Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби? Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби примеры


Иррациональность в знаменателе дроби

Если дробь содержит корень в знаменателе, то мы говорим об иррациональности в знаменателе дроби. Часто бывает необходимо освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. То есть заменить исходную дробь, содержащую иррациональность в знаменателе на тождественно равную ей дробь, которая иррациональность не содержит. Как это сделать?

Общее правило такое: нужно числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное знаменателю дроби.

Выражение А называется сопряженным иррациональному выражению В, если произведение АВ не содержит знака корня, то есть произведение АВ является рациональным числом.

Рассмотрим примеры сопряженных выражений.

1. Иррациональное выражение В содержит квадратный корень.

Возможны два случая:

a) . В этом случае :

Например, чтобы исключить иррациональность из знаменателя в дроби , нужно числитель и знаменатель дроби умножить на , получим

Внимание! Обязательно умножаем на выражение, сопряженное знаменателю и числитель, и знаменатель дроби - только в этом случае мы получим дробь, тождественно равную исходной. 

б) ,

В этом случае сопряженным выражением будет дополняющее до разности квадратов:

Для выражения сопряженным будет :

Соответственно, для выражения сопряженным будет :

Например, исключим иррациональность из знаменателя дроби

Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на

Получим:

 

2.  Иррациональное выражение В содержит корень n-й степени:

В этом случае сопряженное выражение :

Пример: исключим иррациональность из знаменателя дроби

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение . Получим:

3. Иррациональное выражение В является одним из множителей в разложении на множители разности или суммы кубов. В этом случае сопряженным ему выражением будет второй множитель:

Исключим иррациональность из знаменателя дроби:

Рассмотрим пример упрощения выражения, содержащего иррациональность в знаменателе дроби.

Найти значение выражения:

Внимание! Если нужно упростить выражение, содержащее иррациональность в знаменателе, то первым делом исключаем иррациональность из знаменателя, даже если кажется, что без этого можно обойтись.

Итак, исключим иррациональность из знаменателя первой и второй дроби:

Подставим полученные выражения в исходное:

Итак,

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

ege-ok.ru

Урок 19. Избавление от иррациональности в числителе или знаменателе дроби

Используя предыдущие преобразования радикалов, можно освобождать подкоренное выражение от дроби. Освободить подкоренное выражение от дроби: Чтобы из знаменателя можно было извлечь кубический корень, умножим оба члена дроби на  32. ПРИМЕР:

Освободить подкоренное выражение от дроби:

Чтобы из знаменателя можно было извлечь корень четвёртой степени, умножим оба члена дроби на  2  (так как  8 = 23). Если подкоренное выражение – алгебраическая дробь, подобные примеры решаются аналогично. ПРИМЕР: ПРИМЕР: Уничтожение иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Замена дроби, у которой знаменатель (числитель) – иррациональное выражение, тождественной ей дробью с рациональным знаменателем (числителем) называется уничтожение иррациональности в знаменателе (числителе) дроби. Ниже рассмотрены основные приёмы уничтожения иррациональностей в знаменателях. Уничтожение иррациональностей в числителях дробей выполняется аналогично. ПРИМЕР: Если в знаменателе имеются три и более радикалов, то иногда полезно предварительно сгруппировать члены и свести данный случай к уже разобранным. ПРИМЕР: ПРИМЕР: Избавьтесь от знака корня в знаменателе дроби: Ближайшее натуральное число, превосходящее  3  и делящееся на  5, есть  5. Чтобы показатель шестёрки стал равен пяти, выражение в знаменателе надо умножить на Следовательно, освобождение от иррациональности в знаменатели дроби будет способствовать выражение На которое надо умножить числитель и знаменатель: ПРИМЕР: Избавьтесь от знака корня в знаменателе дроби: Очевидно, что ближайшее натуральное число, которое превосходит  15  и при этом делится без остатка на  4, это  16. Чтобы получить показатель степени в знаменателе равным  16, нужно умножить находящееся там выражение на Таким образом, умножение числителя и знаменателя исходной дроби на (заметим, значение этого выражение не равно нулю при любых действительных  х) позволит избавиться от иррациональности в знаменателе: Задания к уроку 19

krasavtsev.blogspot.com

Иррациональность в знаменателе дроби | Ластики.ру

Суть метода состоит в умножении и делении дроби на такое выражение, которое позволит исключить иррациональность (квадратные и кубические корни) из знаменателя и сделает его проще. После этого дроби проще привести к общему знаменателю и окончательно упростить исходное выражение.

Дробь можно освободить от иррациональности (от иррационального выражения) в  в знаменателе, например, так:

 

Чтобы освободить дробь от иррациональности в числителе или в знаменателе, можно применять формулы сокращенного умножения, которые применительно к корням имеют вид:

Выражения

  и   

называются взаимно сопряженными выражениями. Их произведение равно разности подкоренных выражений:

 

Пример. Освободить дроби от иррациональности в знаменателе:

Решение.

Ответ:

Г) Избавьтесь от иррациональности в знаменателе (ЕГЭ)

Решение основано на основном свойстве дроби, позволяющим умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же, не равное нулю число. Чтобы избавиться от знаков радикала в знаменателе дроби, обычно используют ФСУ (формулы сокращенного умножения). Ведь если разность двух радикалов умножить на их сумму, то получится разность квадратов корней, т.е. получится выражение без знаков радикалов.

Д) Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение:

Помните: в математике главное – тренировка. Чем больше примеров Вы решаете, тем лучше Вы это делаете.

Ластики.ру желают Вам отличной учебы!

lastici.ru

Избавление от иррациональности в знаменателе дроби

Избавление от иррациональности в знаменателе дроби.

Цель урока: создание условий для формирования умений, избавляться от иррациональности в знаменателе дроби, содержащие арифметические квадратные корни в ходе работы в группах сменного состава.

Задачи урока: проверить теоретическую подготовку учащихся, умение извлекать корень п-й степени из числа, формировать навыки правильного воспроизведения своих знаний и умений, развивать вычислительные навыки, воспитывать умение работать в парах и ответственности за общее дело.

Ход урока.

I. Организационный момент

II. Повторение ранее изученного

Вынести множитель из-под знака корня:

Внести множитель под знак корня:

3

Упростить:а) б) в) 

(Проверка после проверки домашнего задания)

III. Проверка домашнего задания.

(самооценивание с помощью сигнальных карточек: зелёный - всё верно, красный – есть ошибка)

IV. Изучение нового материала. Работа в группах сменного состава.

Самостоятельно изучить материал, чтобы потом суметь объяснить его членам группы. Класс делится на 6 групп по 4 человека.

1, 2 и 3 группы – учащиеся со средними способностями

Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби? Рассмотрим общий случай и конкретные примеры.

  

Если число или выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе, является одним из множителей, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе и числитель, и знаменатель дроби умножаем на квадратный корень из этого числа или выражения:

Примеры. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1)  ;

2) .

4, 5 и 6 группы – учащиеся со способностями выше средних.

Если знаменатель дроби — сумма либо разность двух выражений, содержащих квадратный корень, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе умножаем и числитель, и знаменатель на сопряженный радикал:

;

 

Примеры. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1) ;

2) ;

3)

Работа в новых группах (4 группы по 6 человек, от каждой группы по 1 человеку).

Объяснение изученного материала членам новой группы. (взаимооценивание – прокомментировать объяснение материала учеником)

V. Проверка усвоения теоретического материала. На вопросы отвечают учащиеся, не объясняющие данную часть теоретического материала.

1) Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, если число или выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе, является одним из множителей?

2) Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, если знаменатель дроби — сумма либо разность двух выражений, содержащих квадратный корень?

3) как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби

а)

4) Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби

?

VI. Закрепление изученного материала. Работа с учебником

VII. Домашнее задание.

VIII. Рефлексия. «Телеграмма»

Итог урока.

videouroki.net

избавиться от иррациональности в знаменателе

Записи с меткой "избавиться от иррациональности в знаменателе"

По вашим просьбам!

5. Решите неравенство:

6. Упростите выражение:

17. f(x)=6x2+8x+5, F(-1)=3. Найдите F(-2).

Найдем С, зная, что F(-1) = 3.

3 = 2 ∙ (-1)3 + 4 ∙ (-1)2 + 5 ∙ (-1) + C;

3 = -2 + 4 – 5 + C;

C = 6.

Таким образом первообразная F(x) = 2x3 + 4x2 + 5x + 6. Найдем F(-2).

F(-2) = 2∙(-2)3+4∙(-2)2+5∙(-2)+6 = -16+16-10+6=-4.

20. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе

Решение основано на основном свойстве дроби, позволяющим умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же, не равное нулю число. Чтобы избавиться от знаков радикала в знаменателе дроби, обычно используют ФСУ (формулы сокращенного умножения). Ведь если разность двух радикалов умножить на их сумму, то получится разность квадратов корней, т.е. получится выражение без знаков радикалов.

21. Упростить выражение:

Решим этот пример двумя способами. 1) Представим подкоренное выражение второго множителя в виде квадрата суммы двух выражений, т.е. в виде(a + b)2. Это позволит нам извлечь арифметический квадратный корень.

2) Возведем первый множитель в квадрат и внесем его под знак арифметического квадратного корня второго множителя.

Решайте удобным для себя способом!

 22. Найдите (х1∙у1+х2∙у2), где (хn; yn) – решения системы уравнений:

Так как арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа, то допустимыми значениями переменной у служат все числа, удовлетворяющие неравенству y≥0. Так как произведение в первом уравнении системы равно отрицательному числу, то должно выполняться условие: x<0. Выразим х из первого уравнения и подставим его значение во второе уравнение. Решим получившееся уравнение относительно у, а затем найдем значения х, соответствующие полученным ранее значениям у.

23. Решить неравенство: 7sin2x+cos2x>5sinx.

Так как по  основному тригонометрическому тождеству: sin2x+cos2x=1, то представив данное неравенство в виде 6sin2x+ sin2x +cos2x>5sinx и применив основное тригонометрическое тождество, получаем:  6sin2x+ 1>5sinx.  Решаем неравенство:

6sin2x-5sinx+1 >0.  Сделаем замену:    sinx=y  и получим квадратичное неравенство:

6y2-5y+1>0. Решим это неравенство методом интервалов, разложив левую часть на множители. Для этого найдем корни полного квадратного уравнения:

6y2-5y+1=0.  Дискриминант  D=b2-4ac=52-4∙6∙1=25-24=1. Тогда получаем у1   и  у2:

24. В основании прямой призмы лежит правильный треугольник, площадь которого равна Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если ее объем равен 300 см3.

Пусть нам дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, в основании которой лежит правильный Δ АВС, его площадь нам известна. Применив формулу площади равностороннего треугольника, мы найдем сторону нашего треугольника АВС. Так как объем прямой призмы, вычисляется по формуле V=Sосн.∙ H, и нам также известен, то можно найти Н — высоту призмы. Боковое ребро призмы будет равно высоте призмы: AA1=H. Зная сторону основания и длину бокового ребра призмы можно найти площадь ее боковой поверхности по формуле: Sбок.=Pосн.∙ H.

25. На школьной викторине было предложено 20 вопросов. За каждый правильный ответ участнику начисляли 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал один из участников, если он отвечал на все вопросы и набрал 86 очков?

Пусть участник дал х правильных ответов. Тогда неправильных у него (20-х) ответов. Зная, что за каждый правильный ответ ему начисляли 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков и при этом он набрал 86 очков, составим уравнение:

12х-10·(20-х)=86;

12х-200+10х=86;

22х=286 ⇒ х=286:22 ⇒ х=13. Участник дал 13 правильных ответов.

Я желаю вам дать 25 правильных ответов на тест по математике на ЕНТ!

 

По вашим просьбам!

12. Решите уравнение:

13. Решите уравнение: sinx+tg(x/2)=0. Применим формулу для тангенса половинного аргумента. Тогда равенство примет вид:

Умножим обе части равенства на sinx≠0 и получаем: sin2x+1-cosx=0. Применим основное тригонометрическое тождество:

sin2x+cos2x=1, из которого следует, что sin2x=1- cos2x. Получаем равносильное уравнение:

1- cos2x+1-cosx=0, а после упрощения:

cos2x+cosx-2=0. Сделаем замену: cosx=y. Получаем приведенное квадратное уравнение относительно переменной у:

y2+y-2=0. Решаем и находим корни: y1=-2 и y2=1. Возвращаемся к первоначальной переменной:

1) cosx=-2. Это уравнение решений не имеет, так как  |cosx|≤1.

2) cosx=1. Это частный случай. Получаем x=2πk, k∈ Z.

20. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе

21. Известно, что

22. Пусть (х1; у1), (х2; у2) — решение системы:

23. Решите неравенство: sinx+cos2x≥1.  Это уравнение было и в прошлом году. Смотрите здесь тоже 23 задание.

24. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро 6. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть шар с центром в точке О1 и радиусом МО1 описан около правильной пирамиды MABCD с высотой МО=3 и боковым ребром МА=6. Требуется найти радиус шара МО1. Рассмотрим ΔМАМ1, в котором сторона ММ1 — диаметр шара. Тогда ∠МАМ1=90°. Найдем гипотенузу ММ1, если известны катет МА и проекция этого катета МО на гипотенузу. Помните? Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Нам в этой задаче пригодится только подчеркнутая часть правила.

Записываем равенство: МА2=МО∙ММ1. Подставляем свои данные: 62=3∙ ММ1. Отсюда ММ1=36:3=12. Мы нашли диаметр шара, следовательно, радиус МО1=6.

25. Петя старше Коли, который старше Миши, Маша старше Коли, а Даша младше Пети, но старше Маши. Кто третий по возрасту?

Будем считать: старше — это больше. Петя старше Коли, который старше Миши запишем так: Петя>Коля>Миша. Даша младше Пети, но старше Маши запишем так: Маша<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>Даша>Маша. Так как Маша старше Коли, то получаем:  Петя>Даша>Маша>Коля. И окончательно:  Петя>Даша>Маша>Коля>Миша. Таким образом, третий по возрасту — Маша.

Желаю успешной подготовки к ЕНТ!

test-training.ru

План урока по теме " Избавление от иррациональности в знаменателе дроби"

Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни

Цель урока: создание условий для формирования умений, упрощать выражения, содержащие арифметические квадратные корни в ходе работы в группах сменного состава.

Задачи урока: проверить теоретическую подготовку учащихся, умение извлекать квадратный корень из числа, формировать навыки правильного воспроизведения своих знаний и умений, развивать вычислительные навыки, воспитывать умение работать в парах и ответственности за общее дело.

Ход урока.

I. Организационный момент. «ТАБЛИЦА ГОТОВНОСТИ»

Фиксация уровня готовности к началу занятия.

25 карточек красного цвета (5 баллов), желтого цвета (4 балла), синего

цвета (3 балла).

Таблица готовности

5 баллов   (хочу знать, делать, решать)

 

4 балла  (я готов к работе)

 

3 балла  (я не очень хорошо себя чувствую, я не понимаю материал, мне нужна помощь)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Индивидуальная работа по карточкам

 

Карточка 1

Вынести множитель из-под знака корня:

Карточка 2

Внести множитель под знак корня:

3

Карточка 3

Упростить:а) б)  в)  

 (Проверка после  проверки домашнего задания)

III.  Проверка домашнего задания.

№166, 167 устно фронтально

(самооценивание с помощью сигнальных карточек: зелёный -  всё верно, красный – есть ошибка)

IV. Изучение нового материала. Работа  в группах сменного состава.

Самостоятельно изучить материал, чтобы потом суметь объяснить его членам группы. Класс делится на 6 групп по 4 человека.

1, 2 и 3 группы – учащиеся со средними способностями

 Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби? Рассмотрим общий случай и конкретные примеры.

  

Если число или выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе, является одним из множителей, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе и числитель, и знаменатель дроби умножаем на квадратный корень из этого числа или выражения:

Примеры. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

 

1)  ;

2) .

4, 5 и 6  группы – учащиеся со способностями выше средних.

Если знаменатель дроби — сумма либо разность двух выражений, содержащих квадратный корень, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе умножаем и числитель, и знаменатель на сопряженный радикал:

;

 

Примеры. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1) ;

2) ;

3)

Работа в новых группах  (4 группы по 6 человек, от каждой группы по 1 человеку).

Объяснение изученного материала членам новой группы. (взаимооценивание – прокомментировать объяснение материала учеником) 

V. Проверка усвоения теоретического материала. На вопросы отвечают учащиеся, не объясняющие данную часть теоретического материала.

1) Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, если число или выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе, является одним из множителей?

2) Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, если знаменатель дроби — сумма либо разность двух выражений, содержащих квадратный корень?

3) как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби

а)

4) Как избавиться от иррациональности в знаменателе дроби

?

VI.  Закрепление изученного материала. Проверочная самостоятельная работа.

№81 («Алгебра» 8 класс, А.Абылкасымова, И.Бекбоев, А.Абдиев, З,Жумагулова)

№170 (1,2,3,5,6) («Алгебра» 8 класс, А.Шыныбеков)

Критерии оценивания:

Уровень А – № 81 примеры 1-5        отметка «3»

Уровень В – № 81 примеры 6-8 и №170 примеры 5,6        отметка «4»

Уровень С – № 170 примеры 1-6        отметка «5»

(самооценивание,  проверка по образцу в флипчарте)

VII. Домашнее задание.

№ 218

VIII.  Рефлексия. «Телеграмма»

Каждому предлагается заполнить бланк телеграммы, получив при этом следующую инструкцию: «Что вы думаете о прошедшем занятии? Что было для вас важным? Чему вы научились? Что вам понравилось? Что осталось неясным? В каком направлении нам стоит продвигаться дальше? Напишите мне, пожалуйста, об этом короткое послание –телеграмму из 11 слов. Я хочу узнать ваше мнение для того, чтобы учитывать его в дальнейшей работе».

 

Итог урока. 

infourok.ru

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Корректная запись дробного числа не содержит иррациональности в знаменателе. Такая запись и легче воспринимается на вид, поэтому при появлении иррациональности в знаменателе разумно от нее избавиться. В этом случае иррациональность может перейти в числитель.

Инструкция

  • Для начала можно рассмотреть простейший пример - 1/sqrt(2). Квадратный корень из двух - иррациональное число в знаменателе.В этом случае необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на ее знаменатель. Это обеспечит рациональное число в знаменателе. Действительно, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Умножение двух одинаковых квадратных корней друг на друга даст в итоге то, что находится под каждым из корней: в данном случае - двойку.В итоге: 1/sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Этот алгоритм подходит также к дробям, в знаменателе которых корень умножается на рациональное число. Числитель и знаменатель в этом случае нужно умножить на корень, находящийся в знаменателе.Пример: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt(3)/6.
  • Абсолютно аналогично нужно действовать, если в знаменателе находится не квадратный корень, а, скажем кубический или любой другой степени. Корень в знаменателе нужно умножать на точно такой же корень, на этот же корень умножать и числитель. Тогда корень перейдет в числитель.
  • В более сложном случае в знаменателе присутствует сумма или разность иррационального и рационального числа или двух иррациональных чисел.В случае суммы (разности) двух квадратных корней или квадратного корня и рационального числа можно воспользоваться хорошо известной формулой (x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2). Она поможет избавиться от иррациональности в знаменателе. Если в знаменателе разность, то домножать числитель и знаменатель нужно на сумму таких же чисел, если сумма - то на разность. Эта домножаемая сумма или разность будет называться сопряженной к выражению, стоящему в знаменателе.Эффект этой схеме хорошо виден на примере: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.
  • Если в знаменателе присутствует сумма (разность), в которой присутствует корень большей степени, то ситуация становится нетривиальной и избавление от иррациональности в знаменателе не всегда возможно

completerepair.ru