Формулы квадратного и кубического уравнения. Корни уравнения третьей степени


Онлайн калькулятор: Кубическое уравнение

Сегодня выполняем запрос пользователя Решение кубического уравнения.Канонический вид кубического уравнения:

Решать кубическое уравнение мы будем по формуле Виета.Формула Виета — способ решения кубического уравнения видаСоответственно, чтобы привести к этому виду оригинальное уравнение первым шагом все введенные коэффициенты делятся на коэффициент а:

Калькулятор ниже, а описание формулы Виета — под ним

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Сохранить share extension

Кстати сказать, на других сайтах почему-то для решения кубических уравнений используют формулу Кардано, однако я согласен с Википедией в том, что формула Виета более удобна для практического применения. Так что почему везде формула Кардано — непонятно, разве что лень людям Гиперболические функции и Обратные гиперболические функции реализовывать. Ну мне не лень было.

Итак, формула Виета (из Википедии)

Обратите внимание, что по представлению формулы Виета а — второй коэффициент, а коэффициент перед x3 всегда считается равным 1. Калькулятор позволяет ввести а как коэффициент перед х3, но сразу же на него и делит уравнение, чтобы получить 1

Вычисляем:

Вычисляем:

Если S > 0, то вычисляем:и имеем три действительных корня:

Если S < 0, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны два случая в зависимости от знака Q

Q > 0:

(действительный корень)

(пара комплексных корней)

Q < 0:

(действительный корень)

(пара комплексных корней)

Если S = 0, то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

По этим формулам калькулятор и работает. Решает вроде правильно, хотя решения с мнимой частью не проверял. Если что, пишите.

planetcalc.ru

Корни кубического комплексного уравнения

Исходное кубическое уравнение
Вид уравнения
Первый корень
Первый корень
Второй корень
Второй корень
Третий корень
Третий корень

Мы добрались до возможности решать  кубические  уравнения общего вида, имеющего комплексные коэффиценты.  

Использовать будем методику которая называется подстановкой Виета.

Итак,  когда мы из общего уравнения третьей степени 

подстановкой 

мы создали приведенное кубическое уравнение 

Подстановкой вида

мы можем получить уравнение

Фактически, это квадратное уравнение. Решив которое мы получим   корни w.

Удивительно, но нам совершенно не важно какой корень мы возьмем от этого квадратного уравнения. Окончательный вариант все равно будет правильный.

А через них мы узнаем корни приведенного уравнения.

Чем удобен такой подход, от например решения уравнения по методу Кардано?

Он алгоритмически понятен и нагляден. И это главное.

Бот корректно вычисляет корни кубического комплексного уравнения, даже в том случае, если коэффициентами являются какие либо выражения ( с вещественными и/или мнимыми значениями)

Рассмотрим примеры?

Пишем коэффиценты слева направо (через пробел)

1 2-i sin(3-i) -7

Получаем

Исходное кубическое уравнение
Первый корень
Второй корень
Третий корень

Вот еще один

Корни его будут равны

Исходное кубическое уравнение
Первый корень
Второй корень
Третий корень

А вот корни  обычного уравнения с вещественными числами.

"Это легкотня" - говорит моя дочь, складывая два плюс два. 

Корни такого кубического уравнения

Исходное кубическое уравнение
Первый корень
Второй корень
Третий корень

Удачных расчетов!

 

  • Корни уравнения типа x^3n+Ax^2n+B=0 >>

www.abakbot.ru

Решение кубических уравнений, формулы и примеры

Запишем поэтапный ход деления. Делим старший элемент делимого (слагаемое со старшей степенью) на старший элемент делителя. То есть надо подобрать такой одночлен, что его произведение со старшим элементом делителя, то есть , будет равно старшему элементу делимого, то есть . Искомый одночлен равен , записываем его в поле для частного:

Далее делитель умножаем на полученное частное (для этого каждое слагаемое делителя умножаем на ), записываем результат под делимым так, чтобы каждая степень полученного после умножения выражения была записана под соответствующей степенью делимого:

Отнимаем многочлены:

Поскольку степень полученного остатка больше степени делителя, то деление продолжаем. Теперь подбираем одночлен, на который нужно умножить делитель , чтобы получить в результате старшее слагаемое остатка . Таким одночленом является , его записываем в поле для частного к записанному уже там значению :

Умножаем делитель на указанный одночлен, результат записываем под остатком и вычитаем от него:

Степень полученного остатка равна степени делителя (а должна быть строго меньше, чтобы процесс деления закончился), поэтому деление продолжаем.

Чтобы получить выражение , делитель нужно умножить на 2 (записываем это слагаемое в частное со знаком плюс), а результат этого умножения записываем под последним остатком и вычитаем от него. В результате получаем остаток, равный нулю. Деление закончено.

Итак, полное оформление деления многочлена на многочлен столбиком имеет следующий вид:

В результате деления можем сделать следующие выводы:

1) поскольку остаток равен нулю, то значение — корень многочлена ;

2) многочлен можно записать в виде:

   

ru.solverbook.com

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы.

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы.

Кубическим уравнением называется уравнение вида

ax3 + bx2 + cx +d = 0 , (1)

где a, b,c ,d - постоянные коэффициенты, а х - переменная.

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

Δ= -4b3d + b2c2 - 4ac3 + 18abcd - 27a2d2.

Итак, возможны только 3 следующих случая:

  • Δ > 0 - тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых - три различных вещественных корня)
  • Δ < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
  • Δ = 0 - хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2умя совпадающими корнями, и еще 1ним отличным от них, либо с уравнением с 3емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результант его и его второй производной равен нулю)

На практике часто , решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень α. Затем делим многочлен на (х- α), (если α корень, то он должен поделиться без остатка). Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.

Формула Кардано.

Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел).

Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида

y3 + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

x= y - b/3a (3)

p= - b2/3a2 + c/a

q= 2b3/27a3 - bc/3a2 + d/a

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

Q=(p/3)3 + (q/2)2

α = (-q/2 + Q1/2)1/3

β = (-q/2 - Q1/2)1/3

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Δ = - 108Q

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

y1= α + β

y2= - (α + β)/2 + (31/2(α - β)/2)i

y3 =- (α + β)/2 - (31/2(α - β)/2)i

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y1. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y2, y3 и подставьте их в (3).

Если Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y1, y2, y3 и подставьте их в (3).

Если же Q =0, то все корни уравнений (1) и (2) вещественные, причем как минимум 2 корня каждого из уравнений совпадают. При этом имеем

α = β, и

y1=2α,

y2= y3 = - α. Аналогично подставляем в (3) и получаем ответ.

Тригонометрическая формула Виета.

Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения, то есть уравнения вида

x3 + ax2 + bx +c = 0 (4)

 

Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.

Итак, алгоритм применения этой формулы:

1. Вычисляем

Q=(a2- 3b)/9

R=(2a3 - 9ab + 27c)/54

2. Вычисляем

S = Q3 - R2

3. a) Если S>0, то вычисляем

φ=(arccos(R/Q3/2))/3

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

x1= - 2(Q)1/2cos(φ) - a/3

x2= - 2(Q)1/2cos(φ+2π/3) - a/3

x3= - 2(Q)1/2cos(φ-2π/3) - a/3

б) Если S<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Вычисляем

φ=(Arch( |R|/|Q|3/2)/3

Тогда

единственный корень (вещественный): x1= -2sgn(R)*|Q|1/2*ch(φ) - a/3

Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:

x2= sgn(R)*|Q|1/2*ch(φ) - a/3 +(3|Q|)1/2 sh(φ)i

x3= sgn(R)*|Q|1/2*ch(φ) - a/3 -(3|Q|)1/2sh(φ)i

 

ГДЕ:

ch(x)=(ex+e-x)/2

Arch(x) = ln(x + (x2-1)1/2)

sh(x)=(ex-e-x)/2

sgn(x) - знак х

в) Если S=0,то уравнение имеет меньше трех различных решений:

x1= -2*R1/3 - a/3

x2=x3=R1/3 - a/3

tehtab.ru

Решение уравнений третьей степени - HintFox

Кубическое уравнение – алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид кубического уравнения: ах3 + bх2 + сх + d = 0, а ≠ 0

Заменяя в этом уравнении х новым неизвестным у, связанным с х равенством х = у – (b/3а), кубическое уравнение можно привести к более простому (каноническому) виду: у3 + pу + q = 0, где p = - b2 + с, q = 2b – bс + d

3а2 а 27а3 3а2 а решение этого уравнения можно получить с помощью формулы Кардано .

1. 1 История кубических уравнений

Термин «кубическое уравнение» ввели Р. Декарт (1619 г. ) и У. Оутред (1631г. ).

Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла).

Математики средневековья Востока создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате доказательств задач алгебры и алмукабалы «Омара Хайя» (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами.

В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1953 г. ).

Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось найти С. Ферро (около 1515 г. ), однако оно не было опубликовано. Открытие независимо повторили Тарталья (1535 г. ), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи.

В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Начнём с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида ах3 + bх2 + сх + d = 0, где а ≠ 0, разделить на а, то коэффициент при х3 станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения х3 + Pх2 + Qх + R = 0. (1)

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

(а + b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3.

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь а на х и перегруппируем слагаемые:

(х + b)3 = х3 + 3bх2 + 3b2х + b3. (2)

Мы видим, что надлежащим образом b, а именно взяв b = P/3, можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения х3 + Pх2 + Qх + R = 0 только коэффициентом при х и свободным членом. Сложим уравнение х3 + Pх2 + Qх + R = 0 и (х + b)3 = х3 + 3bх2 + 3b2х + b3 и приведём подобные:

(х + b)3 + (Q – 3b2)х + R – b3 = 0.

Если здесь сделать замену y = х + b, получим кубическое уравнение относительно у без члена с у2: у3 + ру + q = 0.

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении х3 + Pх2 + Qх + R = 0 с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида х3 + рх + q = 0. (3)

1. 2 История формулы Кардано

Формула Кардано названа по имени Дж. Кардано, впервые опубликовавшего её в 1545 году.

Автор этой формулы Никколо Тарталья. Он создал это решение в 1535 г. специально для участия в математическом состязании, в котором, естественно, победил. Тарталья, сообщая формулу (в стихотворной форме) Кардано, представил только ту часть решения кубического уравнения, в которой корень имеет одно (действительное) значение.

Результаты Кардано в этой формуле относятся к рассмотрению так называемого неприводимого случая, в котором уравнение имеет три значения (действительных значений, в те времена не было ни мнимых, ни даже отрицательных чисел, хотя попытки в этом направлении были). Однако, вопреки тому, что Кардано указал в своей публикации на авторство Тартальи, формулу называют именем Кардано.

1. 3 Формула Кардано

Теперь давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

(а + b)3 = а3 + b3 + 3аb(а + b).

Сравните эту запись с уравнением х3 + рх + q = 0 и попробуйте установить связь между ними. Подставим в нашу формулу х = а + b: х3 = а3 + b3 + 3аbх, или х3 – 3аbх – (а3 + b3) = 0

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения х3 + рх + q = 0, достаточно решить систему уравнений а3 + b3 = - q, а3 + b3 = - q, или

3аb = - p,а3b3 = - p 3,

3 и взять в качестве х сумму а и b. Заменой и = а3, v = b3 эта система приводится к совсем простому виду: и + v = - q, иv = - p 3.

Дальше можно действовать по-разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при х со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и и v – корни уравнения t2 + qt – (p/3)3 = 0.

Выпишем эти корни: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.

Переменные а и b равны кубическим корням из t1 и t2, а искомое решение кубического уравнения х3 + рх + q = 0 – сумме этих корней: х = 3 – q + q 2 + p 3+ 3 – q – q 2 + p 3.

2 2 3 2 2 3

Эта формула известна как формула Кардано.

Решаем уравнения

Прежде, чем посмотреть на формулу Кардано в работе, поясним, как по одному корню кубического уравнения х3 + рх + q = 0 найти другие его корни, если они есть.

Пусть известно, что наше уравнение имеет корень h. Тогда его левую часть можно разложить на линейный и квадратный множители. Делается это очень просто. Подставляем в уравнение выражение свободного члена через корень q = - h4 – ph и пользуемся формулой разности кубов:

0 = х3 – h4 + px – ph = (x – h)(x2 + hx + h3) + p(x - h) = (x – h)(x2 + hx + h3 + p).

Теперь можно решить квадратное уравнение х2 + hx + h3 + p = 0 и найти остальные корни данного кубического уравнения.

Итак, мы во всеоружии и, казалось бы, можем справиться с любым кубическим уравнением. Давайте попробуем свои силы.

1. Начнем с уравнения х3 + 6х – 2 = 0

Подставляем в формулу Кардано p = 6 и q = -2 и после несложных сокращений получаем ответ: х = 3√4 – 3√2. Что ж, формула вполне симпатичная. Только перспектива выносить множитель х – (3√4 – 3√2) из левой части уравнения и решать остающееся квадратное уравнение со «страшными» коэффициентами для вычисления других корней не очень-то вдохновляет. Однако, присмотревшись к уравнению внимательнее, можно успокоиться: функция в левой части строго возрастает и поэтому может обращаться в нуль только один раз . Значит, найденное число – единственный действительный корень уравнения.

у у = х3 + 6х – 2

3√4 – 3√2 х

Рис. 1 График функции у = х3 + 6х – 2 пересекает ось абсцисс в одной точке - 3√4 – 3√2.

2. Следующий пример – уравнение х3 + 3х – 4 = 0.

Формула Кардано дает х = 3 2 + √5 + 3 2 - √5.

Как и в предыдущем примере, мы видим, что этот корень единственный. Но не нужно обладать сверхпроницательностью, чтобы, глядя на уравнение, угадать его корень: х = 1. Приходится признать, что формула выдала обычную единицу в таком причудливом виде. Между прочим, упростить это громоздкое, но не лишенное изящества выражение алгебраическими преобразованиями не удается – кубические иррациональности в нем неустранимы.

3. Ну а теперь возьмем уравнение, заведомо имеющее три действительных корня. Составить его легко – просто перемножим три скобки вида х – b. Нужно только позаботиться, чтобы сумма корней равнялась нулю, ведь, по общей теореме Виета, она отличается от коэффициента при х2 только знаком. Самый простой набор таких корней – это 0, 1 и – 1.

Применим формулу Кардано к уравнению х (х – 1)(х + 1) = 0, или х3 – х = 0.

Полагая в ней p = -1 и q = 0, получаем х = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27.

у у = х (х - 1)(х + 1)

Рис. 2 Уравнение х (х – 1)(х + 1) = 0 имеет три действительных корня: -1, 0 и 1. Соответственно график функции у = х (х – 1)(х + 1) пересекает ось абсцисс в трех точках.

Под знаком квадратного корня появилось отрицательное число. Такое бывает и при решении квадратных уравнений. Но квадратное уравнение в этом случае не имеет действительных корней, а у кубического их целых три!

Более тщательный анализ показывает, что мы попали в эту ловушку не случайно. Уравнение х3 + px + q = 0 имеет три действительных корня тогда и только тогда, когда выражение Δ = (q/2)2 + (p/3)3 под квадратным корнем в формуле Кардано отрицательно . Если Δ > 0, то действительный корень один (рис. 3, б), а если Δ = 0, то их два (один из них – двукратный), за исключением случая p = q = 0, когда все три корня сливаются.

у Δ 0 у = -pх - q у = х3

0 х 0 х у = -pх - q у = х3 а) б)

Рис. 3 Кубическое уравнение х3 + px + q = 0 можно представить в виде х3 = -px – q. Отсюда видно, что корням уравнения будут соответствовать абсциссы точек пересечения двух графиков: у = х3 и у = -px – q. Если Δ 0 – один.

1. 4 Теорема Виета

Теорема Виета. Если целое рациональное уравнение степени n, приведенное к стандартному виду, имеет n различных действительных корней х1, х2,. хn, то они удовлетворяют равенствам: х1 + х2 + + хn = - а1 , а0 х1х2 + х1х3 + + хn-1хn = а2 а0 х1 · х2 · · хn = (-1)nаn.

Для корней уравнения третьей степени а0х3 + а1х2 + а2х + а3 = 0, где а0 ≠ 0 справедливы равенства х1 + х2 + х3 = - а1, а0 х1х2 + х1х3 + х2х3 = а2, а0 х1х2х3 = - а3.

1. 5 Теорема Безу. Схема Горнера

Решение уравнений тесно связано с разложением многочленов на множители. Поэтому при решении уравнений важно все, что связано с выделением в многочлене линейных множителей, т. е. с делением многочлена А(х) на двучлен х – α. Основой многих знаний о делении многочлена А(х) на двучлен х – α, является теорема, принадлежащая французскому математику Этьену Безу (1730-1783 гг. ) и носящая его имя.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена А(х) на двучлен х – α равен А(α) (т. е. значению многочлена А(х) при х = α).

Пример 1.

Найдем остаток от деления многочлена А(х) = х4 – 6х3 + 8 на х + 2.

Решение. По теореме Безу остаток от деления на х + 2 равен А(-2) = (-2)4 – 6(-2)3 + 8 = 72.

Удобный способ нахождения значений многочлена при заданном значении переменной х ввел английский математик Вильямс Джордж Горнер (1786-1837 гг. ). Этот способ впоследствии получил название схемы Горнера. Он состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк. Например, чтобы вычислить А(-2) в предыдущем примере, в верхней строке таблицы перечисляем коэффициенты данного многочлена, записанного в стандартной форме х4 – 6х3 + 8 = х4 + (-6)х3 + 0 · х2 + 0 · х + 8.

Коэффициент при старшей степени дублируем в нижней строке, а перед ним записываем значение переменной х = -2, при котором вычисляется значение многочлена. Получается следующая таблица:

1 -6 0 0 8

Пустые клетки таблицы заполняем по следующему правилу: крайнее справа число нижней строки умножается на -2 и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. По этому правилу в первой пустой клетке стоит число (-2) · 1 + (-6) = -8, во второй клетке ставится число (-2) · (-8) + 0 = 16, в третьей клетке – число (-2) · 16 + 0 = - 32, в последней клетке – число (-2) · (-32) + 8 = 72. Полностью заполненная по схеме Горнера таблица выглядит так:

1 -6 0 0 8

-2 1 -8 16 -32 72

Число в последней клетке и есть остаток от деления многочлена на х + 2, А(-2) = 72.

На самом деле из полученной таблицы, заполненной по схеме Горнера, можно записать не только остаток, но и неполное частное

Q(x) = x3 – 8x2 + 16x – 32, так как число, стоящее на второй строке (не считая с последнего), - это коэффициенты многочлена Q(x) – неполного частного от деления на х + 2.

Пример 2.

Решим уравнение х3 – 2х2 – 5х + 6 = 0

Выпишем все делители свободного члена уравнения: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

х = 1, х = -2, х = 3

Ответ: х = 1, х = -2, х = 3

2. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулирую основные выводы о проделанной работе.

В процессе работы я познакомился с историей развития проблемы решения уравнения третьей степени. Теоретическая значимость полученных результатов заключается в том, что осознанно занимает место формулы Кардано в решении некоторых уравнений третьей степени. Я убедился в том, что формула решения уравнения третьей степени существует, но из-за её громоздкости она не популярна и не очень надежна, так как не всегда достигает конечного результата.

В дальнейшем можно рассматривать такие вопросы: как узнать заранее, какие корни имеет уравнение третьей степени; можно ли кубическое уравнение решить графическим способом, если можно, то как; как оценить приближенно корни кубического уравнения?

www.hintfox.com

Формулы квадратного и кубического уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида$ax^2 + bx + c = 0 $Оно может иметь один корень, два или ни одного (в поле вещественных чисел).Сначала нужно вычислить дискриминант $D=b^2-4ac $, если:

  • $D > 0$, уравнения имеет два корня;
  • $D = 0$, уравнение имеет один корень;
  • $D

Корни ищем по формулах:$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$;$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$.

Вы можете посмотреть, как данные формулы применяется на практике на странице онлайн решения квадратного уравнения уравнения или же в специальном видео-уроке!

Кубическим уравнением называется уравнение вида$ax^3 + bx^2 + cx +d = 0 $, (1)где $a, b,c ,d$ — постоянные коэффициенты, а $ x $ — переменная.Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются вещественными числами.Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:$ \delta= -4b^3d + b^2c^2 — 4ac^3 + 18abcd — 27a^2d^2$.Итак, возможны только 3 следующих случая:

  • $ \delta>0 $- тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
  • $ \delta
  • $ \delta=0 $ — хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2-умя совпадающими корнями, и еще 1-ним отличным от них, либо с уравнением с 3-емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результат его и его второй производной равен нулю).

На практике часто, решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень $ \alpha $. Затем делим многочлен на $ (x- \alpha),$ (если $ \alpha $ корень, то он должен поделиться без остатка). Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.Формула Кардано.Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комплексных чисел).Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида$y^3 + py + q = 0$ (2)К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:$x= y -\frac {b}{3a}$ (3)$p= — \frac{b^2}{3a^2} + \frac{c}{a} $$q= \frac{2b^3}{27a^3} — \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}$Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:$Q=(\frac{p}{3})^3 + (\frac{q}{2})^2$$\alpha = (-\frac{q} {2} + Q^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$$\beta = (-\frac{q} {2} — Q^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен$\delta = — 108Q $Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:$y_1= \alpha + \beta$;$y_2= — \frac{\alpha + \beta}{2} + 3^{\frac{1}{2}}\frac{\alpha — \beta}{2}i$;$y_3 = — \frac{\alpha + \beta}{2} — 3^{\frac{1}{2}}\frac{\alpha — \beta}{2}i$.Вы можете посмотреть, как описанный метод применяется на практике на странице онлайн решения кубического уравнения!

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка...

matemonline.com

§7. Уравнения третьей степени.

Уравнение третьей степени x3+ax2+bx+c=0 (1) подстановкойx=y–приводится кприведенному кубическому уравнению y3+py+q=0. (2) Корни такого уравнения можно найти по формулам Кардано:y=u+v=, (3) гдеu=,v=и они связаны соотношениемuv=. (4) С учётом (4) формулу Кардано (3) можно использовать и в таком виде:y=u, гдеu=. (5) Здесь можно брать любое (одно из двух) значение квадратного корня; три значе­ния кубического корня дают три корня приведенного уравнения (2). Заметим, чтоu0, еслиp0; еслиp=0, то никакая специальная формула не нужна (имеемдву­членное уравнение).

Чтобы не запоминать формулу, можно пользоваться методом решения, по сути повторяющим вывод формул Кардано. Чтобы найти корни уравнения (2) (считаем р0), пологаяy=u+v, подставляем его в уравнение: (u+v)3+p(u+v)+q=0. Раскрыв скобки, и перегруппировав члены, получим: (u3+v3+q)+( 3uv+p)(u+v)=0. Для уничтожения второго слагаемого подберёмu, vтак, чтобы 3uv+p=0 илиuv=. Тогда уравнение (2) приводится к системе уравнений:Замечаем, чтоu3,v3– корни квадратного уравненияz2+qz=0.

Затем, выбираем один (любой) корень z1этого квадратного уравнения. Бе­рём в качествеu1одно (любое) значение кубического корня изz1и вычисляем корни кубического уравнения (1) по следующей схеме: u1, v1=,y1=u1+v1,x1=y1–;u2= u11, v2= v12,y2=u2+v2,x2=y2–;u3= u12, v3= v11,y3=u3+v3,x3=y3–; где1,2= невещественные кубические корни из единицы. Заметим, что2=(1)2=и1=(2)2=, это позволяет варьировать нахождениеu2, v2, u3, v3.

При исследовании уравнений третьей степени используют теорему:

Теорема. Пустьx3+px+q=0 неполное кубическое уравнение с действи­тельными коэффициентами. Обозначим ∆=.

  1. Если ∆>0, то уравнение имеет один действительный и два мнимых со­пряжённых корня.

  2. Если ∆=0, то корни уравнения действительны и хотя бы один из них кратный.

  3. Если ∆<0, то все корни действительны и различны.

Если не все коэффициенты уравнения (2) действительны, то для упроще­ния вычислений можно вычислить ∆. Если ∆=0 (p0,q0), тогда уравнение (2) имеет два равных корняy2=y3, и в этом случае корни уравнения (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степени, а именноy1=; y2=y3=. (6) Если же ∆0, то уравнение (2) имеет три различных корня, для нахождения кото­рых, используют один из вышеописанных способов.

Пример 1. Решить уравнение:

x3–6x+9=0.

Решение.Уравнение приведенное (отсутствует член сx2). Используем модифицированную формулу Кардано (5): ∆===>0.(берём только одно значение квадратного корня). Тогдаu=. Одно из значенийестьu1=–1, ещё два значения получим, умножаяu1на1,2 – кубические корни из единицы. Итак, u1=–1 , x1= u1–=–1–=–3; u2= u11=–1, x2= u2–=–1+=–1–2/1= =–1–22=. Так как коэффициенты данного уравнения действительны и ∆>0, тоx3=(x3не нужно вычислять по формуле).

Ответ:x1=–3, x2,3=.

Пример 2. Решить уравнение:x3+9x2+18x+28=0.

Решение. Сделаем подстановкуx=y–=y–3. Получим уравнениеy3–9y+28=0. Полагаемy=u+v: (u+v)3–9(u+v)+28=0, (u3+v3+28)+(3uv–9)(u+v)=0. Откуда, или, гдеu3,v3– корни квадратного урав­ненияz2+28z+27=0.

Один из корней последнего уравнения z1=–1, тогдаu1=–1, v1==–3,y1=–4,x1=–7;u2= u11=,v2= v12=,y2=,x2=; Поскольку коэффициенты уравнения действительны и ∆>0, тоx3=.

Ответ: x1=–7, x2,3=.

Пример 3. Решить уравнение:x3+3x–2i=0.

Решение. Данное уравнение приведенное, и не все его коэффициенты дей­ствительны, поэтому вычислим ∆. ∆===–1+1=0 Таким образом корни уравнения можно вычислить по формулам (6).x1==; x2=x3==.

Ответ: x1=–2i, x2,3=i.

Пример 4. Решить уравнение:x3–3abx+ a3+b3=0

Решение. Пологаяx=u+v, получим (u+v)3–3ab(u+v)+ a3+b3=0 или (u3+v3+ a3+b3)+(3uv–3ab)(u+v)=0. ОткудаОдно из решений последней системы

Тогда u1=–a, v1=–b, x1=–a–b; u2= u11=, v2= v12=, x2=.

Ответ: x1=–a–b, x2,3=.

Замечание: При выписывании ответа воспользовались тем, что при веще­ственныхa,bне надо вычислять x3. Но если выписанное значениеx3есть корень уравнения при (любых) вещественныхa иb, то ясно, чтоx3 будет корнем при лю­быхa,b.

Для самостоятельного решения.

Решить уравнения:

  1. x3+6x2–12x+32=0

  2. x3+9x2–18x+44=0

  3. x3–3x2–6x+36=0

  4. x3–12x2+24x–40=0

  5. x3–6ix+4(1–i)=0

  6. x3+(3–3i)x–9=0

  7. x3+3ax+1–a3=0

Ответы:

  1. (–8; )

  2. (–11; )

  3. (–3; )

  4. (10; )

  5. (2+2i; –1–i; –1–i)

  6. (i;

  7. (a–1;

studfiles.net