Область определения функции двух переменных. Найдите область определения функции примеры


Область определения и множество значений

$ |x| = \begin{cases} x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x>0 \\ -x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x А графиком является

Свойства:

1) $|x| \geq 0$ 2) $|x|=0 \longleftrightarrow x=0$ 3) $|xy|=|x||y|$ 4) $|x+y| \leq |x|+|y|$ 5) $||x||=|x|$ 6) $|-x|=|x|$ 7) $|x-y|=0 \longleftrightarrow x=y$ 8) $|x-y| \leq |x-z|+|z-y|$ 9) $|\dfrac{x}{y}|=\dfrac{|x|}{|y|} \,\,\,\,\, y \neq 0$ 10) $ ||x|-|y|| \leq |x-y|$

Для того, чтобы найти область определения и множество значений функции, состоящей из абсолютных значений, необходимо учитывать вышеуказанные свойства. Пример:Найти область определения и множество значений $f(x)=\dfrac{x+2}{|x|-2}$ Решение:

$|x|-2=0 \rightarrow |x|=2 \rightarrow x=\pm 2$

Таким образом

$D_f=\mathbb{R} - \lbrace \pm 2 \rbrace$

С другой стороны $f(x)=\dfrac{x+2}{|x|-2}= \begin{cases} \dfrac{x+2}{x-2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \geq 0 \\ \\ \dfrac{x+2}{-x-2}=-1 \,\,\,\,\,\,\,\,\, x So

$x \geq 0 \rightarrow y=\dfrac{x+2}{x-2} \rightarrow x=\dfrac{2(y+1)}{y-1} \geq 0$

Следовательно $\begin{cases} x \geq 0 \,\,\,\,\,\,\,\, y\in (-\infty,-1] \cup (1,+\infty) \\ \\ x

$\rightarrow R_f=(-\infty,-1] \cup (1,+\infty)$

Вот график $f$ Пример: Найти область определения и множество значений $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{|x+1|-4}}$. Решение: $|x+1|-4 >0 \,\, \rightarrow|x+1|>4 \rightarrow$ $\begin{cases} x+1>4 \rightarrow x>3 \\ x+1

$D_f=(-\infty,-5) \cup (3,+\infty)$

Отметим, что

$y=\dfrac{1}{\sqrt{|x+1|-4}}>0$

С другой стороны

$y^2=\dfrac{1}{|x+1|-4} \rightarrow |x+1|=\dfrac{1}{y^2}+4>4 \rightarrow \dfrac{1}{y^2}>0 \rightarrow y \in (-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

Следовательно

$y \in (\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace ) \cap ( \mathbb{R} ^+ )$

Значит

$R_f=(0,+\infty)=\mathbb{R}^+$

Вот график $f$
Упражнения
Найти область определения и множество значений.

1) $y=\dfrac{x}{|x-1|}$ 2) $y=\dfrac{x-4}{|x|-4}$ 3) $y=\dfrac{\sqrt{\sqrt{(x+1)^2}-1}}{\sqrt{|x+1|-1}}$ 4) $y=\dfrac{\sqrt{(x-1)^2}}{x-1}$ 5) $y=\sqrt{-|x+1|}$ 6) $y=\dfrac{\sqrt{(x^2-3x+2)^2}}{\sqrt{(x-2)^2}}$ 7) $y=|x-1|+|x|+|x+1|$

Общий вид показательной функции $y=a^{u(x)}$, где $a>0$, а $u(x)$ - функция. Нахождение области определения и множества значений показательной функции зависит от $u(x)$. В специальном виде, если $a=e \simeq 2.71828\cdots$, то $y=e^{u(x)}$. Для лучшего понимания $y=a^{u(x)}$ его можно переписать как $y=e^{u(x)\log_e a}$. Отметим, что $\log_e a$ обозначается как $\ln a$. Следовательно,

$y=e^{u(x)\ln a}$

Согласно этому определению $a>0$ является достаточным условием для определения показательной функции, если $u(x)$ вещественная функция.

Совет:

$y=e^x=\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\dfrac{1}{n})^nx=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots\,\,\,\,\, (n \in \mathbb{N})$

Пример:Найти область определения и множество значений $f(x)=2^{-x^{-2}}$. Решение:Отметим, что если $x=0$, то знаменатель дроби неопределен. Следовательно,

$D_f=\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace$

Определим множество значений: Для начала отметим, что $y>0$. С другой стороны

$\log y=-\dfrac{1}{x^2}\log 2 \rightarrow x^2=-\dfrac{\log 2}{\log y} \rightarrow x=\pm \sqrt{-\dfrac{\log 2}{\log y}} \rightarrow \dfrac{\log 2}{-\log y}>0 \rightarrow$

$ \log y 0 \rightarrow 0 Значит

$R_f=(0,1)$

График этой функции

Пример:Найти область определения и множество значений $f(x)=3^{-x}$. Решение:Очевидно, что $D_f=\mathbb{R}$. С другой стороны

$y=\dfrac{1}{3^x} \rightarrow 3^x=\dfrac{1}{y} \rightarrow x=\log_3 \dfrac{1}{y}$

$R_f= \lbrace y| y \in \mathbb{R},\dfrac{1}{y}>0 \rbrace = \lbrace y \in \mathbb{R} | y>0 \rbrace =(0,+\infty)$

$R_f=\mathbb{R^+}$

График $f$
Упражнения
Найти область определения и множество значений.

1) $y=e^{-\dfrac{1}{\sqrt{x-\lfloor x \rfloor}}}$ 2) $y=3^{\dfrac{\sqrt{8}}{2}}$ 3) $y=5^{-x^2}$ 4) $y=5^{\lfloor x \rfloor + \l

www.math10.com

Область определения функции y(x)

Областью определения называют множество значений аргумента при котором существует значение функции и обозначают или . Областью значений называют множество чисел, которые принимает функция при прохождении аргументом всех значений из области определения. Ее обозначают или . Графически обе области хорошо иллюстрирует следующий рисунок

Для схематической функции рассматриваемые области принимают значения

Методика нахождения области определения для всех функций одна и та же: нужно выявить точки при которых функция не существует, а затем исключить из множества действительных чисел . В результаты получим набор промежутков или интервалов, точки, которые образуют область определения.

Особенности элементарных функций

1) Если функция имеет вид полинома то ее областью определения будет вся действительная ось или . Такая функция определена повсюду.

2) Дробно рациональная функция , где – полиномы, областью определения имеет значения аргумента при которых знаменатель не превращается в ноль. Сначала находим решения уравнения, если те существуют, вырезаем из множества действительных значений. В результате получим набор интервалов

где – корни уравнения .

3) Функция содержит корень парного степени . В таком случае областью определения будут точки , при которых подкоренная функция принимает неотрицательные значения, т.е. решения неравенства .

4) Если корень содержит знаменатель

то область определения определяют из строгого неравенства .

5) Если в знаменателе имеем корень нечетной степени

то область определения находим из условия .

5) Если является логарифмом от другой функции , то по свойству логарифма область определения находим из условия . Как правило, это будет интервал или несколько интервалов.

6) Экспонента областью определения имеет множество аргументов , для которых определена . Например, функция определена на всей действительной оси.

7) Простые тригонометрические функции (косинус и синус) определены на всем множестве действительных чисел .

8) Тангенс и котангенс областями определения имеют интервалы, граничащих между собой точками

для первой функции и

для второй, т.е.

В случаях когда при аргументах есть множители , точки в которых функция не существует следует определять из условия

Подобным образом и для котангенса

9) Следует отметить, что обратные тригонометрические функции - арксинус и арккосинус областями значений имеют отрезок . Для отыскания областей определения необходимо решить двойное неравенство

Например, для функции имеем неравенство с которого получим

При суперпозиции функций, то есть когда задана их комбинацию, нужно находить область определения каждой из функций, после чего - сечение найденных областей.

Пример.

Решение.

Область определения первого слагаемого находим из неравенства

Второй и третий дадут следующий вклад

Сечением найденных областей будет интервал

---------------------------------------

Находите области определения по приведенной выше схеме, выключайте все лишние промежутки и точки и не допускайте ошибок. Помните, что установление областей определения - это одно из самых простых заданий при исследовании функции.

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Область определения функции двух переменных

Разделы: Математика

Цели работы:

  • повторить и систематизировать нахождение области определения функции, закрепить это понятие и наглядно представить в координатной плоскости и в пространстве;
  • рассмотреть аналитические и геометрические методы не изолированно друг от друга, а в тесной взаимосвязи. Это позволит облегчить переход от стандартных решений конкретных математических задач к нестандартным;
  • воспитание интереса к математике и мультимедиа, активности, мобильности; восприятие компьютера, как инструмента обучения;
  • использование компьютера для нахождения области определения и построения графиков с помощью графического редактора 3D Grapher 1.2, Copyright © 2000-2002 RomanLab Software и формирование информационной компетентности учащихся.

Определение функции двух переменных

Если каждой паре ( x;y) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторого множества D соответствует единственное значение величины, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная на множестве D.

Обозначается: z=f(x;y) или z=z(x;y).

Например, S=ab, S=S(a;b)- функции двух переменных; V=abc, V=V(a,b.c) – функция трех переменных;

A= – функция трех переменных.

Способы задания функций нескольких переменных

Чтобы задать функцию двух (трех) переменных, нужно указать способ, с помощью которого для каждой пары (тройки) значений аргументов можно найти соответствующее значение функции. Наиболее часто функция задается аналитически - это явное задание функции или неявное задание

Например, - это явно заданная функция двух переменных; уравнение задает неявно две функции двух переменных.

Область определения функции

Непрерывное множество пар значений независимых переменных , при которых функцияопределена, называется областью определения функции.

Область определения называется замкнутой областью, если она включает в себя свою границу; открытой областью, если она не включает в себя свою границу; ограниченной областью, если может быть помещена в круг конечного радиуса.

Геометрически изобразить область определения функции можно только для функций:

  • одной переменной – на прямой ,
  • двух переменных – на плоскости ,
  • трех переменных– в пространстве .

Геометрическое изображение самой функции возможно только для функции двух переменных.

Графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскость в область D, которая является областью определения функции.

На рис. изображена поверхность графика функции и ее область определения.

В курсе учебного материала 9-го класса мы рассматриваем следующие задания на нахождение и построение области определения функции.

ПРИМЕРЫ

Найти область определения функции

Решение. Областью определения данной функции является вся плоскость, т.к. нет ограничений на переменные x и y.

2. Найти область определения функции .

Решение. Данная функция определена, когда xy > 0, т.е. в тех точках координатной плоскости, в которых знаки координат x и y - одинаковы. Это будут точки, лежащие в I и III координатных четвертях, т.е. множество точек, удовлетворяющих условиям:

и

3. Найти область определения функции .

Решение. Данная функция определена при условии, когда

т.е. . Это множество точек, лежащих внутри круга с центром в начале координат, радиус которого равен 2.

Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции .

Решение. Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, т.е. следовательно, . Геометрическим решением неравенства служит полуплоскость, расположенная выше прямой и сама прямая.

5. Найти область определения функции и изобразить её графически.

.

Решение. Областью определения функции является множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

6. Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции

Решение. Эта функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, т.е. Данным соотношениям удовлетворяют координаты всех точек, находящихся внутри кольца, образованного двумя окружностями с центрами в начале координат и радиусами R=3, R=4.

7. Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции

.

Решение. Учащиеся не могут найти область определения данной функции аналитически, но с помощью графического редактора 3D Grapher 1.2 это выполняется легко.

В Приложении приведено ещё несколько примеров, с решениями, для учащихся девятых классов.

Для учащихся 10-11 классов мы предлагаем систему упражнений по нахождению и построению области определения функции двух переменных. При этом отрабатываются свойства логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Данные упражнения можно использовать при изучении нового материала, при повторении, при решении уравнений и неравенств.

Найти и изобразить на плоскости область определения функции

Решение. Область определения функции есть пересечение областей определения слагаемых функции. Для первой функции подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. Если значение логарифмической функции неотрицательно, то выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше или равно единице, т.е. отсюда . Это неравенство задает нам множество точек плоскости, лежащих вне окружности с центром в начале координат, радиуса 2, включая и точки данной окружности. Вторая функция определена при Следовательно, Имеем две параболы с вершиной в начале координат . Поэтому полученное неравенство задает нам часть плоскости, заключенную между этими параболами, включая границы без начала координат. Третья функция определена при

Областью определения данной функции является общая часть найденных областей определения слагаемых.

Покажите на координатной плоскости xOy область определения функции

.

Решение. Ограничения для функции имеют вид:

3. Изобразить область определения функции

Решение. Эта функция определена при , т.е.

Областью определения является часть плоскости, расположенная между двумя прямыми.

4. Найти область определения функции .

Решение. Областью определения функции является решение неравенства. Поэтому нужно решить неравенство

Решая данное неравенство, получим Это область, заключенная между двумя параболами и .

5. Построить область определения функции

Решение. Область определения данной функции определяется системой неравенств:

Первое неравенство определяет круг с центром в точке (-2;0) и радиусом равным 2 за исключением его границы:

Второе неравенство определяет I и III координатные четверти, за исключением осей.

В Приложении приведено ещё несколько примеров, с решениями, для учащихся десятых и одиннадцатых классов.

Рассмотрим задание С5, используя функцию двух переменных.

Найдите все значения параметра а, при которых система , имеет ровно два решения.

Решение. Из второго уравнения находим y =. Первое уравнение принимает вид .

Пусть . В этом случае уравнение имеет единственное решение .

Запишем второе уравнение в виде = 0. Его дискриминант равен 4 , и он положителен, поскольку . Уравнение имеет два различных корня и Значит, в этом случае система имеет ровно два решения и .

Пусть теперь 1. В этом случае уравнение если и имеет корни, то только больше единицы Но тогда дискриминант уравнения = 0 отрицателен. Решений нет.

Ответ: .

С помощью графического редактора задаем функцию двух переменных , Находим значения а, при которых функция обращается в ноль.

На рисунке видно, что решением является интервал от 0 до 1.

При подготовке учащихся к итоговой аттестации мы сталкиваемся с тем, что задания уровня С5 решаются тяжело и не сразу. А ведь это функция двух переменных! Оперирование геометрическими образами упрощает решение задач с параметрами, а в некоторых случаях геометрический подход часто является единственно возможным методом решения. В сборнике ЕГЭ-2011 предложено задание.

Найдите все значения а, такие, что для любого х выполняется неравенство.

Решение. Рассмотрим функцию

Если то убывает.

Если то возрастает.

Значит, наименьшее значение функции равно или , или . Поэтому решение задачи получаем из решения системы

Решений нет.

Ответ: .

C помощью графического редактора мы построили график функции и определили значение параметра а при . График функции в системе координат выглядит следующим образом.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Список источников и литературы.

  1. Математика (математический анализ): учебно-методическое пособие для студентов нематематических специальностей / О.Ю. Ватюкова, Е.Е.Зайцева, Ю.В.Зайцева и др.; ВолГУ.-4-е изд., Волгоград: Волгоградское научное издательство, 2009. – 238с.
  2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике / Сост.: А. В. Анкилов, Н. Я. Горячева, Т. Б. Распутько.- Ульяновск: УлГТУ, 2004.-32 с.
  3. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И.Захаров, В.С. Панферов, и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. -М.: Издательство “Экзамен”, 2011.-63с.
  4. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: Математика/авт.- сост. И.Р.Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. -М.: АСТ: Астрель, 2010.-93с.
  5. Мордкович А.Г. Алгебра . 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов .—11-е изд., стер. -М.: Мнемозина, 2009.-224 с.
  6. Смирнова И.М. Геометрия. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений (гуманитарный профиль).- М.: Мнемозина,2004. -223с.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Как найти область определения функции???

При решении многих задач приходится искать область определения функции. Особенно это нужно знать при построении графика и исследовании функции. Именно поэтому я решил рассмотреть основные варианты, которые могут быть при нахождении области определения функции. Их не так много, наверняка, многие это знают и сами, но думаю, напомнить не будет лишним.

И так, область определения функции – это множество всех тех значений переменной х, при каких функция f(x) имеет смысл. То есть значения переменной х, при которых функция от этой переменной существует, а могут быть и такие, при каких она не существует, нам нужны, только те, при которых – существует.

Рассмотрим конкретные варианты, в каких случаях функция может существовать не при всех значениях переменной:

  • Во-первых, когда есть дробь, в этом случае знаменатель дроби, недолжен быть равным нулю, потому, что такая дробь не может существовать. То есть, если ваша функция — дробь и в знаменателе есть переменная (потому, что если там только число, то оно никогда не станет нулём) то вам надо всё то выражение, что в знаменателе прировнять к нулю. И решив полученное уравнение, вы найдёте те значения переменной x, которые необходимо исключить с области определения.
  • Во-вторых, когда есть корень чётной степени, думаю, вы знаете, что в поле вещественных чисел, корень чётной степени может быть только с положительного числа. То есть если в вас есть функция с корнем чётной степени, то что бы найти те числа, которые не будут попадать в область определения, вам надо решить неравенство, где выражение, что под корнем будет меньше нуля.
  • В-третьих, когда есть логарифм. Здесь понятно, что область определения логарифма все числа, которые больше ноля. То есть что бы найти те значения переменной, которые надо исключить с области определения, вам надо составить и решить неравенство, где выражение, которое будет под логарифмом должно быть меньше нуля.
  • В-четвёртых, не надо забыть о таких обратных тригонометрических функциях, как арксинус и арккосинус, которые определены, только на промежутке [-1;1]. Соответственно вам надо следить, что бы выражение, которое будет под этими функциями, также попадало в этот промежуток и исключить все значения переменной, которые туда не попадают.
  • И в-пятых, в одном примере может быть несколько этих случаев. Надо разбирать всё, до мельчайших подробностей. Например, в знаменателе дроби, может быть корень из арксинуса :), поэтому вам надо отобрать, только те значения переменной, при которых существует арксинус, при чём значение этого арксинуса должно не должно быть равное нулю (так как оно в знаменателе) и также не должно быть отрицательным (так как есть корень).

Я постарался собрать самые основные случаи, когда область определения функции – это не все вещественные числа. Конечно, примеры могут быть на много сложнее, потому что даже эти четыре варианты можно так скомбинировать, что на то что бы разобраться, что там и от чего зависит, пойдёт не мало времени. И ещё, я даже не все перечислил.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка...

matemonline.com

Как найти область определения функции

Область определения функции

Область определения или область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Определение

Если на множестве X {\displaystyle X} задана функция, которая отображает множество X {\displaystyle X} в другое множество, то множество X {\displaystyle X} называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция f {\displaystyle f} , которая отображает множество X {\displaystyle X} в Y {\displaystyle Y} , то есть: f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} , то

  • множество X {\displaystyle X} называется областью определения[1] или областью задания[2] функции f {\displaystyle f} и обозначается D ( f ) {\displaystyle D(f)} или d o m f {\displaystyle \mathrm {dom} \,f} (от англ. domain — «область»).

Иногда рассматривают функции, определенные на подмножестве D {\displaystyle D} некоторого множества X {\displaystyle X} . В этом случае множество X {\displaystyle X} иногда называют областью отправления функции f {\displaystyle f} [3].

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

  • вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } ;
  • а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } ,

где R {\displaystyle \mathbb {R} } и C {\displaystyle \mathbb {C} }  — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} совпадает с областью отправления ( R {\displaystyle \mathbb {R} } или C {\displaystyle \mathbb {C} } ).

Гармоническая функция

Область определения функции f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x} представляет собой комплексную плоскость без нуля:

d o m f = C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}} ,

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом, что требуется в формулировке понятия функции. Область отправления представляет собой всю комплексную плоскость.

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a m x m b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n {\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}}

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n = 0 {\displaystyle b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0} .

Эти точки называются полюсами функции f {\displaystyle f} .

Так, например, f ( x ) = 2 x x 2 − 4 {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}} определен на всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где x 2 − 4 ≠ 0 {\displaystyle x^{2}-4\neq 0} . Таким образом d o m f {\displaystyle \mathrm {dom} \,f} является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и -2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть F = { f ∣ f : X → R } {\displaystyle \mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}}  — семейство отображений из множества X {\displaystyle X} в множество R {\displaystyle \mathbb {R} } . Тогда можно определить отображение вида F : F → R {\displaystyle F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R} } . Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in ~X} , то можно определить функцию F ( f ) = f ( x 0 ) {\displaystyle F(f)=f(x_{0})} , которая принимает в «точке» f {\displaystyle f} то же значение, что и сама функция f {\displaystyle f} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} .

ru.wikipedia.org>

Как найти область определения функции??

Юлия

1) Если в функции есть корень чётной степени, то подкореное выражение должно быть больше нуля. 2) Если в фунцкии есть дробь, то её знаменатель не должен быть равен нулю. 3) Если в функции содержитсявыражение f(x) в степени g(x), то f(x) больше, либо равна нулю, причём f(x) и g(x) одновременно не равны нулю. 4) Если в функции имеются функции с ограниченной областью определения, то область определения исходной функции не шире их области определения. (Например, обратные тригонометрические функции или функции tg(x), ctg(x) и т. д. )

Например, функция имеет область определения:

а) arcsin имеет область определения от -1 до 1; б) x>=0 (т. к. x подкоренное выражение) ; в) arcsin(x) не равен нулю, т. е. x не равно нулю (т. к. arcsin(x) выражение в знаменателе) .

Таким образом, область определения функции x принадлежит (0,1]. Напишите функцию.

Александра

При решении многих задач приходится искать область определения функции. Особенно это нужно знать при построении графика и исследовании функции. Именно поэтому я решил рассмотреть основные варианты, которые могут быть при нахождении области определения функции. Их не так много, наверняка, многие это знают и сами, но думаю, напомнить не будет лишним.

И так, область определения функции – это множество всех тех значений переменной х, при каких функция f(x) имеет смысл. То есть значения переменной х, при которых функция от этой переменной существует, а могут быть и такие, при каких она не существует, нам нужны, только те, при которых – существует.

Рассмотрим конкретные варианты, в каких случаях функция может существовать не при всех значениях переменной:

Во-первых, когда есть дробь, в этом случае знаменатель дроби, недолжен быть равным нулю, потому, что такая дробь не может существовать. То есть, если ваша функция - дробь и в знаменателе есть переменная (потому, что если там только число, то оно никогда не станет нулём) то вам надо всё то выражение, что в знаменателе прировнять к нулю. И решив полученное уравнение, вы найдёте те значения переменной x, которые необходимо исключить с области определения. Во-вторых, когда есть корень чётной степени, думаю, вы знаете, что в поле вещественных чисел, корень чётной степени может быть только с положительного числа. То есть если в вас есть функция с корнем чётной степени, то что бы найти те числа, которые не будут попадать в область определения, вам надо решить неравенство, где выражение, что под корнем будет меньше нуля. В-третьих, когда есть логарифм. Здесь понятно, что область определения логарифма все числа, которые больше ноля. То есть что бы найти те значения переменной, которые надо исключить с области определения, вам надо составить и решить неравенство, где выражение, которое будет под логарифмом должно быть меньше нуля. В-четвёртых, не надо забыть о таких обратных тригонометрических функциях, как арксинус и арккосинус, которые определены, только на промежутке [-1;1]. Соответственно вам надо следить, что бы выражение, которое будет под этими функциями, также попадало в этот промежуток и исключить все значения переменной, которые туда не попадают. И в-пятых, в одном примере может быть несколько этих случаев. Надо разбирать всё, до мельчайших подробностей. Например, в знаменателе дроби, может быть корень из арксинуса, поэтому вам надо отобрать, только те значения переменной, при которых существует арксинус, при чём значение этого арксинуса должно не должно быть равное нулю (так как оно в знаменателе) и также не должно быть отрицательным (так как есть корень) .

Как находить область определения функции ???

Сначала нужно найти производную этой функции потом приравнять производную к нолю найти неизвестную(ые) и поставить их в производную ? так ?))))

Serg

Область определения и область значений функции. Пусть нам дана функция y = f(x). Все значения независимой переменной (х) образуют область определения функции - D( f ). Все значения, которые принимает зависимая переменная (у) , образуют область значений функции – Е ( f ). При нахождении области определения функции надо обращать внимание на следующие моменты: 1. Пусть дана функция в виде многочлена у = Р (х) . (у = ах^n + bx^k + … + c). В этом случае при любом значении х данная функция всегда будет иметь определенное значение. Это значит, что D(f) = (-беск; +беск) 2. Пусть дана функция в виде дроби f(x)/q(x) . В этом случае g(x) не=0. 3. Пусть дана функция вида кор из f(x). В этом случае должно выполняться условие f(x) >= 0. (Подкоренное выражение должно принимать неотрицательные значения) . 4. При нахождении области определения логарифмической функции у = log (осн g(x)) f(x) надо учитывать, что f(x)>0, g(x) > 0, f(x) не=1. А производная находится при другом исследовании функции.

Video

Производная тут вообще не причём. Область определения зависит от значений, которые может принимать аргумент, что бы функция не потеряла смысл. Например для функции у=1/х область определения (-бесконечность, 0)(0,+бесконечность) то есть при х=0 функция не определена.

Роман солодухин

область определения - все возможные значения х. чтобы их найти, нужно найти все х, при которых функция будет иметь смысл, например все х, при которых знаменатель дроби не равен 0, подкоренное выражение неотрицательное и др.

Как найти область определения функции y=2x+3

1)Каков алгоритм решений функций? 2)В чём разница область значений и область определений? 3) Какой график должен получиться у этой функции? (прямая?)

Raissya_vperde

1)Область определения функций определяется как нахождение всех допустимых значеий х, и имеет некоторые ограничения. а. Если определяемая функция нахолится в знаменателе дроби, но значение функции не должно равняться нулю. б. Если определяемая функция находится под знаком корня, то её значение должно быть больше или равно 0. В данной функции нет знаменателя или корня, поэтому область определения функции имеет бесконечное множетво чисел. 2)Область значений- все значения переменной y 3) эта функция имеет общий вид y=kx+b. График-прямая.

Fedor

Область определения функции это интервал на котором функция у=2х+3 имеет смысл... а область значения это множество чисел состоящее из всех значений функций.. ну в теории плохо понятно.. допустим на твоем примере.. у=2х+3 это прямая... она определена везде.. т. е область определения х принадлежит от минус бесконечности до плюс бесконечности и также область значений только y принадлежит от минус бесконечности до плюс бесконечности... а если взять у=корень (х-5).. то смотрите это функция имеет смысл только когда подкоренное выражение больше или равно нуля... т. е. х-5>=0 ; x>=5..Т. е. получается область определения от 5 до плюс бесконечности... А область значений.. это какие значения принимает у при х от 5 до бесконечности.. и получается что у принимает только положительные значения... т. е. у принадлежит от 0 до плюс бесконечности..

Kiara

1 ???Это школа? Спроси учителя своего лучше, чем больше будешь узнавать про функции, тем более бедет усложняться алгоритм их решений (или я не поняла вопроса?? ) 2 Область определений - какие значения может принимать переменная в данной функции, в твоем случае функция определена на всей числовой прямой, а вот если бы у тебя была функция, например, y=1/x, то функция была бы не определена в точке х=0, потому что x здесь стоит в знаменателе и не может обращаться в 0 (на 0 делить нельзя) Область значений - какие значения может принимать функция (проще говоря чему равен y или f(x) ), в твоем случае опять же область значений от минус бесконечности до плюс бесконечности, а к примеру y=x^2 область значений от нуля до плюс бесконечности (потому что любое значение х при возведении в квадрат даст положительный у) 3 функции типа f(x)=kx+c, (k и c - числа) - всегда задают прямую

Читайте также

zna4enie.ru

Найти область определения функции - 22 Июля 2013 - Примеры решений задач

Калькулятор для для вычисления области определения функции.

Определение. Областью определения (ООФ) функции  y=f(x) называется множество значений переменной x, для которых существуют соответствующие значения y.

Для  нахождения  области  определения  элементарной  функции необходимо  рассмотреть  условие  существования  каждой  основной элементарной функции, входящей в данную функцию. Общим ООФ будет пересечение всех частных ООФ.

   Если функция составная (т.е. состоит из нескольких элементарных функций, каждая из которых определена на своем интервале), то нужно на каждом интервале определить ООФ для соответствующей функции, а после взять объединение полученных частных ООФ.

Пример 1. Найти область определения функции

Решение.  Для того чтобы найти область определения (domain) функции  достаточно решить неравенство

 

 

Область определения вся действительная ось за исключением точки x=2:

Область определения функции можно найти с помощью калькулятора

Данный калькулятор находит также область определения функции двух переменных и изображает на плоскости Oxy

Пример 2. Найти и изобразить на плоскости Oxy область определения (domain) функции

 

Решение. Вставляем в калькулятор arccos(x^2+y^2), нажимаем Ok, получаем ответ.

 

www.reshim.su

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Элементы математического анализа

Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции

      Определение. Пусть   X   – некоторое множество чисел. Говорят, что на множестве   X   задана числовая функция,  если указано правило, с помощью которого каждому числу   x   из множества   X   ставится в соответствие некоторое число.

      Это принято обозначать так:

y = f (x),

причем в этой записи   x   называют аргументом функции  или независимой переменной, а   y   называют значением функции,  соответствующим аргументу   x .

      Множество   X   называют областью определения функции   f   и обозначают   D ( f ) .   Множество   Y   всех возможных значений функции   y = f (x)   называют множеством значений функции   f   и обозначают   E ( f )   (рис. 1).

Рис.1

Примеры решения задач

      Часто в задачах известна формула, задающая функцию   f ,  и требуется найти наиболее широкое множество чисел, к которым данную формулу можно применить. В этом случае указанная задача формулируется так: «Найти область определения функции   y = f (x)». В некоторых задачах требуется найти не только область опредения функции, но и множество ее значений.

      Задача 1. Найти область определения функции

      Решение. Указанная функцию представляет собой результат, полученный при делении числа   x4   на число   (3 + x) .   Поскольку единственным ограничением является запрет деления на число   0 ,   то число   (3 + x)   не может равняться   0 ,   то есть   .

      Ответ.   .

      Задача 2. Найти область определения функции

      Решение. Поскольку квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, то область определения данной функции задается неравенством

которое эквивалентно неравенству

и может быть записано в виде

.

      Решая это неравенство с помощью метода интервалов, получим

      Ответ.   .

      Задача 3. Найти область определения функции

      Решение. Исходя из определений логарифма и квадратного корня, область определения данной функции задается следующей системой неравенств

(1)

Решая второе неравенство системы с помощью метода интервалов,

получим

      Таким образом, система (1) эквивалентна системе

      Решением этой системы является интервал

      Ответ. .

      Задача 4 . Найти множество значений функции

y = 3sin x + 4cos x

      Решение. Воспользовавшись формулой дополнительного угла (вспомогательного аргумента), получим

y = 5 sin (x + φ) ,

где

      Поскольку множеством значений функции   y = sin (x + φ)   является отрезок   [–1, 1],   то множеством значений функции   y = 5 sin (x +φ)   будет отрезок   [–5, 5].

      Ответ. .

      Задача 5 . Найти множество значений функции

y = x2 + 6x + 8

      Решение. Поскольку

и для каждого числа существуют решения уравнения

x2 + 6x + 8 = y ,

определяемые формулой

то множеством значений функции   y = x2 + 6x + 8   будет множество   .

      Ответ. .

 

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru