Что такое нули функции и как их определить. Найти нули функции примеры


Нули функции | Алгебра

Что такое нули функции? Как определить нули функции аналитически и по графику?

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна  нулю.

Чтобы найти нули функции, заданной формулой  y=f(x), надо решить уравнение f(x)=0.

Если уравнение не имеет корней, нулей у функции нет.

Примеры.

1) Найти нули линейной функции y=3x+15.

Решение:

Чтобы найти нули функции, решим уравнение 3x+15=0.

3x=-15; x= -5.

Таким образом, нуль функции y=3x+15 — x= -5.

Ответ:x= -5.

2) Найти нули квадратичной функции f(x)=x²-7x+12.

Решение:

Для нахождения нулей функции решим квадратное уравнение

x²-7x+12=0.

Его корни x1=3 и x2=4 являются нулями данной функции.

Ответ: x=3; x=4.

3)Найти нули функции

    \[g(x) = \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 1}}\]

Решение:

Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля. Следовательно, x²-1≠0,x²≠1,x≠±1. То есть область определения данной функции (ОДЗ)

x ∈ (-∞; -1)U(-1; 1)U(1;∞).

Решаем уравнение

    \[\frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 1}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 5x + 4\\ {x^2} - 1 \ne 0 \end{array} \right.\]

Из корней уравнения x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4 в область определения входит только x=-4.

Ответ: x=-4.

Чтобы найти нули функции, заданной графически, надо найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

Если график не пересекает ось Ox, функция не имеет нулей.

Например,

nuli-funkcii

функция, график которой изображен на рисунке,имеет четыре нуля —

    \[{x_1} = - 2;{x_2} = - 1;{x_3} = 1;{x_4} = 3.\]

В алгебре задача нахождения нулей функции встречается как в виде  самостоятельного задания, так и при решения других задач, например, при исследовании функции, решении неравенств и т.д.

www.algebraclass.ru

Что такое нули функции и как их определить

Что такое нули функции? Ответит довольно прост - это математический термин, под которым подразумевают область определения заданной функции, на котором ее значение нулевое. Нули функции также называют корнями уравнения. Проще всего пояснить, что такое нули функции, на нескольких простых примерах.

Примеры

Рассмотрим несложное уравнение у=х+3. Поскольку нуль функции - это значение аргумента, при котором у приобрел нулевое значение, подставим 0 в левую часть уравнения:

0=х+3;

х=-3.

В данном случае -3 и есть искомый нуль. Для данной функции существует только один корень уравнения, но так бывает далеко не всегда.

Рассмотрим другой пример:

у=х2-9.

Подставим 0 в левую часть уравнения, как и в предыдущем примере:

0=х2-9;

-9=х2 .

Очевидно, что в данном случае нулей функции будет два: х=3 и х=-3. Если бы в уравнении был аргумент третьей степени, нулей было бы три. Можно сделать простой вывод, что количество корней многочлена соответствует максимальной степени агрумента в уравнении. Однако многие функции, например у=х3 , на первый взгляд противоречат этому утверждению. Логика и здравый смысл подсказывают, что у этой функции только один нуль - в точке х=0. Но на самом деле корней три, просто все они совпадают. Если решать уравнение в комплексной форме, это становится очевидным. х=0 в данном случае, корень, кратность которого 3. В предыдущем примере нули не совпадали, потому имели кратность 1.

что такое нули функции

Алгоритм определения

Из представленных примеров видно, как определить нули функции. Алгоритм всегда один и тот же:

  1. Записать функцию.
  2. Подставить у или f(x)=0.
  3. Решить получившееся уравнение.

Сложность последнего пункта зависит от степени аргумента уравнения. При решении уравнений высоких степеней особенно важно помнить, что количество корней уравнения равно максимальной степени аргумента. Особенно это актуально для тригонометрических уравнений, где деление обоих частей на синус или косинус приводит к потере корней.

Уравнения произвольной степени проще всего решать методом Горнера, который был разработан специально для нахождения нулей произвольного многочлена.

Значение нулей функций может быть как отрицательным, так и положительным, действительным или лежащим в комплексной плоскости, единичным или множественным. Или же корней уравнения может и не быть. Например, функция у=8 не приобретет нулевого значения ни при каком х, потому что она не зависит от этой переменной.

Уравнение у=х2-16 имеет два корня, и оба лежат в комплексной плоскости: х1=4і, х2=-4і.

как определить нули функции

Типичные ошибки

Частая ошибка, которую допускают школьники, еще не разобравшиеся толком в том, что такое нули функции, - это замена на ноль аргумента (х), а не значения (у) функции. Они уверенно подставляют в уравнение х=0 и, исходя из этого, находят у. Но это неправильный подход.

Другая ошибка, как уже упоминалось, сокращение на синус или косинус в тригонометрическом уравнении, из-за чего и теряется один или несколько нулей функции. Это не означает, что в таких уравнениях нельзя ничего сокращать, просто при дальнейших подсчетах необходимо учитывать эти "потерянные" сомножители.

значение нулей функции

Графическое представление

Понять, что такое нули функции, можно с помощью математических программ, таких как Maple. В ней можно построить график, указав желаемое количество точек и нужный масштаб. Те точки, в которых график пересечет ось ОХ, и есть искомые нули. Это один из самых быстрых способов нахождения корней многочлена, особенно если его порядок выше третьего. Так что если есть необходимость регулярно выполнять математические расчеты, находить корни многочленов произвольных степеней, строить графики, Maple или аналогичная программа будет просто незаменима для осуществления и проверки расчетов.

fb.ru

Как найти нули функции - BICHKA

Нуль функции — значение х, при котором значение функции равно нулю. Обычно поиск нулей функции выполняется через решение полиномиального уравнения, например, x2 + 4x +3 = 0. Вот несколько способов нахождения нулей функции.

Что такое нули функции? Как определить нули функции аналитически и по графику?

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна  нулю.

Чтобы найти нули функции, заданной формулой  y=f(x), надо решить уравнение f(x)=0.

Если уравнение не имеет корней, нулей у функции нет.

Примеры.

1) Найти нули линейной функции y=3x+15.

Решение:

Чтобы найти нули функции, решим уравнение 3x+15=0.

3x=-15; x= -5.

Таким образом, нуль функции y=3x+15 — x= -5.

Ответ:x= -5.

2) Найти нули квадратичной функции f(x)=x²-7x+12.

Решение:

Для нахождения нулей функции решим квадратное уравнение

x²-7x+12=0.

Его корни x1=3 и x2=4 являются нулями данной функции.

Ответ: x=3; x=4.

3)Найти нули функции

  

Решение:

Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля. Следовательно, x²-1≠0,x²≠1,x≠±1. То есть область определения данной функции (ОДЗ)

x ∈ (-∞; -1)U(-1; 1)U(1;∞).

Решаем уравнение

  

Из корней уравнения x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4 в область определения входит только x=-4.

Ответ: x=-4.

Чтобы найти нули функции, заданной графически, надо найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

Если график не пересекает ось Ox, функция не имеет нулей.

Например,

функция, график которой изображен на рисунке,имеет четыре нуля —

  \[{x_1} = - 2;{x_2} = - 1;{x_3} = 1;{x_4} = 3.\]

В алгебре задача нахождения нулей функции встречается как в виде  самостоятельного задания, так и при решения других задач, например, при исследовании функции, решении неравенств и т.д.

bichka.info

Свойства функции

В этой статье мы коротко суммируем сведения, которые касаются такого важного математического понятия, как функция. Мы поговорим о том, что такое  числовая функция и какие свойства функции необходимо знать и уметь исследовать.

Что такое  числовая функция? Пусть у нас есть два числовых множества: Х и Y, и  между этими множествами есть определенная зависимость. То есть каждому элементу х из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие  единственный элемент  y из множества Y.

Важно, что каждому элементу х из множества Х соответствует один и только один элемент y из множества Y.

Правило, с помощью которого каждому элементу из множества Х мы ставим в соответствие единственный элемент из множества Y, называется числовой функцией. 

Множество Х называется областью определения функции.

Множество Y называется множеством значений значений функции.

Равенство   называется уравнением функции. В этом уравнении    - независимая переменная, или аргумент функции.   - зависимая переменная.

Если мы возьмем все пары и поставим им в соответствие соответствующие точки координатной плоскости, то  получим график функции. График функции - это графической изображение зависимости между множествами Х и Y.

Свойства функции мы можем определить, глядя на график функции, и, наоборот, исследуя свойства функции мы можем построить ее график.

Основные свойства функций. 

1. Область определения функции.

Область определения функции D(y)-это множество всех допустимых значений аргумента x ( независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции   имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения .

Чтобы по графику функции найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

2. Множество значений функции.

Множество значений функции  Е(y)- это множество всех значений, которые может принимать  зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции  найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

3.  Нули функции.

Нули функции - это те значения аргумента х, при которых значение функции (y) равно нулю.

Чтобы найти нули функции , нужно решить уравнение  . Корни этого уравнения и будут нулями функции .

Чтобы найти нули функции по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции  .

4. Промежутки знакопостоянства функции. 

Промежутки знакопостоянства функции - это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть  или .

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нужно решить неравенства и  .

Чтобы найти  промежутки знакопостоянства функции  по ее графику, нужно

  • найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен выше оси ОХ - при этих значениях аргумента
  • найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен ниже оси ОХ - при этих значениях аргумента  .

5. Промежутки монотонности функции.

Промежутки монотонности функции - это такие промежутки значений  аргумента х, при которых функция возрастает или убывает.

Говорят, что функция   возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  , принадлежащих промежутку I таких, что   выполняется соотношение:.

Другими словами, функция   возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Чтобы по графику функции определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь  слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх.

Говорят, что функция   убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  , принадлежащих промежутку I таких, что   выполняется соотношение: .

Другими словами, функция   убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. 

Чтобы по графику функции определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь  слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вниз.

6. Точки максимума и минимума функции.

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

.

Графически это означает что точка с абсциссой  x_0 лежит выше других точек из окрестности I графика функции y=f(x).

Точка называется точкой минимума  функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

Графически это означает что точка с абсциссой  лежит ниже других точек  из окрестности I графика функции .

Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.

 7. Четность (нечетность) функции.

Функция  называется четной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции,   также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения  четной функции симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение .

Функция называется нечетной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции, также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения нечетной функции симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение .

Все функции делятся на четные, нечетные, и те, которые не являются четными и не являются нечетными. Они называются функциями общего вида.

Чтобы определить четность функции, нужно:

а). Найти область определения функции , и определить, является ли она симметричным множеством.

Если, например,  число х=2 входит в область определения функции, а число х=-2 не входит, то D(y) не является симметричным множеством, и функция - функция общего вида.

Если область определения  функции - симметричное множество, то проверяем п. б)

б). В уравнение функции  нужно вместо х подставить -х, упростить полученное выражение, и постараться привести его к виду  или .

Если , то функция четная.

Если , то функция нечетная.

Если не удалось привести ни к тому ни к другому, то наша функция - общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат ( прямой OY ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат ( точки (0,0) ).

8. Периодичность функции.

Функция называется периодической, если существует такое положительное число Т, что

  • для любого значения х из области определения функции, х+Т также принадлежит D(x)

В программе средней школы из числа периодических функций изучают только тригонометрические функции.

Предлагаю вам посмотреть  ВИДЕОУРОК, в котором  я рассказываю, как определить свойства функции, график которой изображен на рисунке:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Как найти нули функции

3 методика:Разложение на множителиРешение квадратного уравненияГрафик квадратного уравнения

Нуль функции - значение х, при котором значение функции равно нулю. Обычно поиск нулей функции выполняется через решение полиномиального уравнения, например, x2 + 4x +3 = 0. Вот несколько способов нахождения нулей функции.

Шаги

Метод 1 из 3: Разложение на множители

  1. 1 Запишите уравнение, чтобы оно выглядело примерно так x2 + 5x + 4. Начните с члена высшего порядка (такого, как x2) и далее со снижением порядка до свободного члена (константа без переменной; число). Приравняйте полученное выражение к 0.
    • Многочлены (уравнения), записанные правильно:
      • x2 + 5x + 6 = 0
      • x2 - 2x – 3 = 0
    • Многочлены (уравнения), записанные неправильно:
  2. 2 Обозначьте коэффициенты в вашем уравнении через "a", "b", "c". Это упростит задачу разложения на множители. Запишите уравнение в таком формате: ax2 ± bx ± c = 0. Теперь найдите a, b, c из данного вам уравнения. Вот несколько примеров:
    • x2 + 5x + 6 = 0
      • a = 1 (нет коэффициента перед "x", значит коэффициент = 1)
      • b = 5
      • c = 6
    • x2 - 2x – 3 = 0
      • a = 1 (нет коэффициента перед "x", значит коэффициент = 1)
      • b = -2
      • c = -3
  3. 3 Запишите все пары множителей коэффициента "с". Пара множителей данного числа - два числа, которые при перемножении дают это число. Обратите особое внимание на отрицательные числа. Два отрицательных числа, будучи перемножены, дают положительное число. Порядок перемножения не имеет значения ("1 х 4" то же самое, что и "4 х 1").
    • Уравнение: x2 + 5x + 6 = 0
    • Пары множителей 6, или c:
      • 1 x 6 = 6
      • -1 x -6 = 6
      • 2 x 3 = 6
      • -2 x -3 = 6
  4. 4 Найдите пару множителей, сумма которых равна "b" . Посмотрите на значение b и найдите, какая из пар при суммировании даст это число.
    • b = 5
    • Пара множителей, сумма которых равна 5, это 2 and 3
  5. 5 Из этой пары множителей составьте 2 двучлена и объедините в бином. Бином – произведение двучленов вида (х ± число)(х ± число). Как узнать, какой знак (плюс или минус) выбрать? Просто посмотрите на знак чисел из пары множителей: положительное число - знак плюс, отрицательное число - минус. Вот пара множителей, с которыми мы составили бином:
  6. 6 Решите каждый двучлен, перенеся неизвестное на другую сторону уравнения. Приравняйте каждый двучлен к 0: (х + 2) = 0 и (х + 3) = 0, а затем решите уравнение:
    • (x + 2) = 0; x = -2
    • (x + 3) = 0; x = -3
  7. 7 Это и есть нули функции.

Метод 2 из 3: Решение квадратного уравнения

  1. 1 Квадратное уравнение выглядит следующим образом:
  2. 2 Обозначьте коэффициенты в вашем уравнении через "a", "b", "c". Это упростит задачу решения уравнения. Запишите уравнение в таком формате: ax2 ± bx ± c = 0.
  3. 3 Теперь найдите a, b, c из данного вам уравнения.
  4. 4 Решите уравнение. Чтобы решить квадратное уравнение, необходимо знать формулу решения такого уравнения. Все остальное - просто подстановка и вычисление.
    • Другой вариант решения квадратного уравнения - полный квадрат. Некоторые считают этот метод более простым, чем решение по формуле.
  5. 5 Результатом решения квадратного уравнения по формуле будут "нули" функции, которые Вы ищете. Формула дает ответ в виде двух чисел, которые и являются решением (нулями) данной функции.

Метод 3 из 3: График квадратного уравнения

  1. 1 Постройте график функции. Функция записывается в виде x2 + 8x + 12 = 0.
  2. 2 Найдите точки пересечения с осью х. Эти две точки будут нулями функции.
  3. 3 Используйте график как способ проверки, а не как способ решения уравнения. Если вы строите график, чтобы показать на нем нули функции, воспользуйтесь этим для двойной проверки полученных результатов.

Советы

  • Вы можете проверить ваши вычисления, подставив найденные решения в начальное уравнения . Если при этом уравнение равно нулю, то решения правильные.

ves-mir.3dn.ru

Как находить нули функции | Сделай все сам

Математическое представление функции показывает наглядно то, как одна величина всецело определяет значение иной величины. Традиционно рассматриваются числовые функции, которые ставят в соответствие одним числам другие. Нулем функции, обыкновенно называют значение довода, при котором функция обращается в нуль.

Инструкция

1. Для того, дабы обнаружить нули функции, нужно приравнять ее правую часть к нулю и решить полученное уравнение. Представим, вам дана функция f(x)=x-5.

2. Для нахождения нулей этой функции, возьмем и приравняем ее правую часть к нулю: x-5=0.

3. Решив это уравнение получим, что x=5 и это значение довода и будет нулем функции. То есть при значении довода 5, функция f(x) обращается в нуль.

Под представлением функции в математике понимают связь между элементами множеств. Если говорить больше верно, это «закон», по которому всему элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие определенный элемент иного множества (называемого областью значений).

Вам понадобится

  • Знания в области алгебры и математического обзора.

Инструкция

1. Значения функции это некая область, значения из которой может принимать функция. Скажем область значения функции f(x)=|x| от 0 до бесконечности. Дабы обнаружить значение функции в определенной точке нужно подставить взамен довода функции его числовой эквивалент, полученное число и будет значение м функции . Пускай дана функция f(x)=|x| — 10 + 4x. Обнаружим значение функции в точке x=-2. Подставим взамен x число -2: f(-2)=|-2| — 10 + 4*(-2) = 2 — 10 — 8 = -16. То есть значение функции в точке -2 равно -16.

Обратите внимание! Раньше чем искать значение функции в точке — удостоверитесь, что она входит в область определения функции.

Полезный совет Аналогичным методом дозволено обнаружить значение функции нескольких доводов. Различие в том, что взамен одного числа нужно будет подставить несколько — по числу доводов функции.

Функция представляет собой установленную связанность переменной у от переменной x. Причем всем значению х, называемого доводом, соответствует исключительное значение у — функции. В графическом виде функция изображается на декартовой системе координат в виде графика. Точки пересечения графика с осью абсцисс, на которой откладываются доводы х, именуются нулями функции. Поиск допустимых нулей – одна из задач по изысканию заданной функции. При этом учитываются все допустимые значения само­стоятельной переменной x, образующие область определения функции (ООФ).

Инструкция

1. Нуль функции – это такое значение довода х, при котором значение функции равно нулю. Впрочем нулями могут быть лишь те доводы, которые входят в область определения исследуемой функции. То есть в такое уйма значений, для которых функция f(x) имеет толк.

2. Запишите заданную функцию и приравняйте ее к нулю, скажем f(x) = 2х?+5х+2 = 0. Решите получившееся уравнение и обнаружьте его действительные корни. Корни квадратного уравнения вычисляются с поддержкой нахождения дискриминанта. 2х?+5х+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;х1 = (-b+?D)/2*а = (-5+3)/2*2 = -0,5;х2 = (-b-?D)/2*а = (-5-3)/2*2 = -2.Таким образом, в данном случае получены два корня квадратного уравнения, соответствующих доводам начальной функции f(x).

3. Все обнаруженные значения х проверьте на принадлежность к области определения заданной функции. Обнаружьте ООФ, для этого проверьте начальное выражение на наличие корней четной степени вида ?f (х), на присутствие дробей в функции с доводом в знаменателе, на наличие логарифмических либо тригонометрических выражений.

4. Рассматривая функцию с выражением под корнем четной степени, примите за область определения все доводы х, значения которых не обращают подкоренное выражение в негативное число (напротив функция не имеет смысла). Уточните, попадают ли обнаруженные нули функции в определенную область допустимых значений х.

5. Знаменатель дроби не может обращаться в нуль, следственно исключите те доводы х, которые приводят к такому итогу. Для логарифмических величин следует рассматривать лишь те значения довода, при которых само выражение огромнее нуля. Нули функции, обращающие подлогарифмическое выражение в нуль либо негативное число, обязаны быть отброшены из финального итога.

Обратите внимание! При нахождение корней уравнения, могут возникнуть лишние корни. Проверить это легко: довольно подставить полученное значение довода в функцию и удостовериться обращается ли функция в нуль.

Полезный совет Изредка функция не выражается в очевидном виде через свой довод, тогда легко нужно знать, что представляет собой эта функция. Примером этому может служить уравнение окружности.

jprosto.ru

Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. или ) называются промежутками знакопостоянства.

Значения аргумента при которых , называются нулями функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью Ох.

 

Пример 1.Найти область определения функции

Решение.

: (1)

Найдем соответствующее множество точек.

Неравенство равносильно неравенству

. Решая его, получаем (рис.1)

.

Условие

Рис.1

означает, что

, т.е. .

Приходим к заключению, что

. Получаем .

Таким образом система (1) равносильна системе

Значит .

Пример 2.Найти множество значений функции

Решение.

Найдем область определения функции.

: ;

;

.

Последнее условие выполняется только для . Вычисляем значение функции в этой точке: .

Значит .

 

Пример 3.Исследовать функцию на четность:

1) 2) 3)

Решение.

1. Замечаем, что для функция имеет . Значит, функция определена на симметричном множестве.

Рассмотрим ее значение для :

Поскольку выполняются оба условия четной функции, заключаем, что функция – четная.

2. Функция имеет .

Так как не является симметричным множеством, второе условие проверять нет необходимости. Эта функция не обладает свойством четности.

3. Очевидно, что функция имеет , т.е. определена на симметричном множестве и для нее

.

Оба условия нечетной функции выполняются, а потому данная функция является нечетной.

Пример 4.Пусть где . Причем, функция имеет период 2. Построить ее график.

Решение.

Построим график данной функции на (рис. 2).

Рис. 2

Исходя из определения периодической функции должно выполняться условие: , где .

Строим ее график, продолжая по периоду (рис. 3).

Рис. 3

Пример 5.Используя определение монотонной функции, найти значения а, при которых функция где монотонно возрастает.

Решение.Пусть . Функция монотонно возрастает, если выполняется или . Это означает, что

Поскольку , последнее неравенство выполняется, если , т.е .

Таким образом, функция возрастает для .

 

Пример 6.Дана функция

Определить промежутки знакопостоянства функции, нули функции. Построить график данной функции.

Решение. Так как на каждом из данных промежутков аналитические выражения, задающие функцию, определены в каждой точке, следовательно .

1. Исследуем функцию при . На данном промежутке функция принимает значение равное 1, т.е. она знакоположительна и нулей функции нет.

2. Пусть .

При таком условии функция задается формулой и . Функция знакоположительна. Здесь она имеет нуль .

3. Пусть .

Очевидно, что при этом условии , т.к. . Нулей функции на этом промежутке нет.

Построим график:

Если , строим часть прямой линии ;

Если – часть параболы ;

Если – часть прямой

Получили график заданной функции (рис.4).

 

 
 

 

 

Рис. 4

Таким образом, функция знакоположительна ; имеет нуль .

 

Задания

 

I уровень

 

1.1. Найдите область определения функции:

1) 2)

1.2. Исследуйте функцию на свойство четности:

1) 2)

1.3. Найдите множество значений функции

1.4. Для функции определите промежутки монотонности, нули, промежутки знакопостоянства. Постройте график функции.

 

II уровень

 

2.1. Найдите ОДЗ функции:

1) 2)

2.2. Найдите множество значений функции:

1) 2)

2.3. Задайте функцию аналитически:

1) линейную, если

2) квадратичную, если

2.4. Исследуйте функцию на четность:

1) 2)

2.5. Докажите, что функция:

1) убывает на

2) возрастает на

2.6. Исследуйте функцию на монотонность.

2.7. Пусть

Известно, что имеет период Т = 4. Постройте график функции.

 

III уровень

 

3.1. Исследуйте функцию на четность. Найдите ее нули:

1) 2)

3.2. Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности:

Постройте график.

3.3. Дана функция Найдите промежуток на котором она убывает.

3.4. Определите, при каком а функция является периодической.

3.5. Найдите если:

1) 2)

3.6. Определите, при каком значении аргумента значение функции равно –1.

3.7. Определите при каких значениях х график функции расположен выше графика функции

 

Похожие статьи:

poznayka.org