Примеры систем линейных уравнений: метод решения. Как решать система линейных уравнений


Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

  1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
  2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
  3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. Матрица вида n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K-1= 1 / |K|, где K-1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a1b2c3 + a1b3c2 + a3b1c2 + a2b3c1 + a2b1c3 + a3b2c1. Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере anm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор xn - переменные, а bn - свободные члены.

Далее необходимо найти обратную матрицу и умножить на нее исходную. Найти значения переменных в полученной единичной матрицы легко выполнимая задача.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x3-2x4=11 и 3x3+2x4=7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных xn.

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. Вертикальная черта отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

fb.ru

Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения.

Методы решения систем уравнения.Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.3. Решаем полученное линейное уравнение. Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)x-10y=3 (2 уравнение)

1. ВыражаемВидно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки )6+20y+5y=125y=1-625y=-5 |: (25)y=-5:25y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.x=3+10yx=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*26x-4y=2

2x-3y=-10 |*36x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.__6x-4y=2   6x-9y=-30-4y+9y=2+30

5y=32 | :5y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.3x-2y=13x-2*6,4=13x-12,8=13x=1+12,83x=13,8 |:3x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

tutomath.ru

Решение систем линейных уравнений

Существует три способа решения систем линейных уравнений:

  • Способ подстановки
  • Способ сложения
  • Графический способ.

Остановимся на каждом из них подробно.

1. Способ подстановки удобно использовать в том случае, если в одном из уравнений системы коэффициент при одном из неизвестных равен 1. Тогда это неизвестное удобно выразить через другое.

Решим систему:

Заметим, что в первом уравнении системы коэффициент при равен 1, поэтому мы легко можем выразить через :

.

Подставим это выражение для вместо переменной во второе уравнение системы:

Решим это уравнение относительно :

.

Теперь вспомним, что . Подставим в правую часть равенства вместо переменной ее значение и найдем значение :

Внимание! При записи ответа на первом месте всегда указываем значение переменной , а на втором

Ответ: (3;-2)

2. Способ сложения более универсален, нежели способ подстановки.

Решим систему:

Мы имеем право умножать каждое уравнение системы на число и складывать уравнения. Воспользуемся этим правом.

Нам нужно сделать так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных были равны по модулю, но противоположны по знаку. Тогда при  сложении уравнений это неизвестное пропадет.

Сделаем так, чтобы, например, коэффициенты при были равны по модулю, но противоположны по знаку. Для этого нам нужно первое уравнение системы умножить на 3, а второе на 5. Получим систему:

Сложим уравнения системы, получим

, отсюда

Теперь подставим это значение , например, в первое уравнение исходной системы:

;

;

Ответ: (1;1)

А теперь решим такую систему:

Уравнения системы не являются линейными. Но мы можем сильно упростить себе жизнь, если введем замену переменной. Поэтому прежде чем решать эту систему, введем замену . Получим систему линейных уравнений:

Мы можем решать эту систему как способом подстановки (коэффициент при в первом уравнении равен 1, а при -1), так и способом сложения.

Решим способом сложения. Умножим первое уравнение на -2, тогда коэффициенты при будут равны по модулю, но противоположны по знаку.

Сложим уравнения. Получим:

;

Подставим это значение в первое уравнение исходной системы: ;

Итак,

Вернемся к исходной переменной:

отсюда

Ответ:

3. Графический способ.

Чтобы решить систему линейных уравнений графическим способом, нужно

  • в каждом уравнении выразить
  • построить графики соответствующих функций
  • найти координаты точки пересечения графиков.

Решим систему

1. В каждом уравнении выразим :

2. Построим графики этих функций:

Координаты точки пересечения графиков (2;1)

Ответ: (2;1)

И.В. Фельдман, репетитор по математике

 

ege-ok.ru

Решение системы линейных уравнений. Метод подстановки, сложения, графический. Особые случаи, тесты

Тестирование онлайн

  • Система линейных уравнений

Система линейных уравнений

Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют фигурной скобкой

Система уравнений такого вида, где a, b, c - числа, а x, y - переменные, называется системой линейных уравнений.

При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения уравнений.

Решение системы линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим пример

1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении, получим систему:

2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7:

3) Решаем полученное второе уравнение:

4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4. Ответ: (1; -4), записывается в скобках, на первой позиции значение x, на второй - y.

Решение системы линейных уравнений способом сложения

Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.

1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Умножим первое уравнение системы на "3".

2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без изменений.

3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Решение системы линейных уравнений графическим способом

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Графическое решение системы

Метод введения новых переменных

Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Рассмотрим решение системы

Введем замену , тогда

Переходим к первоначальным переменным

Особые случаи

Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.

Пусть дана система

1) Если , то система имеет единственное решение.

2) Если , то система решений не имеет. В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны и не совпадают.

3) Если , то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают друг с другом.

Суть метода в последовательном исключении неизвестных, приводя систему линейных уравнений к ступенчатой форме.

fizmat.by

Решение систем линейных уравнений

Определение и формула решения систем линейных уравнений

Школьные методы решения систем описаны в статье (\textbf{ссылка на статью «Решение систем уравнений» выше}).

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса — это метод последовательного исключения переменных, когда расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к матрице (системе) треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последней, находятся все остальные неизвестные системы. Метод назван в честь немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста Иоганна Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), хотя первое известное описание метода встречается уже в китайском трактате «Математика в девяти книгах» (10-2 в.в. до н.э.).

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Матричный метод (метод обратной матрицы)

Матричный метод или метод обратной матрицы базируется на следующем алгоритме:

1. Система (1) записывается в матричной форме , где

   

2. Из матричного уравнения получаем, что

   

где матрица — это обратная матрица к матрице системы . Обратная матрица находится по формуле:

   

Матрица называется союзной матрицей к матрице , ее элементами есть алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы .

Необходимым и достаточным условием применимости матричного метода является неравенство нулю определителя матрицы .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Системы линейных уравнений (Лекция №14)

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

  1. Система может иметь единственное решение.
  2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
  3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: . Поскольку A-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

Примеры. Решить системы уравнений.

  1. Найдем матрицу обратную матрице A.

    ,

    Таким образом, x = 3, y = – 1.

  2. Итак, х1=4,х2=3,х3=5.

  3. Решите матричное уравнение: XA+B=C, где

    Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

    Найдем матрицу А-1.

    Проверка:

  4. Решите матричное уравнение AX+B=C, где

    Из уравнения получаем .

    Следовательно,

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

  1. Итак, х=1, у=2, z=3.

  2. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

    Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

    . Поэтому .

    1. При
    2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
    3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, yÎR.

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

  1. перестановка строк или столбцов;
  2. умножение строки на число, отличное от нуля;
  3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

  1. Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

  2. Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

    Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

  3. Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

    Вернемся к системе уравнений.

    Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

www.toehelp.ru

Как решать систему уравнений линейного типа

Для полного понимания того, как решать систему уравнений, следует рассмотреть, что же она представляет собой. Как понятно из самого термина, «система» - это совокупность нескольких уравнений, связанных между собой. Существуют системы алгебраических и дифференциальных уравнений. В данной статье мы уделим внимание тому, как решать систему уравнений первого типа.По определению, алгебраическим называется уравнение, в котором над переменными совершаются лишь простые математические операции, т.е. сложение, деление, вычитание, умножение, возведение в степень и отыскание корня. Алгоритм решения уравнения данного типа сводится к тому, чтобы путем его преобразований найти равносильную ему, но более простую конструкцию.Системы алгебраических уравнений подразделяются на линейные и нелинейные.Система линейных уравнений (также широко используется аббревиатура СЛАУ) отличается от системы нелинейных уравнений тем, что неизвестные переменные здесь находятся в первой степени. Общий вид СЛАУ в матричной записи выглядит так: Ax=b, где А - множество известных коэффициентов, х - переменные, b - множество известных свободных членов.

Существует множество способов того, как решать систему уравнений подобного типа, они подразделяются на прямые и итерационные методы. Прямые методы позволяют найти значения переменных за определенное количество математических преобразований, а итерационные используют алгоритм последовательного приближения и уточнения.

Разберем на примере, как решить систему линейных уравнений, используя прямой метод нахождения значения переменных. К прямым методам относятся методы Гаусса, Жордана-Гаусса, Крамера, прогонки и некоторые другие. Одним из самых простейших можно назвать метод Крамера, обычно именно с него в учебных программах начинается знакомство с матрицами. Данный метод предназначается для решения квадратных СЛАУ, т.е. таких систем, в которых количество уравнений равно количеству неизвестных переменных в строке. Также для того чтобы решить систему уравнений методом Крамера, необходимо убедиться, что свободные члены - не нули (это необходимое условие).

Алгоритм решения таков: составляется матрица 1, состоящая из известных коэффициентов а-системы и находится ее главный определитель ∆х. Определитель находят путем вычитания произведения элементов побочной диагонали из произведения элементов главной.

Далее составляется матрица 2, где в первый столбец подставляют значения свободных элементов b, аналогично предыдущему примеру находят определитель ∆х1.

Составляем матрицу 3, значения свободных коэффициентов подставляем уже во второй столбец, находим определитель матрицы ∆х2. И так далее до тех пор, пока не вычислим определитель той матрицы, где коэффициенты b находятся в последнем столбце.

Чтобы найти значение той или иной переменной, необходимо полученные при подстановке свободных коэффициентов определители разделить на главный определитель, т.е. x1= ∆х1/∆х, х2=∆х2/∆х и т.д.При возникновении вопросов о том, как решать систему уравнений тем или иным способом рекомендую обратиться к справочному и учебному материалу, где подробно изложены все основные шаги.

fb.ru