11. Связь тангенциального и углового ускорения. Найти тангенциальное ускорение точки


Тангенциальное ускорение. Тангенциальное ускорение точки

Тангенциальное ускорение

Что такое тангенциальное ускорение?

Тангенциальное ускорение рассмотрим на простом примере.

Пример тангенциального ускорения

Пусть скорость движения тела изменяется только по величине, а само движение является равнопеременным.

При равнопеременном движении модуль скорости изменяется на на одинаковую величину за равные промежутки времени.

График изменения скорости при равнопеременном движении:

(Этот график я построил с помощью построителя графиков. Выбрал в нём вид функции "Линейная: y = k * x + b" и нажал кнопку "Построить график".)

Рассмотрим изменение скорости при изменении времени от 2-х до 5-ти секунд.

Время изменилось на "дельта t", а скорость изменилась на "дельта V":

Отношение "дельта V" к "дельта t" даёт тангенциальное ускорение:

Из этого уравнения ясно, что тангенциальное ускорение является вектором. Кстати, а почему ясно, что это вектор? Потому, что умножение вектора на число даёт вектор. Это свойство векторов. В правой части уравнения вектор "дельта V" умножается на число один разделить на "дельта t". Значит, то чему равна правая часть уравнения есть вектор. А правая часть у нас равна тангенциальному ускорению, что следует из уравнения. Делаем вывод: тангенциальное ускорение является вектором.

Направление вектора тангенциального ускорения

Направлено тангенциальное ускорение по одной прямой с вектором скорости. Но в какую сторону?

Если скорость увеличивается, то вектор тангенциального ускорения направлен в ту сторону, что и вектор скорости и модуль тангенциального ускорения есть положительное число.

Если скорость уменьшается, то вектор тангенциального ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости и модуль тангенциального ускорения есть отрицательное число.

Модуль и знак тангенциального ускорения

Модуль и знак тангенциального ускорения найдём из уравнения:

Для случая криволинейного движения вектор тангенциального ускорения направлен по касательной к траектории.

В примере этой статьи мы рассматривали равнопеременное движение.

Для более сложных случаев, когда скорость изменяется неравномерно, следует график V от t разбить на участки, для которых график можно заменить прямой линией. И все наши рассуждения применить к такому участку. В этом случае для каждого участка будет своё тангенциальное ускорение.

www.sbp-program.ru

Кинематика материальной точки

Основные формулы кинематики материальной точки

Приведем основные формулы кинематики материальной точки. После чего дадим их вывод и изложение теории.

Радиус-вектор материальной точки M в прямоугольной системе координат Oxyz: ,где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z.

Скорость точки: ;. .Единичный вектор в направлении касательной к траектории точки:.

Ускорение точки:;;;;     ;

Тангенциальное (касательное) ускорение:;; .

Нормальное ускорение:;; .

Единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории точки (вдоль главной нормали):.

Радиус кривизны траектории:.

Далее приводится вывод этих формул и изложение теории кинематики материальной точки.

Радиус-вектор и траектория точки

Рассмотрим движение материальной точки M. Выберем неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz с центром в некоторой неподвижной точке O. Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Эти координаты являются компонентами радиус-вектора материальной точки.

Радиус-вектор точки M – это вектор , проведенный из начала неподвижной системы координат O в точку M. ,где – единичные векторы в направлении осей x, y, z.

При движении точки, координаты изменяются со временем . То есть они являются функциями от времени . Тогда систему уравнений(1)   можно рассматривать как уравнение кривой, заданной параметрическими уравнениями. Такая кривая является траекторией точки.

Траектория материальной точки – это линия, вдоль которой происходит движение точки.

Если движение точки происходит в плоскости, то можно выбрать оси и системы координат так, чтобы они лежали в этой плоскости. Тогда траектория определяется двумя уравнениямиВ некоторых случаях, из этих уравнений можно исключить время . Тогда уравнение траектории будет иметь зависимость вида:,где – некоторая функция. Эта зависимость содержит только переменные и . Она не содержит параметр .

Скорость материальной точки

Скорость материальной точки – это производная ее радиус-вектора по времени.

Согласно определению скорости и определению производной:Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора:,где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:,где,,– проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора.

Таким образом .Модуль скорости: .

Касательная к траектории

С математической точки зрения, систему уравнений (1) можно рассматривать как уравнение линии (кривой), заданной параметрическими уравнениями. Время , при таком рассмотрении, играет роль параметра. Из курса математического анализа известно, что направляющий вектор для касательной к этой кривой имеет компоненты:.Но это есть компоненты вектора скорости точки. То есть скорость материальной точки направлена по касательной к траектории.

Касательная к траектории точки

Все это можно продемонстрировать непосредственно. Пусть в момент времени точка находится в положении с радиус-вектором (см. рисунок). А в момент времени – в положении с радиус-вектором . Через точки и проведем прямую . По определению, касательная – это такая прямая , к которой стремится прямая при .Введем обозначения:;;.Тогда вектор направлен вдоль прямой .

При стремлении , прямая стремится к касательной , а вектор – к скорости точки в момент времени :.Поскольку вектор направлен вдоль прямой , а прямая при , то вектор скорости направлен вдоль касательной .То есть вектор скорости материальной точки направлен вдоль касательной к траектории.

Введем направляющий вектор касательной единичной длины:.Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку, то:.

Тогда вектор скорости точки можно представить в виде:.

Далее мы считаем, что если над буквой векторной величины не стоит стрелка, то это обозначает модуль вектора.

Ускорение материальной точки

Ускорение материальной точки – это производная ее скорости по времени.

Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат):;;;.Модуль ускорения: .

Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения

Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу:.Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения:.

Вектор направлен по касательной к траектории. В какую сторону направлена его производная по времени ?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице:.Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают скалярное произведение векторов. Продифференцируем последнее уравнение по времени:;;.Поскольку скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярен к касательной.

Первую компоненту называют тангенциальным или касательным ускорением:.Вторую компоненту называют нормальным ускорением:.Тогда полное ускорение:(2)   .Эта формула представляет собой разложение ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты – касательную к траектории и перпендикулярную к касательной.

Поскольку , то(3)   .

Тангенциальное (касательное) ускорение

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :.Поскольку , то . Тогда;.Здесь мы положили:.Отсюда видно, что тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на направление касательной к траектории или, что тоже самое, на направление скорости точки.

Тангенциальное (касательное) ускорение материальной точки – это проекция ее полного ускорения на направление касательной к траектории (или на направление скорости).

Символом мы обозначаем вектор тангенциального ускорения, направленный вдоль касательной к траектории. Тогда – это скалярная величина, равная проекции полного ускорения на направление касательной. Она может быть как положительной, так и отрицательной.

Подставив , имеем:.

Подставим     в формулу:.Тогда:.То есть тангенциальное ускорение равно производной по времени от модуля скорости точки. Таким образом, тангенциальное ускорение приводит к изменению абсолютной величины скорости точки. При увеличении скорости, тангенциальное ускорение положительно (или направлено вдоль скорости). При уменьшении скорости, тангенциальное ускорение отрицательно (или направлено противоположно скорости).

Радиус кривизны траектории

Теперь исследуем вектор .

Радиус кривизны траектории

Рассмотрим единичный вектор касательной к траектории . Поместим его начало в начало системы координат. Тогда конец вектора будет находиться на сфере единичного радиуса. При движении материальной точки, конец вектора будет перемещаться по этой сфере. То есть он будет вращаться вокруг своего начала. Пусть – мгновенная угловая скорость вращения вектора в момент времени . Тогда его производная – это скорость движения конца вектора. Она направлена перпендикулярно вектору . Применим формулу для вращающегося движения. Модуль вектора:.

Теперь рассмотрим положение точки для двух близких моментов времени. Пусть в момент времени точка находится в положении , а в момент времени – в положении . Пусть и – единичные векторы, направленные по касательной к траектории в этих точках. Через точки и проведем плоскости, перпендикулярные векторам и . Пусть – это прямая, образованная пересечением этих плоскостей. Из точки опустим перпендикуляр на прямую . Если положения точек и достаточно близки, то движение точки можно рассматривать как вращение по окружности радиуса вокруг оси , которая будет мгновенной осью вращения материальной точки. Поскольку векторы и перпендикулярны плоскостям и , то угол между этими плоскостями равен углу между векторами и . Тогда мгновенная скорость вращения точки вокруг оси равна мгновенной скорости вращения вектора :.Здесь – расстояние между точками и .

Таким образом мы нашли модуль производной по времени вектора :.Как мы указали ранее, вектор перпендикулярен вектору . Из приведенных рассуждений видно, что он направлен в сторону мгновенного центра кривизны траектории. Такое направление называется главной нормалью.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорениенаправлено вдоль вектора . Как мы выяснили, этот вектор направлен перпендикулярно касательной, в сторону мгновенного центра кривизны траектории. Пусть – единичный вектор, направленный от материальной точки к мгновенному центру кривизны траектории (вдоль главной нормали). Тогда;.Поскольку оба вектора и имеют одинаковое направление – к центру кривизны траектории, то.

Из формулы (2) имеем:(4)   .Из формулы (3) находим модуль нормального ускорения:.

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :(2)   ..Поскольку , то . Тогда;.Отсюда видно, что модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали.

Нормальное ускорение материальной точки – это проекция ее полного ускорения на направление, перпендикулярное к касательной к траектории.

Подставим . Тогда.То есть нормальное ускорение вызывает изменение направления скорости точки, и оно связано с радиусом кривизны траектории.

Отсюда можно найти радиус кривизны траектории:.

И в заключении заметим, что формулу (4) можно переписать в следующем виде:.Здесь мы применили формулу для векторного произведения трех векторов:,в которую подставили.

Итак, мы получили:;.Приравняем модули левой и правой частей:.Но векторы и взаимно перпендикулярны. Поэтому.Тогда.Это известная формула из дифференциальной геометрии для кривизны кривой.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 09-02-2016   Изменено: 19-02-2016

1cov-edu.ru

1.3 Ускорение точки

Среднее ускорение  

характеризует изменение вектора скорости за малый промежуток времени  Δt . Ускорение точки в данный момент времени

Ускорение точки – это мера изменения ее скорости, равная производной по времени от скорости этой точки или второй производной от радиус-вектора точки по времени. Ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине и направлению и направлено в сторону вогнутости траектории.

15. Определение скорости и ускорения при координатном способе задания движения точки.

Связь векторного способа задания движения и координатного дается соотношением

Из определения скорости

Проекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координат по времени:

Модуль и направление скорости определяются выражениями

Из определения ускорения

Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат по времени

Модуль и направление ускорения определяются выражениями

16. Тангенциальное и нормальное ускорение точки.

Нормальное и тангенциальное ускорение

При криволинейном движении скорость направлена по касательной к траектории.

Поскольку направление скорости постоянно изменяется, то криволинейное движение - всегда движение с ускорением, в том числе, когда модуль скорости остается неизменным

В общем случае ускорение направлено под углом к скорости. Составляющая ускорения, направленная вдоль скорости, называется тангенциальным ускорением . Она характеризует изменение скорости по модулю.

Составляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории, т.е. перпендикулярно (нормально) скорости, называется нормальным ускорением . Она характеризует изменение скорости по направлению.

Здесь R - радиус кривизны траектории в данной точке.

Тангенциальное и нормальное ускорение взаимноперпендикулярны, поэтому модуль полного ускорения

17. Относительное, переносное и абсолютное движения. Теорема о сложении скоростей.

    Согласно теореме Кориолиса, абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма относительного, переносного и кориолисова ускорений (рис. 3) 

                                        aa = ar  ⊕   ae  ⊕  aC   .

Рис. 3

    Поскольку, в данном случае, относительное движение происходит по прямой линии, относительное ускорение ar  направлено вдоль этой прямой и определяется выражением

    Переносным ускорением точки M является ускорение точки M диска. Диск совершает вращательное движение, следовательно, переносное ускорение определяется выражением

  ae = aeвр  ⊕  aeцс            ,

где  aeвр= ε⋅ OM  - вращательное ускорение точки M, направленное перпендикулярно отрезку OM ;

       aeцс= ω2⋅ OM - центростремительное ускорение точки M, направленное к центру диска.

    Ускорение Кориолиса или поворотное ускорение определяется по формуле

aC = 2 ωe  ⊗  νr          , где  ωe - переносная угловая скорость,  νr  - относительная скорость точки.

    Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского.

    Величина ускорения Кориолиса определяется выражением

         aC = 2 ωe  νr  sinα      ,

где  α  – угол между векторами ωe  и νr  .

    Рассмотрим, какой физический смысл заложен в ускорение Кориолиса. Для простоты будем считать, что диск вращается с постоянной угловой скоростью, а точка M движется относительно диска с постоянной относительной скоростью (рис.4).

Рис. 4

    Пусть в момент времени t1 точка M занимала положение M1 и имела относительную скорость νr 1 . За промежуток времени Δt точка M переместится в положение M2 , при этом направление скорости νr изменится вследствие вращения диска. Вектор νr получит приращение Δνr . Отношение  Δνr / Δt определяет среднее ускорение точки за промежуток времени Δt . Предел отношения  Δνr / Δt при  Δt→ 0 есть производная  dνr /dt , как производная от вектора постоянного по величине.

    Рассмотрим, как изменяется переносная скорость в зависимости от относительного движения. В моменты времени t1 и t2 переносная скорость определяется выражениями νe1= ω ⊗ OM1  и  νe2= ω ⊗ OM2 . Тогда приращение вектора  νe за счет относительного движения будет равно 

 Δνe = ω  ⊗ OM2 - ω ⊗  OM1 = ω  ⊗ (OM2 - OM1) = ω ⊗  νr⋅ Δt 

    Отношение Δνe / Δt в пределе при  Δt→ 0 дает производную dνe / d t = ω ⊗  νr  . Таким образом, ускорение Кориолиса с одной стороны характеризует изменение относительной скорости по направлению за счет переносного вращения и, с другой стороны, изменение величины переносной скорости за счет относительного движения.

Рис. 5

    Абсолютное ускорение точки в сложном движении в общем случае определяется геометрической суммой пяти слагаемых

    Для определения величины абсолютного ускорения удобнее пользоваться аналитическим методом сложения векторов:

studfiles.net

1.Кинематическое описание движения. Перемещение, скорость. Вычисление пройденного пути. Ускорение.

Кинематика изучает движение без выявления причин, вызывающих это движение. Кинематика является разделом механики. Главной задачей кинематики является математическое определение положения и характеристик движения точек или тел во времени.

Основные кинематические величины:

- Перемещение() –вектор, соединяющий начальную и конечную точки.

r – радиус-вектор, определяет положение МТ в пространстве.

- Скорость – отношение пути ко времени.

- Путь – множество точек через которое прошло тело.

- Ускорение – скорость изменения скорости, то есть первая производная от скорости.

2.Ускорение при криволинейном движении: нормальное и тангенциальное ускорение. Плоское вращение. Угловая скорость, ускорение.

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию. Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости.

Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение:

Где 𝛖τ, 𝛖0 – величины скоростей в момент времени t0 + Δt и t0 соответственно. Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

Нормальное ускорение - это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

-угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается точка при равномерном движении по окружности за единицу времени. Единица измерения в СИ  - рад/с.

Плоское вращение – это вращение всех векторов скоростей точек тела в одной плоскости. 

3.Связь между векторами скорости и угловой скорости материальной точки. Нормальное, тангенциальное и полное ускорение.

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Нормальное (центростремительное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

studfiles.net

11. Связь тангенциального и углового ускорения.

При вращении за время угловая скорость получит приращение, тогда (8) примет вид:

(14)

Разделим обе части на , получим:

(15)

или

(16)

Векторное произведение:

(17)

Вектор тангенциального ускорения совпадает по направлению с векторным произведением . Векторное произведение всегда связано справилом правого винта: вращая головку винта по направлению вектора , стоящего на первом месте в (13), к вектору, стоящему на втором месте, определяем по поступательному движению винта направление третьего вектора.

12. Мгновенное угловое ускорение.

При получим мгновенное угловое ускорение:

, (18)

т.е. мгновенное угловое ускорение численно равно первой производной угловой скорости по времени или – второй производной углового перемещения по времени.

Приложение 1.

тип движения

рисунок, графики

формулы

Равномерное движение

Равноускоренное (равнозамедленное)

движение

Движение тела, брошенного вертикально вниз

При

При

Движение тела, брошенного вертикально вверх

При

Движение тела, брошенного горизонтально

;

;

;

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Движение тела по окружности

Тангенциальное и нормальное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и ее направление, поэтому вектор ускорения представляют в виде двух составляющих: тангенциального () и нормального ().

Тангенциальное (касательное) ускорение – составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке. (Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю;

Направление вектора совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему).

Нормальное ускорение– составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории в данной точке. (Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Векторнаправлен по радиусу кривизны траектории).

Модуль полного ускорения при этом определяется соотношением:

.

Направление полного ускоренияопределяют правилом сложения векторов:

.

Основная литература.

1. Трофимова, Т. И. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т. И. Трофимова. – М. : Издательский центр «Академия», 2006. – 560 с.

Дополнительная литература.

1. Савельев, И. В. Курс общей физики / И. В. Савельев. – М. : Наука, 2005. Т.1-5.

2. Курс общей физики / С. Э. Фриш, А. В. Тиморева. – СПб., М., Краснодар : «Лань», 2006. Т.1-3.

3. Сивухин, Д. В. Общий курс физики / Д. В. Сивухин. - М. : Физматлит, 2005. Т.1-5.

1

studfiles.net

Ускорение | Физика для всех

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

Среднее ускорение

Среднее ускорение> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

 

Рис. 1.8. Среднее ускорение.В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с2, то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

v2 > v1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости 

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

v2 < v1

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости  Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения, при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное ускорение

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения  (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:

av-mag.ru

Нормальное ускорение

Рассмотрим подробнее нормальное ускорение:
       Быстрота изменения направления касательной к траектории    определяется скоростью движения точки по окружности и степенью искривленности траекторий.

       Степень искривленности плоской кривой характеризуется кривизной С.

       Радиус кривизны  r – радиус такой окружности, которая сливается с кривой в данной точке на бесконечно малом ее участке dS.

       Центры таких окружностей – центры кривизны т. O и O' (рис. 2.10),

   (2.3.10)  
       Скорость изменения направления касательной можно выразить как произведение скорости изменения угла на единичный вектор, показывающий направление изменения угла: где – единичный вектор, направленный перпендикулярно касательной в данной точке, т.е. по радиусу кривизны к центру кривизны.

Рис. 2.10

       Из (2.3.10) следует, что , но т.к.  dS = vdt, то .        Тогда и, следовательно ; наконец, , т.е.        Нормальное ускорение показывает быстроту изменения направления вектора скорости. Модуль нормального ускорения равен
   (2.3.11)  
       Термин "центростремительное ускорение" используется в случае, когда движение происходит по окружности. Если же движение происходит по произвольной кривой, то соответствующим аналогом является термин "нормальное ускорение" (перпендикулярное к касательной в любой точке траектории).

       Итак, возвращаясь к выражению (2.3.8), можно записать, что суммарный вектор ускорения при движении точки вдоль плоской кривой равен:

       Изобразим на рис. 2.11 взаимное расположение векторов ускорения:

Рис. 2.11

       Как видно из этого рисунка, модуль общего ускорения равен:
   (2.3.12)  
       Рассмотрим несколько предельных (частных) случаев:
  1. aτ = 0;     an = 0  -  равномерное прямолинейное движение;
  2. aτ = const;     an = 0  -  равноускоренное прямолинейное движение;
  3. aτ = 0;     an = const  -  равномерное движение по окружности.

ens.tpu.ru