Формулы для нахождения объема параллелепипеда. Как вычислить объем параллелепипеда


Как правильно с помощью формул найти объем прямоугольного параллелепипеда?

Прямоугольный параллелепипед, с точки зрения математики, является объемной фигурой с шестью гранями. Увидеть его можно, если посмотреть на прямоугольный бассейн, кирпич или спичечный коробок.

Эта фигура очень часто встречается в повседневной жизни, однако, нередко возникает необходимость узнать ее объем, что для многих представляет некоторые трудности. Например, какого объема необходим бак для воды на дачном участке, или каким размером делать бассейн.

Во многих других ситуациях возникает проблема, как найти объем параллелепипеда правильно.

Между тем вычислить это значение очень просто. Достаточно лишь знать ширину, длину и высоту предмета или объекта. И также необходимо знать формулу, с помощью которой и находят объем данной геометрической фигуры.

Основные особенности и формула для расчета

Для того чтобы найти объем параллелепипеда необходимо:

  • определить длину, высоту и ширину объекта;
  • и после этого перемножить данные значения друг на друга;
  • получившиеся данные и будут объемом.

Это все предельно просто и не таит никаких подводных камней. Главное — это знать требуемые значения, без которых выполнить расчет будет невозможно.

При этом важно знать, что определить параметр можно в сантиметрах, кубометрах, дециметрах и некоторых других размерностях в зависимости от требований. Если говорить о Международной системе единиц (СИ), параметр рассчитывают в сантиметрах. Это оптимальный вариант. Но при желании всегда можно перевести значение в требуемые размерности.

Формула расчета в двух вариантах

Итак, для расчета по формуле нужно знать длину, ширину и высоту измеряемого предмета. Эти данные следует обозначить соответственно как А, B и C, а объем обычно представляют буквой V. Формула для определения объема прямоугольного параллелепипеда при этом будет выглядеть следующим образом: V = A x B x C.

Если определятся объем бассейна, то необходимо его длину, ширину и глубину перемножить. Для более простого восприятия давайте разберем правила расчета объема параллелепипеда на примере. Допустим, что его длина составляет 10 метров, ширина достигает 3 метров, а глубина — 1,5. В этом случае объем этого объекта определяется следующим образом: 10x3x1,5=45 кубометров, или 45 кубических метров.

Можно выделить и другую формулу, которая имеет некоторое отличие. Она представляет собой произведение площади основания на высоту. Формула выглядит следующим образом: V = S x h. Здесь h — высота параллелепипеда. S — площадь основания, которая представлена произведением двух сторон основания. Обычно их обозначают, как a и b: S = a x b.

При расчете можно пользоваться любой из двух приведенных формул. Обе являются верными и позволяют получить точные данные. Последний вариант удобен, когда уже известна площадь основания. Если же она неизвестна, проще перемножать сразу три линейных размера, исключая необходимость в лишней процедуре.

О чем еще следует знать для правильности расчета?

Для вычисления объема параллелепипеда необходимо понять, что это за фигура. Она представляет собой призму, основание которой — параллелограмм. Параллелепипед имеет 6 граней, каждый из которых является параллелограммом. При этом выделяют несколько видов фигур. Принцип расчета не имеет конкретных отличий, но сами фигуры внешне отличаются. Итак, можно выделить такие виды:

  1. Прямоугольный параллелепипед. Эта фигура представляет собой параллелепипед, который имеет все грани в виде прямоугольников.
  2. Прямым параллелепипедом является фигура, у которой 4 боковые грани — прямоугольники.
  3. Куб — это еще один вид параллелепипеда. Он представляет собой прямоугольный параллелепипед, все стороны которого равны между собой. Другими словами, все шесть граней такой фигуры, как куб — это равные квадраты.

И также важно помнить о том, что в процессе выполнения расчета у каждой составляющей формулы должна быть одна и та же размерность. Если опустить это простое правило, получить верный результат не удастся. Если вы выполняете расчеты просто на уроках математики, проблемой могут стать только неудовлетворительные оценки. А при проектировании и наличии ошибок в расчетах проблемы могут быть более серьезными.

Не стоит думать, что основные математические формулы по определению объемов геометрических фигур встречаются исключительно на уроках математики. В большинстве случаев они пригодятся и в последующей жизни. В частности, во время ремонтных или строительных работ, при проектировании и декорированию интерьера, а также в ряде других случаев. Именно тогда без правильной формулы обойтись не удастся.

Можно подвести итог: объем параллелепипеда равен произведению трех линейных размеров — длины, ширины, высоты. Параметр напрямую зависит от трех единиц измерения при любом вращении и повороте. Результат будет неизменным.

Видео

Видео поможет вам научиться находить объем прямоугольного параллелепипеда.

liveposts.ru

Объем параллелепипеда: формула, примеры решения задач

Формулы нахождения объема параллелепипеда

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

  1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
  2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
  3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
  4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1. Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2. Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

karate-ege.ru

Как найти объем параллелепипеда?

Перед тем как мы перейдем к практической части статьи, где будем искать объем параллелепипеда, давайте вспомним, что это за фигура такая, и узнаем, для чего эти расчеты могут нам понадобиться.

Существует три определения, и все они эквивалентны. Так, параллелепипедом является:

1. Многогранник, имеющий шесть граней, каждая из которых представляет собой параллелограмм.

2. Шестигранник, который имеет три пары граней, параллельных меж собой.

3. Призма, в основании которой находится параллелограмм.

Самые, пожалуй, распространенные в нашей реальной жизни типы рассматриваемой геометрической фигуры – это прямоугольный параллелепипед и куб. Кроме того, различают наклонный и прямой параллелепипед.

Прямоугольный параллелепипед: объем

Прямоугольный параллелепипед отличает то, что каждая грань его – это прямоугольник. В качестве бытового примера этой фигуры можно привести обычную коробку (обувную, подарочную, почтовую).

Для начала необходимо найти значения двух сторон основания параллелепипеда, которые расположены друг к другу перпендикулярно (на плоскости бы они назывались ширина и длина).

П = А*Б, где А – длина, Б – ширина.

Теперь делаем еще одно измерение – высоты заданной фигуры, которую назовем Н.

Ну а искомый объем мы узнаем, если умножим высоту на площадь основания, то есть:

V =П*Н.

Объем параллелепипеда прямого

Параллелепипед прямой отличается тем, что боковые его грани – прямоугольники в силу того, что они перпендикулярны основаниям фигуры.

Объем вычисляется аналогично, разница лишь в том, что высота здесь – не есть ребро параллелепипеда. В данном случае она представляет собой линию, которая соединяет две противолежащие грани фигуры и перпендикулярна ее основанию.

Поскольку основанием вашего параллелепипеда является параллелограмм, а не прямоугольник, то и формула для расчета площади основания несколько усложняется. Теперь она будет выглядеть таким вот образом:

П = А * Б * sin(а), где А, Б – длина и, соответственно, ширина основания, а «а» – угол, который они образуют при своем пересечении.

Как найти объем параллелепипеда наклонного?

Наклонным признается любой параллелепипед, который прямым не является.

В силу того, что грани этой фигуры основанию не перпендикулярны, сначала необходимо отыскать высоту. Помножив же ее на площадь основания (формулу смотрите выше), вы и получите объем:

V = П*Н, где П – площадь основания, Н – высота.

Объем параллелепипеда с квадратными гранями

Куб – это такой прямоугольный параллелепипед, каждая из шести граней которого представляет собой квадрат. Отсюда вытекает и свойство данной фигуры – все ее ребра меж собой равны. В качестве примера представим такую детскую игрушку, как кубики.

Ну, с нахождением объема куба все вообще предельно просто. Для этого вам потребуется произвести всего лишь одно измерение (ребра) и возвести полученное значение в третью степень. Вот так:

V = А³.

Как же объем параллелепипеда может пригодиться нам в жизни?

Допустим, что вы озадачены такой проблемой, как количество коробок, которое может разместиться в багажнике вашего авто. Для этого вам нужно вооружиться линейкой или рулеткой, ручкой, листом бумаги, а также вышеприведенными формулами расчета объема прямоугольного параллелепипеда.

Измерив объем одной коробки и помножив значение на количество имеющихся у вас коробок, вы узнаете, сколько кубических сантиметров потребуется для их размещения в багажнике машины.

И да, помните, что в некоторых случаях кубические сантиметры целесообразно будет переводить в метры. Так, если в результате вы получили объем коробки, равный 50 см в кубе, то для перевода просто умножьте эту цифру на 0,001. Так вы получите кубические метры. А если же вы хотите узнать объем в литрах, то результат в кубометрах умножьте на 1000.

fb.ru

Вычислить объем параллелепипеда

В геометрии параллелепипедом называется фигура, в основании которой лежит параллелограмм. Кроме того, параллелепипед можно определить как шестигранник с попарно параллельными гранями. Из школьного курса всем известно, как можно узнать объем параллелепипеда, причем определять эту величину на практике достаточно часто приходится архитекторам и инженерам-конструкторам.

Следует заметить, что с такими геометрическими телами, как параллелепипеды, всем нам приходится сталкиваться практически постоянно. К примеру, такую форму имеют большинство жилых помещений, складов и цехов промышленных предприятий. Соответственно тем, кто их проектируют, часто нужно посчитать объем параллелепипеда для того, чтобы иметь точное представление о размерах своих «шедевров зодчества» и соблюсти их соответствие действующим строительным нормам и правилам.

Определение объема параллелепипеда

 

 

Для того чтобы вычислить объем параллелепипеда используется следующая формула:

V = a × b × c

 

a, b, c – стороны параллелепипеда

V – объем параллелепипеда

Форму прямоугольного параллелепипеда имеют и многие распространенные строительные материалы, например, кирпичи, пенобетонные и газобетонные блоки, шлакоблоки и бетонные плиты. Именно из них возводится в настоящее время большинство жилых домов, промышленных предприятий и немалое количество объектов социально-культурного назначения. Благодаря своей форме, эти конструкционные материалы можно максимально компактно размещать для целей транспортировки, что существенно снижает общую стоимость строительства.

Параллелепипедами являются и широко распространенные в логистике морские контейнеры. В них сейчас перевозится большинство штучных грузов, и при этом доставка товаров происходит по принципу «от двери до двери», что не только очень удобно, но и позволяет сэкономить немало финансовых средств. Дело в том, что груз изначально помешается внутрь контейнера и выгружается из него только по прибытию в конечный пункт назначения. Их размеры унифицированы и стандартизированы, что значительно облегчает их использование. Кроме того, они универсальны, то есть могут использоваться для транспортировки самых различных товаров, а чтобы выяснить, сколько именно их войдет в контейнер, нужно вычислить объем параллелепипеда.

В форме параллелепипедов изготавливается огромное количество картонной тары, которая служит для упаковывания самых различных потребительских товаров, от продуктов питания до сложной крупногабаритной бытовой техники. При изготовлении таких коробок на специальном оборудовании из листов картона вырубаются заготовки определенной конфигурации, на которые при необходимости наносятся различные надписи и изображения. Далее они сгибаются в определенных местах, после чего и приобретают итоговую форму параллелепипеда, которая окончательно фиксируется с помощью специальных скрепок, клея или скотча.

В принципе, с такими геометрическими телами, как параллелепипеды, все мы знакомы с самого раннего детства, поскольку именно такую форму имеют кубики, из которых малыши пытаются строить различные домики, и по которым нередко изучают азбуку.

simple-math.ru

Формула, как найти объем параллелепипеда

Давайте поговорим о том, как найти объем параллелепипеда.

Нельзя сказать, что проблема с подобным вычислением является одной из самых насущных, но когда возникает подобная надобность, многие из нас теряются. А решение-то очень простое. Давайте вспомним школьную геометрию.

Что такое параллелепипед

Прежде всего, разберемся в терминах. Параллелепипед — геометрическое тело, ограниченное тремя парами параллельных между собой плоскостей. Конечно, на первый взгляд определение выглядит высоконаучным и сложным. Но гораздо проще будет рассмотреть это на примере.

Вообразите себе самую обычную коробку, например, от спичек. Данная коробка по своей форме является параллелепипедом. Положив ее на стол, вы увидите, что она имеет верх и низ, переднюю и заднюю, а также левую и правую стороны. Каждая перечисленная пара состоит из двух параллельных друг другу плоскостей.

Логично заключить, что параллелепипед всегда имеет шесть сторон, каждая из которых является параллелограммом. Как и любое геометрическое тело, он имеет объем.

Формула для определения этого объема — одна из простейших в геометрии:V=S*h, где S — площадь основания, а h — высота фигуры.

Прямоугольный параллелепипед

Если у параллелепипеда все углы прямые, то он называется прямоугольным. Вокруг себя вы сможете найти множество предметов, имеющих подобную форму. Те же коробки, ящики, холодильник, гардероб, комод, сама комната… Дома-хрущевки такой же формы.

Каждая сторона подобного геометрического тела представляет собой прямоугольник, поэтому площадь основания будет являться простым произведением длины и ширины этого основания.

То есть если ваш ребенок попросит помочь с задачей такого содержания: «Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, измерения которого — а, в и с.», то достаточно просто перемножить все эти значения.

V=а*в*с.

Действительно, для нахождения объема комнаты нужно перемножить друг на друга ее длину, ширину и высоту. То есть проблем с тем, как найти объем прямоугольного параллелепипеда, возникать не должно.

Непрямоугольный параллелепипед

Схема расчета.

Давайте опять воспользуемся подручными средствами. Положите на стол колоду карт. Если карты лежат аккуратной стопкой, то колода имеет известную для нас форму и найти ее объем не составляет труда.

Длина, ширина и высота измеряются, перемножаются — ответ готов! А теперь нажмите на сторону колоды так, чтобы края карт расположились по прямой под углом к столу. В результате получилось тело со стесанным углом в одном месте и торчащим — в другом.

Как находить параметры такого сложного тела? Элементарно! Давайте подумаем. Объем одной карты — постоянная величина, количество карт не изменилось. То есть объем колоды остался тем же. Это простая иллюстрация того, что при любых углах основополагающими величинами для определения объема параллелепипеда являются площадь основания и высота.

В нашем примере основанием служил прямоугольник (карта), но в случае когда в основании лежит параллелограмм, найти его площадь тоже несложно.

В старших классах детей учат, как найти объем параллелепипеда, построенного на векторах. Это элемент высшей математики, и для того чтобы решать подобные задачи, нужно иметь хотя бы начальные знания в векторной геометрии и правилах решения матриц.

Придется узнать формулы для нахождения координат векторов. В повседневной жизни такие задачи практически не встречаются. А для того чтобы овладеть навыками подобных вычислений, придется заняться математикой более серьезно. Нужно это или нет, решать вам.

Геометрия всегда пугала многих обилием формул, которые на первый взгляд кажутся сложными и трудно запоминаемыми. Но это далеко не всегда справедливо. Большинство формул просты и понятны. Нужно просто перестать их бояться, подключить воображение и на примерах представить смысл того, что эти формулы выражают.

И если увлечетесь, то увидите, что геометрия — наука логичная, красивая и одна из самых элегантных на свете.

lediznaet.ru

Как находить объем параллелепипеда (формулы)

Это можно осуществить разными способами, все зависит от того, какие величины и предметы мы имеем.

Итак, способ первый, который подходит исключительно для прямоугольного параллелепипеда.

Для определения объема параллелепипеда Вам потребуется его высота, ширина и длина.

Поскольку параллелепипед образуют прямоугольники, давайте отметим длину и ширину их буквами а и b соответственно. Тогда площадь прямоугольника будет рассчитана как а*b.

Высотой параллелепипеда называют высоту бокового ребра,  и поскольку высота является величиной постоянной, для нахождения объема нужно площадь основания параллелепипеда умножить на высоту. Это выражается следующей формулой: V = а*b*с = S*с, где с – это высота.

Рассмотри м на примере. Допустим, у нас имеется параллелепипед с длиной и шириной основания 5 и 8 см, а его высота составляет 11 см. Необходимо вычислить объем.

Находим площадь основания: 5*8=40 кв. см. Теперь полученное значение  умножаем на высоту 40*11=440 куб. см – это объем фигуры.

Второй способ.

Поскольку основанием параллелепипеда является геометрическая фигура параллелограмм, нужно определить его площадь. Для нахождения площади параллелограмма в зависимости от известных данных можно использовать следующие формулы:

  • S = а*h, где а является стороной параллелограмма, h – высотой проведенной к а.
  • S = а*b*sinα, где а и b это сторона фигуры, α – угол между этими сторонами.

После того. как Вы разобрались. Как найти площадь параллелограмма, можно приступить к нахождению объема нашего параллелепипеда. Для этого используем формулу:

V = S*h, где S – это полученная ранее площадь основания, h – высота нашего параллелепипеда.

Рассмотрим пример.

Нам дан параллелепипед с высотой 50см, основание (параллелограмм) которого имеет сторону равную 23 см и высоту, проведенную именно к этой стороне – 8 см. Подставляем вышеуказанную формулу:

S = 23*8 = 184 кв. cм.

Теперь подставляем формулу для нахождения объема параллелепипеда:

V = 184*50 = 9 200 куб. см

Ответ: объем данного параллелепипеда 9200 кубических сантиметров.

Третий способ.

Этот вариант подойдет только для прямоугольного типа параллелепипеда, стороны, основания которого будут равны. Для этого Вам потребуется всего лишь возвести в куб данные стороны.

V = а3, т.е. возведенное в куб.

Пример.

Дан параллелепипед со стороной основания 12. Значит, объем данной фигуры вычисляется по следующей формуле V = 123 = 1728 куб. см.

Любой из способов является очень простым. Главное вооружиться калькулятором и правильно выполнить все расчеты. Удачи!

  • < Как засолить кету в домашних условиях
  • Как поэтапно карандашом нарисовать ребёнка >

razuznai.ru

Как вычислить объем параллелепипеда

Параллелепипед - это призма (многогранник), в основании которой лежит параллелограмм. У параллелепипеда - шесть граней, тоже параллелограммы. Различают несколько типов параллелепипеда: прямоугольный, прямой, наклонный и куб.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как вычислить объем параллелепипеда" Как вычислить объем прямоугольника Как найти объем, если известны длина, высота, ширина Как найти объем прямоугольного параллепипеда

Инструкция

1

Прямым называется параллелепипед, у которого четыре боковые грани - прямоугольники. Для вычисления объема нужно площадь основания умножить на высоту - V=Sh. Предположим, основание прямого параллелепипеда - параллелограмм. Тогда площадь основания будет равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне - S=aс. Тогда V=ach.

2

Прямоугольным называется прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники. Примеры: кирпич, спичечная коробка. Для вычисления объема нужно площадь основания умножить на высоту - V=Sh. Площадь основания в данном случае - это площадь прямоугольника, то есть произведение величин двух его сторон - S=ab, где a - ширина, b - длина. Итак, получаем искомый объем - V=abh.

3

Наклонным называется параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны граням основания. В этом случае объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Высота наклонного параллелепипеда - перпендикулярный отрезок, опущенный из любой верхней вершины на соответствующую сторону основания боковой грани (то есть высота любой боковой грани).

4

Кубом называется прямой параллелепипед, у которого все ребра равны, а все шесть граней являются квадратами. Объем равен произведению площади основания на высоту - V=Sh. Основание - квадрат, площадь основания которого равна произведению двух его сторон, то есть величина стороны в квадрате. Высота куба - та же величина, поэтому в данном случае объемом будет величина ребра куба, возведенная в третью степень - V=a?. Как просто

masterotvetov.com