tg{alpha}=f^{prime}(x_0)

Возьмем на касательной произвольную точку  с координатами ( x;y):

И рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:

В этом треугольнике tg{alpha}={BC}/{AB}={y-f(x_0)}/{x-x_0}=f{prime}(x_0)

Отсюда {y-f(x_0)}= f{prime}(x_0)(x-x_0)

Или

y=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(x-x_0)

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x_0.

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти f(x_0) и f{prime}(x_0).

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания  x_0

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции y=f(x) в точке x_0.

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной к графику функции f(x)=x^3-2x^2+3  в точке x_0=1.

а) Найдем значение функции в точке x_0=1.

f(1)=1^3-2*1^2+3=2.

б) Найдем значение производной в точке x_0=1. Сначала найдем производную функции y=f(x)

f{prime}(x)=3x^2-4x

f{prime}(1)=3*1^2-4*1=-1

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

y=2+(-1)(x-1)

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим: y=-x+3

Ответ: y=-x+3.

 

2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси OX равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2 в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции y={1/4}x^4-{8/3}x^3 +{{15}/2}x^2.

y{prime}=x^3-8x^2+15x

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения x, в которых касательная параллельна оси OX:

x^3-8x^2+15x=0

x(x^2-8x+15)=0

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

x_1=0;~~x_2=3;~~x_3=5

Ответ: 0;3;5

 

3. Написать уравнения касательных к графику функции y={3x-4}/{2x-3}, параллельных  прямой y=-x+3.

Касательная параллельна прямой y=-x+3. Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция y={3x-4}/{2x-3} и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции y={3x-4}/{2x-3} равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Нам нужно найти производную дроби.

({u/v})^{prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}

y{prime}={(3x-4){prime}(2x-3)-(2x-3){prime}(3x-4)}/{(2x-3)^2}={3(2x-3)-2(3x-4)}/{(2x-3)^2}={-1}/{(2x-3)^2}

Приравняем производную к числу -1.

{-1}/{(2x-3)^2}=-1

(2x-3)^2=1

2x-3=1 или 2x-3=-1

x_0=2 или x_0=1

б) Найдем уравнение касательной к графику функции y={3x-4}/{2x-3} в точке x_0=2.

Найдем значение функции в точке x_0=2.

y(2)={3*2-4}/{2*2-3}=2

y{prime}(2)=-1 (по условию)

Подставим эти значения в уравнение касательной:

y=2+(-1)(x-2)=-x+4.

б) Найдем уравнение касательной к графику функции y={3x-4}/{2x-3} в точке x_0=1.

Найдем значение функции в точке x_0=1.

y(1)={3*1-4}/{2*1-3}=1

y{prime}=-1 (по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

y=1+(-1)(x-1)=-x+2.

Ответ: y=-x+4;~~y=-x+2

 

4. Написать уравнение касательной к кривой y=sqrt{8-x^2}, проходящей через точку A(3,1)

Сначала проверим, не является ли точка A(3,1) точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты  точки A(3,1)  в уравнение функции.

1<>sqrt{8-3^2}. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка A(3,1) не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.

Найдем значение x_0.

Пусть x_0 - точка касания. Точка A(3,1) принадлежит касательной к графику функции y=sqrt{8-x^2}. Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

1=f(x_0)+ f{prime}(x_0)(3-x_0).

Значение функции y=sqrt{8-x^2} в точке x_0 равно f(x_0)= sqrt{8-{x_0}^2}.

Найдем значение производной функции y=sqrt{8-x^2} в точке x_0.

Сначала найдем производную функции y=sqrt{8-x^2}. Это сложная функция.

f{prime}(x)={1/{2sqrt{8-x^2}}}*(8-x^2){prime}={{-2x}/{2sqrt{8-x^2}}}

Производная в точке x_0 равна f{prime}(x_0)={-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}.

Подставим выражения для f(x_0) и f{prime}(x_0) в уравнение касательной. Получим уравнение относительно x_0:

1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

1=sqrt{8-{x_0}^2}+{-{x_0}}/{sqrt{8-{x_0}^2}}(3-x_0)

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

1={8-{x_0}^2-{x_0}(3-x_0)}/{sqrt{8-{x_0}^2}}

Упростим числитель дроби и умножим обе части на {sqrt{8-{x_0}^2}} - это выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

{8-3x_0}={sqrt{8-{x_0}^2}}

Это иррациональное уравнение.

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{64-48{x_0}+9{x_0}^2=8-{x_0}^2} {8-3x_0>=0} }}{ }

Решим первое уравнение.

10{x_0}^2-48x_0+56=0

5{x_0}^2-24x_0+28=0

Решим квадратное уравнение, получим

x_0=2 или x_0=2,8

Второй корень не удовлетворяет условию 8-3x_0>=0, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна 2.

Напишем уравнение касательной к кривой y=sqrt{8-x^2} в точке x_0=2. Для этого подставим значение x_0=2 в уравнение y=sqrt{8-{x_0}^2}+{-2{x_0}}/{2sqrt{8-{x_0}^2}}(x-x_0)  - мы его уже записывали.

Получим:

y=sqrt{8-{2}^2}-{2*{2}}/{2sqrt{8-{(2)}^2}}(x-2)

y=2-(x-2)=-x+4

Ответ: y=-x+4И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Уравнение касательной к графику функции

2 апреля 2011

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x0 имеет конечную производную f (x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x0 не существует? Возможны два варианта:

  1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).
  2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin xв точке (1; π/2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b,где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0)

Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0,а f (x0) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x0) · (x − x0) + f(x0).Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f ’(x0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = 8; Теперь найдем производную: f ’(x) = (x3)’ = 3x2; Подставляем в производную x0 = 2: f ’(x0) = f ’(2) = 3 · 22 = 12; Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5в точке x0 = π/2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;f ’(x0) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Смотрите также:

  1. Правила вычисления производных
  2. Вводный урок по вычислению производных степенной функции
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №6
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 4 (без логарифмов)
  5. Метод узлов в задаче B5
  6. Сложные задачи на проценты

www.berdov.com

Уравнение касательной | Найти производную

Здесь необходимо отсеять неверные определения касательной.

Толковый словарь Ушакова; Касательная - прямая линия, имеющая одну общую точку с кривой.

Определение верно для окружности рис.1, в общем случае неверно рис.2.

Академический словарь, за ним повторяет толковый словарь Кузнецова, Ефремовой и т.д.: Касательная - Прямая, имеющая общую точку с кривой, но не пересекающая её.

Определение  в общем случае неверно рис.3.

 

 

Определение: Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

 

Формула уравнения касательной

Если существует конечная производная f'(x0) то уравнение касательной к графику функции y=f(x) выражается следующим уравнением:

Особый случай когда   f'(x0) бесконечна, разберем отдельно.

Пример 1. Найти уравнение касательной к графику функции y=x2 в точке 2.

Алгоритм решения следующий:

1. Находим производную функции:

2. Находим значение производной в точке x0=2:

3. Находим значение функции в точке x0=2:

4. Найденные значения подставляем в формулу уравнения касательной:

5. Получаем уравнение касательной в точке x0=2:

Получить уравнение касательной онлайн, а также графическое решение, можно с помощью данного калькулятора.

 

www.reshim.su

Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

Касательная - это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.

Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.

Значение производной f '(x0) функции y = f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M0(x0, y0), где y0 = f(x0). В этом состоит геометрический смысл производной.

Таким образом, можем заменить k на f '(x0) и получить следующее уравнение касательной к графику функции:

y - y0 = f '(x0)(x - x0).

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде. Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:

(x - x0) + f '(x0)(y - y0) = 0

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Как и в предыдущем примере, данная функция - сложная, так как степень () сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Поделиться с друзьями

Весь блок "Производная"

function-x.ru

Касательная к графику ункции: уравнение касательной

 

Рассмотрим следующий рисунок:

На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.

Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.

Касательная к графику функции

Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.

При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f - это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).

Уравнение касательной

Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:

y = k*x + b.

Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0), то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0)*x + b.

Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) – f’(x0)*x0.

Подставляем полученное значение в уравнение касательной:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) – f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2*x2 + 1 в точке х = 2.

1. х0 = 2.

2. f(x0) = f(2) = 22 - 2*22 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x2 – 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*22 – 4*2 = 4.

5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x - 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x - 7.

Ответ: y = 4*x - 7.

Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Определить х0.

2. Вычислить f(x0).

3. Вычислить f’(x)

4. Вычислить f’(x0)

5. Подставить полученные значения в уравнение касательной y= f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Применения непрерывности: метод интервалов и примеры Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspКритические точки функции: максимумы и минимумы

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

9. Уравнения касательной и нормали.

Рассмотрим кривую, уравнение которой имеет вид

Уравнение касательной к данной кривой в точке имеет вид:

(34)

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярную к касательной в этой точке.

Уравнение нормали к данной кривой в точке имеет вид:

(35)

Длина отрезка касательной, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной касательной, проекция этого отрезка на ось абсцисс называется подкасательной.

Длина отрезка нормали, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной нормали,проекция этого отрезка на ось абсцисс называется поднормалью.

Пример 17

Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке, абсцисса которой равна.

Решение:

Найдем значение функции в точке :

Найдем производную заданной функции в точке

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

Ответ: Уравнение касательной :

Уравнение нормали :.

Пример 18

Написать уравнения касательной и нормали, длины касательной и подкасательной, длины нормали и поднормали для эллипса

в точке , для которой.

Решение:

Найдем как производную функции, заданной параметрически по формуле (10):

Найдем координаты точки касания : и значение производной в точке касания :

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

Найдем координаты точкипересечения касательной с осью:

Длина касательной равна длине отрезка :

Согласно определению, подкасательная равна

Где угол – угол между касательной и осью. Поэтому,- угловой коэффициент касательной, равный

Таким образом, подкасательная равна

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

Найдем координатыточкипересечения нормали с осью:

Длина нормали равна длине отрезка :

Согласно определению, поднормаль равна

Где угол – угол между нормалью и осью. Поэтому,- угловой коэффициент нормали, равный

Поэтому, поднормаль равна:

Ответ: Уравнение касательной :

Уравнение нормали :

Длина касательной ; подкасательная;

Длина нормали ; поднормаль

Задания 7. Написать уравнения касательной и нормали:

1. К параболе в точке, абсцисса которой

.

2. К окружности в точках пересечения её с осью абсцисс

.

3. К циклоиде в точке, для которой

.

4. В каких точках кривой касательная параллельна:

а) оси Оx; б) прямой

.

10. Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции.

Условие монотонности функции:

Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне возрастала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неположительна .

(36)

Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне убывала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неотрицательна.

(37)

Промежутки, на которых производная функции сохраняет определенный знак, называются промежутками монотонности функции

Пример 19

Найти промежутки монотонности функции .

Решение:

Найдем производную функции .

Найдем промежутки знакопостоянства полученной производной. Для этого

разложим полученный квадратный трехчлен на множители:

.

Исследуем знак полученного выражения, используя метод интервалов.

Таким образом, получаем согласно (36), (37),что заданная функция возрастает на и убывает на.

Ответ: Заданная функция возрастает наи убывает на.

Определение Функция имеет в точкелокальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , что для всехвыполняется условие

().

Локальный минимум или максимум функции называетсялокальным экстремумом.

Необходимое условие существования экстремума.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Если функцияимеет в точкеэкстремумом, то производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Точка называетсякритической точкой функции , если производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условия наличия экстремума в критической точке .

Пусть точка является критической.

Первое достаточное условие экстремума:

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестноститочкии дифференцируема в каждой точке.

Точка является локальным максимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с плюса на минус.

Точка является локальным минимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с минуса на плюс.

Пример 20

Найти экстремумы функции .

Решение:

Найдем производную заданной функции

Приравнивая в полученной производной к нулю числитель и знаменатель, найдем критические точки:

Исследуем знак производной, используя метод интервалов.

Из рисунка видно, что при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке- локальный максимум.

При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс.

Следовательно, в точке - локальный минимум.

При переходе через точку производная не меняет знак. Следовательно, критическая точкане является экстремумом заданной функции.

Ответ: - локальный максимум, - локальный минимум.

Второе достаточное условие экстремума:

Если первые производные функциив точкеравны нулю, а-ная производная функциив точкеотлична от нуля, то точкаявляется экстремумом функции, причем,

если

, (38)

то -локальный минимум

если

, (39)

то -локальный максимум.

Пример 21

Найти экстремумы функции, пользуясь второй производной .

Решение:

ОДЗ: .

Найдем первую производную заданной функции

Найдем критические точки функции:

Точку мы не рассматриваем, так как функция определена только в левой окрестности.

Найдем вторую производную

Находим

Таким образом, на основании (39) делаем вывод о том, что при - локальный максимум.

Ответ: - локальный максимум.

Задания 8.

Исследовать на возростание и убывание функции:

Исследовать на экстремумы функции:

studfiles.net

уравнение касательной | Найти производную

Тема: Как найти уравнение касательной к графику функции

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 имеет вид

 

 

 

 

в точке x0=2. 

Алгоритм решения следующий: 

1) Находим производную функции 

  2) Вычисляем значение производной в точке x0=2     3) Вычисляем значение функции в точке x0=2    

4)  Найденные значения подставляем в формулу уравнения касательной 

Получаем уравнение касательной

 

 

 

Для наглядности рекомендуем построить график самой функции и касательной на координатной плоскости с помощью калькулятора. Для этого вводим в калькулятор функцию в виде 3x^2-5x+1 и касательную в виде 7x-11, задаем интервал построения графиков от x1=-2 до x2=4 (для данного примера функции вводить не требуется, они уже введены автором), нажимаем Ok, получаем ответ. 

 

Разберем более сложный случай, когда касательная должна проходить через точку не принадлежащую кривой.Пример 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как  f(– 3)=-9+12+2=5

1. a – абсцисса точки касания.2. f(a) = – a2 – 4a + 2.3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),a2 + 6a + 8 = 0 ^ a1 = – 4, a2 = – 2.Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид   y = 4x + 18. Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид  y = 6.

 

 

 

 

www.reshim.su