"Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби" (8 класс). Иррациональность в знаменателе


Урок алгебры по теме "Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби"

Разделы: Математика

Цели урока:

  1. Повторить преобразование выражений, содержащих квадратный корень, с использованием формул сокращенного умножения.
  2. Выработать алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби.
  3. Сформировать у учащихся навыки применения этого алгоритма при преобразовании выражений, содержащих иррациональность в знаменателе дроби.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Задание 1. Объясните, почему верно равенство:

3. Изучение нового материала.

Задача. Преобразовать алгебраическое выражение к такому виду, чтобы знаменатель дроби не содержал знаков квадратных корней:

Решение.

Используем основное свойство дроби, то есть подбираем такой множитель, чтобы при умножении на него в знаменателе дроби не оказалось квадратных корней.

Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе.

Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби:

  1. Разложить знаменатель дроби на множители.
  2. Если знаменатель имеет вид или содержит множитель , то числитель и знаменатель следует умножить на . Если знаменатель имеет вид или или содержит множитель такого вида, то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на или на .
  3. Преобразовать числитель и знаменатель дроби , если возможно, то сократить полученную дробь.

Выражения вида и  называются сопряженными.

4. Закрепление нового материала.

Используя алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби решить следующие задания.

Задание 1. Освободите выражение от иррациональности в знаменателе.

Умение освобождаться от иррациональности в знаменателе во многих случаях облегчает тождественные преобразования выражений.

Задание 3. Упростить выражение.

Решение.

Ответ:

Решить по учебнику задание 15.74 (а, б), 15.98 (а, б).

5. Итог урока.

Д /з. п. 15 (стр. 74–75), № 15.39–15.46, 15.74 (в, г), 15.98 (в, г).

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Освобождение от иррациональности в знаменателе.

Конспект урока

в 8 классе

по теме

«Освобождение от иррациональности в знаменателе»

Провела: учитель математики

Темирова Виктория Георгиевна

2016г

Тема: Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

Цели:

  • Повторить преобразование выражений, содержащих квадратный корень, с использованием формул сокращенного умножения.

  • Выработать алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби.

  • Развивать логическое мышление, умения применять полученные знания по теме при выполнении самостоятельной работы, развивать терминологическую речь и коммуникативные навыки.

  • Воспитывать: прививать культуру общения - умение слушать, ясно и четко излагать свои мысли, критически оценивать приводимые аргументы, уважительно относиться к мнению собеседника; воспитывать наблюдательность, внимание, инициативу, доброжелательность.

Оборудование: проектор, экран, карта знаний, карточки для устного счета, девиз на плакате

Ход урока.

Организация урока. (Здравствуйте, ребята. Меня зовут … Я учитель математики Тюльпанской ООШ и сегодня урок в вашем классе проведу я)

Если что- нибудь у вас не получится, Давайте вместе будем стараться,

не нужно переживать и мучиться чтобы с работой на уроке справиться.

Психологический тренинг. А чтобы все получилось, мы сейчас проведем короткий тренинг

-Потрите мочки ушей, чтобы хорошо слышать

-Потрите виски, чтобы хорошо думать

-Потрите лоб, чтобы открылся третий глаз

-Потрите переносицу, чтобы хорошо видеть

-Потрите ладоши, чтобы активизировать все центры вашего мозга.

А теперь, запишите число, классная работа.

На уроке я вам предлагаю поработать под девизом: « Книга – книгой, а мозгами двигай».

Устный счет

1.Вынести множитель из-под корня:

2. Внести множитель под корень:

Сообщение темы и цели урока

-Как вы думаете, над какой темой мы сегодня будем работать?

Сегодня на уроке мы будем изучать тему: «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби».

Заполните карты знаний, лежащие у вас на столе только две первые колонки. Третью колонку заполните в течение урока, когда поймете, что вы узнали новое или научились чему- то новому. (2 мин)

Что знаю

Что хочу узнать

Что узнал

Изучение новой темы Назовите основное свойство дроби? Учитель вывешивает плакат на доске:.

Ставиться проблема: Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то обычно говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Какое выражение проще вычислить: или ? Почему? (Потому, что делить на рациональное число проще, чем на иррациональное.)

Как освободиться от иррациональности в знаменателе? (обсуждение)

Попробуем освободиться от иррациональности в знаменателе в следующих примерах:

а); в); г). Для этого обратимся к заданию 4.

На какое выражение нужно умножить знаменатель дроби, чтобы корни «исчезли»? А для того чтобы дробь не изменилась, что нужно сделать? Получаем следующую запись решения (плакат).

а)=; б)= ; в)= Сделаем вывод.

Преобразование, при котором в знаменателе дроби исчезают корни, называют освобождением от иррациональности в знаменателе. Мы увидели два основных приема освобождения от иррациональности в знаменателе: Сделайте вывод

Выражения и называют сопряженными выражениями.

Закрепление изученной темы.

  1. Устная работа. (демонстрационные карточки)

Назовите множитель, который освободит знаменатель от иррациональности:

3.ФИЗМИНУТКА (здоровье сберегающие технологии для глаз – слайд.)

4.Самостоятельная работа

По разноуровневым карточкам

1-в: 

2-в: 

3-в: 

Рефлексия.

Продолжите фразу:

  • Самым сложным на уроке было…

  • Самым интересным при работе для меня было…

  • Самым неожиданным для меня было…

  • Какую проблему ставили на уроке?

  • Удалось ли нам её решить?

Домашнее задание.

№ №374(2 стр), № 352.

Спасибо за урок!

Приложение.

а)=;

б) = ;

в)=

г)=

Продолжите фразу:

  • Самым сложным на уроке было…

  • Самым интересным при работе для меня было…

  • Самым неожиданным для меня было…

multiurok.ru

Как избавиться от иррациональности в знаменателе Как? Так!

Содержимое:

4 части:

В математике не принято оставлять корень или иррациональное число в знаменателе дроби. Если в знаменателе находится корень, умножьте дробь на некоторый член или выражение, чтобы избавиться от корня. Современные калькуляторы позволяют работать с корнями в знаменателе, но образовательная программа требует, чтобы учащиеся умели избавляться от иррациональности в знаменателе.

Шаги

Часть 1 Одночлен в знаменателе

  1. 1 Изучите дробь. Дробь является обыкновенной, если в знаменателе нет корня. Если в знаменателе есть квадратный или любой другой корень, нужно умножить числитель и знаменатель на некоторый одночлен, чтобы избавиться от корня. Обратите внимание, что в числителе может стоять корень – это нормально.
    • 7327 2 Умножьте числитель и знаменатель на корень, который находится в знаменателе. Если в знаменателе находится одночлен, рационализировать такую дробь довольно просто. Умножьте числитель и знаменатель на один и тот же одночлен (то есть вы умножаете дробь на 1).
      • 7327⋅77 3 Упростите дробь (если возможно). Вы рационализировали дробь.
        • 7327⋅77=72114=212

          Часть 2 Двучлен (бином) в знаменателе

          1. 1 Изучите дробь. Если в ее знаменателе находится сумма или разность двух одночленов, один из которых содержит корень, нельзя умножить дробь на такой бином, чтобы избавиться от иррациональности.
            • 42+2 2 Умножьте числитель и знаменатель на бином, сопряженный двучлену в знаменателе. Сопряженный бином – это бином с теми же одночленным, но с обратным знаком между ними. Например, бином 2+2 3 Упростите дробь (если возможно).
              • 42+2⋅2−22−2=4(2−2)4−2=4−22

                Часть 3 Обратное выражение

                1. 1 Изучите задачу. Если нужно найти выражение, обратное данному, которое содержит корень, придется рационализировать полученную дробь (и только потом упрощать ее). В этом случае используйте метод, описанный в первом или втором разделах (в зависимости от задачи).
                  • 2−3 2 Запишите обратное выражение. Для этого разделите 1 на данное выражение; если дана дробь, поменяйте местами числитель и знаменатель. Помните, что любое выражение является дробью, в знаменателе которой находится 1.
                    • 12−3 3 Умножьте числитель и знаменатель на некоторое выражение, чтобы избавиться от корня. Умножая числитель и знаменатель на одно и то же выражение, вы умножаете дробь на 1, то есть значение дроби не меняется. В нашем примере дан бином, поэтому умножьте числитель и знаменатель на сопряженный двучлен.
                      • 12−3⋅2+32+3 4 Упростите дробь (если возможно).
                        • 12−3⋅2+32+3=2+34−3=2+3

                          Часть 4 Кубический корень в знаменателе

                          1. 1 Изучите дробь. В задаче могут встретиться кубические корни, хотя это довольно редко. Описанный метод применим к корням любой степени.
                            • 333 2 Перепишите корень в виде степени. Здесь нельзя умножить числитель и знаменатель на некоторый одночлен или выражение, потому что рационализация осуществляется немного по-другому.
                              • 331/3 3 Умножьте числитель и знаменатель дроби на некоторую степень, чтобы показатель степени в знаменателе стал равен 1. В нашем примере умножьте дробь на 32/332/3 4 Упростите дробь (если возможно).
                                • 331/3⋅32/332/3=32/3{displaystyle {frac {3}{3^{1/3}}}cdot {frac {3^{2/3}}{3^{2/3}}}=3^{2/3}}
                                • Если нужно, в ответе запишите корень. В нашем примере показатель степени разложите на два множителя: 1/3{displaystyle 1/3} и 2{displaystyle 2}.
                                  • 32/3=(32)1/3=93{displaystyle 3^{2/3}=(3^{2})^{1/3}={sqrt[{3}]{9}}}

Прислал: Щербакова Анастасия . 2017-11-06 14:59:18

kak-otvet.imysite.ru

8 класс. Алгебра. Свойства квадратных корней. - Освобождение от иррациональности в знаменателе.

Комментарии преподавателя

Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе.

1.      Разложить знаменатель дроби на множители;

2.      Если знаменатель имеет вид:

 

Если знаменатель имеет вид:

или содержит множитель такого вида, то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на:

 

3.      Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь. Выражения вида:

Рассмотрим, как избавиться от иррациональности в знаменателе на примерах:

А) Преобразуем выражение:

 

Воспользуемся алгоритмом освобождения от иррациональности в знаменателе дроби: умножим на:

  

числитель и знаменатель. Получим:

Б) Преобразуем выражение:

 

В данном примере числитель и знаменатель дроби умножается на сопряженное выражение:

 .

Итак, мы разобрали несколько примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.

Источник конспекта: http://znaika.ru/catalog/8-klass/algebra/Preobrazovanie-vyrazheniy,-soderzhaschikh-operatsiyu-izvlecheniya-kvadratnogo-kornya

 

в) . Фор­маль­но на этом ре­ше­ние можно было бы за­кон­чить. Од­на­ко ино­гда в усло­вии про­сят из­ба­вить­ся от ир­ра­ци­о­наль­но­сти в зна­ме­на­те­ле (то есть, чтобы в зна­ме­на­те­ле не было бы кор­ней). В этом слу­чае сде­лать это очень легко:

При­мер 4. Осво­бо­дить­ся от ир­ра­ци­о­наль­но­сти (кор­ней) в зна­ме­на­те­ле: а) ; б) .

Ре­ше­ние. а) Для того чтобы из­ба­вить­ся от ир­ра­ци­о­наль­но­сти в зна­ме­на­те­ле, при­ме­ня­ет­ся стан­дарт­ный метод до­мно­же­ния и чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля дроби на со­пря­жен­ный к зна­ме­на­те­лю мно­жи­тель (такое же вы­ра­же­ние, но с об­рат­ным зна­ком). Это де­ла­ет­ся для до­пол­не­ния зна­ме­на­те­ля дроби до раз­но­сти квад­ра­тов, что поз­во­ля­ет из­ба­вить­ся от кор­ней в зна­ме­на­те­ле. Вы­пол­ним этот прием в нашем слу­чае:

 .

б) вы­пол­ним ана­ло­гич­ные дей­ствия:

.

Ответ.; .

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/preobrazovanie-uproschenie-vyrazheniy-s-kornyami?konspekt&chapter_id=920

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=uDBJvNHPqMA

www.kursoteka.ru

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Корректная запись дробного числа не содержит иррациональности в знаменателе. Такая запись и легче воспринимается на вид, поэтому при появлении иррациональности в знаменателе разумно от нее избавиться. В этом случае иррациональность может перейти в числитель.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как избавиться от иррациональности в знаменателе" Как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби Как в дроби избавиться от иррациональности в знаменателе Как перевести десятичную дробь в обычную дробь

Инструкция

1

Для начала можно рассмотреть простейший пример - 1/sqrt(2). Квадратный корень из двух - иррациональное число в знаменателе.

В этом случае необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на ее знаменатель. Это обеспечит рациональное число в знаменателе. Действительно, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Умножение двух одинаковых квадратных корней друг на друга даст в итоге то, что находится под каждым из корней: в данном случае - двойку.

В итоге: 1/sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Этот алгоритм подходит также к дробям, в знаменателе которых корень умножается на рациональное число. Числитель и знаменатель в этом случае нужно умножить на корень, находящийся в знаменателе.

Пример: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt(3)/6.

2

Абсолютно аналогично нужно действовать, если в знаменателе находится не квадратный корень, а, скажем кубический или любой другой степени. Корень в знаменателе нужно умножать на точно такой же корень, на этот же корень умножать и числитель. Тогда корень перейдет в числитель.

3

В более сложном случае в знаменателе присутствует сумма или разность иррационального и рационального числа или двух иррациональных чисел.

В случае суммы (разности) двух квадратных корней или квадратного корня и рационального числа можно воспользоваться хорошо известной формулой (x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2). Она поможет избавиться от иррациональности в знаменателе. Если в знаменателе разность, то домножать числитель и знаменатель нужно на сумму таких же чисел, если сумма - то на разность. Эта домножаемая сумма или разность будет называться сопряженной к выражению, стоящему в знаменателе.

Эффект этой схеме хорошо виден на примере: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

4

Если в знаменателе присутствует сумма (разность), в которой присутствует корень большей степени, то ситуация становится нетривиальной и избавление от иррациональности в знаменателе не всегда возможно

Как просто

masterotvetov.com

"Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби" (8 класс)

Урок №1 Тема урока: «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби»

Цели:

Образовательная: ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби.

Развивающая: развитие умения определять способ освобождения от иррациональности;

Воспитательная: воспитание последовательности в своих действиях.

Тип урока: изучение нового

Стандарт урока:

  • уметь находить способ избавления от иррациональности

  • понимать смысл «сопряженное выражение»

  • уметь избавляться от иррациональности в знаменателе.

Оборудование: карточки к самостоятельной работе.

Ход урока

Немного юмора:

- Извлекать корни умеешь? – спрашивает учитель

- Да, конечно. Нужно потянуть за стебель растения посильнее, и корень его извлечётся из почвы.

- Нет, я имел в виду другой корень, например, из девяти.

- Это будет «девя», так как «ть»-суффикс.

- Я имею в виду корень квадратный.

- Квадратных корней не бывает. Они бывают мочковатые и стержневые.

- Арифметический квадратный корень из девяти.

- Так бы и сказали! Квадратный корень из девяти =3!

А вы корни извлекать умеете?

2. «Повторение – мать учения».

(8 мин)

2.Проверка дом/з№ 168 1)4; 2)10; 3)4;4) 8

3.Разминка. Выполни действия (Слайд 1). Проверка по кругу против часовой стрелки.

1. Подбери неизвестный множитель (Слайд2 )

Деление на группы: по выбранным фигурам.

Проверяют в парах сменного состава.

Работают индивидуально и проверяют, оценивая в баллах.

Баллы заносят в оценочную карту группы.

(Приложение 1)

3. «Книга – книгой, а мозгами двигай» (5 мин)

(Слайд 3) Два друга решали уравнение и получили разные ответы. Один из них подобрал х = , сделал проверку. Второй находил неизвестный множитель делением произведения на и получил х = . Кто из них прав? Может ли линейное уравнение иметь два корня? Самым удобным для вычислений является выражение, не содержащее иррациональности в знаменателе.

Тема урока(Слайд 4): Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби

Цели (Слайд 5): ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби. Развитие умения освобождать знаменатель от иррациональности;

Решают и проверяют в парах сменного состава.

Обсуждают ситуацию и приходят к выводу.

Записывают тему

Формулируют цели: ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби.

развитие умения определять способ освобождения от иррациональности;

4. Работа над новым материалом.

(10 мин)

Как избавиться от иррациональности в знаменателе? Хотите узнать?

  1. Работа в группах над новым материалом

  2. Выступление групп

  3. Закрепление (Слайд 6)

Работают с опорным конспектом. (Приложение 2)

Решают примеры.

(Приложение 3)

Обмениваются информацией.

5. Зарядка (3 мин)

Елочка

Делают зарядку

6. Самостоятельная работа

(10 мин)

По разноуровневым карточкам

1-в:

2-в:

3-в:

Выполняют индивидуально, проверяют меняясь тетрадями с другой группой.

Баллы заносят в оценочную карту группы.

(Приложение 1)

7.Творческое задание

(2 мин)

Мартышка – апельсинов продавщица,(Слайд 7)

Приехав как – то раз к себе на дачу,

Нашла там с радикалами задачу.

Но сосчитать не в силах стройный ряд,

Разбрасывать их стала все подряд.

Мы просим вас, девчонки и мальчишки,

Решить задачу на хвосте мартышки.

Как вы думаете мы закончили изучать эту тему? Продолжим на следующем уроке.

Рассуждают о том, что это им предстоит узнать на следующем уроке.

8. Задание на дом: (2 мин)

П.19(Слайд 7)

1 уровень: №170 (1-6)

2 уровень: №170 (1-6 и 9,12)

Творческое задание: Мартышкина задача.

Записывают

9.Итог урока. Рефлексия

(3 мин)

Две звезды и пожелание на стикерах прикрепляются на выбранный смайлик (Слайд 7)

Баллы переводят в оценку и сдают учителю оценочную карту группы.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Оценочная карта группы.

0-8 баллов

Подбери множитель

0-8 баллов

Работа в группе над новым материалом

0-5 баллов

Сам. работа

0-5 баллов

Активность на уроке

0-5 баллов

Итог

25-28«5»

    1. «4»

10-16 «3»

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Опорный конспект

Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе

Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби:

  1. Если знаменатель имеет вид или содержит множитель , то числитель и знаменатель следует умножить на .

  2. Если знаменатель имеет вид , то числитель и знаменатель дроби надо умножить на выражение, сопряженное знаменателю (выражения вида и  называются сопряженными)

  3. преобразовать числитель и знаменатель дроби , если возможно, то сократить полученную дробь.

Решите в группе.

Подмостки:

а) помножьте числитель и знаменатель дроби на , вычислите получившийся знаменатель.

Б) помножьте числитель и знаменатель дроби на , вычислите знаменатель, дробь сократите.

В) помножьте числитель и знаменатель дроби на , вычислите получившийся знаменатель, сократите дробь.

Г) помножьте числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное знаменателю, т.е. на 5+ , вычислите получившийся знаменатель, сократите дробь.

Д) помножьте числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное знаменателю, т.е. на

у -, запишите числитель как квадрат разности, а знаменатель как разность квадратов.

infourok.ru

Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби

2015-06-13   

Сопряженное иррациональное выражение

При преобразовании дробного алгебраического выражения, в знаменателе которого записано иррациональное выражение, обычно стремятся представить дробь так, чтобы ее знаменатель был рациональным. Если $A, B, C, D, \cdots$ — некоторые алгебраические выражения, то можно указать правила, с помощью которых можно освободиться от знаков радикала в знаменателе выражений вида

$\frac{A}{\sqrt[n]{B}}, \frac{A}{B+C \sqrt{D}}, \frac{A}{\sqrt{B} + c \sqrt{D}}, \frac{A}{ \sqrt[3]{B} \pm \sqrt[3]{C}}$ и т.д.

Во всех этих случаях освобождение от иррациональности производится умножением числителя и знаменателя дроби на множитель, выбранный так, чтобы его произведение на знаменатель дроби было рациональным.

1) Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби вида $A/ \sqrt[n]{B}$ умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt[n]{B^{n-1}}$. $\frac{A}{\sqrt[n]{B}} = \frac{A \sqrt[n]{B^{n-1}}}{\sqrt[n]{B} \sqrt[n]{B^{n-1}}} = \frac{A \sqrt[n]{B^{n-1}}}{B}$.

Пример 1. $\frac{4a^{2}b}{\sqrt[3]{2ac}} = \frac{4a^{2}b \sqrt[3]{4a^{2}c^{2}}}{2ac} = \frac{2ab}{c} \sqrt[3]{4a^{2}c^{2}}$.

2)

В случае дробей вида $\frac{A}{B+ C \sqrt{D}}, \frac{A}{\sqrt{B} + c \sqrt{D}}$ умножаем числитель и знаменатель на иррациональный множитель $B – C \sqrt{D}$ или $\sqrt{B} – c \sqrt{D}$ соответственно, т. е. на сопряженное иррациональное выражение.

Смысл последнего действия состоит в том, что в знаменателе произведение суммы на разность преобразуется в разность квадратов, которая уже будет рациональным выражением.

Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражения: а) $\frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + x}$; б) $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$.

Решение, а) Умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение $\sqrt{x^{2} + y^{2}} - x$. Получаем (при условии, что $y \neq 0$) $\frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + x} = \frac{xy (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - x)}{(x^{2} + y^{2}) – x^{2}} = \frac{x}{y} (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - x)$; б) $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$. 3) В случае выражений типа $\frac{A}{B \pm C \sqrt[3]{D}}, \frac{A}{\sqrt[3]{B} \pm C \sqrt[3]{D}}$ знаменатель рассматривается как сумма (разность) и умножается на неполный квадрат разности (суммы), чтобы получить сумму (разность) кубов. На тот же множитель умножается и числитель.

Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражений: а)$\frac{3}{\sqrt[3]{5} + 1}$; б)$\frac{1}{\sqrt[3]{a} – 2 \sqrt[3]{b}}$

Решение, а) Рассматривая знаменатель данной дроби как сумму чисел $\sqrt[3]{5}$ и $1$, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности этих чисел: $\frac{3}{\sqrt[3]{5} + 1} = \frac{3 (\sqrt[3]{5^{2}} - \sqrt[3]{5} +1)}{(\sqrt[3]{5} + 1)(\sqrt[3]{5^{2}} - \sqrt[3]{5} + 1)} = \frac{3(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1)}{(\sqrt[3]{5})^{3} +1}$, или окончательно: $\frac{3}{\sqrt[3]{5} + 1} = \frac{3( \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1)}{6} = \frac{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1}{2}$ б) $\frac{1}{\sqrt[3]{a} – 2 \sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^{2}} + 2 \sqrt[3]{ab} + 4 \sqrt[3]{b^{2}}}{( \sqrt[3]{a})^{3} – (2 \sqrt[3]{b})^{3}} = \frac{ \sqrt[3]{a^{2}} + 2 \sqrt[3]{ab} + 4 \sqrt[3]{b^{2}}}{a-8b}$.

В некоторых случаях требуется выполнить преобразование противоположного характера: освободить дробь от иррациональности в числителе. Оно проводится совершенно аналогично.

Пример 4. Освободиться от иррациональности в числителе $\frac{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}}{2b}$. Решение. $ \frac{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}}{2b} = \frac{(a+b) – (a-b)}{2b(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})} = \frac{1}{\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b}}$

earthz.ru