3.1.4 Обратная функция. График обратной функции. Как составить обратную функцию


Обратная функция | Алгебра

Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Определение.

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо:

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

x=f(y).

2) Из полученного равенства выразить y через x:

y=g(x).

Пример.

Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

1) x=2y-6

2) -2y=-x-6

y=0,5x+3.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

y=2x-6 и y=0,5x+3 — линейные функции. Графиком линейной функции является прямая.  Для построения прямой берём две точки.

   

   

Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение  x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой).

Теорема (необходимое и достаточное  условие обратимости функции)

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.

Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.

Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.

Классический пример — функция y=x². На промежутке [0;∞) функция возрастает. Условие обратимости выполнено, следовательно, можем искать обратную функцию.

Так как область определения функции y=x² — промежуток [0;∞), область значений на этом промежутке — также [0;∞), то область определения и область значений обратной функции — также [0;∞).

1) x=y².

2)

   

Так как y≥0, то

   

то есть на промежутке [0;∞) y=√x — функция, обратная к функции y=x². Их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей:

В алгебре наиболее известными примерами взаимно обратных функций являются показательная и логарифмическая функция, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

www.algebraclass.ru

Примеры обратных функций | Математика

Обратная функция — функция y=g(x), которая получается из данной функции y=f(x), если из отношения x=f(y) выразить y через x.

Чтобы для данной функции y=f(x) найти обратную, надо:

1.В соотношении y=f(x) заменить x на y, а y — на x: x=f(y) .

2.В полученном выражении x=f(y) выразить y через x.

Функции f(x) и g(x) — взаимно обратны.

Примеры нахождения обратных функций:

1) y=3x-8

1. x=3y-8

2. 3y=x+8

y=(x+8)/3.

2) y=11-5x

1. x=11-5y

2. 5y=11-x

y=(11-x)/5.

Область определения и область значений функций f и g меняются местами: область определения f является областью значений g, а область значений f — областью определения g.

Не для всякой функции можно указать обратную. Условие обратимости функции —  ее монотонность, то есть функция должна только возрастать или только убывать. Если функция не монотонна на всей области определения, но монотонная на некотором промежутке, тогда можно задать обратную ей функцию только на этом промежутке.

Пример обратных функций, заданных на промежутке.

y=x².

Это — квадратичная функция. Она убывает на промежутке (-∞;0), и

возрастает на промежутке (0;∞). Возьмем промежуток [0;∞). На этом промежутке функция монотонна, поэтому обратима. Ищем обратную функцию.

1. x=y²

2. y=√x.

y=x² и y=√x на [0;∞) — взаимно обратные функции.

Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

 

www.matematika.uznateshe.ru

Обратная функция. Теория и применение

В математике обратные функции - это взаимно соответственные выражения, которые обращаются друг в друга. Чтобы разобраться в том, что это означает, стоит рассмотреть конкретный пример. Допустим, имеем y = cos(x). Если взять от аргумента косинус, то можно найти значение y. Очевидно, для этого необходимо иметь икс. Но что если изначально дан игрек? Именно тут дело доходит до сути вопроса. Для решения задачи требуется использование обратной функции. В нашем случае это арккосинус.

После всех преобразований получим: x = arccos(y).

То есть, чтобы найти функцию, обратную данной, достаточно просто выразить из нее аргумент. Но это работает только при условии, если полученный результат будет иметь единственное значение (об этом дальше).

В общем виде можно записать этот факт так: f(x) = y, g(y) = x.

Определение

Пусть f - функция, областью определения которой является множество X, а областью значений - множество Y. Тогда, если существует g, чьи области выполняют противоположные задачи, то f является обратимой.

Кроме того, в таком случае g - единственна, что означает, что существует ровно одна функция, удовлетворяющая этому свойству (не более, не менее). Тогда ее называют обратной функцией, и на письме обозначают так: g(x) = f -1(x).

Другими словами, их можно рассматривать как двоичное отношение. Обратимость имеет место быть только тогда, когда одному элементу множества соответствует одно значение из другого.

Не всегда существует обратная функция. Для этого каждый элемент y є Y должен соответствовать не более чем одному x є X. Тогда f называется взаимно-однозначной или инъекцией. Если f -1 принадлежит Y, то каждый элемент этого множества должен соответствовать некоторому x ∈ X. Функции с таким свойством называются сюръекциями. Оно выполняется по определению, если Y - изображение f, но это не всегда так. Чтобы быть обратной, функция должна быть как инъекцией, так и сюръекцией. Такие выражения называются биекциями.

Пример: квадратные и корневые функции

Функция определена на [0, ∞) и заданна формулой f (x) = x2.

Тогда она не является инъективной, поскольку каждому возможному результату Y (кроме 0) соответствует два разных X - один положительный и один отрицательный, поэтому она не обратима. В таком случае будет невозможно получить исходные данные из полученных, что противоречит теории. Она будет неинъективной.

Если область определения по условию ограничена неотрицательными величинами, то все будет работать как и раньше. Тогда она биективна и, следовательно, обратима. Обратную функцию здесь называют положительной.

Примечание по записи

Пусть обозначение f -1 (x) может запутать человека, но ни в коем случае нельзя использовать его так: (f (x))- 1. Оно отсылает к совершенно другому математическому понятию и не имеет ничего общего с обратной функцией.

В соответствии с общими правилами некоторые авторы используют выражения типа sin-1 (x).

Однако другие математики считают, что это может вызвать путаницу. Чтобы избежать подобных трудностей, обратные тригонометрические функции часто обозначается с помощью префикса "arc" (c латинского дуга). В нашем случае речь идет об арксинусе. Также изредка можно встретить приставку "ar" или "inv" для некоторых других функций.

fb.ru

3.1.4 Обратная функция. График обратной функции

Видеоурок 1: Обратные функции. Введение

Видеоурок 2: Обратные функции (Пример 1)

Видеоурок 3: Обратные функции (Пример 2)

Лекция: Обратная функция. График обратной функции

Рассмотрим некоторую функцию у = f(x), которая возрастает или же убывает, то есть является монотонной. Для нее будет иметься некоторая функция х = g(y), которая будет называться обратной функцией.

Что такое обратная функция?

Давайте рассмотрим некое уравнение: соs(х) = 1/2.

Решением данного уравнения будет: x = ±arccos(1/2) + 2πk, k ϵ Z.

Косинус и арккосинус - это наглядный пример обратных функций.

Давайте рассмотрим обратные функции на примере.

Например, мы имеем функцию у = 3х + 2.

Для данной функции и область определения, и область значения может принимать все множество действительных чисел. Более того, данная функция является монотонно возрастающей на всем участке.

А теперь давайте из данной зависимости выразим "х". В результате этого получим:

х = у/3 - 2/3.

Полученная зависимость будет называться обратной функцией для той, что давалась изначально, только теперь мы получили зависимость "х" от "у".

Если записать второе уравнение в привычном нам виде, то есть заменить "х" на "у" и наоборот, получим:

у = х/3 - 2/3.

На графике изобразим первоначальную функцию, обратную ей, и функцию у = х.

Можно заметить, что обратные функции симметричны относительно прямой у = х.

Свойства взаимообратных функций

1.

2. Первое свойство дает понять, что область определения второй функции такая же, как и область значения первой.

3. Графики любых взаимообратных функций всегда будут симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.

4. Обратные функции имеют одинаковую монотонность.

Графики основных обратных функций

1. Степенная функция

Ниже представлены графики, полученные для положительного показателя степени и для отрицательного показателя степени:

2. Обратные логарифмические функции и их графики:

cknow.ru

Как найти функцию, обратную квадратичной функции » VripMaster

Найти функцию, обратную линейной функции, легко: надо просто сделать «х» зависимой переменной, а затем заменить «х» на «у». Этот процесс значительно усложняется в случае квадратичной функции.

Шаги

  1. Выполняйте любые алгебраические операции с обеих сторон функции, чтобы не изменить ее.

  2. Перепишите функцию в виде y=a(x-h)+k. Это не только упростит нахождение обратной функции, но и позволит определить, имеет ли исходная функция обратную. Вы можете сделать это двумя способами:
    • Дополнение до полного квадрата.
      1. Вынесите коэффициент «а» (коэффициент при х) за скобку, а члены функции разделите на коэффициент «а».
      2. Теперь коэффициент при «х» равен b/а. Разделите его на 2 и получите b/2a, а затем возведите в квадрат: (b/2a). Полученное значение одновременно прибавьте и вычтите из функции (чтобы не поменять ее значение). Теперь три первых члены в скобках записываются в виде a+2ab+b, где а = х, b = b/2a (эти величины имеют числовые значения). Эти три первых члена являются полным квадратом.
      3. Первые три члена можно записать в виде (a-b) или (a+b) (знак зависит от знака коэффициента при «х» в исходной функции).
      4. Оставшийся член вынесите за скобки и получите: y=a(x-h)+k.
    • Сравнение коэффициентов.
      1. Слева запишите исходную функцию, а справа – ее желаемый вид (в нашем случае a(x-h)+k). Это позволит вам найти значения a, h, k, верные при любом значении «х».
      2. Раскройте скобки с правой стороны уравнения (левую часть вообще не трогайте).
      3. Определите коэффициенты при х и «х».
      4. Сравните коэффициенты при х и «х» на правой и левой сторонах уравнения – они должны быть равны друг другу. Это приводит к функции вида a(x-h)+k), в которой вместо «а» подставьте найденное значение. Коэффициент при x (или 1) на левой стороне уравнения должен быть равен коэффициенту на правой стороне. Сравнивая их, получите уравнение, которое поможет найти значение k.
      5. Используя найденные значения а, h, k, вы можете написать функцию в нужном виде.
  3. Убедитесь, что значение h лежит либо на границе области определения, либо вне ее. Значение h – это координата «х» экстремума функции. Если h лежит внутри области определения, то исходная функция не имеет обратной функции. Обратите внимание на знак в скобках: (x-h)+k. Таким образом, если дано (х + 3), то h = -3 (отрицательное значение).

  4. Сделайте (x-h) зависимым выражением. Для этого вычтите k из обеих сторон уравнения, а затем разделите обе стороны уравнения на «а».

  5. Извлеките корень из обеих сторон уравнения. Вы избавитесь от степени. Не забудьте поставить знак +/- на другой стороне уравнения.

  6. Определите правильный знак (вы не можете оставить оба знака). Для этого рассмотрите область определения. Если х < определенного значения, то выберите «-». Если х > определенного значения, выберите «+». Теперь сделайте «х» зависимой переменной.

  7. Вместо «у» подставьте «х», а вместо «х» подставьте f(x). Вы нашли обратную функцию.

Советы

  • Проверьте ответ, вычислив f(х) для некоторого значения «х», а затем подставьте найденное значение в обратную функцию, чтобы найти исходное значение «х». Например, если при х = 3, f(х) = 4, то, подставив 4 в обратную функцию, вы должны получить 3.
  • Если возможно, проверьте ответ, построив график обратной функции. Он должен иметь вид графика исходной функции, но симметричный относительно прямой у = х.

vripmaster.com

§ 04. Обратная функция | Решение задач по математике и другим предметам

Пусть функция , определенная на множестве Х, такова, что любым двум различным значениям аргумента Х ставит в соответствие различные значения У, то есть, если , то . Эта функция устанавливает взаимнооднозначное соответствие между областью своего определения Х и областью изменения Y.

Действительно, каждой точке ставится в соответствие единственное . При этом каждой точке соответствует единственное , такое, что . Таким образом, на множестве Y определена функция , которая называется Обратной к функции F. Область определения обратной функции – множество Y, область значений – множество Х. Графики функции и обратной к ней функции симметричны относительно прямой (рис. 4). Для обратных функций верно соотношение .

Для нахождения обратной функции необходимо из равенства выразить Х через У, и в полученном выражении букву Х заменить буквой У, букву У – буквой Х.

Пример 3. Имеют ли функции и обратные? Если да, то найдите их.

Решение. Выразим Х из формулы . Получим . Обозначив аргумент через Х, а функцию через У, получим , то есть функция является обратной к функции .

Функция не имеет обратной, так как она не является взаимнооднозначной. Действительно, .

Пример 4. Являются ли функции и взаимнообратными?

Решение. Нет, так как . Однако, если данные функции рассматривать только при , то есть считать , то эти функции становятся взаимнообратными.

< Предыдущая Следующая >
 

matica.org.ua

Обратная функция

Обратная функция

  1. Рассмотрим две функции, и, графики которых изображены, соответственно, на рисунках 1 и 2. Функцияобладает следующим свойством: каждое свое значение функция принимает только приодном значении аргумента. То есть, если , то уравнение имеет единственное решение. В геометрической интерпретации это означает, чтопараллельная оси абсцисс прямая пересекает график функции  ровно в одной точке.

Определение 1. Если функция каждое свое значение принимает только приодном значении аргумента, то эта функция называется обратимой. Иначе можно сказать, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции .

Функция таким свойством не обладает. Например, отмеченное на рисунке 2 значение функциипринимается при разных значениях аргумента,и, то естьи. Другими словами, уравнениеимеет при данном значениидва корня. Прямая, параллельная оси абсцисс, может пересечь график этой функции  более чем в одной точке.

Свойство функции принимать каждое свое значение только приодном значении аргумента, то есть быть обратимой, позволяет определить новую функцию. А именно функцию, которая ставит в соответствие значению тоединственное значение , при котором. То есть ставит числув соответствие единственный корень уравнения. Назовем эту функцию обратной к функции и обозначим буквой . Таким образом,.

Отметим, что в отличие от функции , для функциизадать таким же способом обратную функцию не удастся, поскольку уравнение может иметь несколько корней. Дадим определение обратной фукции.

Определение 2. Пусть задана обратимая функция . Функция, определенная на множестве, и ставящая в соответствие числучисло), такое, что, называется обратной к функции.

  1. Найдем обратную функцию к функции . Область определения функции, отрезок, обозначим буквой, то есть. Множество значений функциисоставляет отрезок, обозначенный буквой, то есть

Функция числу из промежуткаставит в соответствие корень квадратный из этого числа, например,. Функцияявляется обратимой, поскольку разным значениям ее аргумента соответствуют разные значения функции.

Обратная функция определена на промежуткеи произвольному числуставит в соответствие число, которое определяется условием, то есть равенством(рис.4). Выражаем из этого равенства, возведя обе части равенства в квадрат,. Таким образом, функцияпроизвольному числуставит в соответствие число, равное. Значит, для каждогоимеем, то есть.

Независимой переменной, то есть аргументом обратной функции , является переменная, а зависимой - переменная. То есть, в сравнении с функцией, переменные поменялись ролями. Если теперь переменные обозначить традиционным образом, а именно, буквой х - аргумент функции, а зависимую переменную – буквой, то функцияпримет вид. Таким образом, мы нашли, что квадратичная функция, заданная на отрезке, является обратной к функции.. Множество значений обратной функции - отрезок.

График обратной функции мы можем изобразить в той же системе координат, что и график. Для этого отрезок, составляющий область определения функциинужно отложить на оси ординат, поскольку на этой оси располагаются значения аргумента функции. Точки графика функцииимеют координаты, при этом(рис.5).

На рисунке 5 показано, что области определения и множества значений функций «меняются местами»:и.

  1. Пример 1. Показать, что линейная функция обратима. Найти обратную к ней функцию.

Функция принимает каждое свое значение только приодном значении аргумента, поскольку линейное уравнениеимеет только один корень (рис.6). Значит, эта функция имеет обратную функцию, которая определена на, так как- множеством значений функции(рис.7). Обратная функцияпроизвольному числуставит в соответствие число, которое определяется условием(рис.7). Выразив из этого равенства, получаем. Значит, для каждогоимеем, то есть .

Обозначив аргумент обратной функции буквой х, а зависимую переменную буквой , то есть, поменяв переменные местами, получим. Итак, обратной функцией к линейной функции будет функция, которая также является линейной.

Замечание. При решении задач можно обозначать произвольное значение аргумента обратной функции буквой , а не, как это для ясности сделано в разобранных примерах.

  1. Пусть обратимая функция, заданная формулой. На основании определения обратной функции можно сформулировать порядок действий для нахождения функции, обратной к функции.

  1. Теорема. Если функция является возрастающей (или убывающей), то она обратима.

Пусть для определенности функция является возрастающей. Возьмем два различных значения аргумента, меньшее обозначим через, большее - через, то есть. Из этого неравенства в силу определения возрастающей функции следует, что, а значит. Поэтому разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции и, следовательно, функцияобратима. Для убывающей функции доказательство аналогично.

Отметим, что любая линейная функция обратима, если , поскольку является либо возрастающей, либо убывающей функцией, в зависимости от знака коэффициента. Обратима также возрастающая функция.

Если функция задана формулой и нам неизвестен ее график, то определить, будет ли функция обратимой можно только путем исследования количества корней уравнения . Если при некотором значении их два или более, то функция не является обратимой.

  1. Если известен график обратимой функции, то график обратной функции можно построить путем преобразования графика функции. Следующая теорема определяет вид этого преобразования.

Теорема. График функции и график обратной к ней функции симметричны относительно прямой .

Пусть точка с координатамипринадлежит графику функции, то есть. Тогда, по определению обратной функции. Это означает, что точкас координатамипринадлежит графику обратной функции (рис. 11).

Докажем, что точки исимметричны относительно прямой. Для определенности рассмотрим случай, когда точкалежит в первом координатном угле и. Проведем через точкиипрямые, перпендикулярные осям координат (рис.8). Прямоугольникявляется квадратом, так как имеет равные смежные стороны:. Вершины квадрата, точкии, имеют координатыи, соответственно, и, значит, принадлежат прямой(рис.9). Поскольку диагонали квадрата перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то точкиисимметричны относительно диагонали, а, следовательно, и относительно прямой.

Таким образом, мы доказали, что точка плоскости, симметричная точке графика функции относительно прямой, принадлежат графику обратной функции. Аналогично доказывается, что верно и обратное утверждение: точка, симметричная точке графика обратной функцииотносительно прямой, принадлежат графику функции. Значит, графики этих функций симметричны. Теорема доказана.

  1. Пример 2. Докажите, что функцияявляется обратимой. Найдите обратную к ней функцию.

Решение. Построим график заданной функции – часть параболы (рис.10), которая удовлетворяет условию.

Заданная функции является возрастающей а, следовательно, и обратимой. Для нахождения обратной к ней функции нужно из уравнения выразить х через у, а затем ввести новые обозначения переменных.

Запишем уравнение в виде . Это квадратное уравнение относительно неизвестного, свободный член уравнения равен. Найдем дискриминант квадратного уравнения,. По формуле корней квадратного уравнения имеемили, после упрощения. Итак при любом допустимом значенииквадратное уравнение имеет два корняи. Учитывая, что область определения заданной функции - промежуток, получаем.

Переобозначив переменные, то есть поменяв их местами, получаем формулу обратной функции .

Замечание. Фактически мы доказали, что если рассматривать функциюна промежутке, то на этом промежутке она является обратимой, поскольку возрастает. При этом, функцияне обратима, если она рассматривается на(рис.10). На промежутке, функция убывает, а значит обратима.

Графики рассмотренной в примере функции и обратной к ней изображены на рисунке 15. Следует отметить тот факт, что они пересекаются в точке, принадлежащей прямой . Это не случайно. Действительно, пусть график обратимой функцииимеет общую с прямойточку. Тогда, точка, симметричная точкеотносительно этой прямой, принадлежит графику обратной функции.Но этой точкой является сама точка. Значит, она принадлежит обоим графикам одновременно, то есть является их точкой пересечения.

Упражнения

  1. Укажите, на каких рисунках изображены графики обратимых функций.

Ответ. 4;6

  1. Функции имеет два нуля. Почему она не имеет обратной функции?

  2. На рисунке изображен график функции . Докажите,

что она не имеет обратной функции. Определите числовой промежуток на оси ординат, такой, что новая функция– обратима. Укажите несколько возможных вариантов.

  1. На рисунке изображен график обратимой функции . Найдите значения обратной к ней функции при значениях аргумента равных. Укажите область определения и множество значений обратной функции.

Ответ.

1)

2)

  1. Найдите функцию, обратную по отношению к линейной функции

  1. Нарисуйте график какой-нибудь обратимой функции , (– обратная к ней), так, чтобы были выполнены следующие условия

  1. Функция имеет обратную. Найдите область определения и множество значений обратной функции, если известно, что:

9. Функция задана графиком. Построить график обратной к ней функции

  1. Найдите функцию , которая является обратной по отношению к функции

Дополнительные задания

  1. Найдите все линейные функции , такие, что функция совпадает с обратной по отношению к ней функцией.

Ответ. .

  1. Постройте график функции, обратной данной. Найдите формулу, задающую обратную функцию.

  1. Функция обратима. Известно, что уравнениеимеет следующие корни. Решить уравнение, гдефункция, обратная к.

Ответ. .

  1. Функция имеет обратную функцию. Решить уравнение, если известно, что уравнениеимеет корни.

Ответ. .

  1. Докажите, что если - возрастающая (убывающая) функция, то и обратная к ней функциятак же является возрастающей (убывающей) функцией.

  2. Верно ли, что если нечетная функция имеет обратную функцию, то она также будет нечетной?

Ответ. Верно

  1. Может ли функция, обратная к данной функции, быть четной функцией?

Ответ. Не может

  1. Найдите функцию, обратную функции , и постройте ее график.

studfiles.net