Задачи об отрезках на координатной плоскости. Как найти длину отрезка на координатной плоскости


Длина отрезка по координатам

Каждый отрезок определяется двумя точками, между которыми он заключен, и которые называются его концами. Если координаты точек известны, то можно вычислить длину заданного отрезка.Рассмотрим отрезок КР. Его концы заданы координатами (x1; y1) и (x2; y2) соответственно. В таком случае, воспользовавшись теоремой Пифагора, можно рассчитать его длину. Рассмотрим, как это делается.На координатной плоскости проведем отрезок КР, концы которого имеют координаты (x1; y1) и (x2; y2). Из концов отрезка проведем к координатным осям перпендикуляры. Полученные отрезки на координатных осях будут являться проекциями заданного отрезка на эти оси.Полученные проекции переместим, двигаясь параллельно относительно каждой оси, к концам заданного отрезка. Таким образом, получим прямоугольный треугольник, гипотенузу которого нужно найти, так как она же является исходным отрезком. Соответственно перенесенные проекции — это катеты треугольника.Можно найти длину проекций. Из рисунка хорошо видно, что длина проекции на ось Оу равна разнице ординат точек К и Р, то есть у2 — у1. Соответственно, проекция на ось Ох также будет равна разнице, только абсцисс концов отрезка: х2 — х1.К треугольнику применим теорему Пифагора, согласно которой запишем:

   

Обозначение модуля отрезка КР указывает на то, что рассчитывается длина этого отрезка.Чтобы вычислить не квадрат длины, а саму длину, достаточно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

   

ru.solverbook.com

Как найти длину отрезка по координатам

Как найти длину отрезка по координатамРассмотрим две формулы вычисления длины отрезка для случаев, когда отрезок задан на плоскости и в пространстве.Если отрезок задан на плоскости, то координаты его концов будут описываться двумя значениями — координатой точки по оси Ох и координатой по оси Оу. Таким образом, если отрезок имеет концы в точках Р и Н, которые заданы координатами и , то длина такого отрезка будет вычисляться по формуле:

   

Если отрезок задан в пространстве, то координаты его концов будут описываться тремя значениями — координатой точки по оси Ох, по оси Оу и по оси Oz. Таким образом, если отрезок имеет концы в точках Р и Н, которые заданы координатами и , то длина такого отрезка будет вычисляться по формуле:

   

Рассмотрим использование формул на примерах.

Пример 1.Вычислить расстояние между двумя точками плоскости О (—2; 7) и С (9; 11).

Решение.Поскольку точки заданы на плоскости, то используем первую формулу:

   

Подставим в нее известные координаты точек:

   

   

Ответ. .

Аналогично рассчитывается расстояние между двумя точками в пространстве, только для этого нужно использовать вторую формулу.

ru.solverbook.com

Отрезки в координатной плоскости

В этом уроке содержатся задачи по геометрии, в которых необходимо найти координаты различных точек отрезков, находящихся на координатной плоскости. Приведены решения задач, которые могут вызывать у школьников затруднения при решении.

Задача. Расстояние между точками A(m;-3) и B(1;5) равно 10. Найдите значение m.

Решение. Примечание. Вместо знака квадратного корня далее по тексту использовано выражение sqrt(), что следует читать как квадратный корень, подкоренное выражение которого указано в скобках. Найдем расстояние между этими точками согласно формуле длины отрезка. sqrt(  (x1-x2)2+(y1-y2)2 ), подставим значения соответствующих координат точек отрезка sqrt(  (m-1)2+(-3-5)2 ), согласно условию, длина отрезка равна 10, получаем sqrt(  (m-1)2+(-3-5)2 ) = 10 (m-1)2+(-3-5)2 = 100 m2- 2m + 65 = 100 m2- 2m - 35 = 0 решаем полученное квадратное уравнение D = 144 x1=7 x2=-5 Ответ: Возможные значения m 7 и -5

Задача. Найдите координаты точки, лежащей на оси y и равноудаленной от точек с координатами A(-2;3) и B(6;1).

Решение. Примечание. Вместо знака квадратного корня далее по тексту использовано выражение sqrt(), что следует читать как квадратный корень, подкоренное выражение которого указано в скобках. Обозначим искомую точку как С. Поскольку известно, что искомая точка равноудалена от заданных точек А и В, то она находится от заданных координат точек на одном и том же расстоянии. Это означает, что длина отрезка BC равна длине отрезка AC.

BC = AC

Найдем расстояние между этими точками согласно формуле длины отрезка. sqrt(  (x1-x2)2+(y1-y2)2 ),

Учтем, что, поскольку искомая точка С лежит на оси y, то для точки С координата  x=0. AC = sqrt( (-2 - 0)2 +(3 - y)2 ) BC = sqrt( (0 - 6)2 +(y - 1)2 )

Поскольку AC=BC, приравняем выражения sqrt( (-2 - 0)2 +(3 - y)2 ) = sqrt( (0 - 6)2 +(y - 1)2 ) (-2 - 0)2 +(3 - y)2 = (0 - 6)2 +(y - 1)2 4 + 9 - 6y + y2 = 36 + y2 - 2y + 1 - 6y + 2y + y2- y2 =36 + 1 - 4 - 9 - 4y = 24 y = -6

Ответ: Координаты искомой точки (0;-6)

 Отрезки и прямые | Описание курса | Прямые на координатной плоскости 

   

profmeter.com.ua

Как найти длину отрезка на координатной прямой?

#1

Отрезок - геометрическое место точек, находящихся на одной прямой и заключенных в пределах его концов. Концами отрезка являются точки. Отрезок является замкнутым множеством, следовательно, можно определить его размер. Мерой размера для отрезка является его длина. Вычислить длину отрезка можно точно и приблизительно. Для приблизительного вычисления необходимо использовать подручные средства. Как найти длину отрезка используя линейку? Достаточно приложить начало линейки к началу отрезка и посмотреть на какой цифре кончается отрезок. Это и будет его длина. Но следует учесть некоторые нюансы: . Длину отрезка невозможно абсолютно точно вычислить. . Масштабы и единицы измерения могут не совпадать

#2

Но как найти длину отрезка с высокой или абсолютной точностью? Для пространства каждой размерности существуют свои формулы. Рассмотрим простейший, одномерный случай. Декартовой системой для одномерного случая является обыкновенная координатная прямая. В реальной жизни мы сталкиваемся с сотнями примеров различных координатных прямых. Это и линейки, и строительные рулетки, и лента портного и даже трасса, где каждый километр отмечен порядковым номером. Нет ничего проще, чем измерить отрезок в одномерном пространстве. Особо легко, если начало отрезка совпадает с началом отсчёта (нулём) координатной прямой. В таком случае его длина будет совпадать с модулем координаты его конца. К примеру: если отрезок выходит из нуля, а конец его имеет координату 5, то длина отрезка будет равна пяти.

#3

Также нет задачи легче, чем как сравнить два отрезка, исходящих из нуля. Больше будет тот отрезок, модуль чьей координаты будет большим. Например: из нуля на координатной плоскости в разные стороны выходят два отрезка. Координата отрезка, выходящего влево равна -7, а выходящего вправо - 4. Модуль первого отрезка равен 7 со знаком "+" , а модуль второго - 4 с тем же знаком. Следовательно первый отрезок длиннее второго. Если отрезок начинается не в нуле, тогда следует пользоваться универсальной формулой вычисления длины для одномерного пространства. Звучит она следующим образом: "Для того чтобы найти длину отрезка в одномерном пространстве необходимо из значения координаты правого конца вычесть значение координаты левого конца".

#4

Задача схожа с тем, как найти координаты середины отрезка, только в нашем случае координаты вычитаются, а не складываются и делятся пополам. Рассмотрим пример. Пусть отрезок имеет начало в точке 2, а конец в точке 11. Найти длину отрезка. Для этого вычтем из правой координаты значение левой: 11-2 = 9. Ответ: 9. Следует отметить, что можно наоборот, вычитать координату правого конца из левого, но тогда придётся брать результат по его абсолютному значению (модулю) . 2-11 = -9. Модуль -9 равен 9. Результат не изменился. Такой приём может помочь в решении специальных задач. Также следует рассмотреть примеры для двумерного пространства.

#5

Для двумерного пространства существуют специальные формулы, которые являются обобщением одномерного случая. Сразу рассмотрим конкретный пример, по пути решения объясняя формулы. Для её решения необходимо знать как называется отрезок, соединяющий 2 точки окружности. Такой отрезок называется хордой. Дана хорда с концами А (1;1) и B (4;5) . Найти длину отрезка AB. Длина отрезка АВ будет равна арифметическому квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат точек. Эта форму выводится из теоремы Пифагора. Теперь по порядку. Чтобы найти разность соответствующих координат необходимо из x-координаты точки В вычесть x-координату точки А. Получим 4-1 = 3. Проводим такую же операцию и для y-координаты. Получим 5-1 = 4. Теперь каждую полученную разность возводим в квадрат: 3*3=9,4*4=16. Полученные результаты складываем: 9+16=25. Далее извлекаем квадратный корень. Корень из 25 = 5. Ответ: длина АВ = 5.

uznay-kak.ru

Длина отрезка по координатам онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Приведу подробный пример, как можно определить длину отрезка по заданным координатам, воспользовавшись сервисом онлайн на сайте Контрольная работа Ру.

Допустим, вам надо найти длину отрезка на плоскости

(в пространстве вы можете по-аналогии расчитывать, только надо изменить точку на размерность трёх)

Отрезок AB имеет концы с координатами A (1, 2) и B (3, 4).

Для того, чтобы вычислить длину отрезка AB воспользуйтесь следующими шагами:

1. Перейдите на страницу сервиса по нахождению расстояния между двумя точками онлайн:

https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/vector/rasstoyanie-mezhdu-tochkami/

Мы можем этим пользоваться, т.к. длина отрезка по коорд. как раз и равна расстоянию между точками A и B.

2. По указанной ссылке введите координаты первой точки также, как изображено на рис. ниже.

Чтобы задать правильную размерность точки A, то потяните за нижний правый край влево, как показано на рис.

После того, как ввели координаты первой точки A(1, 2), то нажмите на кнопку

"Ввёл координаты первой точки, далее!"

3. На втором шаге вы увидите форму для ввода второй точки B, введите её координаты, как рис. ниже:

4. После того, как вы нажмёте "Далее", то вы получите подробное решение по нахождениею длины отрезка:

Точки a и b введены! Решение:

Даны точки a = [1 2] и b= [3 4]

Найдем расстояние между точками (s)

Находим: Расстояние между точками находится по правилу двух катетов и гипотенузы:s = ((1 - (3))^2 + (2 - (4))^2)^(0.5) = 2.82842712475Решением будет s = 2.82842712475

Т.е. длина отрезка равна ~ 2.83

www.kontrolnaya-rabota.ru

Как найти длину отрезка по координатам

Существуют три основных системы координат, используемых в геометрии, теоретической механике, других разделах физики: декартова, полярная и сферическая. В этих системах координат вся точка имеет три координаты. Зная координаты 2-х точек, дозволено определить расстояние между этими двумя точками.

Вам понадобится

  • Декартовы, полярные и сферические координаты концов отрезка

Инструкция

1. Разглядите для начала прямоугольную декартову систему координат. Расположение точки в пространстве в этой системе координат определяется координатами x,y и z. Из начала координат к точке проводится радиус-вектор. Проекции этого радиус-вектора на координатные оси и будут координатами этой точки.Пускай у вас сейчас есть две точки с координатами x1,y1,z1 и x2,y2 и z2 соответственно. Обозначьте за r1 и r2, соответственно, радиус-векторы первой и 2-й точки. Видимо, что расстояние между этими двумя точками будет равно модулю вектора r = r1-r2, где (r1-r2) — векторная разность.Координаты вектора r, видимо, будут следующими: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тогда модуль вектора r либо расстояние между двумя точками будет равно: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).

2. Разглядите сейчас полярную систему координат, в которой координата точки будет задаваться радиальной координатой r (радиус-вектор в плоскости XY), угловой координатой ? (углом между вектором r и осью X) и координатой z, аналогичной координате z в декартовой системе.Полярные координаты точки дозволено перевести в декартовы дальнейшим образом: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Тогда расстояние между двумя точками с координатами r1, ?1 ,z1 и r2, ?2, z2 будет равно R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2)^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((z1-z2)^2))

3. Сейчас разглядите сферическую систему координат. В ней расположение точки задается тремя координатами r, ? и ?. r — расстояние от начала координат до точки, ? и ? — азимутальные и зенитный угол соответственно. Угол ? аналогичен углу с таким же обозначением в полярной системе координат, а ? — угол между радиус-вектором r и осью Z, причем 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с координатами r1, ?1, ?1 и r2, ?2 и ?2 будет равно R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))

Видео по теме

jprosto.ru

Как найти длину отрезка по координатам

Существуют три основных системы координат, используемых в геометрии, теоретической механике, других разделах физики: декартова, полярная и сферическая. В этих системах координат каждая точка имеет три координаты. Зная координаты двух точек, можно определить расстояние между этими двумя точками.

Вам понадобится

  • Декартовы, полярные и сферические координаты концов отрезка

Инструкция

  • Рассмотрите для начала прямоугольную декартову систему координат. Положение точки в пространстве в этой системе координат определяется координатами x,y и z. Из начала координат к точке проводится радиус-вектор. Проекции этого радиус-вектора на координатные оси и будут координатами этой точки.Пусть у вас теперь есть две точки с координатами x1,y1,z1 и x2,y2 и z2 соответственно. Обозначьте за r1 и r2, соответственно, радиус-векторы первой и второй точки. Очевидно, что расстояние между этими двумя точками будет равно модулю вектора r = r1-r2, где (r1-r2) - векторная разность.Координаты вектора r, очевидно, будут следующими: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тогда модуль вектора r или расстояние между двумя точками будет равно: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)).
  • Рассмотрите теперь полярную систему координат, в которой координата точки будет задаваться радиальной координатой r (радиус-вектор в плоскости XY), угловой координатой ? (углом между вектором r и осью X) и координатой z, аналогичной координате z в декартовой системе.Полярные координаты точки можно перевести в декартовы следующим образом: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Тогда расстояние между двумя точками с координатами r1, ?1 ,z1 и r2, ?2, z2 будет равно R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2)^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((z1-z2)^2))
  • Теперь рассмотрите сферическую систему координат. В ней положение точки задается тремя координатами r, ? и ?. r - расстояние от начала координат до точки, ? и ? - азимутальные и зенитный угол соответственно. Угол ? аналогичен углу с таким же обозначением в полярной системе координат, а ? - угол между радиус-вектором r и осью Z, причем 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с координатами r1, ?1, ?1 и r2, ?2 и ?2 будет равно R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))

completerepair.ru