Определение погрешностей измерений. Как определять погрешности измерений


Точность и погрешность измерений — урок. Физика, 7 класс.

Измерить какую-нибудь величину — это значит сравнить её с однородной величиной, принятой за единицу.

Всякое измерение может быть выполнено с большей или меньшей точностью.

В качестве примера рассмотрим измерение длины бруска линейкой с сантиметровыми делениями.

 

 

Вначале определим цену деления линейки. Она будет равна \(1\) см. Если левый конец бруска совместить с нулевым штрихом, то правый будет находиться между \(9\) и \(10\) штрихами, но ближе к \(10\). Какое же из этих двух значений следует принять за длину бруска? Очевидно, то, которое ближе к истинному значению, т.е. \(10\) см. Считая, что длина бруска \(10\) см, мы допустим неточность, так как брусок чуть короче \(10\) см.

В физике допускаемую при измерении неточность называют погрешностью измерений.

Погрешность измерения не может быть больше цены деления измерительного прибора. В нашем случае погрешность измерения бруска не превышает \(1\) см. Если такая точность измерений нас не устраивает, то можно произвести измерения с большей точностью. Но тогда придётся взять масштабную линейку с миллиметровыми делениями, т.е. с ценой деления \(1\) мм. В этом случае длина бруска окажется равной \(9,8\) см.

 

 

Для более точных измерений можно воспользоваться штангенциркулем с ценой деления \(0,1\) мм или \(0,05\) мм.

 

 

Из этого примера видно, что точность измерений зависит от цены деления шкалы прибора.

Чем меньше цена деления, тем больше точность измерения.

Точность измерения зависит от правильного применения измерительного прибора, расположения глаз при отсчёте по прибору.

Вследствие несовершенства измерительных приборов и несовершенства в развитии наших органов чувств, при любом измерении получаются лишь приближённые значения, несколько бóльшие или меньшие истинного значения измеряемой величины.

Во время выполнения лабораторных работ или просто измерений следует считать, что:

Погрешность измерений равна половине цены деления шкалы измерительного прибора.

При записи величин (с учётом погрешности) следует пользоваться формулой: A=a±Δa, где \(A\) — измеряемая величина, \(a\) — результат измерений, Δa  — погрешность измерений (Δ — греческая буква «дельта»).

Источники:

Пёрышкин А.В. Физика. 7 кл. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010.

 

www.yaklass.ru

Расчет погрешности измерений

Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными, если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.

Случайные погрешности при прямых измерениях

Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноNизмерений одной и той же величиныxв отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x1,x2, …,xN. В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:

. (1)

Абсолютной погрешностьюединичного измерения называется разность вида:

.

Среднее значение абсолютной погрешности Nединичных измерений:

(2)

называется средней абсолютной погрешностью.

Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:

. (3)

Приборные погрешности при прямых измерениях

  1. Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).

  2. Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).

  3. Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).

  4. Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности С, указанному на шкале прибора:

Например: и,

где Umax и Imax – предел измерения прибора.

  1. Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.

После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.

Вычисление погрешностей при косвенных измерениях

Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b, c…, значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a,b,c…).

Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:

X = f(a,b,c…).

Одним из способов вычисления погрешности является способ дифференцирования натурального логарифма функции Х = f(a,b,c…). Если, например, искомая величина Х определяется соотношением Х = , то после логарифмирования получаем:lnX = lna + lnb + ln(c+d).

Дифференциал этого выражения имеет вид:

.

Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:

 = . (4)

Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:

Х = Х(5)

Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:

1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.

2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.

3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:

X = f(a,b,c…).

4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a,b,c…) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).

5) Рассчитывают относительную погрешность  = .

6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).

7) Окончательный результат записывают в виде:

Х = ХсрХ

 = …%

Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:

Функция

Абсолютная

погрешность

Относительная

погрешность

a+b

a+b

a-b

a+b

ab

ab+ba

sin a

cos a

studfiles.net

Абсолютная погрешность измерений. Как рассчитать абсолютную погрешность измерений? Определение абсолютной и относительной погрешности прямых измерений

Физические величины характеризуются понятием «точность погрешности». Есть высказывание, что путем проведения измерений можно прийти к познанию. Так удастся узнать, какова высота дома или длина улицы, как и многие другие.

Введение

Разберемся в значении понятия «измерить величину». Процесс измерения заключается в том, чтобы сравнить её с однородными величинами, которые принимают в качестве единицы.

Для определения объёма используются литры, для вычисления массы применяются граммы. Чтобы было удобнее производить расчеты, ввели систему СИ международной классификации единиц.

За измерение длины вязли метры, массы – килограммы, объёма – кубические литры, времени – секунды, скорости – метры за секунду.

При вычислении физических величин не всегда нужно пользоваться традиционным способом, достаточно применить вычисление при помощи формулы. К примеру, для вычисления таких показателей, как средняя скорость, необходимо поделить пройденное расстояние на время, проведенное в пути. Так производятся вычисления средней скорости.

Применяя единицы измерения, которые в десять, сто, тысячу раз превышают показатели принятых измерительных единиц, их называют кратными.

Наименование каждой приставки соответствует своему числу множителя:

  1. Дека.
  2. Гекто.
  3. Кило.
  4. Мега.
  5. Гига.
  6. Тера.

В физической науке для записи таких множителей используется степень числа 10. К примеру, миллион обозначается как 106.

В простой линейке длина имеет единицу измерения – сантиметр. Она в 100 раз меньше метра. 15-сантиметровая линейка имеет длину 0,15 м.

Линейка является простейшим видом измерительных приборов для того, чтобы измерять показатели длины. Более сложные приборы представлены термометром – чтобы измерять температуру, гигрометром – чтобы определять влажность, амперметром – замерять уровень силы, с которой распространяется электрический ток.

Насколько точны будут показатели проведенных измерений?

Возьмем линейку и простой карандаш. Наша задача заключается в измерении длины этой канцелярской принадлежности.

Для начала потребуется определить, какова цена деления, указанная на шкале измерительного прибора. На двух делениях, которые являются ближайшими штрихами шкалы, написаны цифры, к примеру, «1» и «2».

Необходимо подсчитать, сколько делений заключено в промежутке этих цифр. При правильном подсчете получится «10». Вычтем от того числа, которое является большим, число, которое будет меньшим, и поделим на число, которое составляют деления между цифрами:

(2-1)/10 = 0,1 (см)

Так определяем, что ценой, определяющей деление канцелярской принадлежности, является число 0,1 см или 1 мм. Наглядно показано, как определяется показатель цены для деления с применением любого измерительного прибора.

Измеряя карандаш с длиной, которая немного меньше, чем 10 см, воспользуемся полученными знаниями. При отсутствии на линейке мелкого деления, следовал бы вывод, что предмет имеет длину 10 см. Это приблизительное значение названо измерительной погрешностью. Она указывает на тот уровень неточности, которая может допускаться при проведении измерений.

Определяя параметры длины карандаша с более высоким уровнем точности, большей ценой деления достигается большая измерительная точность, которая обеспечивает меньшую погрешность.

При этом абсолютно точного выполнения измерений не может быть. А показатели не должны превышать размеры цены деления.

Установлено, что размеры измерительной погрешности составляют ½ цены, которая указана на делениях прибора, который применяется для определения размеров.

После выполнения замеров карандаша в 9,7 см определим показатели его погрешности. Это промежуток 9,65 - 9,85 см.

Формулой, измеряющей такую погрешность, является вычисление:

А = а ± D (а)

А - в виде величины для измерительных процессов;

а - значение результата замеров;

D - обозначение абсолютной погрешности.

Если слаживать или вычитать величины с учетом погрешности, это число будет составлять сумму цифр, которые и обозначают погрешность, и имеются у каждой отдельно взятой величины.

При вычитании или складывании величин с погрешностью результат будет равен сумме показателей погрешности, которую составляет каждая отдельная величина.

Знакомство с понятием

Если рассматривать классификацию погрешностей в зависимости от способа её выражения, можно выделить такие разновидности:

  • Абсолютную.
  • Относительную.
  • Приведенную.

Абсолютная погрешность измерений обозначается буквой «Дельта» прописной. Это понятие определяется в виде разности между измеренными и действительными значениями той физической величины, которая измеряется.

Выражением абсолютной погрешность измерений являются единицы той величины, которую необходимо измерить.

При измерении массы она будет выражаться, к примеру, в килограммах. Это не эталон точности измерений.

Как рассчитать погрешность прямых измерений?

Есть способы изображения погрешности измерения и их вычисления. Для этого важно уметь определять физическую величину с необходимой точностью, знать, что такое абсолютная погрешность измерений, что её никто никогда не сможет найти. Можно вычислить только её граничное значение.

Даже если условно употребляется этот термин, он указывает именно на граничные данные. Абсолютная и относительная погрешность измерений обозначаются одинаковыми буквами, разница в их написании.

При измерении длины абсолютная погрешность будет измеряться в тех единицах, в которых исчисляться длина. А относительная погрешность вычисляется без размеров, так как она является отношением абсолютной погрешности к результату измерения. Такую величину часто выражают в процентах или в долях.

Абсолютная и относительная погрешность измерений имеют несколько разных способов вычисления в зависимости от того, какой метод измерения физических величин.

Понятие прямого измерения

Абсолютная и относительная погрешность прямых измерений зависят от класса точности прибора и умения определять погрешность взвешивания.

Прежде чем говорить о том, как вычисляется погрешность, необходимо уточнить определения. Прямым называется измерение, при котором происходит непосредственное считывание результата с приборной шкалы.

Когда мы пользуемся термометром, линейкой, вольтметром или амперметром, то всегда проводим именно прямые измерения, так как применяем непосредственно прибор со шкалой.

Есть два фактора, которые влияют на результативность показаний:

  • Погрешностью приборов.
  • Погрешностью системы отсчета.

Граница абсолютной погрешности при прямых измерениях будет равна сумме погрешности, которую показывает прибор, и погрешности, которая происходит в процессе отсчета.

D = D (пр.) + D (отс.)

Пример с медицинским термометром

Показатели погрешности указаны на самом приборе. На медицинском термометре прописана погрешность 0,1 градусов Цельсия. Погрешность отсчета составляет половину цены деления.

D отс. = С/2

Если цена деления 0,1 градуса, то для медицинского термометра можно произвести вычисления:

D = 0,1oС + 0,1o С / 2 = 0,15o С

На тыльной стороне шкалы другого термометра есть ТУ и указано, что для правильности измерений необходимо погружать термометр всей тыльной частью. Точность измерения не указана. Остается только погрешность отсчета.

Если цена деления шкалы этого термометра равна 2o С, то можно измерять температуру с точностью до 1o С. Таковы пределы допускаемой абсолютной погрешности измерений и вычисление абсолютной погрешности измерений.

Особую систему вычисления точности используют в электроизмерительных приборах.

Точность электроизмерительных приборов

Чтобы задать точность таких устройств, используется величина, называемая классом точности. Для её обозначения применяют букву «Гамма». Чтобы точно произвести определение абсолютной и относительной погрешности измерений, нужно знать класс точности прибора, который указан на шкале.

Возьмем, к примеру, амперметр. На его шкале указан класс точности, который показывает число 0,5. Он пригоден для измерений на постоянном и переменном токе, относится к устройствам электромагнитной системы.

Это достаточно точный прибор. Если сравнить его со школьным вольтметром, видно, что у него класс точности – 4. Эту величину обязательно знать для дальнейших вычислений.

Применение знаний

Таким образом, D c = c (max) Х γ /100

Этой формулой и будем пользоваться для конкретных примеров. Воспользуемся вольтметром и найдем погрешность измерения напряжения, которое дает батарейка.

Подключим батарейку непосредственно к вольтметру, предварительно проверив, стоит ли стрелка на нуле. При подключении прибора стрелка отклонилась на 4,2 деления. Это состояние можно охарактеризовать так:

  1. Видно, что максимальное значение U для данного предмета равно 6.
  2. Класс точности –(γ) = 4.
  3. U(о) = 4,2 В.
  4. С=0,2 В

Пользуясь этими данными формулы, абсолютная и относительная погрешность измерений вычисляется так:

D U = DU (пр.)+ С/2

D U (пр.) = U (max) Х γ /100

D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В

Это погрешность прибора.

Расчет абсолютной погрешности измерений в этом случае будет выполнен так:

D U = 0,24 В + 0,1 В = 0,34 В

По рассмотренной формуле без труда можно узнать, как рассчитать абсолютную погрешность измерений.

Существует правило округления погрешностей. Оно позволяет найти средний показатель между границей абсолютной погрешности и относительной.

Учимся определять погрешность взвешивания

Это один из примеров прямых измерений. На особом месте стоит взвешивание. Ведь у рычажных весов нет шкалы. Научимся определять погрешность такого процесса. На точность измерения массы влияет точность гирь и совершенство самих весов.

Мы пользуемся рычажными весами с набором гирь, которые необходимо класть именно на правую чашу весов. Для взвешивания возьмем линейку.

Перед началом опыта нужно уравновесить весы. Линейку кладем на левую чашу.

Масса будет равна сумме установленных гирь. Определим погрешность измерения этой величины.

D m = D m (весов) + D m (гирь)

Погрешность измерения массы складывается из двух слагаемых, связанных с весами и гирями. Чтобы узнать каждую из этих величин, на заводах по выпуску весов и гирь продукция снабжается специальными документами, которые позволяют вычислить точность.

Применение таблиц

Воспользуемся стандартной таблицей. Погрешность весов зависит от того, какую массу положили на весы. Чем она больше, тем, соответственно, больше и погрешность.

Даже если положить очень легкое тело, погрешность будет. Этот связано с процессом трения, происходящим в осях.

Вторая таблица относится к набору гирь. На ней указано, что каждая из них имеет свою погрешность массы. 10-граммовая имеет погрешность в 1 мг, как и 20-граммовая. Просчитаем сумму погрешностей каждой из этих гирек, взятой из таблицы.

Удобно писать массу и погрешность массы в двух строчках, которые расположены одна под другой. Чем меньше гири, тем точнее измерение.

Итоги

В ходе рассмотренного материала установлено, что определить абсолютную погрешность невозможно. Можно лишь установить её граничные показатели. Для этого используются формулы, описанные выше в вычислениях. Данный материал предложен для изучения в школе для учеников 8-9 классов. На основе полученных знаний можно решать задачи на определение абсолютной и относительной погрешности.

fb.ru

Определение погрешностей измерений

52

ВВЕДЕНИЕ

Практикум по курсу общей физики в педагогических институтах должен помочь студентам глубже уяснить основные физические законы и явления, отчетливое понимание которых необходимо будущим учителям физики. При выполнении лабораторных работ студенты должны приобрести элементарные навыки в методике и технике физического эксперимента.

Студенты, приступая к выполнению лабораторной работы, должны ясно представлять и понимать физические законы и явления, исследуемые в данной работе. Поэтому разделам, посвященным описанию экспериментального оборудования и порядку выполнения работы, предшествует раздел, в котором кратко описывается теория метода исследования изучаемых физических законов и явлений.

Чтобы обеспечить контроль студентов за самостоятельной подготовкой к лабораторной работе, в методические указания включены контрольные вопросы, которые расположены непосредственно после описания каждой лабораторной работы.

Объем сведений, излагаемых в первом разделе, не освобождает студентов от необходимости изучения соответствующей литературы, ссылки на которую приведены в конце описания лабораторной работы.

Лабораторная работа №0

Цель работы: ознакомиться с различными типами ошибок, возникающих при нахождении значений физических величин; научиться вычислять погрешности измерений; ознакомиться с правилом построения графиков зависимости измеряемых величин от каких-либо параметров.

Теоретическая часть работы

Измерить какую-либо физическую величину – значит, узнать сколько раз заключается в ней однородная величина, принятая за единицу измерения.

Если данная физическая величина измеряется непосредственно при помощи какого-либо прибора, то мы имеем дело с прямым измерением.

Если измерение физической величины происходит через другие величины (определенные при помощи прибора), связанные с измеряемой физической величиной определенной функциональной зависимостью, то мы имеем дело с косвенными измерениями.

Измерить физическую величину абсолютно точно невозможно, так как всякое измерение сопровождается той или иной ошибкой или погрешностью.

Погрешности или ошибки, возникающие при измерении физических величин, подразделяются на систематические и случайные.

Систематические погрешности сохраняют свою величину (и знак!) во время эксперимента. Они могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, не равные плечи весов) и с самой постановкой отсчета.

Систематических ошибок можно избежать путем изучения приборов, которыми пользуются при выполнении работ, полной разработкой теории опыта, а также введением соответствующих поправок в результат измерений.

Погрешности, меняющие величину и знак от опыта к опыту, называются случайными. Случайные ошибки могут быть связаны с трением, с несовершенством объекта измерений (например, проволока может иметь не вполне круглое сечение) или с особенностями самой измеряемой величины (например, космический фон).

Исключить при измерениях случайные ошибки невозможно, но благодаря тому, что к случайным ошибкам можно применять законы теории вероятностей, можно уменьшить влияние этих ошибок на окончательный результат измерений.

Иногда говорят о промахах (просчетах) или грубых ошибках. Грубые ошибки – это ошибки, возникающие в результате небрежности отсчета по приборам или неразборчивости в записи их показаний. Единственное средство устранить их: внимательно сделать повторное (контрольное) измерение. Эти ошибки в расчет не принимают.

Рассмотрим подробнее нахождение случайных погрешностей при прямых и косвенных измерениях.

Пусть нам необходимо измерить некоторую величину N. Если в n опытах получено n значений этой величины: N1, N2, N3, N4,........,Nn, то за наилучшее (истинное) значение измеряемой величины принимается среднее арифметическое значение Ni, которое называют средним значением данной величины:

. (1)

Разность между средним значением измеряемой величины и значением, полученным в отдельном измерении, то есть

, (2)

называется абсолютной ошибкой (погрешностью) i-го измерения.

Для определения средней абсолютной ошибки результата берут среднее арифметическое абсолютных значений (модулей) отдельных абсолютных ошибок, то есть

(3)

Отношение

Е=(4)

называется относительной ошибкой (погрешностью) i-го измерения.

Отношение средней абсолютной ошибки к истинному значению дает среднюю относительную погрешность результата измерений:

Е=.(5)

Для нахождения степени разброса единичных измерений относительно вводится понятие среднеквадратичной погрешности, которая определяется из следующей формулы:

(6)

Результат опыта, после нахождения среднеквадратичной погрешности можно записать в виде:

. (7)

Погрешность опыта, определяемая из (6) с увеличением числа измерений n уменьшается

~(8)

Величину, равную 3называют предельной абсолютной погрешностью отдельного измерения. Т.е. еслито данное измерение относят к грубому и отбрасывают.

Оценка систематических погрешностей проводится из анализа особенностей методики, паспортной точности прибора и контрольных опытов. Систематические погрешности определяются классом точности прибора. Например, точность измерений штангенциркулем – 0,1 мм; микрометром – 0,01 мм.

В реальных опытах присутствуют как систематические, так и случайные погрешности. Если они характеризуются погрешностями и, то суммарная погрешность находится по формуле

, (9)

При этом следует отметить, что вопрос об учете систематических и случайных погрешностей актуален только тогда, когда одна из них не более чем в несколько раз превышает другую. В противном случае в качестве меры погрешности измерения следует указывать только большую погрешность.

В большинстве случаев мы имеем дело с косвенными измерениями, когда интересующая нас величина является функцией других независимых величин, которые и измеряются при помощи приборов.

В общем случае, если Y=f(x1,x2,........,xn) погрешность определяется из формулы

=(10)

Относительную погрешность величины Y вычисляют аналогично:

. (11)

Так как

,

то для относительной погрешности получаем:

. (12)

Нахождение абсолютной погрешности величины Y осуществляется из формулы

, (13)

где за наилучшее (истинное) значение величины Y принимается

(14)

где - средние значения измеряемых величин.

Так, например, если

, (15)

то

. (16)

. (17)

. (18)

Если Y=x1.x2, то

. (19)

. (20)

. (21)

Если , то

(22)

(23)

. (24)

Результат измерений записывается в виде, определяемом формулой (7). Например, запись m=0,8760,008 г означает, что в результате измерений для массы тела найдено значение 0,876 г с погрешностью 0,008 г. При записи измеренного значения, последней должна указываться цифра того десятичного разряда, который использован при указании погрешности. Так, один и тот же результат, в зависимости от погрешности записывается в виде: 1,20,1; 1,240,03; 1,2430,012 и т.д.

Рассмотрим пример нахождения погрешности косвенного измерения ускорения свободного падения.

Пусть ускорение свободного падения определялось экспериментально по периоду колебаний математического маятника.

.

Откуда ускорение свободного падения равно g=. Тогда погрешность в определенииg находим как погрешность косвенного измерения

Если нам необходимо найти относительную ошибку серии измерений, то данная формула перепишется в следующем виде

,

где и- средние значения в серии изn измерений; и- отклонение данного измерения от среднего значения.

Пусть результаты измерений дали следующие значения

=50,1 см,

=1,419 с.

Относительная неточность задания , т.е. величина, должна быть меньшеи. При округлениидо 3,14 мы допускаем абсолютную ошибку, так что

Пусть в k-ом измерении отклонение длины маятника от среднего значения составило 0,1 см, а отклонение периода колебаний от среднего значения 0,001 с.

Тогда относительная погрешность k-ого измерения будет равна.

.

Аналогичным образом вычисляется и среднеквадратичная погрешность.

Задание

Определить абсолютную, относительную и среднеквадратичную погрешности измерения площади поперечного сечения провода с прямоугольным сечением, поперечные размеры которого, измеренные при помощи микрометра приведены в таблице.

Таблица

опыта

1

2

3

4

5

6

7

8

a,мм

0,44

0,43

0,43

0,45

0,46

0,43

0,43

0,42

b, мм

0,31

0,33

0,32

0,35

0,34

0,35

0,33

0,32

При обработке результатов измерений часто пользуются графическими методами, которые служат: 1) для наглядного изображения полученных результатов, 2) для различных вычислительных операций.

Обычно для графического представления какой-либо функцииf(x,y) пользуются прямоугольной системой координат. Через нанесенные на миллиметровую бумагу точки А(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) и т.д. (рис.1) проводят кривую, которая является графическим изображением функции f(x,y). Эта кривая вычерчивается плавной, без резких искривлений и углов, и должна охватывать как можно больше точек или проходить между ними так, чтобы по обе стороны от нее точки распределялись равномерно.

Рис.1.

Выполнение лабораторной работы слагается из следующих этапов.

Первый этап состоит в предварительной подготовке к проведению эксперимента. Предварительная подготовка заключается в изучении теории того явления, которое исследуется в лабораторной работе, в изучении метода и схемы измерений, принципа действия, конструкции и условий эксплуатации физических приборов, используемых в работе, и в составлении плана предстоящих измерений по каждому заданию работы. Результатом предварительной подготовки является письменный отчёт, вносимый в рабочую тетрадь в виде короткого, но ясного изложения. Таким образом, отчет о лабораторной работе начинает подготавливаться до проведения эксперимента. Без предварительной подготовки студент не допускается к выполнению лабораторной работы.

Вторым этапом является экспериментальное выполнение работы. Работая в лаборатории, необходимо соблюдать следующие правила.

1. До начала выполнения эксперимента следует найти все принадлежности, необходимые для выполнения работы.

2. После проверки преподавателем или лаборантом монтажа установки приступить к измерениям.

3. Результаты всех отдельных измерений внести в таблицу и провести обработку результатов измерений.

Третий этап состоит в отчете по выполненной работе.

studfiles.net

Погрешности измерений — Мегаобучалка

Введение. Основные понятия.

 

Наука об измерениях, методах и средствах их обеспечения и достижения требуемой

точности называется метрологией.

Измерением называется нахождение значения физической величины опытным

путем, с помощью специальных технических средств.

Средство измерений физической величины заданного размера называется мерой.

Средство измерений, предназначенное для получения измерительной информации в

форме доступной для восприятия человеком, называется измерительным прибором.

Меры и измерительные приборы делятся на рабочие и образцовые. Рабочие приборы

предназначены для практического применения в процессе выполнения работ.Образцовые приборы предназначены для поверки других средств измерений, например, рабочих приборов. Поверкой прибора называется определение погрешности измерения и установление пригодности прибора к применению.

Истинное значение физической величины - это ее значение идеальным образом

отражающее данную физическую величину.

Действительное значение - это найденное экспериментально и максимально

приближенное к истинному значению.

Значение величины найденное в результате измерения называется результатом

измерения.Результат измерений всегда отличается от истинного значения величины.

Отклонения результата измерения от истинного (или действительного) значения -

называется абсолютной погрешностью.

∆А = Аи - А , где: ∆А - абсолютная погрешность, Аи - измеренное значение

физической величины, А - истинное или действительное значение измеряемой величины.

Отношение абсолютной погрешности к истинному значению называется

относительной погрешностью измерения.

, где: γА – Относительная погрешность, ∆А - абсолютная погрешность, А - истинное или действительное значение измеряемой величины.

 

Способы измерения.

 

Прямымиизмерениями называется такие, при которых искомое значение величины

находиться непосредственно из показаний измерительного прибора. Например, ток,

напряжение, сопротивление.

Косвенными измерениями называется такие измерения, при которых искомое значение

величины находится путем подсчета по определенным формулам зависимости между этой

величиной и другими величинами, определяемыми прямыми измерениями. Например, определение сопротивления, зная значения тока и напряжения, по закону Ома.

 

Методы измерения.

 

Методы измерения - это совокупность приемов использования средств измерений и

принципов измерений. Различают следующие методы измерений:

1. Метод непосредственной оценки, при котором результат измерений

отсчитывается непосредственно по показаниям измерительного прибора.

2. Метод сравнения, при котором значение величины сравниваем со значением,

какой либо меры. Различают три различных метода сравнения.

2.1. Дифференциальный метод.

2.2. Нулевой метод.

2.3. Метод замещения.

Дифференциальный метод - это определение разности измеряемой величины и

известной величины и по значению разности определяют значение измеряемой величины.

Нулевой метод - это метод сравнения, при котором результат воздействия

измеряемой и известной величины доводится до нуля, после чего по шкале прибора

определяют значение измеряемой величины. Например, омметр мостового типа.

Метод замещения, при котором измеряемая величина замещается известной

величиной (мерой). Например, равноплечные весы.

При любом измерение результат измерений отличается от истинного значения

вследствие несовершенства средств и методов измерений, субъективных ошибок

экспериментатора и из-за различных случайных влияний на результат измерений. Возникает погрешность измерений.

 

Погрешности измерений.

 

Систематические погрешности остаются постоянными или закономерно

изменяются.

Инструментальные погрешности - погрешности применяемых средств измерения.

Погрешности установки вызваны неправильной установкой прибора при

проведении измерений.

Методические погрешности, возникающие из-за несовершенства метода измерения.

Случайные погрешности - изменяются случайным образом, в результате чего

значения измеренных величин различаются при нескольких измерениях.

Возможны и грубые погрешности из-за неправильного отсчета по прибору.

Для измерительных приборов прямого действия, т.е. приборов непосредственной оценки указываются следующие виды погрешностей.

Основная погрешность прибора - это погрешность прибора находящегося в

нормальных условиях, т.е. при нормальном положении, температуре 20±5оС, отсутствии воздействия внешних магнитных полей и других внешних воздействий.

Приведенная погрешность определяется, как отношение абсолютной погрешности к верхнему пределу измерительного прибора. Верхний предел прибора называется так же номинальной величиной прибора. Приведённая погрешность выражается в процентах.

На шкалах приборов указывается основная наибольшая допустимая приведенная

погрешность прибора.

Если измеренное значение величины меньше верхнего значения прибора, то возможная погрешность увеличивается.

, где: γнв - наибольшая возможная относительная погрешность в любой точке шкалы прибора, γдоп– основная наибольшая допустимая приведённая погрешность прибора, Ан– верхний предел измерительного прибора, А – результат измерений.

Для получения достаточной точности измерения, т.е. наименьшей погрешности, предел измерения многопредельного измерительного прибора выбирают так, чтобы измеряемая величина имела значение не менее одной трети номинальной величине прибора. Рис. 1.

Рис. 1.

 

 

megaobuchalka.ru

Относительная погрешность - это... Что такое Относительная погрешность?

Погре́шность измере́ния — оценка отклонения величины измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение любой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. (Это отклонение принято называть ошибкой измерения. В ряде источников, например, в БСЭ, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы.) Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. При этом за истинное значение принимается среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2.8±0.1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2.7 с. до 2.9 с. некоторой оговоренной вероятностью (см. доверительный интервал, доверительная вероятность, стандартная ошибка).

В 2006 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределенность измерений».

Определение погрешности

В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.

  • Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального результата измерений, и погрешность как половина разности между максимальным и минимальным результатом измерения:
  • Средняя квадратическая погрешность:
  • Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:

Классификация погрешностей

По форме представления

  • Абсолютная погрешность — ΔX является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этой погрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределением случайной величины Xmeas. При этом равенство:

ΔX = | Xtrue − Xmeas | ,

где Xtrue — истинное значение, а Xmeas — измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью близкой к 1. Если случайная величина Xmeas распределена по нормальному закону, то, обычно, за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

  • Приведенная погрешность - относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле

,

где Xn - нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

- если шкала прибора односторонняя, т.е. нижний предел измерений равен нулю, то Xn определяется равным верхнему пределу измерений;- если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

Приведенная погрешность - безразмерная величина (может измеряться в процентах).

По причине возникновения

  • Инструментальные / приборные погрешности - погрешности, которые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуировки шкалы, ненаглядностью прибора.
  • Методические погрешности - погрешности, обусловленные несовершенством метода, а также упрощениями, положенными в основу методики.
  • Субъективные / операторные / личные погрешности - погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подготовленности и другими качествами оператора.

В технике применяют приборы для измерения лишь с определенной заранее заданной точностью – основной погрешностью, допускаемой нормали в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.

Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т.п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20°С, за нормальное атмосферное давление 01,325 кПа.

Обобщенной характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведенных основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)*10n, где n = 1; 0; -1; -2 и т.д.

По характеру проявления

  • Случайная погрешность — погрешность, меняющаяся (по величине и по знаку) от измерения к измерению. Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т.п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления), с особенностями самой измеряемой величины (например при измерении количества элементарных частиц, проходящих в минуту через счётчик Гейгера).
  • Систематическая погрешность — погрешность, изменяющаяся во времени по определенному закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т.п.), неучтёнными экспериментатором.
  • Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Она представляет собой нестационарный случайный процесс.
  • Грубая погрешность (промах) — погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (например, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шкале прибора, если произошло замыкание в электрической цепи).

По способу измерения

  • Погрешность прямых измерений
  • Погрешность косвенных измерений — погрешность вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины:

Если F = F(x1,x2...xn), где xi — непосредственно измеряемые независимые величины, имеющие погрешность Δxi, тогда:

См. также

Литература

  • Назаров Н. Г. Метрология. Основные понятия и математические модели. М.: Высшая школа, 2002. 348 с.
  • Лабораторные занятия по физике. Учебное пособие/Гольдин Л. Л., Игошин Ф. Ф., Козел С. М. и др.; под ред. Гольдина Л. Л. — М.: Наука. Главная редакция физико-математичекой литературы, 1983. — 704 с.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Расчет погрешности измерений

3.1 Среднеарифметическая погрешность.Как уже отмечалось раньше, измерения принципиально не могут быть абсолютно точными. Поэтому в ходе измерения возникает задача об определении интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Такой интервал указывают в виде абсолютной ошибки измерения.

Если предположить, что грубые промахи в измерениях устранены, а систематические ошибки сведены к минимуму тщательной настройкой приборов и всей установки и не являются определяющими, то результаты измерений будут, в основном, содержать только случайные погрешности, которые являются знакопеременными величинами. Поэтому, если проведено несколько повторных измерений одной и той же величины, то наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднеарифметическое значение:

  (1)

 

где ai, - значение отдельных измерений, n - число проведенных измерений.

Погрешностью или абсолютной ошибкой отдельного измерения называют разность между значением, полученным в данном измерении, и среднеарифметическим значением измеряемой величины:

(2)

 

Средней абсолютной ошибкойназывается среднеарифметическое модулей абсолютных ошибок отдельных измерений:

  (3)

При достаточно большом числе измерений случайные ошибки возникают с равной вероятностью как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения измеряемой величины, то есть можно считать, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале

(4)

Последнее неравенство обычно принято записывать как окончательный результат измерения следующим образом:

(5)

где абсолютная погрешность aср должна вычисляться (округляться) с точностью до одной-двух значащих цифр. Абсолютная ошибка показывает, в каком знаке числа содержатся неточности, поэтому в выражении для асроставляют все верные цифры и одну сомнительную. То есть среднее значение и средняя ошибка измеряемой величины должны вычисляться до цифры одного и того же разряда. Например: g = (9,78 ± 0,24) м/с2.

Относительная погрешность.Абсолютная ошибка определяет интервал наиболее вероятных значений измеряемой величины, но не характеризует степень точности произведенных измерений. Например, расстояние между населенными пунктами, измеренное с точностью до нескольких метров, можно отнести к весьма точным измерениям, в то время как измерение диаметра проволоки с точностью до 1 мм, в большинстве случаев будет являться весьма приближенным измерением.

Степень точности проведенных измерений характеризует относительная погрешность.

Средней относительной погрешностьюили просто относительной ошибкой измерения называется отношение средней абсолютной ошибки измерения к среднему значению измеряемой величины:

  (6)

или выраженная в процентах

  (7)

Относительная ошибка является безразмерной величиной и обычно выражается в процентах.

3.2 Погрешность метода или приборная погрешность.Среднеарифметическое значение измеряемой величины тем ближе к истинному, чем больше проведено измерений, при этом абсолютная погрешность измерения с увеличением их числа стремится к значению, которое определяется методом измерения и техническими характеристиками используемых приборов.

Погрешность методаили приборную погрешность можно рассчитать по одноразовому измерению, зная класс точности прибора или другие данные технического паспорта прибора, в котором указывается либо класс точности прибора, либо его абсолютная или относительная погрешность измерения.

Класс точностиприбора выражает в процентах номинальную относительную ошибку прибора, то есть относительную ошибку измерения, когда измеряемая величина равна предельному для данного прибора значению

  (8)

Класс точности указывается на шкале прибора цифрой, обведенной кружочком. Согласно ГОСТу все электроизмерительные приборы разделяются на 8 классов: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1.0 1,5; 2,5; 4,0.

Абсолютная погрешность прибора равна предельному для данного прибора значению измеряемой величины, умноженному на класс точности (К) и разделен­ному на 100:

  (9)

Абсолютная погрешность прибора не зависит от значения измеряемой величины.

Относительная погрешность прибора (по определению):

  (10)

откуда видно, что относительная приборная ошибка тем меньше, чем ближе значение измеряемой величины к пределу измерения данного прибора. Поэтому ре­комендуется подбирать приборы так, чтобы измеряемая величина составляла 60 -90% от величины, на которую рассчитан прибор. При работе с многопредельными приборами тоже следует стремиться к тому, чтобы отсчет производился во второй половине шкалы.

При работе с простыми приборами (линейка, мензурка и т.п.), классы точности и погрешности которых не определены техническими характеристиками, абсолютную погрешность прямых измерений принимают равной половине цены деления данного прибора. (Ценой деления называют значение измеряемой величины при показаниях прибора в одно деление).

Приборную погрешность косвенных измеренийможно рассчитать, используя правила приближенных вычислений. В основе вычисления погрешности косвенных измерений лежат два условия (предположения):

1. Абсолютные ошибки измерений всегда очень малы по сравнению с измеряемыми величинами. Поэтому абсолютные ошибки (в теории) можно рассматривать как бесконечно малые приращения измеряемых величин, и они могут быть заменены соответствующими дифференциалами.

2. Если физическая величина, которую определяют косвенным путем, является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин, то абсолютная ошибка функции, обусловленная бесконечно малыми приращениями, является также бесконечно малой величиной.

При указанных допущениях абсолютную и относительную погрешность можно рассчитать, используя известные выражения из теории дифференциального исчисления функций многих переменных:

  (11)
  (12)

Абсолютные ошибки непосредственных измерений могут иметь знаки "плюс" или "минус", но какой именно - неизвестно. Поэтому при определении погрешностей рассматривается наиболее невыгодный случай, когда ошибки прямых изме­рений отдельных величин имеют один и тот же знак, то есть абсолютная ошибка имеет максимальное значение. Поэтому при расчете приращений функции f(x1 ,x2 ,…,хn) по формулам (11) и (12) частные приращения должны складываться по абсолютной величине. Таким образом, используя приближение Dхi ≈ dxi, и вы­ражения (11) и (12), для бесконечно малых приращений Dа можно записать:

  (13)
  (14)

 

Здесь: а - косвенно измеряемая физическая величина, то есть определяемая по расчетной формуле, Dа - абсолютная ошибка ее измерения, х1, х2,...хn; Dх1, Dx2,..., Dхn, - физические величины прямых измерений и их абсолютные ошибки соответственно.

Таким образом: а) абсолютная ошибка косвенного метода измерения равна сумме модулей произведений частных производных функции измерения и соответствующих абсолютных ошибок прямых измерений; б) относительная ошибка косвенного метода измерения равна сумме модулей дифференциалов от логарифма натурального функции измерения, определяемой расчетной формулой.

Выражения (13) и (14) позволяют рассчитать абсолютные и относительные погрешности по одноразовому измерению. Заметим, что для сокращения расчетов по указанным формулам достаточно рассчитать одну из погрешностей (абсолютную или относительную), а другую рассчитать, используя простую связь между ними:

(15)

На практике чаще пользуются формулой (13), так как при логарифмировании расчетной формулы произведения различных величин преобразуются в соответствующие суммы, а степенные и показательные функции преобразуются в произведения, что намного упрощает процесс дифференцирования.

Для практического руководства по расчету погрешности косвенного метода измерения можно пользоваться следующим правилом:

Чтобы вычислить относительную ошибку косвенного метода измерения, нужно:

1. Определить абсолютные ошибки (приборные или средние) прямых измерений.

2. Прологарифмировать расчетную (рабочую) формулу.

3. Принимая величины прямых измерений за независимые переменные, найти полный дифференциал от полученного выражения.

4. Сложить все частные дифференциалы по абсолютной величине, заменив в них дифференциалы переменных соответствующими абсолютными ошибками прямых измерений.

5. Используя полученное выражение, рассчитать относительную погрешность.

6. По формуле (15) рассчитать абсолютную ошибку.

Например, плотность тела цилиндрической формы вычисляется по формуле:

  (16)

где m, D, h - измеряемые величины.

Получим формулу для расчета погрешностей.

1. Исходя из используемого оборудования, определяем абсолютные погрешности измерения массы, диаметра и высоты цилиндра (∆m, ∆D, ∆h соответственно).

2. Логарифмируем выражение (16):

3. Дифференцируем:

4. Заменяя дифференциал независимых переменных на абсолютные ошибки и складывая модули частных приращений, получаем:

5. Используя численные значения m, D, h, D, m, h, рассчитываем Е.

6. Вычисляем абсолютную ошибку

где r рассчитано по формуле (16).

Предлагаем самим убедиться, что в случае полого цилиндра или трубки с внутренним диаметром D1и внешним диаметром D2

К расчету ошибки метода измерения (прямого или косвенного) приходится прибегать в случаях, когда многократные измерения либо невозможно провести в одних и тех же условиях, либо они занимают много времени.

Если определение погрешности измерения является принципиальной задачей, то обычно измерения проводят многократно и вычисляют и среднеарифметическую погрешность и погрешность метода (приборную погрешность). В окончательном результате указывают большую из них.

О точности вычислений

Ошибка результата определяется не только неточностями измерений но и неточностями вычислений. Вычисления необходимо проводить так, чтобы их ошибка была на порядок меньше ошибки результата измерений. Для этого вспомним правила математического действия с приближёнными числами.

Результаты измерений – приближённые числа. В приближённом числе все цифры должны быть верными. Последней верной цифрой приближённого числа считается такая цифра, ошибка в которой не превышает одной единицы её разряда. Все цифры от 1 до 9 и 0, если он стоит в середине или в конце числа, называются значащими. В числе 2330 - 4 значащих цифры, а в числе 6,1×102 – только две, в числе 0,0503 – три, так как нули слева от пятёрки незначащие. Запись числа 2,39 означает, что верны все знаки до второго после запятой, а запись в 1,2800 – что верно также и третий и четвёртый знаки. В числе 1,90 три значащих цифры и это значит, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые и сотые, а в числе 1,9 – только две значащих цифры и это значит, что мы учитывали целые и десятые и точность этого числа в 10 раз меньше.

 

Правила округления чисел

При округлении оставляют лишь верные знаки, остальные отбрасываются.

1. Округление достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5.

2. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя цифра увеличивается на единицу. Последняя цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля.

Например, различные округления числа 35,856 будут: 35,9; 36.

3. Если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее чётное число, то есть, последняя сохраняемая цифра остаётся неизменной, если она чётная и увеличивается на единицу, если она нечётная.

Например, 0,435 округляем до 0,44; 0,365 округляем до 0,36.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru