Как решать кубические уравнения. Как решать уравнение с квадратом и кубом


Линейные, квадратные, кубические уравнения | ЕГЭ по математике (профильной)

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, - правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) - 10х = 8$

Раскроем скобки.

$25 + 15х - 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х - 10х = 8 - 25$

Приведем подобные слагаемые.

$5х = -17$ - это конечный результат преобразований.

После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$

$х=-{17}/{5}$

$х = - 3,4$

Ответ: $- 3,4$

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • $a$ - старший коэффициент;
  • $b$ - средний коэффициент;
  • $c$ - свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

$x = 0; ax + b = 0$

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$

$4х^2 - 5х = 0$

Вынесем х как общий множитель за скобки:

$х (4х - 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

$x = 0$ или $4х - 5 = 0$

$х_1 = 0   х_2 = 1,25$

Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

$ax^2 + c = 0$

$ax^2 = - c$

$x_2 = {-c}/{a}$

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$

если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

$x^2 - 16 = 0$

$x^2 = 16$

$x = ±4$

Ответ: $х_1 = 4, х_2 = - 4$

Решение полного квадратного уравнения

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение

$b^2 — 4ac$.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$

3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.

$3х^2 - 11 = -8х$

Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней

$3х^2 + 8х - 11 = 0$

$a = 3 ,b = 8, c = - 11$

$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$

$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$

$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$

Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$

Устные способы

Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$

$4х^2+ 3х - 7 = 0$

$4 + 3 - 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$

Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$

Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= - 1, х_2=-{с}/{а}$

$5х^2+ 7х + 2 = 0$

$5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$

Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$

Кубические уравнения

Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.

$(x - 3)^3 = 27$

Представим обе части как основания в третьей степени

$(x - 3)^3 = $33

Извлечем кубический корень из обеих частей

$х - 3 = 3$

Соберем известные слагаемые в правой части

$x = 6$

Ответ: $х = 6$

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

  1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  3. решить получившееся целое уравнение;
  4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

$4x + 1 - {3}/{x} = 0$

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x + 1 - {3}/{x}= 0¦· x$

$4x · x + 1 · x - {3·x}/{x} = 0$

3. решаем полученное уравнение

$4x^2 + x - 3 = 0$

Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

Тогда $х_1 = - 1, х_2 = {3}/{4}$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $х_1 = - 1, х_2 = {3}/{4}$

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$

${3х-5}/{-2}={1}/{х}$

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

Воспользуемся основным свойством пропорции

$х (3х - 5) = -2$

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

$3х^2- 5х + 2 = 0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

$a + b + c = 0$

$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

examer.ru

Система уравнений квадраты и кубы

В ответ на "плиз" в комментариях решаю систему уравнений с квадратами и кубами возле иксов и игреков. Честно признаюсь, не люблю я в этой фигне ковыряться. Каждое решение состоит из двух независимых элементов: собственно математики и бюрократических правил оформления решения. Если математика не подвластна ни людям, ни богам, то бюрократические правила зависят исключительно от прихотей бюрократов. Каждый руководитель бюрократической системы считает своим долгом изменить существующие бюрократические правила, тем самым вписать свое имя в историю науки. Но... Бюрократы приходят и уходят, а наука остается наукой.

Я уже очень давно сбежал из мест дрессировки обезьян - школы, техникума, института... А посему существующих правил записи решения я не знаю. Да и каждый учитель волен выдумывать свои собственные правила. А по сему свое решение я запишу так, как умею, и дам некоторые пояснения.

Оба уравнения системы имеют одинаковый элемент, который можно выделить - это икс в квадрате умноженный на игрек в квадрате. Заменим его на элемент "а". Перепишем заново нашу систему уравнений. Многоэтажные показатели степени возле икса и игрека исчезли, а это уже обнадеживает.

Из второго уравнения выразим наше "а" через икс и подставим это значение в первое уравнение. У нас получилось, что игрек относится к иксу как восемь, то есть в одном игреке от нас спрятали восемь иксов. Возвращаемся к уравнению "а" и вместо игрека подставляем его значение в восемь икс. У нас получается, что "а" равняется шестидесяти четырем иксам в четвертой степени.

Возвращаемся к той системе уравнений, где у нас "а" умноженное на игрек равняется шестнадцати, а "а" умноженное на икс равняется двум. Из второго уравнения мы без труда находим значение икс. Главное, правильно выковырять корень пятой степени. Но, составители системы уравнений особым садизмом не отличаются, а потому нам это удается без труда, представив число тридцать два как двойку в пятой степени. Дальше значение икса подставляем в первое уравнение и находим значение игрека.

Я не знаю, можно так решать уравнения или "низзззя", но проверка в конце показывает, что я нашел правильные значения икса и игрека.

www.webstaratel.ru

Кубические уравнения - Уравнения - Математика - Каталог статей

Кубические уравнения

Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида

ax³+bx²+cx+d = 0 .где a ≠ 0

оказались "крепким орешком". В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Начнем с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида

ax³+bx²+cx+d = 0 .где a≠ 0

разделить на a , то коэффициент при x³ станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения

                                                    x³+px²+ Qx + R = 0 .                                                     (11)

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь a  на x и перегруппируем слагаемые:

                                         (x+b)³ =x³ +3bx² +3xb²+b³.    

                                       (12)

Мы видим, что надлежащим выбором b , а именно взяв b=p/3 , можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при x  и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:

(x+b)³+(Q - 3b²)x+R-b³ = 0

Если здесь сделать замену y=x+b , получим кубическое уравнение относительно y  без члена с  y²:

y³+py+q = 0.

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида

x³ +px+q = 0

                                                            .                         

alexlat.ucoz.ru

Кубическое уравнение — WiKi

Кубические уравнения были известны ещё в древнем Вавилоне, древним грекам, китайцам, индийцам и египтянам[1][2][3]. Были найдены клинописные таблички Старовавилонского периода (20—16 век до нашей эры), содержащие таблицы вычисления кубов и кубических корней[4][5]. Вавилоняне могли использовать эти таблицы для решения кубических уравнений, но не существует никаких свидетельств, что они это делали[6].

Задача удвоения куба использует простейшее и наиболее старое из кубических уравнений, и древние египтяне не верили, что решение его существует[7]. В пятом веке до нашей эры Гиппократ свёл эту задачу к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его, но не смог решить её с помощью циркуля и линейки[8], что, как теперь известно, невозможно сделать.

В III веке нашей эры древнегреческий математик Диофант нашёл целые и рациональные решения для некоторых кубических уравнений с двумя неизвестными (диофантовых уравнений)[3][9]. Считается, что Гиппократ, Менехм и Архимед подошли ближе к решению задачи об удвоении куба с помощью конических сечений[8], хотя некоторые историки, такие как Ревиэль Нетц (Reviel Netz), говорят о том, что неизвестно, думали ли греки о кубических уравнениях, или просто о задачах, которые могут привести к кубическим уравнениям. Другие, как, например, Томас Хит, переводчик и комментатор всех дошедших до нас трудов Архимеда, не соглашаются, указывая на свидетельства, что Архимед действительно решал кубические уравнения с помощью пересечения двух конусов[10].

Методы решения кубических уравнений появляются в китайском математическом тексте Математика в девяти книгах, составленном около второго столетия до нашей эры и прокомментированном китайским математиком Лю Хуэем в третьем столетии[2].

В VII веке во времена династии Тан астроном и математик Ван Сяотун в своём математическом трактате, озаглавленном Цзигу Суаньцзин, изложил и решил 25 кубических уравнений вида x3+px2+qx=N{\displaystyle x^{3}+px^{2}+qx=N} , в 23 из которых p,q≠0{\displaystyle p,q\neq 0} , и в двух уравнениях q=0{\displaystyle q=0} [11].

В XI веке персидский поэт и математик Омар Хайям (1048—1131) сделал существенный прогресс в теории кубических уравнений. В ранних работах, посвящённых кубическим уравнениям, он обнаружил, что кубическое уравнение может иметь более одного решения, и утверждал, что уравнение не может быть решено с помощью циркуля и линейки. Он также нашёл геометрическое решение[12][13]. В его более позднем труде, Трактат о демонстрации задач алгебры, он описал полную классификацию кубических уравнений с их общими геометрическими решениями, использующими пересечения конических сечений[14][15].

В двенадцатом столетии индийский математик Бхаскара II пытался решать кубические уравнения без особых успехов. Однако он привёл один пример решения кубического уравнения[16]:

x3+12x=6x2+35.{\displaystyle x^{3}+12x=6x^{2}+35.} 

В том же столетии другой, персидский, математик, Шараф ад-Дин (1135—1213), написал Al-Mu’adalat (Трактат об уравнениях), в котором говорится о восьми типах кубических уравнений с положительными решениями и о пяти типах, не имеющих положительных решений. Он использовал подход, который позднее стал известен как метод «Руффини — Горнера» для численной аппроксимации корня кубического уравнения. Он разработал также концепцию производной функции и экстремумов кривой для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных значений[17]. Он понял важность дискриминанта кубического уравнения для нахождения алгебраического решения некоторых специальных видов кубических уравнений[18].

Леонардо Пизанский, известный также как Фибоначчи (1170—1250), умел находить положительные решения кубического уравнения x3 + 2x2 + 10x = 20 с помощью вавилонских цифр. Он указал решение 1,22,7,42,33,4,40 (что эквивалентно 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 + 33/604 + 4/605 + 40/606)[19], что отличается от точного решения только на три триллионных.

В начале XVI века итальянский математик Сципион дель Ферро (1465—1526) нашёл общий метод решения важного класса кубических уравнений, а именно, уравнений вида x3+mx=n{\displaystyle x^{3}+mx=n}  с неотрицательными n и m. Фактически все кубические уравнения можно свести к такому виду, если допустить возможность для m{\displaystyle m}  и n{\displaystyle n}  быть отрицательными, но отрицательные числа в то время ещё не были известны. Дель Ферро держал своё открытие в секрете, пока не рассказал о нём перед своей смертью своему ученику Антонио Фиоре (Antonio Fiore).

  Никколо Фонтана Тарталья.

В 1530 Никколо Тарталья (1500—1557) получил две задачи в виде кубических уравнений от Дзуанне да Кои (Zuanne da Coi) и объявил, что он их может решить. Он вскоре получил вызов от Фиоре на математическое соревнование, которое после его завершения стало знаменитым. Каждый из них должен был предложить определённое число задач сопернику для решения. Оказалось, что все задачи, полученные Тартальей, сводились к кубическим уравнениям типа x3+mx=n{\displaystyle x^{3}+mx=n} . Незадолго до истечения срока Тарталье удалось разработать общий метод решения кубических уравнений этого типа (переоткрыв метод дель Ферро), а также обобщить его на два других типа (x3=mx+n{\displaystyle x^{3}=mx+n}  и x3+n=mx{\displaystyle x^{3}+n=mx} ). После этого он быстро решил все предложенные ему задачи. Фиоре же получил от Тартальи задачи из различных разделов математики, многие из которых оказались ему не под силу; в результате Тарталья выиграл соревнование.

Позднее Джероламо Кардано (1501—1576) неоднократно пытался убедить Тарталья раскрыть секрет решения кубических уравнений. В 1539 году ему это удалось: Тарталья сообщил свой метод, но при условии, что Кардано никому его не откроет до выхода книги самого Тартальи о кубических уравнениях, над которой он работал и где собирался опубликовать метод. Спустя шесть лет Тарталья так и не опубликовал свою книгу, а Кардано, узнав к тому времени о работах Ферро, счёл возможным опубликовать метод дель Ферро (с упоминанием имени Тартальи, как независимо его открывшего) в своей книге Ars Magna[en] в 1545 году. Кардано оправдывался тем, что обещал не сообщать никому результаты Тартальи, а не дель Ферро. Тем не менее, Тарталья считал, что Кардано нарушил обещание и послал тому вызов на соревнование, который Кардано не принял. Вызов, в конце концов, принял ученик Кардано Лодовико Феррари (1522—1565), и оказался победителем[20].

Кардано заметил, что метод Тарталья иногда (а именно — при наличии трех действительных корней) требует извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Он даже включил вычисления с этими комплексными числами в Ars Magna, но, на самом деле, до конца проблему не понял. Рафаэль Бомбелли изучал эту проблему детально, а потому считается первооткрывателем комплексных чисел.

Франсуа Виет (1540—1603) независимо вывел решение кубического уравнения с тремя действительными корнями. Его решение было основано на тригонометрической формуле

(2⋅cos⁡ϕ)3−3⋅(2⋅cos⁡ϕ)=2⋅cos⁡(3⋅ϕ).{\displaystyle (2{\cdot }\cos \phi )^{3}-3{\cdot }(2{\cdot }\cos \phi )=2{\cdot }\cos(3{\cdot }\phi ).} 

В частности, подстановка x=2⋅a⋅cos⁡ϕ{\displaystyle x=2{\cdot }a{\cdot }\cos \phi }  приводит уравнение

x3−3⋅a⋅x=a2⋅b.{\displaystyle x^{3}-3{\cdot }a{\cdot }x=a^{2}\cdot b.} 

к виду

2⋅a⋅cos⁡(3⋅ϕ)=b.{\displaystyle 2{\cdot }a{\cdot }\cos(3{\cdot }\phi )=b.} 

Позднее Рене Декарт (1596—1650) углубил работу Виета [21].

Число x{\displaystyle x} , обращающее уравнение в тождество, называется корнем или решением уравнения. Оно является также корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части канонической записи.

Над полем комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение

ax3+bx2+cx+d=0{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} 

всегда имеет 3 корня x1,x2,x3{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}  (с учётом кратности).

Так как каждый вещественный многочлен нечётной степени имеет хотя бы один вещественный корень, все возможные случаи состава корней кубического уравнения исчерпываются тремя, описанными ниже. Эти случаи легко различаются с помощью дискриминанта

Δ=a4⋅(x1−x2)2⋅(x1−x3)2⋅(x2−x3)2=−4⋅b3⋅d+b2⋅c2−4⋅a⋅c3+18⋅a⋅b⋅c⋅d−27⋅a2⋅d2.{\displaystyle \Delta =a^{4}{\cdot }(x_{1}-x_{2})^{2}{\cdot }(x_{1}-x_{3})^{2}{\cdot }(x_{2}-x_{3})^{2}=-4{\cdot }b^{3}\cdot d+b^{2}{\cdot }c^{2}-4{\cdot }a{\cdot }c^{3}+18{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }c{\cdot }d-27{\cdot }a^{2}{\cdot }d^{2}.} 

Итак, возможны только три случая:

  • Если Δ > 0, тогда уравнение имеет три различных вещественных корня.
  • Если Δ < 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.
  • Если Δ = 0, тогда хотя бы два корня совпадают. Это может быть, когда уравнение имеет двойной вещественный корень и ещё один отличный от них вещественный корень; либо все три корня совпадают, образуя корень кратности 3. Разделить эти два случая помогает результант кубического уравнения и его второй производной: у многочлена есть корень кратности 3 тогда и только тогда, когда указанный результант также равен нулю.

По теореме Виета корни кубического уравнения x1,x2,x3{\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3}}  связаны с коэффициентами a,b,c,d{\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}  следующими соотношениями[22]:

x1+x2+x3=−ba,{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},}  x1x2+x2x3+x1x3=ca,{\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}={\frac {c}{a}},}  x1x2x3=−da.{\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}=-{\frac {d}{a}}.} 

Делением указанных тождеств друг на друга можно получить ещё несколько справедливых соотношений:

1x1+1x2+1x3=−cd,d≠0,{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+{\frac {1}{x_{3}}}=-{\frac {c}{d}},\quad d\neq 0,}  1x1x2+1x2x3+1x1x3=bd,d≠0.{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}x_{2}}}+{\frac {1}{x_{2}x_{3}}}+{\frac {1}{x_{1}x_{3}}}={\frac {b}{d}},\quad d\neq 0.} 

Общие точные методы решения:

Для некоторых особых типов кубических уравнений существуют специальные методы решения. См., например:

Также можно применять численные методы решения уравнений.

Подстановка Виета

  Геометрическое решение Омара Хайяма кубического уравнения для случая a=2,b=16{\displaystyle a=2,b=16} , дающее корень 2{\displaystyle 2} . То, что вертикальная прямая пересекает ось x{\displaystyle x}  в центре круга, — специфично для данного конкретного примера.

Как указывалось выше, любое кубическое уравнение можно привести к виду:

t3+pt+q=0,{\displaystyle t^{3}+pt+q=0,} 

Сделаем подстановку, известную как подстановка Виета:

t=w−p3w{\displaystyle t=w-{\frac {p}{3w}}} 

В результате получим уравнение:

w3+q−p327w3=0.{\displaystyle w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.} 

Умножив на w3{\displaystyle w^{3}} , получим уравнение шестой степени от w{\displaystyle w} , которое, на самом деле, является квадратным уравнением от w3{\displaystyle w^{3}} :

w6+qw3−p327=0{\displaystyle w^{6}+qw^{3}-{\frac {p^{3}}{27}}=0} 

Решая это уравнение, получим w3{\displaystyle w^{3}} . Если w1{\displaystyle w_{1}} , w2{\displaystyle w_{2}}  и w3{\displaystyle w_{3}}  являются тремя кубическими корнями w3{\displaystyle w^{3}} , то корни исходного уравнения можно получить по формулам

t1=w1−p3w1,t2=w2−p3w2{\displaystyle t_{1}=w_{1}-{\frac {p}{3w_{1}}},\quad t_{2}=w_{2}-{\frac {p}{3w_{2}}}\quad }  и t3=w3−p3w3.{\displaystyle \quad t_{3}=w_{3}-{\frac {p}{3w_{3}}}.} 

Решение Омара Хайяма

Как показано на графике, для решения уравнения третьей степени x3+a2x=b{\displaystyle x^{3}+a^{2}x=b} , где b>0,{\displaystyle b>0,}  Омар Хайям построил параболу y=x2a,{\displaystyle y={\frac {x^{2}}{a}},}  окружность, диаметром которой является отрезок [0,ba2]{\displaystyle \left[0,{\frac {b}{a^{2}}}\right]}  положительной полуоси x{\displaystyle x} , и вертикальную прямую, проходящую через пересечение параболы и окружности. Решение определяется длиной горизонтального отрезка от начала координат до пересечения вертикальной прямой с осью x{\displaystyle x} .

Простое современное доказательство построения: умножаем на x{\displaystyle x}  уравнение и группируем члены

x4a2=x(ba2−x).{\displaystyle {\frac {x^{4}}{a^{2}}}=x\,\left({\frac {b}{a^{2}}}-x\right)\,.} 

Левая часть — это значение y2{\displaystyle y^{2}}  на параболе. Уравнение окружности, y2+x(x−ba2)=0,{\displaystyle y^{2}+x\,\left(x-{\frac {b}{a^{2}}}\right)=0,}  совпадает с правой частью уравнения и даёт значение y2{\displaystyle y^{2}}  на окружности.

ru-wiki.org

корни приведенного квадратного уравнения по теореме Виета

Записи с меткой "корни приведенного квадратного уравнения по теореме Виета"

Часто требуется найти сумму квадратов  (x12+x22)  или сумму кубов (x13+x23) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:

Помочь в этом может теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

x1+x2=-p;  x1∙x2=q.

Выразим через p и q:

1) сумму квадратов корней уравнения x2+px+q=0;

2) сумму кубов корней уравнения x2+px+q=0.

Решение.

1) Выражение x12+x22  получится, если взвести в квадрат обе части равенства x1+x2=-p;

(x1+x2)2=(-p)2;  раскрываем скобки: x12+2x1x2+ x22=p2;  выражаем искомую сумму: x12+x22=p2-2x1x2=p2-2q. Мы получили полезное равенство: x12+x22=p2-2q.

2) Выражение x13+x23 представим по формуле суммы кубов в виде:

(x13+x23)=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)=-p·(p2-2q-q)=-p·(p2-3q).

Еще одно полезное равенство: x13+x23=-p·(p2-3q).

Примеры.

3) x2-3x-4=0. Не решая уравнение, вычислите значение выражения  x12+x22 .

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения

x1+x2=-p=3, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 1) равенство:

x12+x22=p2-2q. У нас -p=x1+x2=3 → p2=32=9; q=x1x2=-4. Тогда x12+x22=9-2·(-4)=9+8=17.

Ответ: x12+x22=17.

4) x2-2x-4=0. Вычислить: x13+x23.

Решение.

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения x1+x2=-p=2, а произведение x1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (в примере 2) равенство: x13+x23=-p·(p2-3q)=2·(22-3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Ответ:  x13+x23=32.

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.

5) 2x2-5x-7=0. Не решая, вычислить: x12+x22.

Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: x2-2,5x-3,5=0.

По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5.

Решаем так же, как пример 3), используя равенство: x12+x22=p2-2q.

x12+x22=p2-2q=2,52-2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Ответ: x12+x22=13,25.

6) x2-5x-2=0. Найти:

Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу. При выводе формулы использовали равенство 1): x12+x22=p2-2q.

В нашем примере  x1+x2=-p=5; x1∙x2=q=-2. Подставляем эти значения  в полученную формулу:

7) x2-13x+36=0. Найти:

Преобразуем эту сумму и получим формулу, по которой можно будет находить сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения.

У нас  x1+x2=-p=13; x1∙x2=q=36. Подставляем эти значения в выведенную формулу:

Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!

 

I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

x1+x2=-p;  x1∙x2=q.

 Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

Пример 1) x2-x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x2+px+q=0), второй коэффициент  p=-1, а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Находим дискриминант D=b2— 4ac=(-1)2-4∙1∙(-30)=1+120=121=112.

Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p), а произведение равно свободному члену, т.е. (q). Тогда:

x1+x2=1; x1∙x2=-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30, а сумма – единице. Это числа -5 и 6. Ответ: -5; 6.

Пример 2) x2+6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8. Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=32-1∙8=9-8=1=12. Дискриминант D1 является полным квадратом числа 1, значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6, а произведение корней равно q=8. Это числа -4 и -2.

На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.

Пример 3) x2+2x-4=0. В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2, а свободный член q=-4. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=12-1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод: корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам для частного случая с четным вторым коэффициентом). Получаем:

Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x1=-7, x2=4.

Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x2+px+q=0, причем, на основании теоремы Виета –p=x1+x2=-7+4=-3 → p=3; q=x1∙x2=-7∙4=-28. Тогда уравнение примет вид: x2+3x-28=0.

Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:

II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

Сумма корней равна минус b, деленному на а, произведение корней равно с, деленному на а:

x1+x2=-b/a;  x1∙x2=c/a.

Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x2-7x-11=0.

Решение.

Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D=72-4∙2∙(-11)>0. А теперь воспользуемся теоремой Виета для полных квадратных уравнений.

x1+x2=-b:a=- (-7):2=3,5.

Пример 7). Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x2+8x-21=0.

Решение.

Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент (8) является четным числом. D1=42-3∙(-21)=16+63=79>0. Квадратное уравнение имеет 2 корня, по теореме Виета произведение корней x1∙x2=c:a=-21:3=-7.     

www.mathematics-repetition.com

Решение кубических уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Рассмотрим два примера кубических уравнений, которые калькулятор уравнений умеет без проблем решать с подробным решением:

Пример простого кубического уравнения

Первый пример будет простым:

49*x^3 - x = 0

После того, как вы нажмёте "Решить уравнение!", то вы получите ответ с подробным объяснением:

Дано уравнение:

преобразуем

Вынесем общий множитель x за скобки

получим:

тогда:

и также

получаем ур-ние

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:

___ \/ D - b x2 = --------- 2*a ___ -b - \/ D x3 = ---------- 2*a

где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.

Т.к.

, то

(0)^2 - 4 * (49) * (-1) = 196

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

Получаем окончательный ответ для -x + 49*x^3 = 0:

x3 = -1/7

 

Второй простой пример кубического уравнения будет таким:

8 = (1/2 + 3*x)^3

Получим подробное решение:

Дано уравнение:

преобразуем:

Вынесем общий множитель за скобки

/ 2\ -9*(-1 + 2*x)*\7 + 12*x + 12*x / -------------------------------- = 0 8

Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.

Получим ур-ния

решаем получившиеся ур-ния:

1.

Переносим свободные слагаемые (без x)

из левой части в правую, получим:

Разделим обе части ур-ния на -9/4

Получим ответ: x1 = 1/2

2.

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:

___ \/ D - b x2 = --------- 2*a ___ -b - \/ D x3 = ---------- 2*a

где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.

Т.к.

, то

(12)^2 - 4 * (12) * (7) = -192

Т.к. D < 0, то уравнение

не имеет вещественных корней,

но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

___ 1 I*\/ 3 x2 = - - + ------- 2 3 ___ 1 I*\/ 3 x3 = - - - ------- 2 3

Тогда, окончательный ответ:

___ 1 I*\/ 3 x2 = - - + ------- 2 3 ___ 1 I*\/ 3 x3 = - - - ------- 2 3

Пример сложного кубического уравнения

Третьим примером будет более сложный - возвратное кубическое уравнение онлайн.

5*x^3 -8*x^2 - 8*x + 5 = 0

Чтобы решить такое возвратное кубическое уравнение, то введите данное уравнение в калькулятор:

Дано уравнение:

2 3 5 - 8*x - 8*x + 5*x = 0

преобразуем

3 2 5*x + 5 - 8*x + 8 - 8*x - 8 = 0

или

3 3 2 2 5*x - 5*(-1) - 8*x - -8*(-1) - 8*x - 8 = 0 / 3 3\ / 2 2\ 5*\x - (-1) / - 8*\x - (-1) / - 8*(x + 1) = 0 / 2 2\ 5*(x + 1)*\x - x + (-1) / + -8*(x + 1)*(x - 1) - 8*(x + 1) = 0

Вынесем общий множитель 1 + x за скобки

получим:

/ / 2 2\ \ (x + 1)*\5*\x - x + (-1) / - 8*(x - 1) - 8/ = 0

или

/ 2\ (1 + x)*\5 - 13*x + 5*x / = 0

тогда:

и также

получаем ур-ние

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:

___ \/ D - b x2 = --------- 2*a ___ -b - \/ D x3 = ---------- 2*a

где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.

Т.к.

, то

(-13)^2 - 4 * (5) * (5) = 69

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

____ 13 \/ 69 x2 = -- + ------ 10 10 ____ 13 \/ 69 x3 = -- - ------ 10 10

Получаем окончательный ответ для 5 - 8*x - 8*x^2 + 5*x^3 = 0:

____ 13 \/ 69 x2 = -- + ------ 10 10 ____ 13 \/ 69 x3 = -- - ------ 10 10

www.kontrolnaya-rabota.ru

Как решать кубические уравнения

У любого кубического уравнения, которое имеет действительные коэффициенты, как минимум один действительный корень, а остальные два —тоже действительные или комплексно сопряженная пара.Рассмотрим основные случаи и способы решения кубических уравнений.

Начнем с решения двучленного кубического уравнения.Уравнение вида сводится к виду простым делением всех членов уравнения на коэффициент возле х. В нашем случае это L.Затем применяются формулу сокращенного умножения для суммы кубов:

   

Далее оба множителя приравниваются к нулю:

   

и

   

Из первого уравнения получается:

   

Квадратный трехчлен во втором уравнении будет иметь только комплексные корни.

Теперь рассмотрим как решать возвратные кубические уравнения.К уравнению вида применяют метод группировки и получают:

   

Далее множитель расписывают по формуле сокращенного умножения для суммы кубов и получают:

   

Как видим, в обоих слагаемых есть одинаковый множитель \textit{х+1}, который выносят за скобки. Получают:

   

Оба множителя приравнивают к нулю и получают, что один из корней такого уравнения будет х = —1, а корни квадратного уравнения можно найти с помощью дискриминанта.

ru.solverbook.com