Движение тела под углом к горизонту: формулы, расчет дальности полета и максимальной высоты взлета. Максимальная высота подъема формула


Максимальные значения, бросок под углом к горизонту

hmax - максимальная высота

Smax - максимальная дальность полета, если бросок и падение на одном уровне

Sh - расстояние пройденное по горизонтали до момента максимального подъема

tmax - время всего полета

th - время за которое тело поднялось на максимальную высоту

Vo - начальная скорость тела

α - угол под которым брошено тело

g ≈ 9,8 м/с2 - ускорение свободного падения

Формула для нахождения расстояния по горизонтали при максимальной высоте, если даны, начальная скорость броска Vo и угол α под которым брошено тело. :

 

или известны максимальная высота hmax и угол α под которым брошено тело. :

* т. к. траектория движения симметрична относительно линии максимальной высоты, то расстояние Sh ровно в два раза, меньше максимальной дальности броска Smax

Формула для определения времени затраченного на весь полет, если даны, начальная скорость Vo и угол α под которым брошено тело или если известна только максимальная высота hmax :

* т. к. траектория движения симметрична относительно линии максимальной высоты, то время максимального подъема th ровно в два раза, меньше максимального времени tmax

 

Формула для определения времени за которое тело поднялось на максимальную высоту, если даны, начальная скорость Vo и угол α под которым брошено тело или если известна только максимальная высота hmax :

www-formula.ru

формулы, расчет дальности полета и максимальной высоты взлета

Когда изучают механическое движение в физике, то после ознакомления с равномерным и равноускоренным перемещением объектов, переходят к рассмотрению движения тела под углом к горизонту. В данной статье изучим подробнее этот вопрос.

Что собой представляет движение тела под углом к горизонту?

Этот тип перемещения объектов возникает, когда человек бросает камень в воздух, пушка совершает выстрел ядром, или вратарь выбивает от ворот футбольный мяч. Все подобные случаи рассматриваются наукой баллистикой.

Отмеченный вид перемещения объектов в воздухе происходит по параболической траектории. В общем случае проведение соответствующих расчетов является делом не простым, поскольку необходимо учитывать сопротивление воздуха, вращение тела во время полета, вращение Земли вокруг оси и некоторые другие факторы.

В данной статье мы не будем учитывать все эти факторы, а рассмотрим вопрос с чисто теоретической точки зрения. Тем не менее, полученные формулы достаточно хорошо описывают траектории тел, перемещающихся на небольшие расстояния.

Получение формул для рассматриваемого вида движения

Выведем формулы движения тела к горизонту под углом. При этом будем учитывать только одну-единственную силу, действующую на летящий объект - силу тяжести. Поскольку она действует вертикально вниз (параллельно оси y и против нее), то, рассматривая горизонтальную и вертикальную составляющие движения, можно сказать, что первая будет иметь характер равномерного прямолинейного перемещения. А вторая - равнозамедленного (равноускоренного) прямолинейного перемещения с ускорением g. То есть, компоненты скорости через значение v0 (начальная скорость) и θ (угол направления движения тела) запишутся так:

vx = v0*cos(θ)

vy = v0*sin(θ)-g*t

Первая формула (для vx) справедлива всегда. Что касается второй, то тут нужно отметить один нюанс: знак минус перед произведением g*t ставится только в том случае, если вертикальная компонента v0*sin(θ) направлена вверх. В большинстве случаев так и происходит, однако, если бросить тело с высоты, направив его вниз, тогда в выражении для vy следует поставить знак "+" перед g*t.

Проинтегрировав формулы для компонент скорости по времени, и учитывая начальную высоту h полета тела, получаем уравнения для координат:

x = v0*cos(θ)*t

y = h+v0*sin(θ)*t-g*t2/2

Вычисление дальности полета

При рассмотрении в физике движения тела к горизонту под углом, полезным для практического применения, оказывается расчет дальности полета. Определим ее.

Поскольку это перемещение представляет собой равномерное движения без ускорения, то достаточно подставить в него время полета и получить необходимый результат. Дальность полета определяется исключительно перемещением вдоль оси x (параллельно горизонту).

Время нахождения тела в воздухе можно вычислить, приравняв к нулю координату y. Имеем:

0 = h+v0*sin(θ)*t-g*t2/2

Это квадратное уравнение решаем через дискриминант, получаем:

D = b2 - 4*a*c = v02*sin2(θ) - 4*(-g/2)*h = v02*sin2(θ) + 2*g*h,

t = (-b±√D)/(2*a) = (-v0*sin(θ)±√(v02*sin2(θ) + 2*g*h))/(-2*g/2) =

= (v0*sin(θ)+√(v02*sin2(θ) + 2*g*h))/g.

В последнем выражении один корень со знаком минуса отброшен, в виду его незначительного физического значения. Подставив время полета t в выражение для x, получаем дальность полета l:

l = x = v0*cos(θ)*(v0*sin(θ)+√(v02*sin2(θ) + 2*g*h))/g.

Проще всего это выражение проанализировать, если начальная высота равна нулю (h=0), тогда получим простую формулу:

l = v 02*sin(2*θ)/g

Это выражение свидетельствует, что максимальную дальность полета можно получить, если тело бросить под углом 45o (sin(2*45o) = м1).

Максимальная высота подъема тела

Помимо дальности полета, также полезно найти высоту над землей, на которую может подняться тело. Поскольку этот тип движения описывается параболой, ветви которой направлены вниз, то максимальная высота подъема является ее экстремумом. Последний рассчитывается путем решения уравнения для производной по t для y:

dy/dt = d(h+v0*sin(θ)*t-g*t2/2)/dt = v0*sin(θ)-gt=0 =>

=> t = v0*sin(θ)/g.

Подставляем это время в уравнение для y, получаем:

y = h+v0*sin(θ)*v0*sin(θ)/g-g*(v0*sin(θ)/g)2/2 = h + v02*sin2(θ)/(2*g).

Это выражение свидетельствует, что на максимальную высоту тело поднимется, если его бросить вертикально вверх (sin2(90o) = 1).

fb.ru

Движение тела брошенного под углом к горизонту

Основные характеристики и формулы

Выберем систему координат, как показано на рис.1, и запишем законы изменения основных кинематических величин для обоих направлений.

Рис.1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

По горизонтали (вдоль оси ):

начальное положение , начальная скорость , скорость ускорение закон движения:

   

По вертикали (вдоль оси ):

начальное положение , начальная скорость , скорость ускорение закон движения:

   

Приведенные выше кинематические характеристики движения позволяют определить максимальную высоту подъема тела, время и дальность полета.

При достижении максимальной высоты подъема — составляющая скорости тела обращается в нуль:

   

откуда время подъема тела

   

Время полета тела:

   

В верхней точке траектории — координата тела равна максимальной высоте подъема:

   

В момент падения — координата тела равна дальности полета, поэтому:

   

Траекторией движения тела, брошенного под углом к горизонту, является парабола.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.

Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту.
  1. Это движение в плоскости, поэтому для описания движения необходимо 2 координаты.
  2. Считаем, что движение происходит вблизи поверхности Земли, поэтому ускорение тела – ускорение свободного падения (a = g).
 

Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли (g) – вдоль вертикальной оси (y), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.

 

Движение тела, брошенного горизонтально.

Выразим проекции скорости и координаты через модули векторов.

 

Для того чтобы получить уравнение траектории, выразим время tиз уравнения координаты x и подставим в уравнение для y: 

 - между координатами квадратичная зависимость, траектория – парабола!

 

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Порядок решения задачи аналогичен предыдущей.

Решим задачу для случая х0=0 и y0=0. 

Докажем, что траекторией движения и в этом случае будет парабола. Для этого выразим координату Y через X (получим уравнение траектории):

.

Мы получили квадратичную зависимость между координатами. Значит траектория - парабола.

 

Найдем время полета тела от начальной точки до точки падения. В точке падения координата по вертикальной оси у=0. Следовательно, для решения этой задачи необходимо решить уравнение . Оно будет иметь решение при t=0 (начало движения) и 

Время полета:

 

Зная время полета, найдем максимальное расстояние, которое пролетит тело:

Дальность полета:

 

Из этой формулы следует, что:

- максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе, например) под углом 450;

- на одно и то же расстояние можно бросить тело (с одинаковой начальной скоростью) двумя способами – т.н. навесная и настильная баллистические траектории.

Используя то, что парабола – это симметричная кривая, найдем максимальную высоту, которой может достичь тело.Время, за которое тело долетит до середины, равно:

Время подъема:

Тогда: 

Максимальная высота:

 

Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории движения (параболе) и равна

 

Угол, под которым направлен вектор скорости в любой момент времени:

 

www.eduspb.com

Свободное падение тела брошенного вверх

 

1. Формулы максимальной высоты и времени за которое тело поднялось на максимальную высоту

 

h max - максимальная высота достигнутая телом за время t

Vк - конечная скорость тела на пике, равная нулю

Vн - начальная скорость тела

t - время подъема тела на максимальную высоту h max

g - ускорение свободного падения

 

Формула максимальной высоты (h max ):

 

Формула времени за которое тело достигло максимальной высоты (t ):

 

 

2. Формулы скорости, высоты и времени тела брошенного вертикально вверх под воздействием силы тяжести

 

h - расстояние пройденное телом за время t

Vн - начальная скорость тела

V - скорость тела в момент времени t

t - время подъема за которое тело пролетело расстояние h

g - ускорение свободного падения

 

Формула скорости тела в момент времени t (V ):

 

Формула начальной скорости тела (Vн ):

 

Формулы высоты тела в момент времени t (h ):

 

Формулы времени, за которое тело достигло высоту h (t ):

zdesformula.ru

Как найти максимальную высоту подъема

При броске тела вверх оно замедляется с ускорением g?9,8 м/с?, обусловленным гравитационным притяжением Земли. Именно поэтому в некоторый момент времени подброшенное тело останавливается и начинает движение в обратном направлении, вниз. Расстояние от точки смены направления движения тела до поверхности Земли и будет равно максимальной высоте подъема.

Вам понадобится

- секундомер;- радар;- калькулятор;- угломер.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти максимальную высоту подъема" Как найти абсолютную высоту Как изменить время и дальность полета тела Как рассчитать падение реки

Инструкция

1

Найдите максимальную высоту подъема тела, брошено вверх при помощи секундомера. Не имеет значения, брошено ли тело вертикально вверх или под углом к горизонту. При помощи секундомера, засеките время, которое тело находилось в полете. Измеряйте значение времени в секундах. Поскольку половину времени, проведенного в полете тело поднимается, во вторую половину опускается, полученное значение поделите на 2.

2

Рассчитайте максимальную высоту подъема тела Н. Для этого возведите поделенное на 2 время полета t в квадрат. Полученное значение умножьте на ускорение свободного падения g?9,8 м/с?, а результат поделите на число 2, H=g•t?/2. Высоту получите в метрах.

3

Пример. После броска с поверхности Земли тело снова упало на нее через 4 с, на какую максимальную высоту оно поднялось? Найдите время подъема тела на максимальную высоту. Оно равно половине всего времени движения 4/2=2 с. Подставьте значение в формулу H=g•t?/2=9,8•2?/2?20 м. Если не требуется повышенная точность, значение ускорения свободного падения можно брать 10 м/с?.

4

Определите максимальную высоту подъема тела, если известна его начальная скорость. Ее можно измерить специальным радаром. В некоторых устройствах, она изначально известна. В том случае, если тело запущено вертикально вверх с начальной скоростью v0, чтобы найти максимальную высоту подъема этого тела поделите квадрат этой начальной скорости на удвоенное значение ускорения свободного падения, H=v0?/2•g. Скорость должна быть измерена в метрах в секунду.

5

Найдите максимальную высоту подъема тела, начальная скорость v0 которого направлена под углом к горизонту. При расчете учитывайте, что за подъем тела отвечает только вертикальная составляющая скорости, которая равна v0y= v0•sin(?), где ? – угол к горизонту, под которым тело начало свое движение, его измерьте угломером. Тогда для расчета максимальной высоты подъема тела можно использовать формулу, описанную в предыдущем пункте, а получившийся результат умножит на синус ?, возведенный в квадрат H=(v0?/2•g)•sin?(?). Как просто

masterotvetov.com

Движение тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту

1. Движение тела, брошенного горизонтально

Если сопротивлением воздуха можно пренебречь, то брошенное как угодно тело движется с ускорением свободного падения .

Рассмотрим сначала движение тела, брошенного горизонтально со скоростью v_vec0 с высоты h над поверхностью земли (рис. 11.1).

В векторном виде зависимость скорости тела от времени t выражается формулой

В проекциях на оси координат:

vx = v0,     (2)vy = –gt.     (3)

? 1. Объясните, как из (2) и (3) получаются формулы

x = v0t,     (4)y = h – gt2/2.     (5)

Мы видим, что тело как бы совершает одновременно два вида движения: вдоль оси x оно движется равномерно, а вдоль оси y – равноускоренно без начальной скорости.

На рисунке 11.2 показано положение тела через равные промежутки времени. Внизу показано положение в те же моменты времени тела, движущегося прямолинейно равномерно с той же начальной скоростью, а слева – положение свободно падающего тела.

Мы видим, что брошенное горизонтально тело находится все время на одной вертикали с движущимся равномерно телом и на одной горизонтали со свободно падающим телом.

? 2. Объясните, как из формул (4) и (5) получаются выражения для времени tпол и дальности полета тела l:

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в момент падения y = 0.

? 3. Тело бросают горизонтально с некоторой высоты. В каком случае дальность полета тела будет больше: при увеличении в 4 раза начальной скорости или при увеличении во столько же раз начальной высоты? Во сколько раз больше?

Траекторий движения

На рисунке 11.2 траектория движения тела, брошенного горизонтально, изображена красной штриховой линией. Она напоминает ветвь параболы. Проверим это предположение.

? 4. Докажите, что для тела, брошенного горизонтально, уравнение траектории движения, то есть зависимость y(x), выражается формулой

Подсказка. Используя формулу (4), выразите t через x и подставьте найденное выражение в формулу (5).

Формула (8) действительно представляет собой уравнение параболы. Ее вершина совпадает с начальным положением тела, то есть имеет координаты x = 0; y = h, а ветвь параболы направлена вниз (на это указывает отрицательный коэффициент перед x2).

? 5. Зависимость y(x) выражается в единицах СИ формулой y = 45 – 0,05x2.а) Чему равны начальная высота и начальная скорость тела?б) Чему равны время и дальность полета?

? 6. Тело брошено горизонтально с высоты 20 м с начальной скоростью 5 м/с.а) Сколько времени будет длиться полет тела?б) Чему равна дальность полета?в) Чему равна скорость тела непосредственно перед ударом о землю?г) Под каким углом к горизонту будет направлена скорость тела непосредственно перед ударом о землю?д) Какой формулой в единицах СИ выражается зависимость модуля скорости тела от времени?

2. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

На рисунке 11.3 схематически изображено начальное положение тела, его начальная скорость 0 (при t = 0) и ускорение (ускорение свободного падения ).Проекции начальной скорости

v0x = v0cos α,     (9)v0y = v0sin α.     (10)

Для сокращения последующих записей и прояснения их физического смысла удобно до получения окончательных формул сохранять обозначения v0x и v0y.

Скорость тела в векторном виде в момент времени t и в этом случае выражается формулой

Однако теперь в проекциях на оси координат

vx = v0x,     (11)vy = v0y – gt.     (12)

? 7. Объясните, как получаются следующие уравнения:

x = v0xt,     (13)y = v0yt – gt2/2.     (14)

Мы видим, что и в этом случае брошенное тело как бы участвует одновременно в двух видах движения: вдоль оси x оно движется равномерно, а вдоль оси y – равноускоренно с начальной скоростью, как тело, брошенное вертикально вверх.

Траектория движения

На рисунке 11.4 схематически показано положение тела, брошенного под углом к горизонту, через равные промежутки времени. Вертикальные линии подчеркивают, что вдоль оси x тело движется равномерно: соседние линии находятся на равных расстояниях друг от друга.

? 8. Объясните, как получить следующее уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту:

Формула (15) представляет собой уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.

Уравнение траектории может многое рассказать нам о движении брошенного тела!

? 9. Зависимость y(x) выражается в единицах СИ формулой y = √3 * x – 1,25x2.а) Чему равна горизонтальная проекция начальной скорости?б) Чему равна вертикальная проекция начальной скорости?в) Под каким углом к горизонту брошено тело?г) Чему равна начальная скорость тела?

Параболическую форму траектории тела, брошенного под углом к горизонту, наглядно демонстрирует струя воды (рис. 11.5).

Время подъема и время всего полета

? 10. Используя формулы (12) и (14), покажите, что время подъема тела tпод и время всего полета tпол выражаются формулами

Подсказка. В верхней точке траектории vy = 0, а в момент падения тела его координата y = 0.

Мы видим, что и в этом случае (так же, как для тела, брошенного вертикально вверх) все время полета tпол в 2 раза больше времени подъема tпод. И в этом случае при обратном просмотре видеосъемки подъем тела будет выглядеть в точности как его спуск, а спуск – как подъем.

Высота и дальность полета

? 11. Докажите, что высота подъема h и дальность полета l выражаются формулами

Подсказка. Для вывода формулы (18) воспользуйтесь формулами (14) и (16) или формулой (10) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении; для вывода формулы (19) воспользуйтесь формулами (13) и (17).

Обратите внимание: время подъема тела tпод, все время полета tпол и высота подъема h зависят только от вертикальной проекции начальной скорости.

? 12. До какой высоты поднялся после удара футбольный мяч, если он упал на землю через 4 с после удара?

? 13. Докажите, что

Подсказка. Воспользуйтесь формулами (9), (10), (18), (19).

? 14. Объясните, почему при одной и той же начальной скорости v0 дальность полета l будет одинакова при двух углах α1 и α2, связанных соотношением α1 + α2 = 90º (рис. 11.6).

Подсказка. Воспользуйтесь первым равенством в формуле (21) и тем, что sin α = cos(90º – α).

? 15. Два тела, брошенные одновременно и с одинаковой по модулю начальной око одну точку. Угол между начальными скоростями равен 20º. Под какими углами к горизонту были брошены тела?

Максимальные дальность и высота полета

При одной и той же по модулю начальной скорости дальность полета и высота определяются только углом α. Как выбрать этот угол, чтобы дальность или высота полета были максимальными?

? 16. Объясните, почему максимальная дальность полета достигается при α = 45º и выражается формулой

lmax = v02/g.     (22)

? 17.Докажите, что максимальная высота полета выражается формулой

hmax = v02/(2g)     (23)

? 18.Тело, брошенное под углом 15º к горизонту, упало на расстоянии 5 м от начальной точки.а) Чему равна начальная скорость тела?б) До какой высоты поднялось тело?в) Чему равна максимальная дальность полета при той же по модулю начальной скорости?г) До какой максимальной высоты могло бы подняться это тело при той же по модулю начальной скорости?

Зависимость скорости от времени

При подъеме скорость брошенного под углом к горизонту тела уменьшается по модулю, а при спуске – увеличивается.

? 19.Тело брошено под углом 30º к горизонту с начальной скоростью 10 м/с.а) Как в единицах СИ выражается зависимость vy(t)?б) Как в единицах СИ выражается зависимость v(t)?в) Чему равна минимальная скорость тела во время полета?Подсказка. Воспользуйтесь формулами (13) и (14), а также теоремой Пифагора.

Дополнительные вопросы и задания

20. Бросая камешки под разными углами, Саша обнаружил, что не может бросить камешек дальше чем на 40 м. На какую максимальную высоту Саша сможет забросить камешек?

21. Между сдвоенными шинами заднего колеса грузовика застрял камешек. На каком расстоянии от грузовика должен ехать следующий за ним автомобиль, чтобы этот камешек, сорвавшись, не причинил ему вреда? Оба автомобиля едут со скоростью 90 км/ч.Подсказка. Перейдите в систему отсчета, связанную с любым из автомобилей.

22. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы:а) высота полета была равна дальности?б) высота полета была в 3 раза больше дальности?в) дальность полета была в 4 раза больше высоты?

23. Тело брошено с начальной скоростью 20 м/с под углом 60º к горизонту. Через какие промежутки времени после броска скорость тела будет направлена под углом 45º к горизонту?

phscs.ru