Четность и нечетность функции. Как выяснить четность и нечетность функции


Четные и нечетные функции: графики и свойства

 

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Рассмотри подробнее свойство четности.

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

График четной функции

Если построить график четной функции он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, функция y=x^2 является четной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Следовательно, f(x) = f(-x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график функции y=x^2.

На рисунке видно, что график симметричен относительно оси Оу.

График нечетной функции

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат. Например, функция y=x^3 является нечетной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.

Возьмем произвольное х=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Следовательно, f(x) = -f(x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график функции y=x^3.

На рисунке наглядно представлено, что нечетная функция y=x^3 симметрична относительно начала координат.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspФункция y=x^n: линейная функция, квадратичная, кубическая и y=1/x

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Четные и нечетные функции

Определение.

Функция называетсячетной, если она не изменяет своего значения при изменении знака аргумента, т.е..

Например, ;;– четные функции.

График четной функции расположен симметрично относительно оси (рис.1.4).

Рис. 1.4

Определение.

Функция называетсянечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется на противоположный, а числовое значение её сохраняется, т.е..

Например, ;– нечетные функции.

График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат (рис.1.5).

Рис. 1.5

Функция может быть ни четной. ни нечетной, и в этом случае её называют функцией общего вида.

Например, ;;.

Графики таких функций не симметричны ни относительно оси , ни относительно начала координат.

Периодические функции

Определение.

Функция называется периодической, если существует такое положительное число, чтов области определения функции.

Наименьшее из положительных чисел Т, удовлетворяющих условию определения, называетсяпериодомфункции.

Например, функции ,являются периодическими с периодом.

Нули функции

Определение.

Значение аргумента, при котором функция обращается в нуль, , называетсянулем функции.

Например, нулями функции являются значенияи.

Монотонные функции

Определение.

Функция называется возрастающей(убывающей) в некоторой области изменения аргумента, еслибольшемузначению аргумента соответствуетбольшее(меньшее) значение функции (рис.1.6, 1.7).

Рис. 1.6 Рис. 1.7

Определение.

Если функция в некоторой области изменения аргумента является только возрастающей или только убывающей, то функция называется монотонной.

Ограниченные функции

Определение.

Функция называетсяограниченнойна множествеХ, если существует такое число, что для всехвыполняется неравенство.

Например, функции и– ограниченные функции, т.к.идля.

График ограниченной функции лежит между прямыми и(рис.1.8).

Рис. 1.8

УПРАЖНЕНИЯ

  1. Найти область определения следующих функций:

1) ; Ответ:;

2) ; Ответ:;

3) ; Ответ:;

4) ; Ответ:.

  1. Найти множество значений функции:

1) ; Ответ:;

2) ; Ответ:;

3) ; Ответ:.

  1. Найти ,,,, если.

Ответ: ;;;.

  1. Пусть и. Найтии.

Ответ: ;.

  1. Установить чётность или нечётность функции:

1) ; Ответ: чётная;

2) ; Ответ: чётная;

3) ; Ответ: общего вида;

4) ; Ответ: нечётная.

  1. Найти основные периоды функций:

1) ; Ответ:;

2) ; Ответ:;

3) ; Ответ:.

  1. Введя промежуточные аргументы, представить данную функцию, как суперпозицию других функций:

1) ; Ответ:;;;

2) ; Ответ:;;;;.

  1. Для данных функций найти явные обратные:

1) ; Ответ:;

2) ; Ответ:;

3) ; Ответ:.

studfiles.net

Четность-нечетность функции. Период функции

Способы задания функции

Пусть функция задается формулой: y=2x^{2}-3. Назначая любые значения независимой переменной x, можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y. Например, если x=-0,5, то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 \cdot (-0,5)^{2}-3=-2,5.

Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x^{2}-3, можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:

x−2−10123
y−4−3−2−101

Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.

Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x. Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.

Четная и нечетная функция

Функция является четной функцией, когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy.

Функция является нечетной функцией, когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0).

Функция является ни четной, ни нечетной и называется функцией общего вида, когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.

Исследуем на четность нижеприведенную функцию:

f(x)=3x^{3}-7x^{7}

D(f)=(-\infty ; +\infty ) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 \cdot (-x)^{3}-7 \cdot (-x)^{7}= -3x^{3}+7x^{7}= -(3x^{3}-7x^{7})= -f(x).

Значит, функция f(x)=3x^{3}-7x^{7} является нечетной.

Периодическая функция

Функция y=f(x), в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x), называется периодической функцией с периодом T \neq 0.

Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T.

Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.

f(x) > 0 на (x_{1}; x_{2}) \cup (x_{3}; +\infty )

Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) < 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x) < 0 на (-\infty; x_{1} ) \cup (x_{2}; x_{3} )

Ограниченность функции

Ограниченной снизу принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число A, для которого выполняется неравенство f(x) \geq A для любого x \in X.

Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1+x^{2}} так как y=\sqrt{1+x^{2}} \geq 1 для любого x.

Ограниченной сверху называется функция y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число B, для которого выполняется неравенство f(x) \neq B для любого x \in X.

Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1-x^{2}}, x \in [-1;1] так как y=\sqrt{1+x^{2}} \neq 1 для любого x \in [-1;1].

Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0, для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X.

Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1.

Возрастающая и убывающая функция

О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x). Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2}, причем x_{1} > x_{2}, будет y(x_{1}) > y(x_{2}).

Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x). Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2}, причем x_{1} > x_{2}, будет y(x_{1}) < y(x_{2}).

Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0).

а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x < 0

б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x < 0

в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x < 0

г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0, то она будет убывать и при x < 0

Экстремумы функции

Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0}, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}). y_{min} - обозначение функции в точке min.

Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0}, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x) < f(x^{0}). y_{max} - обозначение функции в точке max.

Необходимое условие

Согласно теореме Ферма: f'(x)=0 тогда, когда у функции f(x), что дифференцируема в точке x_{0}, появится экстремум в этой точке.

Достаточное условие

  1. Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
  2. x_{0} - будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0}.

Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

Шаги вычислений:

  1. Ищется производная f'(x);
  2. Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку [a; b];
  3. Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции, а большее — наибольшим.

academyege.ru

Четные и нечетные функции

Четные функции

Определение 1

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть четной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

\[f\left(x\right)=f(-x)\]

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).

Рисунок 1.

Для исследования функции на четность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 1.

Нечетные функции

Определение 2

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть нечетной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

\[f\left(-x\right)=-f(x)\]

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).

Рисунок 2.

Для исследования функции на нечетность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 2.

Функция общего вида

Определение 3

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть функцией общего вида, если она не будет ни четной, ни нечетной.

Для того чтобы понять, что данная функция является функцией общего вида, необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $--x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить невыполнение условий определений 1 и 2.

Функция общего вида никогда не будет симметрична оси ординат и началу координат. Пример функции общего вида изображен на рисунке 3.

Рисунок 3.

Пример задачи

Пример 1

Исследовать функцию на четность и нечетность и построить их графики.

а) $f(x)=x^2+3$

б) $f(x)=\frac{x^2+4}{x}$

в) $f\left(x\right)=sinx+cosx$

Решение.

а) $f(x)=x^2+3$

$f\left(-x\right)={(-x)}^2+3=x^2+3=f(x)$\textit{ }следовательно, $f(x)$ -- четная функция.

Изобразим её на графике:

Рисунок 4.

б) $f(x)=\frac{x^2+4}{x}$

$f\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^2+4}{-x}=-\frac{x^2+4}{x}$ следовательно, $f(x)$ -- нечетная функция.

Изобразим её на графике:

Рисунок 5.

в) $f\left(x\right)=sinx+cosx$

$f\left(-x\right)={\sin \left(-x\right)\ }+{\cos \left(-x\right)\ }=cosx-sinx$ следовательно, $f\left(x\right)$ -- функция общего вида.

Изобразим её на графике:

Рисунок 6.

spravochnick.ru

Функции четные и нечетные

Понятия четной и нечетной функции вам хорошо знакомы, и, как правило, их определения даются с упоминанием области определения, например: функция у=f(x) называется четной, если ее область определения D(f) симметрична относительно начала координат, и для всех х из этой области определения выполняется равенство f(-x)=f(x).

Между тем, если равенство f(x)=f(-x) выполняется, то уж во всяком случае обе его части имеют смысл, так что если $x\in D(f)$, что прямо сказано в определении, то и $-x\in D(f)$, а это означает, что область определения D(f) симметрична относительно начала координат. Иными словами, условие, наложенное на D(f) в этом определении, — лишнее: его выполнение логически следует из главного условия f(x)=f(-x).

Это не значит, конечно, что данное определение не­правильное, оно лишь «неэкономное», и в учебниках определение четной функции дается в таком виде, для того чтобы лишний раз напомнить о симметричности области определения такой функции.

С терминами четная и нечетная также возникает языковой эффект, похожий на тот, о котором мы ранее уже говорили: свойства четности и нечетности для функций не являются отрицаниями друг друга, как можно подумать, исходя из четности и нечетности натуральных и целых чисел. Равенства f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x) не противоречат, как может показаться, друг другу, но могут выполняться одновременно — правда, только в случае, когда f(x)=f(-x)=0 («особое» число 0, как вы уже многократно убеждались в разных ситуациях, нередко «отравляет жизнь»).

Поэтому функция может быть одновременно и четной, и нечетной, и простейшим примером такой функции является постоянная функция — тождественный нуль, т.е. равная 0 при всех значениях аргумента. Можно и описать все функции, одновременно четные и нечетные — это, очевидно, такие функции, имеющие в качестве области определения произвольное симметричное относительно начала координат множество чисел, но принимающее на ней только нулевое значение.

При решении задач, где требуется выяснить, является ли заданная функция четной или нечетной, многие часто склонны судить только по внешнему виду главного равенства и считать, например, что функция $y=x^3+2x^2$ не является ни четной, ни нечетной, потому что, как обычно пишут,

$(-x)^3=-x^3, 2(-x)^2=2x^2, (-x)^3+2(-x)^2=-x^3+2x^2$

a $-x^3+2x^2\neq x^3+2x^2, -x^3+2x^2\neq –(x^3+2x^2)$.

Поэтому ниже мы приводим, можно сказать, хрестоматийный пример функции, где опора только на внешний вид выражения приводит к неверному выводу: это функция $y=f(x)=\log_{c}(x+\sqrt{x^2+1}$. Выражение $y=f(-x)=\log_{c}(-x+\sqrt{x^2+1}$ судя по его внешнему виду, не совпадает ни с f(x), ни с -f(x), а на самом деле $f(x)+f(-x)=\log_{c}(x+\sqrt{x^2+1}+\log_{c}(-x+\sqrt{x^2+1}=\log_{c}(x^2+1-x^2)=\log{c}1=0$ т.е. f(x)=-f(-x), так что функция $y=f(x)=\log_{c}(x+\sqrt{x^2+1}$ — нечетная.

Поэтому для доказательства того, что заданная функция не является ни четной, ни нечетной, надо приводить подтверждающие этот факт примеры. Обычно это очень просто: например, для рассмотренной выше функции $y=x^3+2x^2$, взяв 1 и -1, получим, что f(-1)=1, f(1)=3, так что f(-1) не равно ни f(1), ни f(-1). Это рассуждение есть приведение контрпримера.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка...

matemonline.com

Четность и нечетность функции - это... Что такое Четность и нечетность функции?

 Четность и нечетность функции

Четность и нечетность функции  [odd and even  function]; четной функция называется тогда, когда   для любых двух различных значений ее аргумента    f ( -x) =f(x) , например,  y= |x|;    нечетной — такая  функция , когда f(-x) = — f(x), например, y= x2n+1,  где   n — любое натуральное число. Функции которые не являются ни четными, ни нечетными, обычно называются аморфными.  График четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной — относительно начала координат О.

Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело. Л. И. Лопатников. 2003.

  • Четвертый рынок
  • Численные методы оптимизации

Смотреть что такое "Четность и нечетность функции" в других словарях:

  • четность и нечетность функции — Четной функция называется тогда, когда для любых двух различных значений ее аргумента f ( x) =f(x) , например, y= |x|; нечетной такая функция , когда f( x) = f(x), например, y= x2n+1, где  n любое натуральное число. Функции которые не являются ни …   Справочник технического переводчика

  • Ч — Чартер (Charter party) Частичный денежный поток (partial cash flow) Частичные или фрагментарные права на собственность (partial or fractional interest) …   Экономико-математический словарь

  • Функция — [function] 1. Зависимая переменная величина; 2. Соответствие y=f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение… …   Экономико-математический словарь

  • функция — Команда или группа людей, а также инструментарий или другие ресурсы, которые они используют для выполнения одного или нескольких процессов или деятельности. Например, служба поддержки пользователей. Этот термин также имеет другое значение:… …   Справочник технического переводчика

  • СПЕКТРОСКОПИЯ — раздел физики, посвященный изучению спектров электромагнитного излучения. Здесь мы рассмотрим оптическую спектроскопию часто называют просто спектроскопией. Свет это электромагнитное излучение с длиной волны l от 10 3 до 10 8 м. Этот диапазон… …   Энциклопедия Кольера

  • Суперкомпиляция — Суперкомпиляция  специальная техника оптимизации алгоритмов, основанная на знании конкретных входных данных алгоритма. Суперкомпилятор принимает исходный код алгоритма плюс некоторые данные о входных параметрах и возвращает новый исходный… …   Википедия

  • протокол Modbus RTU — [Интент] 3.5.1. Протокол MODBUS Протокол Modbus был предложен в 1979 году компанией Modicon. Он должен был служить протоколом реализации внутренних коммуникаций «точка точка» между ПЛК Modicon и панелью программирования,… …   Справочник технического переводчика

economic_mathematics.academic.ru