Исследование функции на четность или нечетность. Исследовать на четность


2. Исследование функции на четность и нечетность.

Функция называется четной (нечетной), если для любогои выполняется равенство

.

График четной функции симметричен относительно оси .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6.2. Исследовать на четность или нечетность функции

1) ; 2); 3).

Решение.

1) Функция определена при . Найдем.

, т.е. . Значит, данная функция является четной.

2) Функция определена при

, т.е. . Таким образом, данная функция нечетная.

3) функция определена для , т.е. для

, . Поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Назовем ее функцией общего вида.

3. Исследование функции на монотонность.

Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале, если в этом интервале каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Функции возрастающие (убывающие) на некотором интервале называются монотонными.

Если функция дифференцируема на интервалеи имеет положительную (отрицательную) производную, то функциявозрастает (убывает) на этом интервале.

Пример 6.3. Найти интервалы монотонности функций

1) ; 3).

Решение.

1) Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем производную .

Производная равна нулю, если и. Область определения – числовая ось, разбивается точками,на интервалы. Определим знак производной в каждом интервале.

В интервале производная отрицательна, функция на этом интервале убывает.

В интервале производная положительна, следовательно, функция на этом интервале возрастает.

2) Данная функция определена, если или

.

Определяем знак квадратного трехчлена в каждом интервале.

Таким образом, область определения функции

.

Найдем производную ,, если, т.е., но. Определим знак производной в интервалах.

В интервале производная отрицательна, следовательно, функция убывает на интервале. В интервалепроизводная положительна, функция возрастает на интервале.

4. Исследование функции на экстремум.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая окрестность точки, что для всехиз этой окрестности выполняется неравенство.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Если функция в точкеимеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует (необходимое условие существования экстремума).

Точки, в которых производная равна нулю или не существует называются критическими.

5. Достаточные условия существования экстремума.

Правило 1. Если при переходе (слева направо) через критическую точку производнаяменяет знак с «+» на «–», то в точкефункцияимеет максимум; если с «–» на «+», то минимум; еслине меняет знак, то экстремума нет.

Правило 2. Пусть в точке первая производная функцииравна нулю, а вторая производная существует и отлична от нуля. Если, то– точка максимума, если, то– точка минимума функции.

Пример 6.4. Исследовать на максимум и минимум функции:

1) ; 2); 3);

4) .

Решение.

1) Функция определена и непрерывна на интервале .

Найдем производную и решим уравнение, т.е..Отсюда– критические точки.

Определим знак производной в интервалах ,.

При переходе через точки ипроизводная меняет знак с «–» на «+», поэтому по правилу 1– точки минимума.

При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «–», поэтому– точка максимума.

, .

2) Функция определена и непрерывна в интервале . Найдем производную.

Решив уравнение , найдеми– критические точки. Если знаменатель, т.е., то производная не существует. Итак,– третья критическая точка. Определим знак производной в интервалах.

Следовательно, функция имеет минимум в точке , максимум в точкахи.

.

3) Функция определена и непрерывна, если , т.е. при.

Найдем производную

.

Найдем критические точки:

Окрестности точек не принадлежат области определения, поэтому они не являются т. экстремума. Итак, исследуем критические точкии.

.

4) Функция определена и непрерывна на интервале . Используем правило 2. Найдем производную.

Найдем критические точки:

Найдем вторую производную и определим ее знак в точках

.

В точках функция имеет минимум.

.

В точках функция имеет максимум.

studfiles.net

Исследование функций на четность

На этом уроке мы подробно рассмотрим исследование функции на четность. Вначале вспомним определения четных и нечетных функций и их важное свойство – симметричность. Далее сформулируем алгоритм исследования функции на четность и покажем применение этого алгоритма для решения конкретных задач.

Тема: Числовые функции

Урок: Исследование функций на четность

 

В этом уроке мы напомним определения и свойства четных и нечетных функций, сформулируем алгоритм исследования функций на четность, и покажем пример использования алгоритма для решения конкретных задач.

Напоминание:

Функция  называется четной, если для любого  

График четной функции симметричен относительно оси y. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно оси y, то функция четная.

Функция  называется нечетной, если для любого  

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечетна.

Приведенные факты сформулируем более кратко и проиллюстрируем на графике.

 

1.(Рис).

2.(Рис. 2).

Этими опорными фактами мы будем пользоваться при определении четности функции.

Рассмотрим конкретные примеры.

Исследовать функцию на четность:

1.

Решение:

(Рис. 3).

Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме нуля. Область определения симметрична относительно нуля.

 

Ответ: Функция четная.

2. .

Решение:

(Рис. 4).

 несимметрична относительно нуля, значит это функция общего вида.

Ответ: Функция общего вида.

3.

Решение:

 область определения симметрична относительно нуля.

 

Ответ: Функция нечетная.

4.

Решение:  (Рис. 5).

Область определения симметрична относительно нуля.

 

Ответ: Функция нечетная.

5.

Решение:

Область определения симметрична относительно нуля (Рис. 5).

 

Ответ: Функция четная.

6.

Решение:  Область определения симметрична относительно нуля.

 

 

Мы видим, что для :

 

 

Функция не является ни четной, ни нечетной, значит, это функция общего вида

Ответ: Функция общего вида.

7..

Решение:  (Рис. 6).

Область определения несимметрична относительно нуля.

Ответ: Функция общего вида.

8.

Решение:

Построим график функции (Рис. 7).

График симметричен относительно оси y, функция четная.

Эту же функцию можно задать как

Ответ: Функция четная.

9. Постройте график функции  и прочитайте его, если

 

Решение: Построим график функции (Рис. 8).

График симметричен относительно оси y, функция четная.

Функция возрастает при

Функция убывает при

Мы вспомнили определения четной и нечетной функций, их свойства, сформулировали алгоритм исследования функции на четность и показали применение этого алгоритма для конкретных задач. На следующем уроке мы перейдем к исследованию степенных функций.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 280–282, 295.

mirror.vsibiri.info

Исследовать функцию на четность и нечетность y=(x-5)^2 -...

1Запишите функцию, исследование над которой необходимо провести, в виде y=y(x).2Замените аргумент функции на "-х". Подставьте этот аргумент в функциональное выражение.3Упростите выражение.4Таким образом, вы получили одну и ту же функцию, записанную для аргументов "х" и "-х". Посмотрите на две эти записи.Если y(-x)=y(x), то это четная функция.Если y(-x)=-y(x), то это нечетная функция.Если же про функцию нельзя сказать, что y(-x)=y(x) или y(-x)=-y(x), то по свойству четности это функция общего вида. То есть, она не является ни четной, ни нечетной.5Запишите сделанные вами выводы. Теперь вы можете их использовать в построении графика функции или же в дальнейшем аналитическом исследовании свойств функции.6Говорить о четности и нечетности функции можно также и в том случае, когда уже задан график функции. Например, график послужил результатом физического эксперимента.Если график функции симметричен относительно оси ординат, то y(x) - четная функция.Если график функции симметричен относительно оси абсцисс, то x(y) - четная функция. x(y) - функция, обратная функции y(x).Если график функции симметричен относительно начала координат (0,0), то y(x) - нечетная функция. Нечетной будет также обратная функция x(y).7Важно помнить, что понятие о четности и нечетности функции имеет прямую связь с областью определения функции. Если, например, четная либо нечетная функция не существует при х=5, то она не существует и при х=-5, чего нельзя сказать про функцию общего вида. При установлении четности и нечетности обращайте внимание на область определения функции.8Исследование функции на четность и нечетность коррелирует с нахождением множества значений функции. Для нахождения множества значений четной функции достаточно рассмотреть половину функции, правее либо левее нуля. Если при x>0 четная функция y(x) принимает значения от А до В, то те же значения она будет принимать и при xДля нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже достаточно рассмотреть только одну часть функции. Если при x>0 нечетная функция y(x) принимает диапазон значений от А до В, то при x

Оцени ответ

nebotan.com

9 класс. Алгебра. Четные и нечетные функции. - Исследование функции на четность.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы подробно рассмотрим исследование функции на четность. Вначале вспомним определения четных и нечетных функций и их важное свойство – симметричность. Далее сформулируем алгоритм исследования функции на четность и покажем применение этого алгоритма для решения конкретных задач.

 

Тема: Чис­ло­вые функ­ции

Урок: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций на чет­ность

 

В этом уроке мы на­пом­ним опре­де­ле­ния и свой­ства чет­ных и нечет­ных функ­ций, сфор­му­ли­ру­ем ал­го­ритм ис­сле­до­ва­ния функ­ций на чет­ность, и по­ка­жем при­мер ис­поль­зо­ва­ния ал­го­рит­ма для ре­ше­ния кон­крет­ных задач.

На­по­ми­на­ние:

Функ­ция  на­зы­ва­ет­ся чет­ной, если для лю­бо­го   

Гра­фик чет­ной функ­ции сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси y. Верно и об­рат­ное – если гра­фик функ­ции сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси y, то функ­ция чет­ная.

Функ­ция  на­зы­ва­ет­ся нечет­ной, если для лю­бо­го  

Гра­фик нечет­ной функ­ции сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат. Верно и об­рат­ное – если гра­фик функ­ции сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат, то функ­ция нечет­на.

При­ве­ден­ные факты сфор­му­ли­ру­ем более крат­ко и про­ил­лю­стри­ру­ем на гра­фи­ке.

 

1.(Рис).

2.(Рис. 2).

Этими опор­ны­ми фак­та­ми мы будем поль­зо­вать­ся при опре­де­ле­нии чет­но­сти функ­ции.

Из при­ве­ден­ных опре­де­ле­ний и свойств вы­те­ка­ет

Ал­го­ритм ис­сле­до­ва­ния функ­ции  на чет­ность.

1. Ис­сле­до­вать  на сим­мет­рич­ность от­но­си­тель­но нуля Если  не сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но нуля, это функ­ция об­ще­го вида.

2. Найти 

3. Срав­нить 

- если  то функ­ция чет­ная;

- если  то функ­ция нечет­ная;

- если хотя бы для од­но­го 

то это функ­ция об­ще­го вида.

Рас­смот­рим кон­крет­ные при­ме­ры.

Ис­сле­до­вать функ­цию на чет­ность:

1. 

Ре­ше­ние:

(Рис. 3).

Об­ласть опре­де­ле­ния со­сто­ит из всех дей­стви­тель­ных чисел, кроме нуля. Об­ласть опре­де­ле­ния сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но нуля.

 

Ответ: Функ­ция чет­ная.

2. .

Ре­ше­ние:

(Рис. 4).

 несим­мет­рич­на от­но­си­тель­но нуля, зна­чит это функ­ция об­ще­го вида.

Ответ: Функ­ция об­ще­го вида.

3. 

Ре­ше­ние:

 об­ласть опре­де­ле­ния сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но нуля.

 

Ответ: Функ­ция нечет­ная.

4. 

Ре­ше­ние:  (Рис. 5).

Об­ласть опре­де­ле­ния сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но нуля.

 

Ответ: Функ­ция нечет­ная.

5. 

Ре­ше­ние: 

Об­ласть опре­де­ле­ния сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но нуля (Рис. 5).

 

Ответ: Функ­ция чет­ная.

6. 

Ре­ше­ние:  Об­ласть опре­де­ле­ния сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но нуля.

 

 

Мы видим, что для :

 

 

Функ­ция не яв­ля­ет­ся ни чет­ной, ни нечет­ной, зна­чит, это функ­ция об­ще­го вида

Ответ: Функ­ция об­ще­го вида.

7..

Ре­ше­ние:  (Рис. 6).

Об­ласть опре­де­ле­ния несим­мет­рич­на от­но­си­тель­но нуля.

Ответ: Функ­ция об­ще­го вида.

8. 

Ре­ше­ние:

По­стро­им гра­фик функ­ции (Рис. 7).

Гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси y, функ­ция чет­ная.

Эту же функ­цию можно за­дать как 

Ответ: Функ­ция чет­ная.

9. По­строй­те гра­фик функ­ции  и про­чи­тай­те его, если

 

Ре­ше­ние: По­стро­им гра­фик функ­ции (Рис. 8).

Гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси y, функ­ция чет­ная.

Функ­ция воз­рас­та­ет при 

Функ­ция убы­ва­ет при 

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/issledovanie-funktsiy-na-chetnost?konspekt&chapter_id=34

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=fUPLarmiN84

www.kursoteka.ru

Как проверить функцию на четность и нечетность

Крупную часть школьной программы математики занимает изыскание функций, в частности, проверка на четность и нечетность . Данный способ является значимой составляющей процесса постижения нрава поведения функции и построения ее графика.

Инструкция

1. Свойства четности и нечетности функции определяется исходя из могущества знака довода на ее значение. Это могущество отображается на графике функции в определенной симметрии. Иными словами, выполняется качество четности, если f(-x) = f(x), т.е. знак довода не влияет на значение функции, и нечетности, если объективно равенство f(-x) = -f(x).

2. Нечетная функция графически выглядит симметричной касательно точки пересечения координатных осей, четная – касательно оси ординат. Примером четной функции может служить парабола x², нечетной – f = x³.

3. Пример № 1Исследовать на четность функцию x²/(4·x² — 1).Решение:Подставьте в данную функцию –x взамен x. Вы увидите, что знак функции не изменится, от того что довод в обоих случаях присутствует в четной степени, которая нейтрализует негативный знак. Следственно, исследуемая функция является четной.

4. Пример № 2Проверить функцию на четность и нечетность: f = -x² + 5·x.Решение:Как и в предыдущем примере, подставьте –x взамен x: f(-x) = -x² – 5·x. Видимо, что f(x) ? f(-x) и f(-x) ? -f(x), следственно, функция не владеет свойствами ни четности, ни нечетности. Такая функция именуется индифферентной либо функцией всеобщего вида.

5. Изучать функцию на четность и нечетность дозволено также наглядным образом при построении графика либо нахождении области определения функции. В первом примере областью определения является уйма x ∈ (-?; 1/2) ∪ (1/2; +?). График функции симметричен касательно оси Oy, значит, функция четная.

6. В курсе математики вначале постигают свойства элементарных функций, а после этого полученные познания переносят на изыскание больше трудных функций. Элементарными являются степенные функции с целым показателем, показательные вида a^x при a>0, логарифмические и тригонометрические функции.

Изысканием функции называют особое задание в школьном курсе математики, в ходе которого выявляются основные параметры функции и строится ее график. Ранее целью данного изыскания было построение графика, сегодня же эта задача решается с подмогой специализированных компьютерных программ. Но все же не лишним будет ознакомиться с всеобщей схемой изыскания функции.

Инструкция

1. Находится область определения функции, т.е. диапазон значений x, при которых функция принимает какое либо значение.

2. Определяются области непрерывности и точки обрыва. При этом обыкновенно области непрерывности совпадают с областью определения функции, нужно изучать левые и правые приделы изолированных точек.

3. Проверяется присутствие вертикальных асимптот. Если функция имеет обрывы, то нужно изучать концы соответствующих интервалов.

4. Четность и нечетность функции проверяется по определению. Функция y = f(x) именуется четной, если для всякого x из области определения правильно равенство f(-x) = f(x).

5. Функция проверяется на периодичность. Для этого x меняется на x + T и ищется наименьшее правильное число T. Если такое число существует, то функция периодична, а число T – период функции.

6. Функция проверяется на монотонность, находятся точки экстремума. При этом производную функции приравнивают к нулю, обнаруженные при этом точки, выставляют на числовой прямой и добавляют к ним точки, в которых производная не определена. Знаки производной на получившихся интервалах определяют области монотонности, а точки перехода между различными областями являются экстремумами функции.

7. Изучается выпуклость функции, находятся точки перегиба. Изыскание производится подобно изысканию на монотонность, но при этом рассматривается вторая производная.

8. Находятся точки пересечения с осями OX и OY, при этом y = f(0) – пересечение с осью OY, f(x) = 0 – пересечение с осью OX.

9. Определяются пределы на концах области определения.

10. Строится график функции.

11. По графику определяется область значений функции и сжатость функции.

Чётные и нечётные функции – это числовые функции, области определения которых (и в первом, и во втором случае) симметричны касательно системы координат. Как же определить, какая из 2-х представленных числовых функций является чётной?

Вам понадобится

  • лист бумаги, функция, ручка

Инструкция

1. Для того дабы определить чётную функцию , раньше каждого запомните её определение. Функцию f (x) дозволено назвать чётной, если для всякого значения х (икс) из области определения выполняются оба равенства: а) -x € D;б) f (-x) = f (x).

2. Запомните, что если при противоположных значениях x (икс) значения y (игрек) равны, то исследуемая функция является чётной.

3. Разглядите пример чётной функции. Y = x?. В этом случае при значении x = -3, y = 9, и при противоположном значении x = 3 y = 9. Обратите внимание, данный пример доказывает, что при противоположных значениях x (икс) (3 и -3) значения y (игрек) равны.

4. Обратите внимание, что на каждой области определения график чётной функции симметричен оси OY, в то время как график нечётной функции на все области определения симметричен касательно начала координат. Простейшим примером чётной функции служат функции y = cos x; y = ?x?; y = x? + ?x?.

5. Если точка (a; b) принадлежит графику чётной функции, то и симметричная ей касательно оси ординат точка(-a; b) также принадлежит данному графику, из чего следует, что график чётной функции симметричен касательно оси ординат.

6. Помните, что не всякая функция непременно является либо чётной, либо нечётной. Некоторые из функций могут быть суммой чётной и нечётной функций (примером может служить функция f (x) = 0).

7. При изысканий функции на чётность, запомните и оперируйте следующими заявлениями: а) сумма чётных (нечётных) функций также является чётной (нечётной) функцией; б) произведение 2-х чётных либо нечётных фунций является чётной функцией; в) произведение нечётной и чётной функций является нечётной функцией; г) если функция f чётна (либо нечётна), то и функция 1/f также является чётной (либо нечётной).

8. Функция именуется чётной, если при изменении знака довода значение функции остаётся непоколебимым. f (x) = f (-x). Используйте данный легкой метод для определения чётности функции: если значение останется непоколебимым при умножении на -1, то функция – чётная.

Видео по теме

Изыскание функции на четность либо нечетность — один из шагов всеобщего алгорифма изыскания функции, нужного для построения графика функции и постижения её свойств. В этом шаге нужно определить, является ли функция четной либо нечетной. Если про функцию невозможно сказать, что она является четной либо нечетной, то говорят, что это функция всеобщего вида.

Инструкция

1. Запишите функцию в виде зависимости y=y(x). Скажем, y=x+5.

2. Подставьте взамен довода x довод (-x) и посмотрите, что получилось в результате. Сравните с первоначальной функцией y(x). Если y(-x)=y(x), имеем четную функцию. Если y(-x)=-y(x), имеем нечетную функцию. Если y(-x) не равняется y(x) и не равняется -y(x), имеем функцию всеобщего вида.

3. Запишите итог к данному шагу изыскания функции. Допустимые варианты итога:y(x) — четная функция,y(x) — нечетная функция,y(x) — функция всеобщего вида.

4. Переходите к дальнейшему шагу изыскания функции, применяя типовой алгорифм.

Изыскание функции на четность и нечетность помогает строить график функции и постигать нрав ее поведения. Для этого изыскания нужно сравнить данную функцию, записанную для довода «х» и для довода «-х».

Инструкция

1. Запишите функцию, изыскание над которой нужно провести, в виде y=y(x).

2. Замените довод функции на «-х». Подставьте данный довод в функциональное выражение.

3. Упростите выражение.

4. Таким образом, вы получили одну и ту же функцию, записанную для доводов «х» и «-х». Посмотрите на две эти записи.Если y(-x)=y(x), то это четная функция.Если y(-x)=-y(x), то это нечетная функция.Если же про функцию невозможно сказать, что y(-x)=y(x) либо y(-x)=-y(x), то по свойству четности это функция всеобщего вида. То есть, она не является ни четной, ни нечетной.

5. Запишите сделанные вами итоги. Сейчас вы можете их применять в построении графика функции либо же в будущем аналитическом изыскании свойств функции.

6. Говорить о четности и нечетности функции дозволено также и в том случае, когда теснее задан график функции. Скажем, график послужил итогом физического эксперимента.Если график функции симметричен касательно оси ординат, то y(x) — четная функция.Если график функции симметричен касательно оси абсцисс, то x(y) — четная функция. x(y) — функция, обратная функции y(x).Если график функции симметричен касательно начала координат (0,0), то y(x) — нечетная функция. Нечетной будет также обратная функция x(y).

7. Главно помнить, что представление о четности и нечетности функции имеет прямую связь с областью определения функции. Если, скажем, четная либо нечетная функция не существует при х=5, то она не существует и при х=-5, чего невозможно сказать про функцию всеобщего вида. При установлении четности и нечетности обращайте внимание на область определения функции.

8. Изыскание функции на четность и нечетность коррелирует с нахождением множества значений функции. Для нахождения множества значений четной функции довольно разглядеть половину функции, правее либо левее нуля. Если при x>0 четная функция y(x) принимает значения от А до В, то те же значения она будет принимать и при x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 нечетная функция y(x) принимает диапазон значений от А до В, то при x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

jprosto.ru

Исследование функции на четность или нечетность. — КиберПедия

Содержание

Программа проекта........................................................................................................................3

Описание первой задачи………….......…......…………............................................................4

Исследование функции

Нахождение области определения функции...................................................................4

Исследование функции на четность или нечетность.....................................................4

Нахождение точек пересечения функции с координатными осями.............................5

Нахождение промежутков знака функции......................................................................5

Исследование поведения функции на границах области определения........................6

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции......................................7

Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба......8

Нахождение асимптот функции.......................................................................................9

Построение графика функции

Вручную............................................................................................................................10

С помощью компьютера………………………………………………………..............11

Описание второй задачи...........................................................................................................12

Анализ функций и построение фигуры, образующей тело вращения....................................12

Нахождение объёма тела вращения...........................................................................................13

Проверка результатов расчётов на компьютере.......................................................................14

 

 

Программа проекта

Название проекта Использование средств компьютерных технологий при решении математических задач
Структурное подразделение Институт математики, механики и компьютерных наук
Руководители проекта Доцент Ковальчук В. Е.
Дорожная карта проекта Ферваль - знакомство с тематикой, получение задания Март-апрель - выполнение математической и компьютерной части проекта
Отрабатываемые навыки Самостоятельная работа с литературой, Навыки оформления работы
Планируемые результаты проекта Результаты должны быть оформлены на бумажном носителе в виде законченного исследования
Критерии оценивания результатов  
Количество участников проекта 1 человек на одно задание
Направление подготовки Прикладная математика и информатика

 

Автор: доцент Ковальчук В. Е.

 

Описание первой задачи.

Провести полное исследование и построить график функции (вручную и с помощью компьютера) функции

 

Исследование функции

 

Нахождение области определения функции.

Область определения функции –это множество всех значений аргумента, на котором задается функция.В данном примере необходимо исключить все отрицательные значения аргумента, так как в первом множителе он стоит под знаком квадратного корня.

Таким образом, функция определена на промежутке )

 

Исследование функции на четность или нечетность.

Функция не является чётной или нечётной, поэтому будем исследовать её на всей области определения

 

 

Нахождение точек пересечения функции с координатными осями

Найдём пересечение с осью y = 0

Так как имеет только комплексные корни, получаем

Следовательно, функция пересекает ось Oxв точке

 

Найдём пересечение с осью x = 0

Следовательно, функция пересекает ось Oyв точке

 

 

Нахождение промежутков знака функции

Рассмотрим промежуток

При

 

Исследование поведения функции на границах области определения.

При приближении к 0±

 

При приближении к

 

Нахождение асимптот функции

У функции отсутствуют вертикальные асимптоты.

Найдем наклонную асимптоту .

Воспользуемся правилом Лопиталя и найдем производные числителя и знаменателя.

.

Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот у данной функции не существует.

 

Построение графика функции.

Вручную:

                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           
                                                           

С помощью компьютера:

 

Описание второй задачи

Фигура, ограниченная линиями вращается вокруг оси Ox. Найти объём тела вращения.Проверить ответ на компьютере.

 

Содержание

Программа проекта........................................................................................................................3

Описание первой задачи………….......…......…………............................................................4

Исследование функции

Нахождение области определения функции...................................................................4

Исследование функции на четность или нечетность.....................................................4

Нахождение точек пересечения функции с координатными осями.............................5

Нахождение промежутков знака функции......................................................................5

Исследование поведения функции на границах области определения........................6

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции......................................7

Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба......8

Нахождение асимптот функции.......................................................................................9

Построение графика функции

Вручную............................................................................................................................10

С помощью компьютера………………………………………………………..............11

Описание второй задачи...........................................................................................................12

Анализ функций и построение фигуры, образующей тело вращения....................................12

Нахождение объёма тела вращения...........................................................................................13

Проверка результатов расчётов на компьютере.......................................................................14

 

 

Программа проекта

Название проекта Использование средств компьютерных технологий при решении математических задач
Структурное подразделение Институт математики, механики и компьютерных наук
Руководители проекта Доцент Ковальчук В. Е.
Дорожная карта проекта Ферваль - знакомство с тематикой, получение задания Март-апрель - выполнение математической и компьютерной части проекта
Отрабатываемые навыки Самостоятельная работа с литературой, Навыки оформления работы
Планируемые результаты проекта Результаты должны быть оформлены на бумажном носителе в виде законченного исследования
Критерии оценивания результатов  
Количество участников проекта 1 человек на одно задание
Направление подготовки Прикладная математика и информатика

 

Автор: доцент Ковальчук В. Е.

 

Описание первой задачи.

Провести полное исследование и построить график функции (вручную и с помощью компьютера) функции

 

Исследование функции

 

Нахождение области определения функции.

Область определения функции –это множество всех значений аргумента, на котором задается функция.В данном примере необходимо исключить все отрицательные значения аргумента, так как в первом множителе он стоит под знаком квадратного корня.

Таким образом, функция определена на промежутке )

 

Исследование функции на четность или нечетность.

Функция не является чётной или нечётной, поэтому будем исследовать её на всей области определения

 

 

cyberpedia.su

Четные и нечетные функции

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (10,8 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

  • сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;
  • развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;
  • воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.

Оборудование: мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал.

Формы работы: фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.

Информационные источники:1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник. 2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник. 3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся.  Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А

 ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Постановка целей и задач урока.

2. Проверка домашнего задания

№10.17  (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у = f(х), f(х) =

б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

в)  1. D(f) = [– 2; + ∞) 2. Е(f) = [– 3; + ∞) 3. f(х) = 0 при х ~ 0,4 4. f(х) >0 при х > 0,4 ;    f(х) < 0 при – 2 < х < 0,4. 5. Функция возрастает при х €  [– 2; + ∞) 6. Функция ограничена снизу. 7. унаим = – 3, унаиб не существует 8. Функция непрерывна.

(Вы использовали алгоритм исследования функции?)  Слайд.

2. Таблицу, которую вам  задавалась, проверим по слайду.

Заполните таблицу

Функция

Область определения

Нули функции

Промежутки знакопостоянства

Координаты точек пересечения графика с Оу

у > 0

у < 0

х ≠ –3

х = –5, х = 2

х € (–5;3) U U (2; ∞ )

х € (–∞;–5) U U (–3;2 )

( 0;)

х ∞ –5, х ≠ 2

х = –3

х € (–5;3) U U (2; ∞)

х € (–∞;–5) U U (–3;2 )

( 0;)

х ≠ –5, х ≠ 2

нет

х € (–∞; –5) U U (2; ∞)

х € (–5; 2)

( 0;)

3. Актуализация знаний

– Даны функции. – Указать область определения для каждой функции. – Сравнить значение каждой функции для каждой пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2. – Для каких из данных функций в области определения выполняются равенства f(– х) = f(х), f(– х) = – f(х)? (полученные данные занести в таблицу) Слайд

 

D (f)

f(1) и f(– 1) f(2) и f(– 2) графики f(– х) = –f(х) f(– х) = f(х)
1. f(х) =

R

2 и 2

Г

 

 

+

2. f(х) = х3

R

1 и 1

8 и – 8

А

+

 

3. f(х) = | х |

R

1 и – 1

2 и 2

Б

 

+

4. f(х) = 2х – 3

R

– 1 и – 5

1 и – 7

Е

 

 

5. f(х) =

х ≠ 0

6 и – 6

3 и – 3

В

+

 

6. f(х)= х > –1

 и 0

и не опред.

З

 

 

4. Новый материал

– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё одно свойство функции, незнакомое вам, но не менее важное, чем остальные – это чётность и нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные и нечётные функции», наша задача – научиться определять чётность и нечётность функции, выяснить значимость этого свойства в исследовании функций и построении графиков. Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем (стр. 110). Слайд

Опр. 1 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется чётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= f(х). Приведите примеры.

Опр. 2 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется нечётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.

Где мы встречались с терминами «четные» и «нечётные»? Какие из данных функций будут чётными, как вы думаете? Почему? Какие нечётными? Почему? Для любой функции вида у = хn, где n – целое число можно утверждать, что функция нечётна при n – нечётном и функция чётна при n – чётном.   – Функции вида у =  и у = 2х – 3 не являются ни чётным , ни нечётными, т.к. не выполняются равенства f(– х) = – f(х), f(– х) = f(х)

Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд

В определениях  1 и 2 шла речь о значениях функции при х и – х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х, и при – х.

Опр 3. Если числовое множество вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то множество Х называют симметричным множеством.

Примеры:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а [0; ∞), (2;–2], [–5;4] – несимметричные.

– У чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных? – Если же D(f) – несимметричное множество, то функция какая? – Таким образом, если функция у = f(х) – чётная или нечётная, то её область определения D(f) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна? – Значит наличие симметричного множества области определения – это необходимое условие, но недостаточное. – Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.

Слайд

Алгоритм исследования функции на чётность

1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.

2. Составить выражение для f(– х).

3. Сравнить f(– х).и  f(х):

  • если  f(– х).= f(х), то функция чётная;
  • если  f(– х).= – f(х), то функция нечётная;
  • если   f(– х) ≠ f(х) и  f(– х) ≠ –f(х), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Примеры:

Исследовать на чётность функцию а) у = х5 +; б) у = ; в) у= .

Решение.

а) h(х) = х5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

2) h (– х) = (–х)5 + – х5 –= – (х5 +),

3) h(– х) = – h (х) => функция  h(х)  = х5 +  нечётная.

б) у = ,

у = f(х),     D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞),  несимметричное множество, значит функция ни чётная, ни нечётная.

в) f(х) = ,   у = f (х), 

1) D(f) = (–∞; 3] ≠ [3; +∞), симметричное множество.

2)f (– х) == ;

3)  f (– х) = f (х)  =>  функция f(х) =     чётная.

Итак, по аналитической записи можно определить четность функции? Но кроме аналитического способа задания функции есть другие. Какие? Можно ли по графику функции выявить её четность? Давайте вернёмся к заданию, которое мы выполняли в начале урока, найдём соответствие между аналитически заданными функциями и их графиками  (изображёнными на доске), что вы находите примечательного в расположении графиков чётных функций? Нечётных?

Слайд.

Вывод:

  1. График чётной функции симметричен относительно оси у.
  2. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

– Верны ли обратные утверждения?

  1. Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) – чётная функция.
  2. Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) – нечётная функция.

Доказательство данных утверждений разобрать дома самостоятельно по учебнику и записать в тетрадь.

– Какова же значимость свойства четности или нечётности функции? Зачем нужно изучать свойство чётности функций .В план свойств функций свойство чётности вы поставили бы на какое порядковое место

5. Первичное закрепление

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–7;7]; б) (∞; –2),  (–4; 4]?

Вариант 2

1. Является ли симметричным заданное множество: а) [–2;2]; б) (∞; 0],  (0; 7) ?

2. Исследуйте на чётность функцию: а);      б) у = х·  (5 – х2). 2. Исследуйте на чётность функцию:

а) у = х2 · (2х – х3),     б)  у =

3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х? 0. Постройте график функции у = f(х), если у = f(х) – чётная функция.

 

3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х ? 0. Постройте график функции у = f(х), если у = f(х) – нечётная функция.

 

Взаимопроверка по слайду.

6. Задание на дом: №11.11, 11.21,11.22;

Доказательство геометрического смысла свойства чётности.

***(Задание варианта ЕГЭ ).

1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции   g(х) = х(х + 1)(х + 3)(х – 7). Найдите значение функции h(х) =  при х = 3.

7. Подведение итогов

Приложения

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai