Сложение векторов, Сумма векторов. Как складывать вектора в геометрии


Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

В механике существуют два типа величин:

  • скалярные величины, задающие некоторое числовое значение - время, температура, масса и т.д.
  • векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление - скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты - первую, из второй - вторую и т.д.):

сложение векторов

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

Покоординатное сложение векторов

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов: .

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

  • правило параллелограмма
  • правило треугольника
  • тригонометрический способ

Правило параллелограмма.

сложение векторов правило параллелограмма

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
  • от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
  • дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора - это его стороны
  • результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

 

Правило треугольника

сложение векторов правило треугольника

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
  • от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
  • результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец - с концом второго.

 

Тригонометрический способ

сложение векторов тригонометрический способ

Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

Fрез. = [ F12 + F22 -2 F1 F2 cos(180о-α) ]1/2         (1)

где

F = числовое значение вектора

α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

β = arcsin[ F2 *sin(180o-α) / FR ]         (2)

где

α = угол между исходными векторами

Пример - сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

Fрез = [ (5 кН)2 + (8 кН)2 - 2 (5 кН)(8 kН) cos(180o - (80o)) ]1/2

    = 10,14кН

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

β= arcsin[ (8кН) sin(180o - (80o)) / (10,14кН)]

    = 51o

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180o - (80o)) / (10,2 кН)]

    = 29o

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

www.dpva.ru

Векторы и операции над векторами

Векторы занимают особое место среди объектов, рассматриваемых в высшей математике, поскольку каждый вектор имеет не только числовое значение - длину, но и физическое и геометрическое - направленность. Вектор, представленный направленным отрезком, идущим от точки A к точке B, обозначается так: .

Вектор - это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z). Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.

Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в конечной точке.

Все остальные термины - это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.

Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.

Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало и конец.

Если A - начало вектора, а B - его конец, то вектор обозначается символом или одной строчной буквой . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)

Длиной (или модулем) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка

Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.

В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. Мы договоримся рассматривать только свободные векторы.

Умножение вектора на число

Сложение и вычитание векторов

Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило - правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

Пример 1. Упростить выражение:

.

Решение:

,

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат - требуемые в условии задачи векторы:

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:

Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать - в уроке "Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов".

А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе онлайн "Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)".

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки "Скалярное произведение векторов" и "Векторное и смешанное произведения векторов".

Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Пусть - произвольный вектор (Рис. 5), а и - проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.

Составляющей вектора на оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец - с проекцией конца вектора .

Проекцией вектора на ось l называется число

,

равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства проекций вектора на ось:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.

4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Пример 3. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l, если , а углы -

.

Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:

Находим окончательную проекцию суммы векторов:

.

Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось в соответствующем уроке, желательно открыть его в новом окне.

В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, и ось 0z – осью аппликат.

С произвольной точкой М  пространства свяжем вектор

,

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через

Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz

Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:

        (2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме

              (3)

Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.

Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

.

Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

,

то есть, координаты векторов пропорциональны.

Пример 4. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:

.

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора

равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

и выражается равенством

                       (4)

Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.

Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке

а конец – в точке

(рис.8).

Тогда

Из равенства

следует, что

Отсюда

или в координатной форме

          (5)

Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид

          (6)

Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам

,

,

.

Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким образом, орт вектора

или

.

Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть

,

получаем следующее равенство для направляющих косинусов:

.

Пример 5. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).

Решение. Длина вектора равна

Пример 6. Даны точки:

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.

Пример 7. Найти длину вектора и его направляющие косинусы, если .

Решение. Координаты вектора даны:

.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:

.

Находим направляющие косинусы:

Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:

или

или 

Укажем действия над этими векторами.

1.Сложение:

или, что то же

(при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются).

2.Вычитание:

или, что то же

,

(при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются).

3.Умножение вектора на число:

или, что то же

,

(при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число).

Пример 9. Даны два вектора, заданные координатами:

.

Найти заданный координатами вектор, являющийся суммой этих векторов: .

Решение:

.

Решить задачи на координаты векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства и рассматривать последовательности n действительных чисел как "точки" некоторого абстрактного "n-мерного пространства", а сами числа - как "координаты" этих точек. За составляющие n-мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.д.

n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде

,

где  - i – й элемент (или i – я координата) вектора x.

Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:

Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,

-

n – мерный вектор.

Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:

0 = (0; 0; …; 0).

Введём операции над n-мерными векторами.

Произведением вектора

на действительное число  называется вектор

(при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число).

Зная вектор

можно получить противоположный вектор

Суммой векторов

и

называется вектор

,

(при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются).

Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж

,

где

-

продажи (затраты) k – м предприятием товара i, а k = 1, 2, 3,…, m .

Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:

Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:

При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:

Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.

Свойство 1.

Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5.

Свойство 6.

Поделиться с друзьями

Весь блок "Аналитическая геометрия"

  • Векторы
  • Плоскость
  • Прямая на плоскости

function-x.ru

Сложение и вычитание векторов [wiki.eduVdom.com]

Пусть $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ — два вектора (рис.1, а).

Сложение двух векторов

Рис.1

Возьмем произвольную точку О и построим вектор $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ . Затем от точки А отложим вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$. Вектор $\overrightarrow{OB}$, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго (рис.1, б), называется суммой этих векторов и обозначается $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$ (правило треугольника).

Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{b} $ (рис.1, в). Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОABC. Вектор $\overrightarrow{ОВ}$, служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины О, является, очевидно, суммой векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ {правило параллелограмма). Из рисунка 1, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$

Действительно, каждый из векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \,и\, = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$ равен одному и тому же вектору $\overrightarrow{OB}$ .

Пример 1. В треугольнике ABC АВ = 3, ВС = 4, ∠ В = 90°. Найти: $а)\,\ \overrightarrow{|АВ|} + \overrightarrow{|ВС|};\,\,\ б)\,\ |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}|$ .

Решение

а) Имеем: $|\overrightarrow{АВ}| = АВ,\,\,\ |\overrightarrow{ВС}| = ВС$ и, значит, $|\overrightarrow{АВ}| + |\overrightarrow{BC}| = 7$ .

б) Так как $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{АС} \,\,,\,\, то\,\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = |\overrightarrow{АС}| = АС$ .

Теперь, применяя теорему Пифагора, находим $$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \\ т.е.\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = 5. $$

Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

Пусть, например, даны три вектора $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \,и\, \overrightarrow{c}$ (рис.2).

Сложение трех векторов

Рис.2

Построив сначала сумму векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ , а затем прибавив к этой сумме вектор $\overrightarrow{c}$, получим вектор $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}$ . На рисунке 2 $$ \overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}\,; \overrightarrow{АВ} = b\,; \overrightarrow{ОВ} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\,; \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} \\ и \\ \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВС} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} $$ Из рисунка 2 видно, что тот же вектор $\overrightarrow{ОС}$ мы получим, если к вектору $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ прибавим вектор $\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ . Таким образом, $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ , т. е. сумма векторов обладает сочетательным свойством. Поэтому сумму трех векторов $\overrightarrow{a}\,,\,\overrightarrow{b}\,,\,\overrightarrow{c}$ записывают просто $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ называется третий вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ , сумма которого с вычитаемым вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$. Таким образом, если $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\,,\, то\, \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}$ .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис.3).

Вычитание векторов

Рис.3

Откладываем векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ из общей точки О. Вектор $\overrightarrow{BA}$ , соединяющий концы уменьшаемого вектора $\overrightarrow{a}$ и вычитаемого вектора $\overrightarrow{b}$ и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ . Действительно, по правилу сложения векторов $\overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{ОА} \text{ , или } \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}$ .

Пример 2. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найти: $а) |\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС}|\,;\,\ б)\,\,\ |\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС}|$ .

Решение а) Так как $\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{СА}\text{ , а }|\overrightarrow{СА}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС}| = а$ .

б) Так как $\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС} = \overrightarrow{СВ}\text{ , а }|\overrightarrow{СВ}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС}| = а$ .

Произведением вектора $\overrightarrow{a}$(обозначается $=\lambda\overrightarrow{a}$ или $\overrightarrow{a}\lambda$) на действительное число $\lambda$ называется вектор $\overrightarrow{b}$, коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$, имеющий длину, равную $|\lambda||\overrightarrow{a}|$, и то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$, если $\lambda > 0$ , и направление, противоположное направлению вектора $\overrightarrow{a}$, если $\lambda < 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

Умножение вектора на число

Рис.4

В случае, когда $\lambda = 0$ или $\overrightarrow{a} = 0$ , произведение $\lambda\overrightarrow{a}$ представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор $-\overrightarrow{a}$ можно рассматривать как результат умножения вектора $\overrightarrow{a}$ на $\lambda = -1$ (см. рис.4): $$ -\overrightarrow{a} = \ (-1)\overrightarrow{a} $$ Очевидно, что $\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}$ .

Пример 3. Доказать, что если О, А, В и С — произвольные точки, то $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС} + \overrightarrow{СО} = 0$ .

Решение. Сумма векторов $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{ОС}$ , вектор $\overrightarrow{CO}$ — противоположный вектору $\overrightarrow{ОС}$ . Поэтому $\overrightarrow{ОС} + \overrightarrow{СО} = \overrightarrow{0}$ .

Пусть дан вектор $\overrightarrow{a}$. Рассмотрим единичный вектор $\overrightarrow{a_0}$ , коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$ и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что $$ \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\,\ \overrightarrow{a_0} $$ , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует, что если $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ , где $\overrightarrow{a}$ — ненулевой вектор, то векторы $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ коллинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ следует, что $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$.

Таким образом, получаем следующую теорему.

Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.

Видео-решение.

wiki.eduvdom.com

1. Определение вектора. Операции над векторами — ЗФТШ, МФТИ

1. Основные определения

Удивительно, но с векторными величинами разной природы (перемещением, скоростью, силой, импульсом и др.) можно работать в значительной мере единообразно - как с геометрическими объектами - геометрическими векторами, или просто векторами, хотя есть и нюансы (см. ниже).

Вектор пред­ставляет собой направленный отрезок прямой, для которого определены правила (законы) сложения с другими векторами, правило вычитания векторов, правило умножения вектора на число, скалярное произведение двух векторов и некоторые другие операции.

Стрелка компаса - не вектор, т. к. для неё нет таких операций.

Мы будем рассматривать векторы на плоскости и в соответствии со сложившейся традицией обозначать их латинскими буквами со стрелками наверху, например: `vec v`, `vec F`, `vec a`, `vec b` и т. п. Часто в целях экономии используют упрощённое обозначение - букву с чертой, например, `bar v` или `bar F`.

Одну из граничных точек вектора называют его началом, а другую - концом. Направление вектора задаётся от начала к концу, причём на чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка `A` является нача­лом вектора `vec a`, то мы будем говорить, что вектор `vec a` приложен в точке `A`.

Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху, например: модулем вектора `vec v` является число `v`. Часто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абсолютной величины и пишут, например, `|vec v|` или `|vec F|`.

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и его длина (модуль) равна нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рисунке

векторы `vec a`, `vec b` и `vec c` коллинеарны. 

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Слева изображены неравные векторы `vec a` и `vec f`, `vec g` и `vec h`, а справа - равные векторы `vec p` и `vec q`. Точка приложения геометрического вектора `vec a` может быть выбрана произвольно. Мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).

В физике точка приложения вектора иногда имеет  принципиальное значение. Достаточно вспомнить рычаг: две равные по модулю силы, направленные в одну и ту же сторону, производят на рычаг разное действие, если плечи сил не равны друг другу. И всё же сами силы равны друг другу! Бывают и случаи, когда вектору трудно приписать конкретную точку приложения. Например, если одна система отсчёта движется  относительно другой со скоростью `vec v`, то какой точке  приписать эту скорость?  Всем точкам движущейся системы!

2. Сложение двух векторов.

Пусть даны два произвольных вектора `vec a` и `vec b`.

Для нахождения их суммы нужно перенести вектор `vec b` параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора `vec a`. Тогда вектор, проведённый из начала вектора `vec a` в конец перенесённого вектора `vec b`, и будет являться суммой `vec a` и `vec b`. На рисунке ниже - это вектор `vec c`.

Описанное правило есть просто определение суммы векторов. Как и в случае с числами, сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, и поэтому можно записать

`vec c = vec a + vec b = vec b + vec a`.   (1)

Приведённое выше правило геометрического сложения векторов называется правилом треугольника.

Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма. В этом случае параллельным переносом нужно совместить начала векторов `vec a` и `vec b` и построить на них, как на сторонах,  параллелограмм. Тогда сумма `vec a` и `vec b` будет представлять собой диагональ этого параллелограмма, конкретно - суммой `vec a` и `vec b` будет вектор, начало которого совпадает с общим началом векторов `vec a` и `vec b` конец расположен в противоположной вершине параллелограмма, а длина равна длине указанной диагонали.

Оба способа сложения дают идентичный результат и одинаково часто применяются на практике. Когда речь идёт о нахождении суммы трёх и более векторов, часто последовательно используют  правило  треугольника. Поясним сказанное.

3. Сложение трёх и более векторов. 

Пусть нужно сложить три вектора `vec a`, `vec b` и `vec d`. 

Для этого  по правилу треугольника сначала находится сумма любых двух векторов, например `vec a` и `vec b`, потом полученный вектор `vec c = vec a + vec b` по тому же правилу складывается с третьим  вектором  `vec d`. Тогда  полученный  вектор `vec f = vec c + vec d` и  будет представлять собой сумму  трёх  векторов `vec a`, `vec b` и `vec d`: `vec f = vec a + vec b + vec d`. Как и в случае с двумя векторами, порядок слагаемых не влияет на конечный результат.

Чтобы упростить процесс сложения трёх и более векторов, обычно не находят промежуточные суммы типа `vec c = vec a + vec b`, а применяют правило многоугольника: параллельными переносами из конца первого вектора откладывают второй, из конца второго - откладывают третий, из конца третьего  - четвёртый  и  т.  д. 

Так,   вектор  `vec g`  представляет собой сумму векторов `vec a`, `vec b`, `vec d`, `vec e`,  найденную по правилу многоугольника: `vec g = vec a + vec b + vec d + vec e`.

Не всякая векторная сумма может иметь физический смысл. Не всякие величины вообще имеет смысл складывать. Так,  например, бессмысленно говорить, что, если у меня температура `36,6^@` и у вас тоже `36,6^@`, то вместе у нас температура `73,2^@`, хотя складывать температуры (числа) никто не запрещает. Всё же чаще всего сумма температур представляет собой никому не нужную величину; она редко входит в какие-либо уравнения (входит почти случайно).

Иное дело – с массой. Если система состоит из тел с массами `m_1`, `m_2`, `m_3` и т. д., то масса всей системы равна `m = m_1 + m_2 + m_3 + ` и т. д. (Если на лифте написано, что максимальный груз, перевозимый лифтом, равен `500` кг, то перед входом в лифт нужно убедиться, что сумма масс вносимых в лифт грузов не превышает `500` кг.) Говорят, что масса – есть аддитивная величина (от английского слова add – добавлять, прибавлять, складывать). А вот температура – не аддитивная величина.

Сила есть аддитивная векторная величина. Если к телу в точке (или к системе тел в разных точках!) приложены силы `vec(F_1)`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)` и т. д., то сумма векторов сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + ...` есть осмысленная и даже очень нужная величина. Например, в условиях равновесия тела сумма всех приложенных к нему сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + ... = 0`, даже если силы приложены в разных точках тела. Причём это относится не только к твёрдым телам. Если нитка подвешена за два конца к двум гвоздям, а в промежутке перекинута еще через какие-нибудь гвозди, то сначала нужно найти силы со стороны каждого из гвоздей и  силу со стороны Земли (силу тяжести) `vec F_1`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)`, `…`; при этом говорят, что к нитке приложена сумма сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + ...`; в условиях равновесия эта сумма будет равна нулю.

Не так со скоростями. Если система состоит из двух частиц, имеющих в некоторый момент времени скорости `vec(v_1)` и `vec(v_2)`, то это не означает, что в этот момент вся система обладает скоростью равной векторной сумме `vec(v_1) + vec(v_2)`. Никто не запрещает складывать векторы скорости разных частиц; но с точки зрения физики вектор `vec(v_1) + vec(v_2)` ничему приписать нельзя. В этом смысле скорость - не аддитивная величина. Суммой скоростей (векторной суммой) интересуются, когда одно движение накладывается на другое (например, Земля вращается вокруг Солнца, но вместе с Солнцем движется вокруг центра Галактики). А вот сумма скоростей отдельных частиц системы (например, сумма скоростей звезд в Галактике) физического интереса не представляет.

Родственная скорости величина, с которой вы еще не раз встретитесь в курсе физики, импульс материальной точки, равный произведению массы на скорость, `vec p = m vec v` снова - величина аддитивная.

  В последнем равенстве мы встречаемся с умножением вектора на скаляр. Поясним эту процедуру.

4. Умножение вектора на скаляр. 

Произведением вектора `vec a` на число `k` называют новый вектор `vec b = k vec a`, коллинеарный вектору `vec a`, направленный в ту же сторону, что и вектор `vec a`, если `k > 0`, и в противоположную сторону, если `k < 0`, а модуль `b` равен

где `|k|` - абсолютная величина числа `k`. 

Если два вектора коллинеарны, то они отличаются только скалярным множителем. Наоборот, если два вектора отличаются только ска­лярным множителем, не равным  нулю, то они коллинеарны.      

В случае, когда `k = 0` или `vec a = 0`, произведение `k vec a` представляет собой нулевой  вектор,  направление которого не определено.

Если `k = 1`, то согласно (2) `vec b = vec a` и векторы `vec a` и `vec b` равны.

При `k = - 1` получим `vec b = - vec a`. Вектор `- vec a` имеет модуль, равный модулю вектора `vec a`, но направлен в противоположную сторону.

Два  вектора,  противоположно  направленные и имеющие  равные длины, называются противоположными.

Импульс тела `vec p = m vec v` коллинеарен вектору скорости и направлен с ней в одну сторону, т. к. массы всех тел положительны. Чуть ранее говорилось об аддитивности импульса. Если система состоит из материальных точек с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `...`, которые в некоторый момент времени имели скорости `vec(v_1)`, `vec(v_2)`, `vec(v_3)`, `…`, т. е. имели импульсы `vec(p_1) = m_1 vec(v_1)`, `vec(p_2) = m_2 vec(v_2)`, `vec(p_3) = m_3 vec(v_3)`, `…`, то вся система в этот момент обладает импульсом  

`vec p = vec(p_1) + vec(p_2) + vec(p_3) + ... = m_1 vec(v_1) + m_2 vec(v_2) + m_3 vec(v_3) + ...`.

При этом каждое из слагаемых здесь должно быть найдено по правилу умножения вектора (скорости данной частицы) на скаляр (её массу), а затем все эти векторы должны быть сложены, например, по правилу многоугольника.

5. Разность двух векторов. 

Вычесть из вектора `vec a` вектор `vec b` означает прибавить к вектору `vec a` вектор   `- vec b`:

`vec a - vec b = vec a + (- vec b)`

                      

zftsh.online

Сложение векторов

вектора (перенесённый вектор ~ изображён на рисунке пунктиром). Тем самым возникла

~a b

возможность сложить наши векторы по правилу треугольника, и в результате мы получаем тот

же суммарный вектор ~, что и в первом случае а именно, диагональ параллелограмма.

~a + b

Таким образом, правила треугольника и параллелограмма легко сводятся друг к другу, и между ними нет никакой разницы. В физике мы чаще пользуемся правилом параллелограмма (складывая силы, скорости, ускорения, напряжённости поля и т. п.), поскольку складываемые векторы обычно приложены в одной точке.

Единственная загвоздка с нашими правилами состоит в том, что при сложении коллинеарных векторов не возникает ни треугольника, ни параллелограмма. Но правило треугольника в том виде, как оно было сформулировано продолжает работать (рис.7.10).

Рис. 7.10. Сложение коллинеарных векторов

 

~

А именно, мы помещаем начало вектора b в конец вектора ~a и соединяем начало вектора ~a

~

~

с концом вектора b. Получится вектор ~a + b, который на рисунке расположен ниже.

7.2.3Свойства сложения векторов

Операция сложения векторов обладает всеми хорошими алгебраическими свойствами, которые присущи сложению чисел и привычны для нас.

1.От перестановки слагаемых сумма не меняется (математики называют это коммутативностью сложения):

Это легко следует из правила параллелограмма (рис. 7.8). Действительно, какая разница,

в каком порядке суммировать векторы и ~, если диагональ параллелограмма всё равно

~a b

одна и та же?

2. Возникает интересный вопрос: а как сложить три вектора? Можно ли определить сумму

~ ~ ~

~a + b + ~c ? Давайте сделаем это двумя способами: найдём векторы (~a + b) + ~c и ~a + (b + ~c), а затем сравним результаты.

studfiles.net

Сложение векторов, Сумма векторов | Формулы и расчеты онлайн

Правило треугольника

Сложение векторов, Сумма векторов, Правило треугольника

Сложение векторов, Сумма векторов, Правило треугольника

Сумма векторов a и b это третий вектор с, получаемый следующим построением: из произвольного начала О строим вектор OL, равный а; из точки L, как из начала строим вектор LM, равный b. Вектор с = ОМ есть сумма векторов a и b («правило треугольника»).

При сложении векторов справедливы неравенства

\[ |\vect{a} + \vect{b}| ≤ |\vect{a}| + |\vect{b}| \]

\[ |\vect{a} + \vect{b}| ≥ | |\vect{a}| - |\vect{b}| | \]

Эти неравенства показывают, что сторона OM треугольника OML меньше суммы и больше разности двух других сторон.

Неравенства при сложении векторов

Неравенства при сложении векторов

В формуле (1) знак равенства имеет место только для равнонаправленных векторов, в формуле (2) – только для противоположного направленных векторов.

Сумма противоположных векторов

Из определения следует, что сумма противоположных векторов равна нуль-вектору.

\[ \vect{а} + (-\vect{а}) = 0 \]

Свойство переместительности

От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

\[ \vect{а} + \vect{b} = \vect{b} + \vect{а} \]

Правило параллелограмма

Сумма векторов - Правило параллелограмма

Сумма векторов — Правило параллелограмма

Если слагаемые a и b не коллинеарны, то сумму a + b можно найти следующим построением:

из любого начала О строим векторы ОА = а и ОВ = b; на отрезках ОА, ОВ строим параллелограмм ОАСВ. Вектор диагонали ОС = с есть сумма векторов a и b (так как АС = OB = b и ОС = ОА + АС).

В помощь студенту

Сложение векторов, Сумма векторов
стр. 171

www.fxyz.ru

Вектор. Правило сложение векторов | Подготовка к ЕГЭ по математике

Здесь рассматриваем вектора на плоскости.

Основные определения

 

Вектором называется направленный отрезок \vec{AB}, где точка A – начало, точка B – конец вектора.

Нулевым вектором   \vec{o} называется вектор, у которого начало совпадает с концом.

Векторы \vec{AB} и \vec{CD} называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены.

Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы \vec{AB} и \vec{CD} называются противоположно направленными.

 

Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

  

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора \vec{a} обозначают |\vec{a}|.

Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору \veac{a}, обозначается как -\vec{a}.

Сложение векторов

 

Сложение векторов \vec{a}  и \vec{b}  по правилу треугольника

Суммой \vec{a}+\vec{b}  двух векторов \vec{a}  и \vec{b} называют такой третий вектор \vec{c}, начало которого совпадает с началом \vec{a}, а конец – с концом  \vec{b} при условии, что конец вектора \vec{a}  и начало вектора \vec{b}  совпадают.

Сложение векторов \vec{a}  и \vec{b}  по правилу параллелограмма

Если два неколлинеарных вектора \vec{a}  и \vec{b}  привести к общему началу, то вектор \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}  совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах \vec{a}  и \vec{b}. Причем начало вектора \vec{c} совпадает с началом заданных векторов.

Разностью \vec{a}-\vec{b} векторов  и  называется вектор \vec{c}  такой, что выполняется условие: \vec{b}+\vec{c}=\vec{a}.

 

Смотрите также «Вектора. Часть 2».

egemaximum.ru