Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями. Как упростить выражение в корне


Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями (алгебра 8 класс)

Дополнительные сочинения

В начале урока мы повторим основные свойства квадратных корней, а затем рассмотрим несколько сложных примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями

1. Повторение свойств квадратных корней

Вкратце повторим теорию и напомним основные свойства квадратных корней.

Свойства квадратных корней:

1. , следовательно, ;

2. ;

3. ;

4. .

2. Примеры на упрощение выражений с корнями

Перейдем к примерам использования этих свойств.

Пример 1. Упростить выражение .

Решение. Для упрощения число 120 необходимо разложить на простые множители:

. Квадрат суммы раскроем по соответствующей формуле:

.

Ответ. 11.

Пример 2. Упростить выражение .

Решение. Учтем, что данное выражение имеет смысл не при всех возможных значениях переменной, т. к. в данном выражении присутствуют квадратные корни и дроби, что приводит к «сужению» области допустимых значений. ОДЗ: ().

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и распишем числитель последней дроби как разность квадратов:

при.

Ответ. при.

Пример 3. Упростить выражение .

Решение. Видно, что вторая скобка числителя имеет неудобный вид и нуждается в упрощении, попробуем разложить ее на множители с помощью метода группировки.

. Для возможности выносить общий множитель мы упростили корни путем их разложения на множители. Подставим полученное выражение в исходную дробь:

. После сокращения дроби применяем формулу разности квадратов.

Ответ. 13.

3. Пример на избавление от иррациональности

Пример 4. Освободиться от иррациональности (корней) в знаменателе: а) ; б) .

Решение. а) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, применяется стандартный метод домножения и числителя и знаменателя дроби на сопряженный к знаменателю множитель (такое же выражение, но с обратным знаком). Это делается для дополнения знаменателя дроби до разности квадратов, что позволяет избавиться от корней в знаменателе. Выполним этот прием в нашем случае:

.

б) выполним аналогичные действия:

       

.

Ответ.; .

4. Пример на доказательство и на выделение полного квадрата в сложном радикале

Пример 5. Докажите равенство .

Доказательство. Воспользуемся определением квадратного корня, из которого следует, что квадрат правого выражения должен быть равен подкоренному выражению:

. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:

, получили верное равенство.

Доказано.

Пример 6. Упростить выражение .

Решение. Указанное выражение принято называть сложным радикалом (корень под корнем). В данном примере необходимо догадаться выделить полный квадрат из подкоренного выражения. Для этого заметим, что из двух слагаемых является претендентом на роль удвоенного произведения в формуле квадрата разности (разности, т. к. присутствует минус). Распишем его в виде такого произведения: , тогда на роль одного из слагаемых полного квадрата претендует , а на роль второго – 1.

. Подставим это выражение под корень:

. Модуль раскрывается в таком виде, т. к. .

Ответ..

На этом занятии мы заканчиваем тему «Функция . Свойства квадратного корня», а на следующем уроке начинаем новую тему «Действительные числа».

Список литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал xenoid. ru .

2. Математическая школа .

3. Интернет-портал XReferat. Ru .

Домашнее задание

1. №357, 360, 372, 373, 382. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: а) , б) .

3. Упростите выражение: а) , б) .

4. Докажите тождество .

dp-adilet.kz

Упрощение выражений, содержащих корни и степени

При упрощении выражений, содержащих корни и степени, прежде чем воспользоваться свойствами степени,  полезно совершить такие предварительные действия:

1. Записать корни в виде степени. Для этого нужно воспользоваться следующим  свойством:

2. Десятичную дробь записать в виде обыкновенной.

Например: 

3. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.

Например: 

4. Разложить основания степеней на простые множители. Или, по крайней мере, разложить на множители так, чтобы количество различных оснований было минимальным.

Решим несколько задач из Задания В11 из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике , воспользовавшись этим правилом.

1. Задание В10 ( 26745) Найдите значение выражения .

Запишем корни в виде степени и воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием:

Ответ: 1.

2. Задание В10 ( 26748) Найдите значение выражения  

Разложим число 10 в знаменателе дроби на простые множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 5.

3.  Задание В10( 26749) Найдите значение выражения   .

Представим число 0,8 в виде обыкновенной дроби, разложим число 20 на  множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 20.

4. Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения  .

Разложим число 42 на множители и воспользуемся свойствами степеней.

 

Ответ: 42.

5. Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения  при  .

1. Запишем корни в виде степени:

2. Воспользуемся свойствами степени, получим:

Ответ: 0,25

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачатьFirefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Как упростить сложный радикал

В 8 классе школьники на уроках математики знакомятся с таким понятием, как «радикал» или, попросту говоря, «корень». Тогда же они впервые сталкиваются с такой проблемой, как упрощение сложных радикалов. Сложные радикалы – это такие выражения, в которых один корень находится под другим. Поэтому их ещё иногда называют вложенными радикалами. В данной статье репетитор по математике и физике подробно рассказывает о том, как упростить сложный радикал.

Методы упрощения сложных радикалов

Упростить сложный радикал — значит избавиться от внешнего корня. Правильнее всего начать изучение этой темы с упрощения двойных радикалов. Ведь если мы научимся упрощать двойные радикалы, то и более сложные тоже сумеем.

Пример 1. Упростить сложный радикал:

   

Как нам избавиться от внешнего корня? Понятно, что для этого нужно преобразовать подкоренное выражение, представив его в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся известной формулой «Квадрат разности»:

   

Здесь, как видите, справа у отрицательного члена есть множитель . Поэтому и под корнем давайте получим этот множитель. Для этого представим в виде произведения на :

   

Тогда и . Осталось только обратить внимание на то, что . Теперь видно, что под корнем у нас получился квадрат разности:

   

Теперь вспоминаем, что . Именно модулю. Здесь это очень важно, потому что квадратный корень – положительное число. Тогда получаем:

   

Ну а поскольку , модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:

   

Вот так просто нам удалось упростить этот радикал. Но есть и более сложные случаи, когда не сразу удаётся догадаться, как представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Например, в следующем примере.

Пример 2. Упростите сложный радикал:

   

Чтобы долго не ломать голову, можно воспользоваться следующим способом.

Напоминаю, что наша цель состоит в том, чтобы представить выражение под корнем в виде полного квадрата. Конкретно в этом примере в виде квадрата суммы:

   

Ну а квадрат суммы раскрывается по известной формуле, которую мы сегодня уже писали:

   

Так вот, идея, собственно, состоит в том, чтобы за взять иррациональную часть подкоренного выражения, а за – рациональную. Тогда получается следующая система уравнений:

   

Понятно, что и . Иначе не выполняется второе уравнение системы. Тогда выражаем коэффициент из второго уравнения:

   

Далее подставляем получившееся выражение в первое уравнение. В результате приходим к следующему уравнению:

   

Знаменатель этой дроби не равен нулю, значит нулю равен её числитель. Получаем биквадратное уравнение, которое решается стандартным способом (подробнее смотрите в приложенном видео). Решая его, мы получаем аж 4 корня. Можно взять любой. Мне больше нравится . Тогда . Итак, получаем окончательно:

   

   

Вот такой способ, как упростить сложный радикал. Есть ещё один. Для любителей запоминать сложные формулы, коим я не являюсь. Но для полноты описания расскажу и о нём тоже.

Формула сложных радикалов

Вот так выглядит эта формула:

   

Довольно страшная, не правда ли? Но не бойтесь, её действительно можно успешно применять в некоторых случаях. Разберём на примере:

Пример 3. Упростить выражение, используя формулу сложных радикалов:

   

Подставляем в формулу соответствующие значения:

   

   

   

Вот такой получается ответ.

Итак, сегодня на занятии я рассказал о том, как упростить сложный радикал. Если вы не знали ранее методы, о которых сегодня шла речь, то скорее всего вам еще нужно очень многому научиться, чтобы чувствовать себя уверенным на ЕГЭ или на вступительном экзамене по математике. Но не переживайте, я могу вас всему этому научить. Вся необходимая информация о моих занятиях находится на этой странице. Удачи вам!

Материал подготовил репетитор по математике и физике, Сергей Валерьевич

yourtutor.info

Как упростить подкоренное выражение

5 методика:Квадратные числаЧисла, из которых берется целый кубический кореньОбычные подкоренные выраженияПодкоренные выражения с переменнойПодкоренные выражения с переменными и коэффициентами

Подкоренное выражение – математическое выражение, стоящее под знаком корня. Корнем может быть квадратный корень, кубический корень или корень любой другой степени. Упрощение подкоренного выражения может помочь вам решить задачу. Упрощение подкоренных выражений включает в себя вынесение из-под корня (когда это возможно) или уменьшение подкоренного выражения настолько, насколько это возможно. Если вы хотите научиться упрощать подкоренные выражения, выполните следующие действия.

Шаги

Метод 1 из 5: Квадратные числа

  1. 1 Упрощение подкоренных выражений, являющихся квадратными числами. Квадратное число – любое целое число, квадратный корень которого тоже целое число. Например, 81, квадратный корень которого = 9 (9 х 9 = 81). Для упрощения подкоренного выражения, которое является квадратным числом, просто удалите знак корня и запишите число, которое является квадратным корнем из квадратного числа.
    • Например, 121 – квадратное число, потому что 11 х 11 = 121. Вы можете просто удалить знак корня и написать 11 в качестве ответа.
    • Чтобы упростить этот процесс, вы должны запомнить первые двенадцать квадратов : 1 х 1 = 1, 2 х 2 = 4 , 3 х 3 = 9 , 4 х 4 = 16, 5 х 5 = 25 , 6 х 6 = 36 , 7 х 7 = 49 , 8 х 8 = 64 , 9 х 9 = 81 , 10 х 10 = 100 , 11 х 11 = 121 , 12 х 12 = 144

Метод 2 из 5: Числа, из которых берется целый кубический корень

  1. 1 Упрощение подкоренных выражений, представляющие собой числа, из которых берется целый кубический корень. Это такие целые числа, кубический корень которых тоже целое число. Например, число 27, кубический корень которого = 3 (3 х 3 х 3 = 27). Для упрощения подкоренного выражения, которое является таким числом, просто удалите знак корня и запишите число, которое является кубическим корнем подкоренного числа.
    • Например, из 512 можно извлечь целый кубический корень, потому что 8 х 8 х 8 = 512. Таким образом, кубический корень из 512 = 8.

Метод 3 из 5: Обычные подкоренные выражения

  1. 1 Разложите обычное подкоренное выражение на множители. Пара множителей - два числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, 5 и 4 пара множителей числа 20. Чтобы разложить обычное подкоренное выражение на множители, запишите все множители этого числа (или столько, сколько вы можете представить, если это число большое) и найдите среди них квадратное число.
    • Например, множители числа 45: 1 , 3 , 5, 9 , 15 и 45. 9 - множитель 45 (9 х 5 = 45) и также является квадратным числом.
  2. 2 Вынести из-под корня квадратные числа. 9 является квадратным числом, потому что 3 х 3 = 9. Вынесите 9 из-под корня и напишите 3 перед ним, оставив 5 под корнем. Если вы внесете число 3 назад под корень, оно умножится сама на себя, что =9, а это значение, умноженное на 5, = 45. 3 корень из 5 есть упрощенная форма корня из 45.

Метод 4 из 5: Подкоренные выражения с переменной

  1. 1 Найдите квадратную переменную. Квадратный корень из а во второй степени будет а. Квадратный корень из а в третьей степени разлагается на квадратный корень из произведения а в квадрате на а (при умножении степени складываются, поэтому заменяем 3=2+1).
    • Таким образом, квадратной переменной в выражении а в кубе есть а в квадрате.
  2. 2 Вынесите любые переменные, которые являются квадратными, из-под знака корня. Теперь возьмите а в квадрате и вынесите его из-под корня, что равно а. Упрощенная форма корня из а в кубе есть а корень из а.

Метод 5 из 5: Подкоренные выражения с переменными и коэффициентами

  1. 1 Упрощение подкоренного выражения с переменными и коэффициентами, которые являются квадратными . Чтобы сделать это, просто разбейте выражение на две части: сначала ищете квадратные коэффициенты , а затем ищете квадратные переменные. Затем вынесите их из-под корня. Рассмотрим пример квадратного корня из 36 x a в квадрате.
    • 36 – квадратное число, потому что 6 х 6 = 36.
    • a в квадрате – квадратная переменная, так как a умножить на a равно a в квадрате.
    • Теперь, когда вы нашли квадратные коэффициенты и переменные, вынесите их из-под корня. Квадратный корень из 36 x a в квадрате равно 6a.
  2. 2 Упрощение подкоренного выражения с коэффициентами и переменными, которые не являются квадратными. Чтобы сделать это, просто разбейте выражение на две части: сначала ищите любые квадратные коэффициенты, а затем ищите любые квадратные переменные. Затем вынесите найденные квадратные переменные и коэффициенты из-под знака корня. Например, рассмотрим квадратный корень из 50 x a в кубе.
    • Разложите 50 на множители, чтобы найти среди них квадратное число. 25 х 2 = 50 и 25 является квадратным числом, потому что 5 х 5 = 25 . Для упрощения корня из 50, вынесите 5 из-под корня и оставьте 2 под корнем.
    • Разложите "а" в третьей степени, чтобы найти квадратную переменную. а в кубе равно произведению а в квадрате на а, где а в квадрате – квадратная переменная. Вынесите а из-под знака корня и оставьте а под знаком корня. Таким образом, корень из а в кубе равен а корень из а.
    • Соедините две части. Просто перемножьте между собой все, что вы вынесли из-под знака корня. Так же поступите с выражениями, оставшимися под корнем. Соедините 5 корень из 2 и а корень из а в выражение: 5 х а корень из 2 х а.

Советы

  • Существуют сайты в Интернете , на которых можно упростить подкоренное выражение. Вы просто вводите подкоренное выражение и в результате видите упрощенное выражение.

Дополнительные статьи

ves-mir.3dn.ru

Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями (алгебра 8 класс)

В начале урока мы повторим основные свойства квадратных корней, а затем рассмотрим несколько сложных примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями

Вкратце повторим теорию и напомним основные свойства квадратных корней.

Свойства квадратных корней:

1. , следовательно, ;

2. ;

3. ;

4. .

Перейдем к примерам использования этих свойств.

Пример 1. Упростить выражение .

Решение. Для упрощения  число 120 необходимо разложить на простые множители:

. Квадрат суммы раскроем по соответствующей формуле:

.

Ответ. 11.

Пример 2. Упростить выражение .

Решение. Учтем, что данное выражение имеет смысл не при всех возможных значениях переменной, т. к. в данном выражении присутствуют квадратные корни и дроби, что приводит к «сужению» области допустимых значений. ОДЗ:  ().

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и распишем числитель последней дроби как разность квадратов:

 при.

Ответ.  при.

Пример 3. Упростить выражение .

Решение. Видно, что вторая скобка числителя имеет неудобный вид и нуждается в упрощении, попробуем разложить ее на множители с помощью метода группировки.

. Для возможности выносить общий множитель мы упростили корни путем их разложения на множители. Подставим полученное выражение в исходную дробь:

. После сокращения дроби применяем формулу разности квадратов.

Ответ. 13.

Пример 4. Освободиться от иррациональности (корней) в знаменателе: а) ; б) .

Решение. а) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, применяется стандартный метод домножения и числителя и знаменателя дроби на сопряженный к знаменателю множитель (такое же выражение, но с обратным знаком). Это делается для дополнения знаменателя дроби до разности квадратов, что позволяет избавиться от корней в знаменателе. Выполним этот прием в нашем случае:

 .

б) выполним аналогичные действия:

.

Ответ.; .

Пример 5. Докажите равенство .

Доказательство. Воспользуемся определением квадратного корня, из которого следует, что квадрат правого выражения должен быть равен подкоренному выражению:

. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:

 

 

, получили верное равенство.

Доказано.

Пример 6. Упростить выражение .

Решение. Указанное выражение принято называть сложным радикалом (корень под корнем). В данном примере необходимо догадаться выделить полный квадрат из подкоренного выражения. Для этого заметим, что из двух слагаемых  является претендентом на роль удвоенного произведения в формуле квадрата разности (разности, т. к. присутствует минус). Распишем его в виде такого произведения: , тогда на роль одного из слагаемых полного квадрата претендует , а на роль второго – 1.

. Подставим это выражение под корень:

. Модуль раскрывается в таком виде, т. к. .

Ответ..

На этом занятии мы заканчиваем тему «Функция . Свойства квадратного корня», а на следующем уроке начинаем новую тему «Действительные числа».

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал xenoid.ru (Источник).

2. Математическая школа (Источник).

3. Интернет-портал XReferat.Ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. №357, 360, 372, 373, 382. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: а) , б) .

3. Упростите выражение: а) , б) .

4. Докажите тождество .

mirror.vsibiri.info

Упрощение выражения содержащего корень вида

Упрощение выражения, содержащего корень вида

Способ 1(представление подкоренного выражения в виде квадрата двучлена)

Рассмотрим на примере.

Пример 1. Упростить выражение

Решение.

Пусть .

Тогда . Приравняв, свободные от квадратного корня числа и коэффициенты, стоящие перед корнем получим систему уравнений:

или

Так как числа х, у – натуральные, то получим следующие системы:

или

и тем самым только система (3) имеет натуральные решения: .

Следовательно .

Ответ: .

Способ 2 (формула сложного радикала)

Пример 2. Разность является целым числом. Найти это число.

Решение.

Ответ:

Пример 3. Упростить выражение

Решение.

Упростим корень по формуле сложного радикала:

.

Тогда

.

Упростим корень по формуле сложного радикала:

Поэтому получим .

Ответ: .

Из ЕГЭ-2008г

Пример 4. Упростить выражение

Решение.

Способ 1 (формула сложного радикала).

Способ 2 (выделение полного квадрата). Пример 1.

Способ 3.

Пусть т.к.

Очевидно, что .

Возведем равенство в квадрат:

и т.к. , по .

(представление подкоренного выражения в виде куба двучлена)

Рассмотрим на примере.

Пример 4. Упростить выражение

Решение.

Пусть .

Тогда . Приравняв, свободные от квадратного корня числа и коэффициенты, стоящие перед корнем получим систему уравнений

или

Решать данную систему будем в натуральных числах .

Рассмотрим второе уравнение. С учетом условия , причем , получим следующие системы:

или

и тем самым только система (1) имеет натуральные решения: .

Следовательно .

Пример 5. Упростить выражение

Решение.

Упростим каждый корень.

Для упрощения квадратного корня воспользуемся формулой сложного радикала: .

Для упрощения кубического корня представим подкоренное выражение в виде куба двучлена: . Тогда .

Тем самым получим, что:

Ответ: .

gigabaza.ru

С1 ГИА по математике - упрощение выражений, содержащих корни

  

Рассмотрим задачи, связанные с упрощением выражений, содержащих иррациональные числа.

1.          

2.          

3.          

4.          

5.          

6.          

7.          

8.          

9.          

10.        

11.        

 

Решим несколько задач из задания С1:

1.Найдите значение выражения:

Избавимся от иррациональности в знаменателе. У нас там присутствует разность двух чисел, одно из которых иррациональное. Умножим дробь на сумму этих чисел, тогда в знаменателе окажется разность квадратов, что и позволит избавиться от иррациональности. Этот метод – умножения на сопряженное – используется также и в теории комплексных чисел.

Раскрываем скобки в числителе:

Ответ: -2

2.Найдите значение выражения:

Так же, домножая на сопряженное, избавляемся от иррациональности в знаменателе:

Ответ:1

В заданиях также часто встречаются такие:

3. Укажите наибольшее из следующих чисел:

а) 

б) 

в) 

г) 

Способ решения может быть таким: возведем все эти числа в квадрат. Наибольший квадрат соответствует наибольшему числу:

а) 

б) 

в) 

г) 

Осталось выбрать из чисел б) и г). Здесь нужно вспомнить, что 

Тогда  

Значит, среди представленных чисел число  – наибольшее.

Ответ: б)

  

Решим еще одно такое задание:

4. Укажите наибольшее из следующих чисел:

а) 

б) 

в) 

г) 

Возводим в квадраты:

а) 

б) 

в) 

г) 

Подумаем, к какому числу близко число ? Оно меньше 9, но больше 8, так как 

Тогда , и .

Число 6 – наибольшее.

Ответ: в)

Попробуем теперь упрощать выражения, содержащие корни.

5. Упростите выражение:

Воспользуемся свойствами корня. “Втащим” все под один корень:

Ответ: 

6. Найдите значение выражения:

Представим число 46 как 23*2:

Теперь переставим сомножители:

Ответ: 460.

Еще один тип заданий:

7. Какое из чисел является рациональным?

Рациональным является число, представимое сократимой дробью. Попробуем записать наши числа иначе:

Ни первое, ни третье числа не являются сократимыми дробями, значит, они иррациональны.

Ответ: 

  

easy-physic.ru