По диагоналям параллелограмма найти его стороны. Как найти диагональ в параллелограмме


Все формулы диагонали параллелограмма

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

 

1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.

 

a, b - стороны параллелограмма

D - большая диагональ

d - меньшая диагональ

α, β - углы параллелограмма

 

Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), (D, d):

 

 

 

Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), (D, d):

 

 

2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.

 

 

D - большая диагональ

d - меньшая диагональ

α,  β - углы между диагоналями

S - площадь параллелограмма

 

Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, (D, d):

 

 

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

www-formula.ru

Как найти диагональ параллелограмма?

Параллелограмм представляет собой геометрическую фигуру, характерной особенностью которой является то, что у нее противоположные стороны параллельны и попарно равны, а также диагонали в ней пересекаются, и точка пресечения делит их пополам. Квадрат, ромб и прямоугольник являются параллелограммами.

Диагональ параллелограмма

Рассмотрим, как найти диагональ параллелограмма. В параллелограмме:

  • Сумма углов, которые прилегают к одной стороне, всегда будет составлять 180 градусов;
  • Точка, в которой диагонали пересекаются, есть центр симметрии параллелограмма.
  • В любом четырехугольнике, в том числе в параллелограмме сумма всех углов равна 360 градусов;
  • Удвоенная сумма квадратов двух смежных сторон параллелограмма всегда равна сумме квадратов диагоналей.

Для того чтобы знать, как найти большую диагональ параллелограмма, надо определиться с буквенным обозначением. К примеру, мы имеем параллелограмм со сторонами АВ и ВС. Маленькой буквой «а» обозначим одну длину параллелограмма, а маленькой буквой «в» будет вторая его длина. Маленькими буквами d1 d2 обозначим диагонали. Для того чтобы найти диагональ параллелограмма надо:

  • Значение свойств параллелограмма помогает найти нужное решение. Диагонали, которые в точке пресечения делятся пополам, называются биссектрисами. Меньшая биссектриса – для тупых углов, большая для острых углов. Таким образом, когда рассматриваются пары треугольников, получаемых из одной диагонали и двух смежных сторон геометрической фигуры, другая половина диагонали является еще и медианой.
  • Треугольники, которые получаются в результате образования половинами диагонали и параллельными сторонами любого параллелограмм считаются подобными, также диагональ делит такую геометрическую фигуру на два треугольника, они симметричны относительно основания и абсолютно одинаковы.
  • Для нахождения большой диагонали параллелограмма необходимо воспользоваться общепринятой формулой, которая говорит о соотношении суммы квадратов длин сторон, которая удваивается и суммы квадратов двух диагоналей. Формула будет иметь такой вид: d1² + d2² = 2х(a² + b²).
  • Если большая диагональ - d2 , тогда формула будет иметь такой вид: d2 = {2х (a² + b²) – d1²}.

Рассмотрим на примере, как найти длину диагонали параллелограмма. Допустим, что параллелограмм имеет длину сторон: а = 3, в = 8. Необходимо найти ту диагональ, которая является большей, при этом будет известно, что она больше меньшей на три см. диагональ. Сначала записываем формулу в общем виде, она будет иметь вид: d1² + d2² = 2 х (9+64) = 146, далее выражаем длину меньшей диагонали: d1 = d2 – 3, подставив то выражение в первую формулу, получим: (d2 – 3)² + d2² = 146

  • Возводим в квад

elhow.ru

Как найти диагональ параллелограмма зная его стороны

Как найти диагональ параллелограмма, зная его стороныУ параллелограмма есть две диагонали, причем чаще всего одна из них длинная, а другая короткая.Запишем формулы для определения длины диагоналей параллелограмма через его стороны и не только ))Используя теорему косинусов несложно получить следующую формулу:

   

   

   

   

Здесь ugol2 — тупой угол между сторонами параллелограмма. Соответственно ugol1 — это острый угол между сторонами.Если кроме сторон параллелограмма известна еще и вторая диагональ, то можно использовать следующую формулу:

   

   

Запишем еще несколько формул для нахождения диагонали параллелограмма:

   

Здесь ugol3 и ugol4 — острый и тупой угол между диагоналями параллелограмма.Вторая диагональ находится аналогично:

   

ru.solverbook.com

Формулы диагонали параллелограмма

 

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

 

1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.

 

a, b - стороны параллелограмма

D - большая диагональ

d - меньшая диагональ

α, β - углы параллелограмма

 

Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), (D, d):

 

 

Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), (D, d):

 

 

2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.

 

 

D - большая диагональ

d - меньшая диагональ

α,  β - углы между диагоналями

S - площадь параллелограмма

 

Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, (D, d):

 

 

 

 

 

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

zdesformula.ru

Диагонали параллелограмма | Онлайн калькулятор

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого по определению противоположные стороны параллельны и равны. Как следствие, противоположные углы параллелограмма также будут между собой равны, а так как сумма всех углов в четырехугольнике равна 360 градусам, то можно сделать вывод, что сумма двух последовательных углов будет равна 180 градусам. Данное свойство будет играть существенную роль для нахождения диагоналей параллелограмма, с учетом того, что они разной длины.

Так как каждая диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника, именно их свойства и будут использованы для выведения формулы диагонали параллелограмма.

В любом треугольнике угол и сторона, лежащие напротив, пропорциональны друг другу. Для параллелограмма это будет значить, что более длинная диагональ будет лежать напротив тупого угла, а более короткая диагональ - напротив острого.С учетом того, что стороны треугольников, полученных в результате проведения диагоналей, одинаковы - это стороны параллелограмма, значение градусной меры угла между данными сторонами определяет чему будет равна длина диагонали,вычисленной по формуле. Другими словами, если в формулудиагонали подставить значение острого угла параллелограмма, то калькулятор вычислит длину короткой диагонали, а если подставить значение тупого угла - то длинной.

Для того чтобы перейти от одного угла к другому, используется разность 180 градусов и заданного угла, таким образом калькулятор одновременно может вычислить обе диагонали.

α=180°-β

Чтобы вывести формулу диагонали параллелограмма, используется теорема косинусов в треугольнике, который диагональ образует со сторонами. В любом из подобных треугольников, диагональ является стороной, противолежащей углу параллелограмма и, соответственно, ее квадрат равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (сторон параллелограмма, в данном случае) за вычетом удвоенного произведения тех же сторон на косинус приведенного угла. Чтобы найти длину диагонали параллелограмма, калькулятор вычисляет квадратный корень из данного выражения.

allcalc.ru

По диагоналям параллелограмма найти его стороны

Чтобы по диагоналям параллелограмма найти его стороны, нужно использовать свойство диагоналей параллелограмма.

Задача 1.

Диагонали параллелограмма равны 18 см и 26 см, а одна из сторон на 10 см больше другой. Найти стороны параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC=26 см, BD=18 см,

AD на 10 см больше AB.

Найти: AB, AD.

Решение:

Пусть AB=x см, тогда AD=(х+10) см.

По свойству диагоналей параллелограмма,

   

Составим уравнение и решим его:

   

   

   

Делим обе части уравнения на 4, получаем:

   

   

   

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, AB=10 см, AD=10+10=20 см.

Ответ: 10 см, 20 см.

Задача 2.

Найти стороны параллелограмма, если они относятся как 8:19, а диагонали параллелограмма равны 30 см и 50 см.

Рисунок — аналогичный.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC=50 см, BD=30 см,

AB:AD=8:19.

Найти: AB, AD.

Решение.

Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AB=8k см, AD=19k см.

По свойству диагоналей параллелограмма,

   

Составляем уравнение:

   

   

   

   

   

Значит, AB=2∙8=16 см, AD=2∙19=38 см.

Ответ: 16 см, 38 см.

www.treugolniki.ru

Как найти длину диагонали параллелограмма

Результатом соединения в четырехугольнике противоположных друг другу вершин является построение его диагоналей. Существует общая формула, связывающая длины этих отрезков с другими измерениями фигуры. По ней, в частности, можно найти длину диагонали параллелограмма.

Инструкция

  • Постройте параллелограмм, выбрав при необходимости масштаб так, чтобы все известные измерения максимально соответствовали начальным данным. Хорошее понимание условий задачи и построение наглядного графика – залог быстроты решения. Помните, что в этой фигуре стороны попарно параллельны и равны.
  • Проведите обе диагонали, соединив противоположные вершины. Эти отрезки обладают несколькими свойствами: они пересекаются в середине своих длин, а любой из них делит фигуру на два симметрично одинаковых треугольника. Длины диагоналей параллелограмма связаны формулой суммы квадратов:d1² + d2² = 2•(а² + b²), где а и b – длина и ширина.
  • Очевидно, что знать только длины основных измерений параллелограмма недостаточно для того, чтобы вычислить хотя бы одну диагональ. Рассмотрим задачу, в которой заданы стороны фигуры: а = 5 и b = 9. Также известно, что одна из диагоналей больше другой в 2 раза.
  • Составьте два уравнения с двумя неизвестными:d1 = 2•d2d1² + d2² = 2•(а² + b²) = 212.
  • Подставьте d1 из первого уравнения во второе:5•d2² = 212 → d2 ≈ 6,5;Найдите длину первой диагонали:d1 = 13.
  • Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. Диагонали первых двух фигур представляют собой равные отрезки, следовательно, формулу можно переписать в более простом виде:2•d² = 2•(а² + b²) → d = √(а² + b²), где а и b – длина и ширина прямоугольника;2•d² = 2•2•а² → d = √2•а², где а – сторона квадрата.
  • Длины диагоналей ромба – не равные величины, однако равны его стороны. Исходя из этого, формулу тоже можно упростить:d1² + d2² = 4•а².
  • Эти три формулы можно вывести также из отдельного рассмотрения треугольников, на которые фигуры делятся диагоналями. Они прямоугольные, значит, можно применить теорему Пифагора. Диагонали – это гипотенузы, катеты – стороны четырехугольников.

completerepair.ru