Как запомнить синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Как сделать из косинуса синус


тригонометрия без шпаргалки

Я не буду убеждать вас не писать шпаргалки. Пишите! В том числе, и шпаргалки по тригонометрии. Позже я планирую объяснить, зачем нужны шпаргалки и чем  шпаргалки полезны. А  здесь — информация, как не учить, но запомнить некоторые тригонометрические формулы. Итак —  тригонометрия без шпаргалки!Используем  ассоциации для запоминания.

1. Формулы сложения:  

косинусы всегда «ходят парами»: косинус-косинус, синус-синус.  И еще: косинусы — «неадекватны». Им «все не так», поэтому они знаки меняют: «-» на «+»,  и наоборот.

   

Синусы — «смешиваются»: синус-косинус, косинус-синус.

   

2. Формулы суммы и разности:

косинусы всегда «ходят парами». Сложив два косинуса — «колобка», получаем пару косинусов- «колобков». А вычитая, колобков точно не получим. Получаем пару синусов. Еще и с минусом впереди.

   

Синусы — «смешиваются»:

   

3. Формулы преобразования произведения в сумму и разность.

Когда мы получаем пару косинусов? Когда складываем косинусы. Поэтому

   

Когда мы получаем пару синусов? При вычитании косинусов. Отсюда:

   

«Смешение» получаем как при сложении, так и при вычитании синусов. Что приятнее: складывать или вычитать? Правильно, складывать. И  для формулы берут сложение:

   

В первой и в третьей формуле в скобках — сумма. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Принципиален порядок только для второй формулы. Но, чтобы не путаться, для простоты запоминания  мы во всех трех формулах в первых скобках берем разность

   

а во вторых — сумму

   

Шпаргалки в кармане дают спокойствие: если забыл формулу, можно списать. А ассоциации для запоминания дают уверенность: если воспользоваться шпаргалкой не удастся, формулы можно легко вспомнить.

 

www.uznateshe.ru

Как найти синус угла, если известен косинус?

Для решения задачи следует воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна 1.

Отсюда синус угла равен плюс минус корню квадратному из разности 1 и квадрата косинуса угла.

Какой знак перед корнем квадратным брать зависит от того, где находится угол, косинус которого известен.

Если в условии задачи значение косинуса больше нуля (равенство нулю рассмотрено, как частный случай, ниже, хотя применимы рассуждения и для нуля), то угол находится либо в 1-й, либо в 4-й четверти.

Для определенности в условии задачи обычно дается ограничение для угла.

Если указано, что 0lt; alt; 90 (1 четверть), то значение синуса тоже следует брать со знаком плюс.

Если же 270lt; alt; 360 (4 четверть), то значение синуса следует брать со знаком минус.

Если значение косинуса угла меньше нуля, то это означает, что угол может находиться во 2-й или 3-й четверти.

1) 90lt; alt; 180 (2 четверть).

Тогда синус угла будет положительным и равняется корню квадратному из разности 1 и квадрата косинуса угла.

2) 180lt; alt; 270 (3 четверть).

В этом случае синус угла будет отрицательным и равняется тому же значению, что и в первом случае, только со знаком минус.

Частные случаи: Если cos a = 0, то sina=1; если cos a = 1, то sina=0; cos a = -1, то sina=0. Эти значения также легко находятся из основного тригонометрического тождества.

Приведем примеры.

Пример 1. Найти синус угла, если cos a = -0,8. 180lt;alt;270 (в градусах)

Решение. Находим разность 1 и квадрата значения cos a, т.е. квадрата (-0,8).

-0,8 возводим в квадрат, получим (-0,8)*(-0,8) = 0, 64. Подставим его в искомую разность:

1-0,64=0,36

Получили квадрат значения синуса. Для нахождения значения самого синуса, извлечем корень квадратный из 0,36 и возьмем его со знаком + и со знаком - (см. картинку). Получим 0,6 или -0,6.

Так как по условию угол находится в 3 четверти, то искомое значение синуса будет отрицательным. Значит выбираем -0,6.

Ответ: sina=-0,6.

Рассмотрим для краткости изложения этот же пример для случая, когда угол находится во второй четверти:

Пример 2. Найти синус угла, если cos a = -0,8. 90lt;alt;180 (в градусах)

Решение будет точно таким же, как для примера 1.

Изменится лишь выбор ответа. Рассуждения будут следующими:

Так как по условию угол находится во 2 четверти, то искомое значение синуса будет положительным. Значит выбираем 0,6.

Ответ: sina=0,6.

info-4all.ru

Тригонометрические формулы

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

(1) Основное тригонометрическое тождествоsin2(α) + cos2(α) = 1
(2) Основное тождество через тангенс и косинус 1 + tg2(α) = 1/cos2(α)
(3) Основное тождество через котангенс и синус 1 + ctg2(α) = 1/sin2(α)
(4) Соотношение между тангенсом и котангенсомtg(α)ctg(α) = 1
(5) Синус двойного углаsin(2α) = 2sin(α)cos(α)
(6) Косинус двойного углаcos(2α) = cos2(α) – sin2(α) = 2cos2(α) – 1 = 1 – 2sin2(α)
(7) Тангенс двойного угла
tg(2α) =   2tg(α) 1 – tg2(α)
(8) Котангенс двойного угла
ctg(2α) = ctg2(α) – 1   2ctg(α)
(9) Синус тройного углаsin(3α) = 3sin(α)cos2(α) – sin3(α)
(10) Косинус тройного углаcos(3α) = cos3(α) – 3cos(α)sin2(α)
(11) Косинус суммы/разностиcos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
(12) Синус суммы/разностиsin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
(13) Тангенс суммы/разности tg(α±β) = (tg(α) ± tg(β))/(1 ∓ tg(α)tg(β))
(14) Котангенс суммы/разности ctg(α±β) = (-1 ± ctg(α)ctg(β))/(ctg(&alpha) ± ctg(β))
(15) Произведение синусовsin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β))
(16) Произведение косинусовcos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β))
(17) Произведение синуса на косинусsin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β))
(18) Сумма/разность синусовsin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β))
(19) Сумма косинусовcos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β))
(20) Разность косинусовcos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))
(21) Сумма/разность тангенсов tg(α) ± tg(β) = sin(α±β)/cos(α)cos(β)
(22) Формула понижения степени синусаsin2(α) = ½(1 – cos(2α))
(23) Формула понижения степени косинусаcos2(α) = ½(1 + cos(2α))
(24)  Сумма/разность синуса и косинуса sin(α) ± cos(α) = &sqrt;2sin(α±π/4)
(25) Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами Asin(α) ± Bcos(α) = Корень(A²+B²)(sin(α ± arccos(A/Корень(A²+B²)))
(26) Основное соотношение арксинуса и арккосинусаarcsin(x) + arccos(x) = π/2
(27) Основное соотношение арктангенса и арккотангенсаarctg(x) + arcctg(x) = π/2

scolaire.ru

Синус sin x косинус cos x

Справочные данные по тригонометрическим функциям синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица синусов и косинусов, производные, интегралы, разложения в ряды, секанс, косеканс. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение синуса и косинуса

|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A. α - угол, выраженный в радианах.

ОпределениеСинус (sin α) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.

Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

;;.

;;.

График функции синус, y = sin x

График функции косинус, y = cos x

Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции   y = sin x   и   y = cos x   периодичны с периодом   2π.

Четность

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n - целое).

  y = sin x y = cos x
Область определения – ∞ < x < + ∞ – ∞ < x < + ∞
Область значений –1 ≤ y ≤ 1 –1 ≤ y ≤ 1
Возрастание
Убывание
Максимумы, y = 1
Минимумы, y = –1
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = 1

Основные формулы

Сумма квадратов синуса и косинуса

Формулы синуса и косинуса от суммы и разности

Формулы произведения синусов и косинусов

Формулы суммы и разности

Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что – целое число.

;;     ;     .

Выражение косинуса через синус

;;     ;     .

Выражение через тангенс

;     .

При   , имеем: ;     .

При   : ;     .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные переменные

;    

Формула Эйлера

Выражения через гиперболические функции

;     ;    

Производные

;     .     Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:;     .

Интегралы

;     См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>

Разложения в ряды

    { –∞ < x < +∞ }     { –∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

   

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin

           

Арккосинус, arccos

           

Использованная литература:И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 15-02-2014   Изменено: 10-06-2017

1cov-edu.ru

Как запомнить синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы – boeffblog.ru

 

Обычно тема тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс и котангенс) приводит к шоковому состоянию. Запомнить табличные значения для всех углов – это просто ужас, невозможно.

Однако, несколько простых советов могут помочь не перегружать свой мозг кучей ненужной информации.

 

Нужно запомнить хотя бы значения для синусов и то не для всех углов. Разберемся как это сделать, используя только пальцы левой руки.

Этот метод заключается в том, чтобы взять левую руку.

А точнее ладонь. Затем растопырить пальцы так, чтобы между мизинцем и большим пальцами образовался угол 90°. Тогда безымянный палец будет показывать 30°, средний – 45°, а указательный 60°. Как на рисунке.

 

 

Затем нужно пронумеровать эти пальцы в соответствии с рисунком. легко запомнить, что мизинец, который отвечает за угол 0°, становится номером 0, а далее по возрастанию.

Эти номера нужны для того, чтобы подставить их в формулу: , где n – номер пальца. 

Получаем значения синусов для углов от 0 до 90, которые чаще всего используются в школьном курсе. 

 

 

 

 

Зная синус угла, можно найти его косинус без проблем. Для косинусов используется та же формула, только пальцы нумеруются начиная с большого (90° = №0) и заканчивая мизинцем  (0° = №4) 

 

 

 

 

 

 

А зная синус и косинус угла можно найти его тангенс (синус разделить на косинус) и котангенс (косинус разделить на синус). Если подзабыли, как делить дроби, смотрите здесь.

Вот такая нехитрая математика!

boeffblog.ru

Как сравнивать косинусы и синусы чисел?

Если нет калькулятора или таблиц Брадиса, где можно найти значение в числовом выражении, то вычертите единичную окружность. Отметьте на ней соответствующие точки (можно приблизительно) . Опустите перпендикуляры на оси Х и У. Сравните длины отрезков (синусы и косинусы) . И без чертежа очевидно, что cos6 больше cos7, а sin6 больше sin4....cos6 больше sin6. Порассуждайте, в конце концов. А уж если совсем невмоготу, то вот они в порядке убывания: cos6 = 0,9945, cos7= 0,9925, sin6 = 0,1048, sin4 = 0,0697

посчитать на калькуляторе или по таблицам Брадиса и сравнить

Нужно эти числа расположить на единичной окружности

<a rel="nofollow" href="http://uztest.ru/abstracts/?id=82&t=5" target="_blank" >Здесь. </a>

touch.otvet.mail.ru

Как выразить синус через косинус

Тригонометрия - один из любимых разделов алгебры для всех, кто любит справляться с уравнениями, выполнять кропотливые преобразования, обладает внимательностью и терпением. Знание основных теорем и формул позволяет находить не только правильное, но и наиболее красивое решение многих задач, в том числе физических или геометрических. Даже просто выразив синус через косинус, вы можете натолкнуться на решение.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как выразить синус через косинус" Как найти периметр треугольника Как построить синусоиду Как посчитать синус угла

Инструкция

1

Воспользуйтесь знаниями планиметрии, чтобы выразить синус через косинус. Согласно определению, синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к гипотенузе, а косинусом – прилежащего катета к гипотенузе. Даже знание простой теоремы Пифагора позволит вам в некоторых случаях быстро найти искомое преобразование.

2

Выразите синус через косинус, воспользовавшись простейшим тригонометрическим тождеством, согласно которому сумма квадратов этих величин дает единицу. Обратите внимание, что корректно выполнить задание вы сможете, только если знаете, в какой четверти находится искомый угол, в противном случае вы получите два возможных результата – с положительным и отрицательным знаком.

3

Запомните формулы приведения, также позволяющие осуществить необходимую операцию. Согласно им, если к числу ?/2 прибавить (или отнять от него) угол а, то образуется косинус этого угла. Те же операции с числом 3?/2 дают косинус, взятый с отрицательным знаком. Соответственно, в случае, если вы работаете с косинусом, то синус вам позволит получить прибавление или вычитание из 3?/2, а его отрицательное значение – из ?/2.

4

Воспользуйтесь формулами для нахождения синуса или косинуса двойного угла, чтобы выразить синус через косинус. Синус двойного угла есть удвоенное произведение синуса и косинуса этого угла, а косинус удвоенного угла – разность между квадратами косинуса и синуса.

5

Обратите внимание и на возможность обращения к формулам суммы и разности синусов и косинусов двух углов. Если вы выполняете операции с углами а и с, то синус их суммы (разности) – это сумма (разность) произведения синусов этих углов и их косинусов, а косинус суммы (разности) есть разность (сумма) произведения косинусов и синусов углов, соответственно.

Как просто

masterotvetov.com