Как найти площадь и периметр трапеции? Какие есть формулы? Как находить периметр трапеции


Как найти периметр трапеции?

Каких только задачек нам не приходится решать, фантазия составителей  учебников  по  математике поистине неистощима. Например, как найти периметр трапеции? Для начала разберемся, что же такое трапеция.  Не стоит бояться  этой фигуры. Это всего-навсего прямоугольник, у которого две стороны всегда параллельны друг другу и  называются основаниями, а остальные называются боковыми, и они могут быть разными. Если боковые стороны   трапеции равны,  то она называется равнобедренной.  Также есть понятие прямоугольной трапеции, у которой одна из боковых сторон соединена с основанием трапеции под прямым углом.

Как находить периметр трапеции

Что такое периметр? Периметр - это сумма длин всех сторон прямоугольника, к коим трапеция также имеет непосредственное отношение. Все остальные задачи, где неизвестны некоторые величины, сводятся также к суммированию сторон после того, как  все неизвестные будут найдены.  

А, если все стороны равны? Если вам дана для решения задача, где даны все сторону трапеции  a b c d, то их просто нужно сложить все вместе, полученный результат и будет периметром. Периметр прямоугольной трапеции.  Предположим, что нам дана прямоугольная трапеция, где известно нижнее основание AD=a, неперпендикулярная сторона CD=d, а также угол Альфа.

Как решать? Проводим из вершины С высоту, которая сразу разделяет нашу трапецию на прямоугольник ABCE и треугольник ECD. Этот треугольник у нас прямой, мы знаем его гипотенузу CD, которая равна  d. Теперь находим катеты треугольника по формуле CE = CD*sin(ADC) и ED = CD*cos(ADC). Теперь мы знаем практически все.  ВС = АD-ЕD, а сторона АВ соответственно равна найденному ранее катету СЕ. Теперь осталось только сложить все найденные стороны, и ответ готов.

Периметр равнобедренной трапеции

  1. Известны боковые стороны и средняя линия. Как найти периметр равнобедренной трапеции, если вам из

elhow.ru

Как найти периметр трапеции Как? Так!

Содержимое:

3 метода:

Трапеция – это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Чтобы найти периметр трапеции, нужно сложить длины всех четырех сторон. Зачастую в задачах длины некоторых сторон не даны, но известны другие величины, например, высота или угол трапеции. При помощи известных величин, а также геометрических и тригонометрических правил можно найти неизвестные стороны трапеции.

Шаги

Метод 1 По известным боковым сторонам и основаниям

  1. 1 Запишите формулу для вычисления периметра трапеции. Формула: P=T+B+L+R
  2. 2 В формулу подставьте известные длины сторон. Не используйте этот метод, если не даны значения всех четырех сторон.
    • Например, верхнее основание трапеции равно 2 см, нижнее основание равно 3 см, а каждая боковая сторона равна 1 см. В этом случае формула примет следующий вид:P=2+3+1+1 3 Сложите длины сторон. Так вы найдете периметр трапеции.
      • В нашем примере:P=2+3+1+1

        Метод 2 По известным высоте, боковым сторонам и верхнему основанию

        1. 1 Разбейте трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Для этого из каждой вершины трапеции проведите высоту.
          • Если одна сторона трапеции перпендикулярна основаниям, вы не сможете получить два прямоугольных треугольника. В этом случае боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна высоте, а трапеция разбивается на прямоугольник и один прямоугольный треугольник.
        2. 2 Обозначьте каждую высоту. Так как высоты являются противоположными сторонами прямоугольника, они равны.
          • Например, высота трапеции равна 6 см. Из вершин трапеции проведите две высоты (к нижнему основанию). Возле каждой высоты напишите «6 см» (без кавычек).
        3. 3 Обозначьте среднюю часть нижнего основания (она является нижней стороной прямоугольника). Эта часть равна верхнему основанию (то есть верхней стороне прямоугольника), так как противоположные стороны прямоугольника равны. Не используйте этот метод, если не дано значение верхнего основания.
          • Например, если верхнее основание трапеции равно 6 см, то средняя часть нижнего основания также равна 6 см.
        4. 4 Запишите теорему Пифагора для первого прямоугольного треугольника. Формула: a2+b2=c2
        5. 5 В формулу подставьте известные величины первого треугольника. Боковую сторону трапеции подставьте вместо c 6 Возведите в квадрат известные значения. Затем при помощи вычитания обособьте переменную b 7 Извлеките квадратный корень, чтобы найти b.) Вы найдете основание первого прямоугольного треугольника. Напишите найденное значение под основанием соответствующего треугольника.
          • В нашем примере:b2=45 8 Найдите неизвестную сторону второго прямоугольного треугольника. Для этого запишите теорему Пифагора для второго треугольника и действуйте так, как описано выше. Если дана равнобедренная трапеция, у которой боковые стороны равны,то два прямоугольных треугольника являются равными, то есть любая сторона одного треугольника равна соответствующей стороне другого.
            • Например, если вторая боковая сторона трапеции равна 7 см, то формула запишется так:a2+b2=c2 9 Сложите значения всех сторон трапеции. Периметр любого многоугольника равен сумме всех его сторон:P=T+B+L+R

              Метод 3 По известным высоте, основаниям и нижним углам

              1. 1 Разбейте трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Для этого из каждой вершины трапеции проведите высоту.
                • Если одна сторона трапеции перпендикулярна основаниям, вы не сможете получить два прямоугольных треугольника. В этом случае боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна высоте, а трапеция разбивается на прямоугольник и один прямоугольный треугольник.
              2. 2 Обозначьте каждую высоту. Так как высоты являются противоположными сторонами прямоугольника, они равны.
                • Например, высота трапеции равна 6 см. Из вершин трапеции проведите две высоты (к нижнему основанию). Возле каждой высоты напишите «6 см» (без кавычек).
              3. 3 Обозначьте среднюю часть нижнего основания (она является нижней стороной прямоугольника). Эта часть равна верхнему основанию (то есть верхней стороне прямоугольника), так как противоположные стороны прямоугольника равны.
                • Например, если верхнее основание трапеции равно 6 см, то средняя часть нижнего основания также равна 6 см.
              4. 4 Напишите функцию (формулу) синуса угла первого прямоугольного треугольника. Функция: sin⁡θ=BH 5 В формулу синуса подставьте известные величины. Вместо противоположной стороны подставьте высоту треугольника. Вы найдете гипотенузу, то есть боковую сторону трапеции.
                • Например, если нижний угол трапеции равен 35 градусов, а высота треугольника равна 6 см, то формула запишется так:sin⁡(35)=6H 6 Найдите синус угла. Это делается при помощи научного калькулятора, а именно клавиши SIN. Найденное значение подставьте в формулу.
                  • При помощи калькулятора вы найдете, что синус угла в 35 градусов приблизительно равен 0,5738. Таким образом, формула примет следующий вид:0,5738=6H 7 Найдите переменную H. Для этого каждую сторону уравнения (формулы) умножьте на Н, а затем каждую сторону уравнения разделите на синус угла. Или просто разделите высоту треугольника на синус угла.
                    • В нашем примере:0,5738=6H 8 Найдите гипотенузу второго прямоугольного треугольника. Напишите функцию (формулу) синуса угла второго прямоугольного треугольника: sin⁡θ=BH 9 Запишите теорему Пифагора для первого прямоугольного треугольника. Формула: a2+b2=c2 10 В формулу подставьте известные величины первого треугольника. Боковую сторону трапеции подставьте вместо c 11 Найдите b 12 Найдите основание второго прямоугольного треугольника. Для этого воспользуйтесь теоремой Пифагора (a2+b2=c2 13 Сложите значения всех сторон трапеции. Периметр любого многоугольника равен сумме всех его сторон:P=T+B+L+R или треугольник 90-45-45) существуют формулы, при помощи которых можно найти неизвестные стороны без использования функции синуса или теоремы Пифагора.
                    • Чтобы найти синус угла, воспользуйтесь научным калькулятором – введите угол, а затем нажмите клавишу SIN. Или используйте тригонометрические таблицы.

                    Что вам понадобится

                    • Калькулятор
                    • Карандаш
                    • Бумага

Прислал: Лебедева Мария . 2017-11-06 17:23:24

kak-otvet.imysite.ru

Как найти площадь и периметр трапеции? Какие есть формулы?

Как найти площадь и периметр трапеции? Какие есть формулы?

  • Периметр трапеции

    Как известно, трапеция имеет четыре стороны.

    Периметр - это сумма длин всех сторон, в случае с обычной или прямоугольной трапецией он будет равен:

    P = AD + CD + BC + AB.

    Если трапеция равнобедренная, то AD = BC. Соответственно, P = 2AD + CD + AB.

    Площадь трапеции

    В общем случае она определяется по следующей формуле:

    S = h*(AB + CD)/2, где h - высота, проведнная к основанию AB и (AB + CD)/2 - средняя линия трапеции.

    В случае с прямоугольной трапецией е высота совпадает с одной из боковых сторон. Формула будет той же, но теперь вместо высоты трапеции будет фигурировать е сторона:

    S = AD*(AB + CD)/2

  • Ну это смотря что известно об этой трапеции. Проще всего площадь трапеции найти так: высота умножить на длину короткой стороны прибавить отношение произведения высоты на разность длинной и короткой сторон к двум. Стороны, которые имеются ввиду- это те, которые паралленые друг другу, основания трапеции.

  • Вывести формулу площади трапеции можно самостоятельно, если вспомнить, что трапеция - это прямоугольник у которого одна или две стороны скошены. Площадь прямоугольника находится по формуле 1/2 ав, где а и в - стороны прямоугольника. Но точно та же формула будет справедлива и для трапеции, только если сторона В в трапеции будет равна ее высоте, то сторона А окажется равной средней линии трапеции. А средняя линия трапеции находится по формуле (А+Б)/2. Тогда получаем, что площадь трапеции следует искать по форомуле:

    S = (A+B)/2*H

    Ну а периметр трапеции находится как сумма всех его сторон. Если боковые стороны не известны, то пригодится теорема Пифагора как для равнобедренной трапеции, так и для прямоугольной.

  • Площадь трапеции, у которой основания a1 и a2, средняя линия m = (a1 + a2)/2, а высота h.

    S = (a1 + a2)*h/2 = m*h

    Периметр равнобочной трапеции, у которой боковые стороны равны b

    P = a1 + a2 + 2*b

    У прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, то есть совпадает с высотой. Вторая равна b.

    P = a1 + a2 + h + b

  • Равнобедренная трапеция:

    Пусть известны основания трапеции a и b (a >

    b) , и боковые стороны c = d.

    Периметр Р = a + b + 2c

    Площадь : S= (a+b)2*h , где h - высота трапеции. Найдм h:

    h = c^2 - (a - b)^2/4.

    Для прямоугольной трапеции: a , b - основания , h - высота и боковая сторона ,

    с - 2-я боковая сторона.

    Периметр Р = a + b + c + h , но h = c^2-(a-b)^2

    Площадь S = (a + b)/2}*h = (a + b)/2* c^2 - (a - b )^2.

    При других исходных данных (например , углы при основании ) формулы периметра и площади будут немного другие.

  • info-4all.ru

    Как найти периметр трапеции?

    Периметр любой фигуры находится как сумма длин всех ее сторон.Трапеция представляет собой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет. Если обозначить длины сторон произвольной трапеции как a, b, c и d, то периметр трапеции, который обозначается буквой Р (для любой фигуры) будет равен:

       

    Пример.Дана трапеция, длины сторон которой равны 121 см, 345 см, 234 см и 205 см. Найти периметр данной трапеции.

    Решение:Для нахождения периметра трапеции добавим все ее длины сторон:

       

    Ответ: (см).

    У равнобокой трапеции боковые стороны равны.На рисунке показана равнобокая трапеция, боковые стороны которой .

    Тогда периметр равнобокой трапеции можно записать несколько сокращенным способом, а именно:

       

    Пример.В равнобокой трапеции основания равны 11 и 23 см, а высота, проведенная к большему основанию, равна 17 см. Найти периметр данной трапеции.Решение:Воспользуемся рисунком с обозначенной высотой ВК.Проведем еще одну высоту к большему основанию – CN. В результате получим прямоугольник BCNK. По определению прямоугольника стороны BC=KN. Получившиеся треугольники и являются прямоугольными и равными между собой. Таким образом AK=ND. Тогда . Выразим из последнего равенства АК:

       

    Подставим известные величины:

       

    Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем из  сторону AB:

       

    Теперь можем найти периметр данной равнобокой трапеции:

       

    Ответ: .

    ru.solverbook.com

    Как найти периметр равнобедренной трапеции

    Трапеция - это двухмерная геометрическая фигура, имеющая четыре вершины и лишь две параллельные стороны. Если длина двух ее непараллельных сторон одинакова, то трапеция называется равнобедренной или равнобокой. Границу такого многоугольника, составленную из его сторон, принято обозначать греческим словом «периметр». В зависимости от набора исходных данных вычислять длину периметра нужно по разным формулам.

    Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти периметр равнобедренной трапеции" Как найти диагональ равнобедренной трапеции Как найти площадь и периметр прямоугольника Как найти площадь трапеции, если известны диагонали

    Инструкция

    1

    Если известны длины обоих оснований (a и b) и длина боковой стороны (c), то периметр (P) этой геометрической фигуры рассчитывается очень просто. Так как трапеция равнобедренна, то ее боковые стороны имеют одинаковую длину, а это значит, что вам известны длины всех сторон - просто сложите их: P = a+b+2*c.

    2

    Если длины обоих оснований трапеции неизвестны, но дана длина средней линии (l) и боковой стороны (c), то и этих данных достаточно для вычисления периметра (P). Средняя линия параллельна обоим основаниям и по длине равна их полусумме. Удвойте это значение и добавьте к нему тоже удвоенную длину боковой стороны - это и будет периметром равнобедренной трапеции: P = 2*l+2*c.

    3

    Если из условий задачи известны длины обоих оснований (a и b) и высота (h) равнобедренной трапеции, то с помощью этих данных можно восстановить длину недостающей боковой стороны. Сделать это можно рассмотрев прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет неизвестная сторона, а катетами - высота и короткий отрезок, который она отсекает от длинного основания трапеции. Длину этого отрезка можно вычислить, поделив пополам разность между длинами большего и меньшего оснований: (a-b)/2. Длина гипотенузы (боковой стороны трапеции), согласно теореме Пифагора, будет равна квадратному корню из суммы возведенных в квадрат длин обоих известных катетов. Замените в формуле из первого шага длину боковой стороны полученным выражением, и вы получите такую формулу периметра: P = a+b+2*v(h?+(a-b)?/4).

    4

    Если в условиях задачи даны длины меньшего основания (b) и боковой стороны (c), а также высота равнобедренной трапеции (h), то рассматривая тот же вспомогательный треугольник, что и в предыдущем шаге, вам придется вычислять длину катета. Вновь воспользуйтесь теоремой Пифагора - искомая величина будет равна корню из разности между возведенной в квадрат длиной боковой стороны (гипотенузы) и высотой (катетом): v(c?-h?). По этому отрезку неизвестного основания трапеции можно восстановить его длину - удвойте это выражение и добавьте к результату длину короткого основания: b+2*v(c?-h?). Подставьте это выражение в формулу из первого шага и найдите периметр равнобедренной трапеции: P = b+2*v(c?-h?)+b+2*c = 2*(v(c?-h?)+b+c). Как просто

    masterotvetov.com

    Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника

    Периметр любой геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. В этой статье, на примере задач, мы приведем формулы для нахождения периметров квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, многоугольника и эллипса.

    Периметр квадрата

    Определение 1

    Квадратом будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех равных сторон, все углы которой прямые (рис. 1).

    Пример 1

    Найти периметр квадрата, если его сторона равняется $α$.

    Решение.

    Так как все 4 стороны квадрата равны между собой, то, по определению периметра, получим

    $P=α+α+α+α=4α$

    Вывод: Для нахождения периметра квадрата надо длину его стоны умножить на $4.$

    Периметр прямоугольника

    Определение 2

    Прямоугольником будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем противоположные стороны равны между собой, все углы которой прямые (рис. 2).

    Пример 2

    Найти периметр прямоугольника, если его смежные стороны равняются $α$ и $β$.

    Решение.

    Так как противоположные стороны равняются между собой, то

    $P=α+α+β+β=2α+2β=2(α+β)$

    Вывод: Для нахождения периметра прямоугольника надо сумму длин его смежных сторон умножить на $2.$

    Периметр параллелограмма

    Определение 3

    Параллелограммом будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем противоположные стороны равны между собой и параллельны друг другу (рис. 3).

    Пример 3

    Найти периметр параллелограмма, если его смежные стороны равняются $α$ и $β$.

    Решение.

    Так как противоположные стороны равняются между собой, то

    $P=α+α+β+β=2α+2β=2(α+β)$

    Вывод: Для нахождения периметра параллелограмма надо сумму длин его смежных сторон умножить на $2.$

    Периметр трапеции

    Определение 4

    Трапецией будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем 2 противоположные стороны, которые называются основаниями, параллельны друг другу (рис. 4).

    Пример 4

    Найти периметр трапеции, если его стороны равняются $α$, $β$, $γ$ и $δ$.

    Решение.

    По определению периметра плоской геометрической фигуры получим, что

    $P=α+β+γ+δ$

    Вывод: Для нахождения периметра трапеции надо сложить все длины его сторон.

    Периметр ромба

    Определение 5

    Ромбом будем назвать такой параллелограмм, у которого все стороны равны между собой (рис. 5).

    Пример 5

    Найти периметр ромба, если его сторона равняется $α$.

    Решение.

    Так как все 4 стороны ромба равны между собой, то, по определению периметра, получим

    $P=α+α+α+α=4α$

    Вывод: Для нахождения периметра ромба надо длину его стоны умножить на $4.$

    Периметр многоугольника

    Отметим, что все фигуры, рассмотренные выше, являются многоугольниками, а именно четырехугольниками. Поэтому можем рассмотреть более обще понятие, а именно понятие -угольника.

    Определение 6

    $n$-угольником будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из $n$ непересекающихся сторон и $n$ углов. (рис. 6).

    Пример 6

    Найти периметр $n$-угольника, если его стороны равняются $α_1$, $α_2$,…, $α_n$.

    Решение.

    По определению периметра плоской геометрической фигуры получим, что

    $P=α_1+α_2+⋯+ α_n$

    Вывод: Для нахождения периметра -угольника надо сложить все длины его сторон.

    Здесь можно выделить периметр правильного $n$-угольника, то есть $n$-угольника, у которого все стороны равняются между собой.

    Пример 7

    Найти периметр правильного $n$-угольника, если его сторона равняется $α$.

    Решение.

    Так как все $n$ сторон правильного $n$-угольника равны между собой, то, по определению периметра, получим

    $P=α+α+⋯+α+α$ - $n$ раз.

    Следовательно

    $P=nα$

    Вывод: Для нахождения периметра правильного $n$-угольника надо длину его стороны умножить на $n$

    Периметр эллипса

    Здесь просто введем формулу, для вычисления периметра (или еще иначе длины) эллипса. Пусть нам дан эллипс, как на рисунке 7.

    Тогда периметр эллипса равняется

    $P=4\frac{πab+a-b}{a+b}$

    spravochnick.ru

    Как найти периметр прямоугольной трапеции

    Трапеция - четырехугольник с двумя параллельными основаниями и не параллельными боковыми сторонами. Прямоугольная трапеция имеет прямой угол при одной боковой стороне.

    Инструкция

    • Периметр прямоугольной трапеции равен сумме длин сторон двух оснований и двух боковых сторон. Задача 1. Найдите периметр прямоугольной трапеции, если известны длины всех его сторон. Для этого сложите все четыре значения: P (периметр) = a + b + c + d.Это самый простой вариант нахождения периметра, задачи с другими начальными данными, в конечном итоге, сводятся к ней. Рассмотрим варианты.
    • Задача 2.Найдите периметр прямоугольной трапеции, если известно нижнее основание AD = a, не перпендикулярная ему боковая сторона CD = d, а угол при этой боковой стороне ADC равен Альфа.Решение.Проведите высоту трапеции из вершины C на большее основание, получим отрезок CE, трапеция разделилась на две фигуры - прямоугольник ABCE и прямоугольный треугольник ECD. Гипотенуза треугольника - это известная нам боковая сторона трапеции CD, один из катетов равен перпендикулярной боковой стороне трапеции (по правилу прямоугольника две параллельные стороны равны - AB = CE), а другой - отрезок, длина которого равна разности оснований трапеции ED = AD - BC.
    • Найдите катеты треугольника: по существующим формулам CE = CD*sin(ADC) и ED = CD*cos(ADC).Теперь вычислите верхнее основание - BC = AD - ED = a - CD*cos(ADC) = a - d*cos(Альфа).Узнайте длину перпендикулярной боковой стороны - AB = CE = d*sin(Альфа).Итак, вы получили длины всех сторон прямоугольной трапеции.
    • Сложите полученные значения, это и будет периметр прямоугольной трапеции:P = AB + BC + CD + AD = d*sin(Альфа) + (a - d*cos(Альфа)) + d + a = 2*a + d*(sin(Альфа) - cos(Альфа) + 1).
    • Задача 3.Найдите периметр прямоугольной трапеции, если известны длины его оснований AD = a, BC = c, длина перпендикулярной боковой стороны AB = b и острый угол при другой боковой стороне ADC = Альфа.Решение.Проведите перпендикуляр CE, получите прямоугольник ABCE и треугольник CED.Теперь найдите длину гипотенузы треугольника CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Альфа).Итак, вы получили длины всех сторон.
    • Сложите полученные значения:P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Альфа) + a = a + b*(1+1/sin(Альфа) + с.

    completerepair.ru