Что означает число ПИ. Как обозначается число пи


что такое число пи (кратко) и схема которая показывает что это такое (график)

Отношение длины окружности к диаметру.

Число Пи - математическая константа, равная отношению длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Старое название — лудольфово число. Число Пи — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Обозначение числа пи происходит от написания первой буквы слова "периферия", что на греческом означает окружность. В обычных условиях приблизительное значение числа пи можно вычислить следуя пунктам, приведенным ниже: 1. Берем круг, обматываем по его краю нить один раз. 2.Измеряем длину нити. 3.Измеряем диаметр круга. 4.Делим длину нити на длину диаметра. Получили число пи. История: Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления . Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку и предположил, что примерно равняется 22/7 ≈ 3,142857142857143. 5.Интересные факты Число p использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни, но недостаточно точное исчисление значения p привело к краху всего проекта. Число π - зашифрованное послание на языке славян-ариев. Выход нового диска Кейт Буш "Aerial" заставил сердца математиков забиться сильнее. В песне, которую певица так и назвала – "Пи", прозвучали 124 числа из знаменитого числового ряда 3,141… Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что посвятил ему… целый дворец Кастельдель Монте, в пропорциях которого можно вычислить Пи. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО. Существует и π-клуб, члены которого, являясь фанатами загадочного математического феномена, собирают все новые сведения о Пи и пытаются разгадать его тайну. Чтобы вступить в него, для начала надо вызубрить наизусть как можно большее количество чисел Пи после запятой.

touch.otvet.mail.ru

Пи (число) | Наука | FANDOM powered by Wikia

Символ константы

Список чисел Система счисления Оценка числа $ \pi $ Двоичная 11,00100100001111111... Десятичная 3,141592653589793238462... Шестнадцатеричная 3,243F6A8885A308D31319... Рациональное приближение 22⁄7,223⁄71, 355⁄113 …

(в порядке увеличения точности)

Цепная дробь [3; 7, 15, 1, 1, 1, 1, 2, 1,... ]

(Цепная дробь не периодическая. Дана в линейной нотации)

Евклидова геометрия $ \pi $ радиан = 180°
Иррациональные числа ζ(3) (англ.) — √2 (англ.) — √3 (англ.) — √5 (англ.) — φ — α — e — π — δ

Пи (число) — $ \pi~ $ (произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.[1] Обозначается буквой греческого алфавита «пи».

    $ \pi $ — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. $ \pi $ также не может представлено как конечная последовательность алгебраических операций над целыми числами (возведение в степень, извлечение корня, суммирование и т. д.). Править

    $ \pi $ — трансцендентное число, это означает, что оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами; доказательство этого Ф. Линдеманом было крупным достижением математики XIX столетия. На всём протяжении истории математики было множество попыток более точно определить и понять природу числа $ \pi $; привлекательность этого числа перекинулась даже на нематематическую культуру. Править

    === Впервые обозначением этого числа греческой буквой $ \pi~ $ воспользовался британский математик Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр. ===

    История Править

    Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности — это число «пи». Править

    История числа $ \pi $ шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого $ \pi $ изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров. Править

    ===

    ===

    Геометрический период Править

    То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам. Самое раннее из известных приближений датируется 1900 годом до н. э.; это 25/8 (Вавилон) и 256/81 (Египет), оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Индийский текст «Шатапатха Брахмана» даёт $ \pi $ как 339/108 ≈ 3,139. По-видимому, в еврейской Библии, в третьей книге Царств, предполагается, что $ \pi $ = 3, что является гораздо более худшей оценкой, чем имевшиеся на момент написания (600 год до н. э.). Править

    Править

    Алгоритм Лю Хуэя вычисления $ \pi $ Править

    Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления $ \pi $. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку $ 3+\frac{10}{71} < \pi <3+\frac{1}{7} $. Править

    В Индии Арьябхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416. Брахмагупта предложил в качестве приближения $ \sqrt{10} $.

    Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм (англ. Liu Hui's π algorithm) для вычисления $ \pi $ с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для $ \pi $ по следующему принципу:

    $ \pi\approx A_{3072} = {3 \cdot 2^8\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}}}}}}} \approx 3,14159. $

    Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления $ \pi $ и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.

    В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи (англ. Zu Chongzhi) продемонстрировал, что $ \pi $ ≈ 355/113, и показал, что 3,1415926 < $ \pi $ < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа $ \pi $ в течение последующих 900 лет.

    Классический период Править

    До 2-го тысячелетия было известно не более 10 цифр $ \pi $. Дальнейшие крупные достижения в изучении $ \pi $ связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить $ \pi $ с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда. В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграма (англ. Madhava of Sangamagrama) нашёл первый из таких рядов:

    $ {\pi} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \cdots\! $

    Этот результат известен как ряд Мадхавы-Лейбница (англ. Leibniz formula for pi) или ряд Грегори-Лейбница (после того как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). К сожалению, этот ряд сходится к $ \pi $ очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в

    $ \pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)\! $

    Мадхава (англ. Madhava of Sangamagrama) смог вычислить $ \pi $ как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа $ \pi $, из которых 16 верные.

    Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Лудольфа ван Цейлена (1540—1610), затратившего десять лет на вычисление числа $ \pi $ с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа $ \pi $. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число $ \pi $ иногда называли «лудольфовым числом», или «константой Лудольфа».

    Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета (англ. Viète's formula)

    $ \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\! $

    найденная Франсуа Виетом в 1593 году. Другим известным результатом стала Формула Валлиса (англ. Wallis product),

    $ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\! $

    выведенная Джоном Валлисом в 1655 году.

    В Новое время для вычисления $ \pi $ используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

    Первую эффективную формулу нашёл в 1706 году Джон Мэчин (John Machin):

    $ \frac{\pi}{4} = 4\,\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239} $

    Разложив арктангенс в ряд Тейлора

    $ \arctan \, x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\! $,

    можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа $ \pi $ с большой точностью. Эйлер, автор обозначения $ \pi $, получил 153 верных знака.

    Формулы такого типа, в настоящее время известные как Формулы Мэчина (англ. Machin-like formula), использовались для установки нескольких последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления $ \pi $ в эпоху компьютеров. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счетчиком Иоганном Захариусом Дазе (англ. Zacharias Dase), который в 1844 году по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр $ \pi $ в уме. Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Вильямом Шенксом (англ. William Shanks), у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. (Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные.) Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков $ \pi $.

    Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы числа $ \pi $, чего нельзя было достичь лишь только с помощью одного численного вычисления. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность $ \pi $ в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность $ \pi^2 $. В 1735 году была установлена связь между простыми числами и $ \pi $, когда Леонард Эйлер решил знаменитую Базельскую проблему (англ. Basel problem) — проблему нахождения точного значения

    $ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots\! $,

    которое составляет $ \frac{\pi^2}{6} $. И Лежандр, и Эйлер предполагали, что $ \pi $ может быть трансцендентным, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.

    Считается, что книга Уильяма Джонса Новое введение в математику c 1706 года первая ввела в использование греческую букву $ \pi $ для обозначения этой константы, но эта запись стала особенно популярной после того, как Леонард Эйлер принял её в 1737 году. Он писал:

    Существует множество других способов отыскания длин или площадей соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к длине окружности как 1 к $ (\frac{16}{5}-\frac{4}{239})-\frac{1}{3} \cdot (\frac{16}{5^3}-\frac{4}{239^3})+\cdots = 3.14159 \cdots = \pi $

    Эра компьютерных вычислений Править

    Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и др. использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр $ \pi $, которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было открытие в 1960-м году быстрого преобразования Фурье (БПФ), что позволило быстро осуществлять арифметические операции над очень большими числами.

    В начале 20-го столетия индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для $ \pi $, некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд

    $ \frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\! $,

    и похожая на неё, найденная братьями Чудновскими (англ.) в 1987,

    $ \frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\! $,

    который вычисляет по 14 цифр за ход. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении $ \pi $ в конце 1980-х, включая то, в результате которого было получено более миллиарда (1,011,196,691) цифр десятичного разложения (1989 год). Эта формула используется в программах, вычисляющих $ \pi $ на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.

    В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент (англ.) и Юджин Саламин (англ.) независимо друг от друга открыли алгоритм Брента — Саламина (англ.), который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков.[2] Алгоритм состоит из установки начальных значений

    $ a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1\! $

    и итераций:

    $ a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\! $ $ t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n\! $

    пока an и bn не станут достаточно близки. Тогда оценка $ \pi $ даётся формулой

    $ \pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.\! $

    При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден Джонатаном Боруэйном (Jonathan Borwein) и Питером Боруэйном (en:Peter Borwein).[3] При помощи этих методов Ясумаса Канада (en:Yasumasa Kanada) и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления $ \pi $ вплоть до 206,158,430,000 знаков в 1999. Текущий рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков, установлен Канадой и его группой в 2002 году. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента-Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Хитачи из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

    Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли—Боруэйна—Плаффа (en:Bailey–Borwein–Plouffe formula) (формула ББП), открытая Саймоном Плаффом (en:Simon Plouffe) и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована — David H. Bailey, Peter Borwein, and Plouffe.[4] Эта формула,

    $ \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right), $

    примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа $ \pi $ без вычисления предыдущих.[4] С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHex использовал видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления квадриллионного (1 000 000 000 000 000-го) бита числа $ \pi $, который оказался нулём.[5]

    В 2006 году Саймон Плафф, используя en:integer relation algorithm PSLQ, нашёл ряд красивых формул.[6] Пусть q = eπ, тогда

    $ \frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) $ $ \frac{\pi^3}{180} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \left(\frac{4}{q^n-1} - \frac{5}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) $

    и другие вида

    $ \pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right) $

    где q = eπ, k — нечётное число, и a, b, c — рациональные числа. Если k — вида 4m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

    $ p\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{2^{k-1}}{q^n-1} - \frac{2^{k-1}+1}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right) $

    для рационального p у которго знаменатель — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

    В 2009 году учёные из Университата Цукубо (Япония) рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов.[7]

    • $ \frac{22}{7} $ (Архимед),
    • $ \frac{377}{120} $ (дана в книге индийского мыслителя и астронома Арьябхаты в V веке н. э.),
    • $ \frac{355}{113} $ (оценка приписывается современнику Арьябхаты древнекитайскому астроному Цзу Чун-цжи).
    • 510 знаков после запятой: π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…
    • Двести миллиардов знаков после запятой (2000 ZIP архивов, средний размер файла около 57 мегабайт)

    Соотношения Править

    Известно много формул с числом $ \pi $:

    $ \frac2\pi= \frac{\sqrt{2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots $ $ \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} $ $ \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} $ $ e^{i \pi} + 1 = 0\; $ $ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi} $ $ \int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi $

    Трансцендентность и иррациональность Править

    Нерешённые проблемы Править

    • Неизвестно, являются ли числа $ \pi $ и $ e $ алгебраически независимыми.
    • Неизвестно, являются ли числа $ \pi + e $, $ \pi - e $, $ \pi e $, $ \pi / e $, $ \pi ^ e $, $ \pi ^ \pi $, $ e ^ e $ трансцендентными.
    • До сих пор ничего не известно о нормальности числа $ \pi $; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа $ \pi $ бесконечное количество раз.

    История вычисления Править

    В 1997 году Дэйвид Х. Бэйли, Питер Боруэйн и Саймон Плуфф открыли способ быстрого вычисления произвольной двоичной цифры числа $ \pi $ без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле

    $ \pi = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^i}\left(\frac{4}{8i+1}-\frac{2}{8i+4}-\frac{1}{8i+5}-\frac{1}{8i+6}\right) $

    Метод иглы Бюффона Править

    На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к $ \frac2\pi $ при увеличении числа бросков до бесконечности. Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло.[9]

    Дополнительные факты Править

    Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле

    • Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа $ \pi $.
    • Ещё одной датой, связанной с числом $ \pi $, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа $ \pi $.
    • 17 июня 2009 года украинский нейрохирург, доктор медицинских наук, профессор Андрей Слюсарчук установил мировой рекорд, запомнив 30 миллионов знаков числа Пи, которые были напечатаны в 20 томах текста.[10] С установлением нового рекорда Андрея Слюсарчука официально поздравил Президент Украины Виктор Андреевич Ющенко.[11][12] Поскольку устное перечисление 30 млн цифр $ \pi $ со скоростью одна цифра в секунду заняло бы почти год (347 дней) при непрерывном перечислении 24 часа в сутки, 7 дней в неделю, то был применён следующий подход для проверки рекорда: во время демонстраций г. Слюсарчука просят назвать произвольно выбранные проверяющими последовательности цифр числа Пи, расположенные на произвольно выбранных местах произвольных страниц 20-томной распечатки, группированной в упорядоченные таблицы. Он многократно успешно проходит этот тест. Свидетелями демонстраций были уважаемые учёные, доктора и кандидаты наук, заведующие кафедрами Институтов и Университетов. Книга рекордов Украины перечисляет членов комиссии, участвовавших в демонстрациях. Приведены их научные звания и занимаемые должности. Уникальная память Андрея Слюсарчука основана на эйдетическом восприятии информации.
    • По данным Книги рекордов Украины, в 2006 году Андрей Слюсарчук установил предыдущий мировой рекорд, запомнив 1 миллион знаков числа Пи.[13]
    • Предыдущий мировой рекорд по запоминанию знаков числа $ \pi $ принадлежит японцу Акире Харагути (Akira Haraguchi). Он запомнил число $ \pi $ до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком. (на запоминание ушло 10 лет)[14]
    • В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен билль (см.: en:Indiana Pi Bill), законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2.[15] Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью (англ. Purdue University), присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона.
    • «число Пи для гренландских китов равно 3.14» написано в «Справочнике китобоя» 60-х годов выпуска.[16]
    • Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи.
    1. ↑ Это определение пригодно только для евклидовой геометрии. В других геометриях отношение длины окружности к длине её диаметра может быть произвольным. Например, в геометрии Лобачевского это отношение меньше, чем $ \pi~ $.
    2. ↑ Brent, Richard (1975), Traub, J F, ed., "Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation", Analytic Computational Complexity (New York: Academic Press): 151–176, http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html, retrieved 2007-09-08 
    3. ↑ Borwein, Jonathan M; Borwein, Peter, Berggren, Lennart (2004). Pi: A Source Book. Springer. ISBN 0387205713. 
    4. ↑ 4,04,1Bailey, David H., Borwein, Peter B., and Plouffe, Simon (April 1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" (PDF). Mathematics of Computation 66 (218): 903–913. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.  
    5. ↑ Bellard, Fabrice A new formula to compute the nth binary digit of pi. Проверено 27 октября 2007.
    6. ↑ Plouffe, Simon Indentities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2). Проверено 10 апреля 2009.
    7. ↑ Установлен новый рекорд точности вычисления числа π
    8. ↑ Доказательство Клейна приложено к работе «Вопросы элементарной и высшей математики», ч. 1, вышедшей в Гёттингене в 1908 году
    9. ↑ Г. А. Гальперин. Биллиардная динамическая система для числа пи.
    10. ↑ Профессор Андрей Слюсарчук установил мировой рекорд по возможностям человеческой памяти http://www.mk.ru/health/303812.html?phrase_id=1446233
    11. ↑ Президент поздравил профессора Андрея Слюсарчука с установлением нового мирового рекорда по запоминанию и воспроизведению человеком сверхбольшого объема информации http://www.president.gov.ua/ru/news/14234.html
    12. ↑ Ющенко привітав Слюсарчука зі світовим рекордом із запам’ятовування надвеликого обсягу інформації http://news.liga.net/ukr/news/NU094415.html
    13. ↑ Книга рекордов Украины http://www.book.adamant.ua/akt/2slysar4uk/1.htm
    14. ↑ Japanese man recites pi from memory to 100,000 decimal places, claims world record. The Associated Press (04/10/06). Проверено 22 сентября 2008.
    15. ↑ The Indiana Pi Bill, 1897
    16. ↑ В. И. Арнольд любит приводить этот факт, см. например здесь (ps)

    ru.science.wikia.com

    Где применяется число Пи? Кто его придумал? Что оно вообще значит?

    Число Пи представляет собой математическую константу и является отношением длины окружности к ее диаметру. В цифровом выражении Пи начинается как 3,141592 и имеет бесконечную математическую продолжительность. Как считают специалисты, число Пи было впервые открыто вавилонскими магами. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни, история которой вошла в Библию. Однако недостаточно точное исчисление ими Пи привело к краху всего проекта. Считается также, что число Пи лежало в основе строительства знаменитого Храма царя Соломона. Знаменательно, что праздник числа Пи, отмечающийся 14 марта, совпадает с днем рождения одного из наиболее выдающихся физиков современности — Альбертом Эйнштейном. Традицию отмечать его 14 марта возникла от математической записи числа в англосакской традиции, где сначала идет месяц, а затем число. Таким образом, 3,14 пришлось на 14 марта, напоминает ИТАР-ТАСС.

    ПИ, греческая буква p, обозначает в математике число, равное отношению длины окружности к длине ее диаметра; p — трансцендентное число; оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью: p = 3,141 592 653 589 793 238 462 643... боьше нечо не нашел))

    применяется в матиматике при описании гармонических колибаний (начальная фаза, период, итд)

    много занимательного о числе пи тут: <a rel="nofollow" href="http://arbuz.uz/x_pi.html" target="_blank">http://arbuz.uz/x_pi.html</a> Число &#960; (произносится «пи» ) — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи» . Число &#960; впервые возникло в геометрии как отношение длины окружности к длине её диаметра, однако оно появляется и в других областях математики. Число &#960; иррационально и трансцендентно. Впервые обозначением этого числа греческой буквой &#960; воспользовался британский математик Уильям Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов &#960;&#949;&#961;&#953;&#966;&#941;&#961;&#949;&#953;&#945; — окружность, периферия и &#960;&#949;&#961;&#943;&#956;&#949;&#964;&#961;&#959;&#962; — периметр.

    Число Пи представляет собой математическую константу и является отношением длины окружности к ее диаметру. В цифровом выражении Пи начинается как 3,141592 и имеет бесконечную математическую продолжительность. Как считают специалисты, число Пи было впервые открыто вавилонскими магами. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни, история которой вошла в Библию. Однако недостаточно точное исчисление ими Пи привело к краху всего проекта. Считается также, что число Пи лежало в основе строительства знаменитого Храма царя Соломона. Знаменательно, что праздник числа Пи, отмечающийся 14 марта, совпадает с днем рождения одного из наиболее выдающихся физиков современности — Альбертом Эйнштейном. Традицию отмечать его 14 марта возникла от математической записи числа в англосакской традиции, где сначала идет месяц, а затем число. Таким образом, 3,14 пришлось на 14 марта, напоминает ИТАР-ТАСС.

    touch.otvet.mail.ru

    Что означает число ПИ? Не много из истории происхождения Pi

    Число ПИ с цифрами после запятой

    Символика числа «пи» универсальна, как и само значение данного символа. Он подходит для обозначения иррационального числа и происходит от греческого выражения «перефериа», что в переводе «окружность» и в математике число ПИ означает отношение длины к диаметру окружности. Число «пи» имеет древние корни. По утверждениям множества ученых, точную дату происхождения числа ПИ, установить не возможно.

    «Пи» — не только иррациональное число, не способное быть выраженным через относительность нескольких разных чисел. Это число представляется в виде десятичной дроби, содержащее нескончаемое количество цифр после запятой. Самое интересное, что данные числа не могут повторяться.

    «Пи» — в некотором роде, трансцендентное число. А оно в свою очередь обозначается, как комплексное или вещественное число, которое не является алгебраическим. То есть оно данное число не может быть корнем многочлена с разными коэффициентами.

    «Пи» это одно из необычных чисел. Его можно отнести к омеге, дельте и т.д. Оно представляет отношение, которое будет таким же, независимо в какой вселенной пребывает человек. Оно так же не изменится от объекта измерения.

    «Пи» соотносится с дробным числом 22/7, это символ «тройной октавы«. Формула данного числа была известна еще в древнем Египте. Жители использовали ее в быту, и при проектировке гробниц. Число «Пи» упоминается Ахмесом, который пытался рассчитать данное число методом измерения диаметра круга по созданным внутри квадратам. Подобное отношение можно увидеть культуре мексиканских пирамид и по утверждению ученого Хэйеса — в Стоунхендже. Так что возможно данное число имеет сакральное значение.

    Число «пи» связано с музыкой. Согласно Хэйесу и закону семи и трех — тройная октава состоит из 22 нот. Каждая третья отдельная октава состоит из трех подоктав. В итоге всего имеется 9 октав и 64 ноты. А это уже будет квадратом самостоятельного числа «8». Данный ученый связывает назначение числа «пи» со структурой ДНК человека.

    chtooznachaet.ru

    Пи (число) — Циклопедия

    220 Что такое число Пи Кто его изобрел и почему оно так важно // Это [Интересно] [6:40] 7 фактов о числе Пи – интересные особенности и математические исследования // DataCube.TV [3:06]

    [math]\pi~[/math] (произносится «пи») — математическая константа, отношение длины окружности к ее диаметру:[1]

    [math] \pi = \frac{C}{d}[/math]

    Величина этой константы приблизительно равна 3,14159… Обозначается греческой буквой «пи».

    [править] Основная информация

    Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности — это число «пи» Пи в перспективе

    Отношение длины окружности есть постоянная величина, независимая от размеров круга (его радиуса/диаметра). Например, если один круг имеет диаметр, вдвое больший, чем у другого, то и длина окружности первого будет вдвое больше, чем у второго, при этом значение отношения C/d сохраняется. Такое определение числа π неявно использует плоскую (евклидову) геометрию; хотя понятия круга и окружности можно расширить на любую искривленную (неевклидову) геометрию, для такого понимания круга формула [math]\pi = \frac{C}{d}[/math] уже не будет справедливой[1]. Есть также другие определения числа π, в которых круги не используются вообще. Например, π — это удвоенное значение наименьшего положительного числа x, для которого cos(x) равняется 0[1][2].

    π — иррациональное число, и поэтому его нельзя точно записать обыкновенной дробью. Однако, дроби, например, такие как 22/7, 3,14 и некоторые другие рациональные числа, довольно часто используются как приближенные числу π. Десятичная запись числа π никогда не заканчивается и никогда не становится периодической. Цифры выглядят случайно распределенными, однако доказательств, что, например, встречается любая комбинация цифр, до сих пор нет, это — открытая математическая проблема.

    π — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем никакого ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. Отсюда, среди прочего, следует, что решить античную проблему квадратуры круга с помощью циркуля и линейки невозможно.

    Поскольку определение числа π связано с окружностью, оно входит во многие формулы в тригонометрии и геометрии, особенно в те, что касаются окружностей, эллипсов и сфер. Оно также встречается в формулах из других отраслей науки, таких как космология, теория чисел, статистика, теория фракталов, термодинамика, механика и электромагнетизм. Повсеместность числа π делает его одной из самых знаменитых математических констант как среди научного сообщества, так и вне его: числу посвящено несколько книг, в честь числа установлен День Пи, рекордные вычисления цифр π часто попадают в заголовки новостей. Попытки запомнить цифры π с нарастанием точности привели к рекордам в более чем 67.000 цифр.

    Впервые число [math]\pi[/math] появилось в геометрии при изучении отношений длины и радиуса окружности. Тысячи лет математики исследовали число π, в том числе вычисляя его значение с высокой точностью. До 15 века для оценки значения π математики (например, Архимед и Лю Хуэй) пользовались геометрическими методами, основанными на многоугольниках. Начиная приблизительно с 15 века, новые алгоритмы, основанные на бесконечных рядах, коренным образом изменили уровень вычислений π. В 20-21 веках математики и информатики изобрели новые подходы, которые наряду с нарастанием вычислительных мощностей увеличили количество известных десятичных цифр числа π до более чем 10 триллионов (1013) (на конец 2011 г.)[3]. Научные приложения, как правило, требуют не более 40 цифр π, так что главной причиной этих вычислений является человеческое желание побить рекорды. Кроме того, эти трудоемкие вычисления использовались при тестировании суперкомпьютеров и алгоритмов умножения высокой точности.

    Греческой буквой [math]\pi[/math] эту постоянную впервые обозначил британский математик Уильям Джонс (1706), а общепринятым такое обозначение стало после работ Леонарда Эйлера. Обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

    cyclowiki.org

    Ответы@Mail.Ru: Что означает число ПИ?

    Пи=3,1415926535897932384626433832795…=3,14 (произносится «пи» ) — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи» . Трансцендентность и иррациональность иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби м/н, где м и н — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа π была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1767 году путём разложения числа в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π и π2. трансцендентное число, это означает, что оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа пи была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году Поскольку в геометрии Евклида площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.

    Отношение длины окружности к диаметру

    Что такое "пи"? Математик: Пи - это число, равное отношению между длиной окружности и ее диаметром. Физик: Пи - это 3.1415927 + 0.0000005 Инженер: Пи - это что-то около 3.

    двадцать две седьмых.

    Свойства Трансцендентность и иррациональность \pi — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа \pi была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году [3] путём разложения числа \frac{e-1}{2^n} в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел \pi и \pi^2. \pi — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа \pi была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году [4]. Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа \pi, то доказательство трансцендентности \pi положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет. В 1934 году Гельфонд доказал трансцендентность числа e^\pi[5]. В 1996 году Юрий Нестеренко доказал, что для любого натурального n числа \pi и e^{\pi\sqrt n} алгебраически независимы, откуда, в частности, следует трансцендентность чисел \pi+e^\pi,\pi e^\pi и e^{\pi\sqrt n}[6][7]. \pi является элементом кольца периодов (а значит, вычислимым и арифметическим числом). Но неизвестно, принадлежит ли 1/\pi к кольцу периодов. Соотношения Известно много формул для вычисления числа \pi: Формула Виета для приближения числа π (англ.) русск.: \frac2\pi= \frac{\sqrt{2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots Это первое известное явное представление \pi с бесконечным числом операций. Применив тождество \sin(2\cdot\theta)=2\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta рекурсивно и перейдя к пределу, получим \phi\cdot \cos\tfrac\phi2\cdot\cos\tfrac\phi4\cdots = \sin \phi остаётся подставить \phi=\tfrac\pi2 и воспользоваться формулой для косинуса удвоенного угла. Формула Валлиса: \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} Ряд Лейбница: \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} Другие ряды: \begin{align} \pi &= \tfrac12\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} + \tfrac4{8k+4} - \tfrac1{8k+7}\right) \\ &= \tfrac14\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+1} + \tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} - \tfrac2{8k+5} - \tfrac2{8k+6} - \tfrac1{8k+7}\right) \\ &= \;\;\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{(-1)^k}{4^k}\left(\tfrac2{4k+1} + \tfrac2{4k+2} + \tfrac1{4k+3}\right) \end{align} \pi=2 \sqrt{3} \sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\, 3^k \, (2k+1)} Кратные ряды: \pi=8\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(4m-2)^{2k}}=4\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2)^2}=\sqrt[4\,\,]{360 \sum \limits_{k=1}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^k\frac{1}{m(k+1)^3}} Пределы: \pi=\lim \limits_{m\rightarrow \infty }{\frac { (m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[ (2m )! \right] ^{2}\,m}} \pi= \sqrt{\frac{6}{\lim \limits_{n\to\infty}\prod \limits_{k=1 \atop p_k \in \mathbf{P}}^{n}\,\left ( 1-\frac{1}{p_{k}^2}\right ) }}\quad \to здесь p_k \, - простые числа Тождество Эйлера: e^{i \pi} + 1 = 0\; Другие связи между константами: \frac{\pi}{e}=2 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left (\frac{2k+1}{2k-1} \right )^{2k-1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k} \pi \cdot e = 6 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k+3}{2k+1}\right )^{2k+1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k} Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса» \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi} Интегральный синус: \int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x

    нехочу огарчать но я не знаю ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа

    touch.otvet.mail.ru

    Загадочное число "пи". Как оно появилось и для чего необходимо? — журнал "Рутвет"

    Со школьной скамьи все помнят о некоем числе "пи", которое обозначается греческой буквой π и которое используется в многочисленных геометрических формулах, например, для вычисления длины окружности. Но откуда взялось это число, и почему оно так популярно?

    Дело в том, что π выражает соотношение длины окружности к длине ее диаметра. И для абсолютно всех окружностей в мире это соотношение одинаково и примерно равно 3,14!

    На такое удивительное свойство окружностей люди обратили внимание еще в глубокой древности. Так, оно было известно еще в древнем Вавилоне и Египте. Вычисленное древними учеными соотношение по точности отличается от известной сегодня величины всего лишь на 1%! На протяжении всей истории научной мысли люди не прекращали попыток вычислить значение этого соотношения, которое тогда еще не называлось числом π, самыми разными способами.

    Например, Архимед описывал вокруг окружности и вписывал в нее многоугольники, принимая их периметр за верхнюю и нижнюю оценку длины окружности, соответственно. Рассматривая правильные 96-угольники, он смог получить достаточно точную оценку для числа π. Работали над этой задачей древние китайские и индийские ученые, получая все более точные оценки и используя все более оригинальные методы.

    В Средние Века и Новое время с развитием математического анализа и, в особенности, теории рядов, удалось вычислить число "пи" с точностью до 16-го знака после запятой. С появлением компьютеров наука шагнула далеко вперед, и к 2011 году ученые смогли вычислить значение числа π с точностью в 10 триллионов цифр после запятой!

    Возникает вопрос – а зачем нужна такая колоссальная точность вычислений? Конечно, в обычной жизни, в строительстве, архитектуре и на производстве хватит и относительно небольшой степени точности, например, в 10-15 знаков. Однако не будем забывать, насколько глубоко проникла наука в далекое космическое пространство и внутрь материи. А в этих областях нужны намного более точные оценки. Еще одним стимулом служит гипотеза о том, что некоторые универсальные постоянные (постоянная Планка, гравитационная постоянная, число "пи") могут изменяться при искривлении пространства.

    Так что не все так просто с этим удивительным числом "пи"!

    www.rutvet.ru