Как найти и записать координаты точки. Как найти координату


Как находить координаты точек?

Как находить координаты точек?

Навык находить координаты точки, понадобится не только для решения задач по математике, но и пригодится в жизни. Ведь это умение ориентироваться по карте, строить чертежи, работать в некоторых графических редакторах и даже играть в морской бой. В статье представлена информация о том, как находить координаты точек.

Математические оси

Координата точки - величины, которые определяют ее положение.Точка может располагаться на плоскости или в трехмерном пространстве. Любая плоскость имеет две величины. В математике это ось абсцисс и ординат, в географии – широта и долгота. На примере математической оси разберем, как находить координаты точек. Для того, чтобы найти координаты точки на плоскости необходимо сделать следующее:

  1. Чертим две оси, которые пересекаются под прямым углом. Точка их пересечения – это начала отсчета, то есть ноль. Горизонтальная ось соответствует оси абсцисс, она же ось X, а вертикальная – ось ординат или Y.
  2. Первой находим значение абсциссы. Для того этого опускаем перпендикуляр на горизонтальную ось. Это и есть ваше значение. Координата может иметь вид положительного числа, если точка лежит справа от оси ординат и отрицательного – если она расположена слева. Бывает, что точка лежит на оси Y. Получается, что сама ось и есть наш перпендикуляр. То есть значение абсциссы равняется нулю.
  3. Приступаем к определению значения ординаты. Для этого проводим перпендикуляр на ось Y.  При расположении точки выше оси Х, это значение будет положительным, а ниже отрицательным. Если точка лежит на оси Х, то ордината точки равняется нулю.
  4. Координаты точки записываем в виде значений Х, Y, взятых в скобки. Например, если абсцисса равна 3, ордината – 4,5, то точка имеет координаты (3;-4,5).

Если перед вами стоит задача, как найти координаты точки в пространстве, она не так сложна, как кажется на первый взгляд. Все чем отличается определение значений заключается в введении дополнительной оси. То есть ваша точка будет иметь не 2, а 3 координаты. Обычно в математике третью ось называют Z. Если вам надо найти координаты точки, опус

elhow.ru

Как найти координату точки

Умение находить координаты точки позволит приступить к решению многих математических задач. Такие задачи носят прикладной характер, то есть широко используются на практике. Для понимания задач необходимо знание некоторых математических терминов.

Вам понадобится

  • - карандаш;
  • - линейка.

Инструкция

  • Убедитесь, что точка расположена в системе координат. Координаты всегда определяются относительно чего-либо. Должна быть точка отсчета системы или "ноль". Относительно нее и определяются все остальные точки, расположенные в этой системе.Наиболее распространенной является декартова или прямоугольная система координат, расположенная на плоскости. Именно в ней мы и будем определять положение интересующей нас точки. У вас перед глазами должен быть ноль системы и две оси - X и Y, пересекающиеся в начале координат под прямым углом. Обычно ось X расположена по горизонтали, а ось Y - по вертикали.
  • Найдите абсциссу точки. Для этого проведите от точки перпендикуляр, до пересечения с осью X. Расстояние по оси X от начала координат до места пересечения и называется абсциссой. Она же - координата точки по оси X. Абсцисса может быть отрицательной, если пересечение произошло слева от оси Y, относительно нуля. Если точка расположена на оси Y, то абсцисса равна нулю.
  • Найдите ординату точки. Для этого проведите перпендикуляр от точки, до пересечения с осью Y. Расстояние по оси Y от начала координат до точки пересечения и называется ординатой. Она же - координата точки по оси Y. Ордината может быть отрицательной, если пересечение произошло ниже оси X, относительно нуля. Если точка расположена на оси X, то ордината равна нулю.
  • Запишите координаты точки. Они указываются в виде (X; Y), где вместо X и Y подставлены найденные значения абсциссы и ординаты. Например, точка имеет координаты (5; -7).

completerepair.ru

Как найти и записать координаты точки - Арифметика

каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Координаты точки на плоскости - это пара чисел, в которой на первомместе стоит абсцисса, а на втором - ордината точки.

Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):

  • находить координаты точки;
  • найти положение точки.

Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки перпендикуляры на оси координат.

Точка пересечения с осью x называется абсциссой точки А, а с осью y называется ординатой точки А.

Обозначают координаты точки, как указано выше (•) A (2; 3).

Пример (•) A (2; 3) и (•) B (3; 2).

На первом месте записывают абсциссу (координату по оси x), а на втором - ординату (координату по оси y) точки.

Особые случаи расположения точек

  1. Если точка лежит на оси Oy, то её абсцисса равна 0. Например, точка С (0, 2).
  2. Если точка лежит на оси Ox, то её ордината равна 0. Например, точка F (3, 0).
  3. Начало координат - точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
  4. Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
  5. Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
  6. Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
  7. Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).

Как найти положение точки по её координатам

Найти точку в системе координат можно двумя способами.

Первый способ

Чтобы определить положение точки по её координатам, например, точки D (-4 , 2), надо:

  1. Отметить на оси Ox, точку с координатой (-4), и провести через неё прямую перпендикулярную оси 0x.
  2. Отметить на оси Oy, точку с координатой (2), и провести через неё прямую перпендикулярную оси 0y.
  3. Точка пересечения перпендикуляров (•) D - искомая точка. У неё абсцисса равна (-4), а ордината равна (2).

Второй способ

Чтобы найти точку D (-4 , 2) надо:

  1. Сместиться по оси x влево на 4 единицы, так как у нас перед 4 стоит «-».
  2. Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит «+».

Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать готовую систему координат на нашем сайте.

 

intellect.ml

Координаты точки и координаты вектора. Как найти координаты вектора

Прямоугольная система координат

Чтобы определить понятие координат точек нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка, в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.

Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1. Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичные отрезки) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис. 1)

Координаты точки

Теперь разберем, как определяют в такой системе координат любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).

Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).

Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.

Пример 1

Записать координаты вершин параллелепипеда, изображенного на рисунке 4.

Решение.

Точка $O$ начало координат, следовательно, $O=(0,0,0)$.

Точки $Q$, $N$ и $R$ лежат на осях $Ox$, $Oz$ и $Oy$, соответственно, значит

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$

Точки $S$, $L$ и $M$ лежат в плоскостях $Oxz$, $Oxy$ и $Oyz$, соответственно, значит

$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$

Точка $P$ имеет координаты $P=(2,2.5,1.5)$

Координаты вектора

Будем рассматривать далее введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $\overline{i}$, по направлению оси $Oy$ - единичный вектор $\overline{j}$, а по направлению оси $Oz$ - единичный вектор $\overline{k}$.

Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).

Теорема 1

Произвольный вектор в пространстве может быть разложен по трем любым векторам, которые не лежат в одной плоскости, причем коэффициенты в таком разложении будут единственным образом определены.

Математически это выглядит следующим образом:

$\overline{δ}=m\overline{α}+n\overline{β}+l\overline{γ}$

Так как векторы $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $\overline{δ}$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид

$\overline{δ}=m\overline{i}+n\overline{j}+l\overline{k}$ (1)

где $n,m,l∈R$.

Определение 1

Три вектора $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ будут называться координатными векторами.

Определение 2

Коэффициенты перед векторами $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ в разложении (1) будут называться координатами этого вектора в заданной нами системе координат, то есть

$\overline{δ}=(m,n,l)$

Линейные операции над векторами

Теорема 2

Теорема о сумме: Координаты суммы любого числа векторов определяются суммой их соответствующих координат.

Доказательство.

Будем доказывать эту теорему для 2-х векторов. Для 3-х и более векторов доказательство строится аналогичным образом. Пусть $\overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline{β}=(β_1,β_2 ,β_3)$.

Эти вектор можно записать следующим образом

$\overline{α}=α_1\overline{i}+ α_2\overline{j}+α_3\overline{k}$, $\overline{β}=β_1\overline{i}+ β_2\overline{j}+β_3\overline{k}$

$\overline{α}+\overline{β}=α_1\overline{i}+ α_2\overline{j}+α_3\overline{k}+β_1\overline{i}+ β_2\overline{j}+β_3\overline{k}=(α_1+β_1 )\overline{i}+(α_2+β_2 )\overline{j}+(α_3+β_3)\overline{k}$

Следовательно

$\overline{α}+\overline{β}=(α_1+β_1,α_2+β_2,α_3+β_3)$

Теорема доказана.

Замечание 1

Замечание: Аналогично, определяется операция разности нескольких векторов.

Теорема 3

Теорема о произведении на число: Координаты произведения произвольного вектора на действительное число определяется произведением координат на это число.

Доказательство.

Возьмем $\overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, тогда $\overline{α}=α_1\overline{i}+ α_2\overline{j}+α_3\overline{k}$, а

$l\overline{α}=l(α_1\overline{i}+ α_2\overline{j}+α_3\overline{k})=lα_1\overline{i}+ lα_2\overline{j}+lα_3\overline{k}$

Значит

$k\overline{α}=(lα_1,lα_2,lα_3)$

Теорема доказана.

Пример 2

Пусть $\overline{α}=(3,0,4)$, $\overline{β}=(2,-1,1)$. Найти $\overline{α}+\overline{β}$, $\overline{α}-\overline{β}$ и $3\overline{α}$.

Решение.

$\overline{α}+\overline{β}=(3+2,0+(-1),4+1)=(5,-1,5)$

$\overline{α}-\overline{β}=(3-2,0-(-1),4-1)=(1,1,3)$

$3\overline{α}=(3\cdot 3,3\cdot 0,3\cdot 4)=(9,0,12)$

spravochnick.ru

Как найти координату точки

Умение находить координаты точки позволит приступить к решению многих математических задач. Такие задачи носят прикладной характер, то есть широко используются на практике. Для понимания задач необходимо знание некоторых математических терминов.

Вам понадобится

- карандаш;- линейка.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти координату точки" Как строить график координат Как найти основание трапеции, если известны диагонали Как определить центр массы

Инструкция

1

Убедитесь, что точка расположена в системе координат. Координаты всегда определяются относительно чего-либо. Должна быть точка отсчета системы или "ноль". Относительно нее и определяются все остальные точки, расположенные в этой системе.

Наиболее распространенной является декартова или прямоугольная система координат, расположенная на плоскости. Именно в ней мы и будем определять положение интересующей нас точки. У вас перед глазами должен быть ноль системы и две оси - X и Y, пересекающиеся в начале координат под прямым углом. Обычно ось X расположена по горизонтали, а ось Y - по вертикали.

2

Найдите абсциссу точки. Для этого проведите от точки перпендикуляр, до пересечения с осью X. Расстояние по оси X от начала координат до места пересечения и называется абсциссой. Она же - координата точки по оси X. Абсцисса может быть отрицательной, если пересечение произошло слева от оси Y, относительно нуля. Если точка расположена на оси Y, то абсцисса равна нулю.

3

Найдите ординату точки. Для этого проведите перпендикуляр от точки, до пересечения с осью Y. Расстояние по оси Y от начала координат до точки пересечения и называется ординатой. Она же - координата точки по оси Y. Ордината может быть отрицательной, если пересечение произошло ниже оси X, относительно нуля. Если точка расположена на оси X, то ордината равна нулю.

4

Запишите координаты точки. Они указываются в виде (X; Y), где вместо X и Y подставлены найденные значения абсциссы и ординаты. Например, точка имеет координаты (5; -7).

Как просто

masterotvetov.com

Как найти декартовы координаты заданной точки ( числовая окружность на плоскости) ? Внутри!

Если окружность перед глазами, то нужно просто посмотреть координаты точки М (1/2; sqrt3/2). 1/2 это косинус П\3, а (корень из 3)/2 - это синус П\3.

Вообще-то теорема Пифагора говорит (при гипотенузе 1), что x^2+y^2=1. А чтобы перевести из координат в угол и назад, как раз тригонометрия и нужна: x=cos(a), y=sin(a), где a-угол. Кстати, sin^2(a)+cos^2(a)=1 :)

установлено. что на привычной оси х обозначают косинусы и на оси у синусы. окружность считается единичной и координаты для определенной точки. символизирующей пересечение стороны угла с окружностью, запишутся ( косинус, синус) . смотрите прилагаемый рисунок. <img src="//otvet.imgsmail.ru/download/94b45cf5e57c5b1baffcbe79a9b5efe6_i-115.jpg" >

Знакомые все лица)) ) Каждая точка на единичной окружности имеет две координаты (x,y) x=cos&#945;;y=sin&#945;

Необходимо пользоваться аналитической зависимость x^2+y^2=R^2, где R - радиус окружности. Задаешься любым значением x и из зависимости находишь y.

<img src="//otvet.imgsmail.ru/download/fbc9e2359735c6d5c2e079f72745d0c5_i-912.jpg" > Окружность единичная. По Х-cos,по У-sin. Измерять надо в масштабе. Координаты пи/3 я показал. Это косинус и синус 60 гр. Посмотритеhttp://ucheba-legko.ru/view/matematika/10_klass/chislovaya_okrujnost_na_koordinatnoy_ploskosti Есть вопросы -пишите в личку. Удачи.

touch.otvet.mail.ru

Как найти координаты проекций точек

Пара точек, одна из которых является проекцией другой на плоскость, позволяет составить уравнение прямой, если известно уравнение плоскости. После этого задачу нахождения координат точки проекции можно свести к определению точки пересечения построенной прямой и плоскости в общем виде. После получения системы уравнений в нее останется подставить значения координат исходной точки.

Инструкция

  • Рассмотрите прямую, проходящую через точку A₁(X₁;Y₁;Z₁), координаты которой известны из условий задачи, и ее проекцию на плоскость Aₒ(Xₒ;Yₒ;Zₒ), координаты которой нужно определить. Эта прямая должна быть перпендикулярна плоскости, поэтому в качестве направляющего вектора используйте нормальный к плоскости вектор. Плоскость задается уравнением a*X + b*Y + c*Z - d = 0, значит, нормальный вектор можно обозначить как ā = {a;b;c}. Исходя из этого вектора и координат точки, составьте канонические уравнения рассматриваемой прямой: (X-X₁)/a=(Y-Y₁)/b=(Z-Z₁)/c.
  • Найдите точку пересечения прямой с плоскостью, записав полученные в предыдущем шаге уравнения в параметрической форме: X = a*t+X₁, Y = b*t+Y₁ и Z = c*t+Z₁. Эти выражения подставьте в известное из условий уравнение плоскости, чтобы найти такое значение параметра tₒ, при котором прямая пересекает плоскость:a*(a*tₒ+X₁) + b*(b*tₒ+Y₁) + c*(c*tₒ+Z₁) - d = 0Преобразуйте его так, чтобы в левой части равенства осталась только переменная tₒ:a²*tₒ + a*X₁ + b²*tₒ + b*Y₁ + c²*tₒ + c*Z₁ - d = 0a²*tₒ + b²*tₒ + c²*tₒ = d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁tₒ*(a² + b² + c²) = d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁tₒ = (d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)
  • Подставьте полученное значение параметра для точки пересечения в уравнения проекций на каждую координатную ось из второго шага:Xₒ = a*tₒ+X₁ = a*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + X₁Yₒ = b*tₒ+Y₁ = b*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Y₁Zₒ = c*tₒ+Z₁ = c*((d - a*X₁ - b*Y₁ - c*Z₁)/(a² + b² + c²)) + Z₁Рассчитанные по этим формулам величины и будут значениями абсциссы, ординаты и аппликаты точки проекции. Например, если исходная точка A₁ задана координатами (1;2;-1), а плоскость определена формулой 3*X-Y+2*Z-27 = 0, координаты проекции этой точки будут равны:Xₒ = 3*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + 1 = 3*28/14 + 1 = 7Yₒ = -1*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + 2 = -1*28/14 + 2 = 0Zₒ = 2*((27 - 3*1 - (-1*2) - 2*(-1))/(3² + (-1²) + 2²)) + (-1) = 2*28/14 - 1 = 3Значит, координаты точки проекции Aₒ(7;0;3).

completerepair.ru