как найти координаты вершины параболы. Х вершины формула


как найти координаты вершины параболы

Как найти координаты вершины параболы?Для этого нужно запомнить лишь одну формулу, которая является формулой корня квадратного уравнения при дискриминанте, равном нулю.Поскольку парабола является графиком квадратичной функции, то первую координату х вершины параболы можно найти по следующей формуле:

   

Чтобы найти вторую координату у нужно в формулу параболы значение x.Есть также другой способ вычисления ординаты у вершины параболы с помощью формулы:

   

Рассмотрим нахождение координат вершины параболы на примерах.

Пример 1.Найдем вершину параболы .

Решение.Найдем координату х вершины параболы:

   

Найдем координату у вершины параболы:

   

   

Следовательно, вершина параболы имеет координаты (8,5; —59,25).

Ответ. (8,5; —59,25) — вершина параболы .

Пример 2.Найдем вершину параболы .

Решение.Найдем координату х вершины параболы:

   

Координата у вершины параболы:

   

   

Следовательно, вершина параболы имеет координаты (2,79; 21,87).

Ответ. (2,79; 21,87) — вершина параболы .

ru.solverbook.com

Как найти вершину параболы

Вершина параболы представляет собой самую высокую ее точку, если ветки параболы направлены вниз и самую низкую ее точку, если ветки параболы направлены вверх.Чтобы найти вершину параболы можно использовать два способа.

1-й способ. Найти вершину параболы с помощью формулы.Для того, чтобы воспользоваться формулой, нужно:

  1. Найти величины a, b и c квадратного уравнения параболы.

Со школы должны помнить, что коэффициент возле переменной в квадрате — это величина а, при переменной — величина b и свободный член уравнения — величина с.

  1. Использовать формулу для нахождения значения абсциссы вершины параболы (координаты х):

   

Это можно сделать, подставив найденные значения величин а и b.

  1. Подставить полученное значение х в уравнение параболы для того, чтобы найти ординату вершины (координату у).
  2. Записать полученные значения х и у как пару координат — это и будут координаты вершины параболы.

2-й способ. Дополнить уравнение параболы до полного квадрата.Дополнив уравнение до полного квадрата, не будет необходимости вычислять координаты х и у — их можно будет определить сразу.Например, дополним уравнение .Разделим каждый коэффициент уравнения на коэффициент возле x2:

   

Перенесем постоянную в правую часть уравнения:

   

Дополним левую часть уравнения до полного квадрата. Для этого найдем и добавим полученное к обеим частям уравнения:

   

   

   

Приравнивая левую часть уравнения к 0 получим значение х, а значение у — в правой части уравнения. Таким образом, получаем:

   

   

   

Точка — вершина параболы .

ru.solverbook.com

Вывод формул координат вершины парабопы

Нагаева Светлана Николаевна, учитель математики МАОУ « Лицей №1» города Березники.

Проект урока по алгебре в 9 классе (гуманитарный профиль).

«Наиболее глубокий след оставляет то, что человек открыл сам».( Д. Пойя.)

Тема урока: «Вывод формул для вычисления координат вершины параболы».

Цели урока: познавательные:

  1. Создать условия для включения учащихся в проблемную ситуацию, принятия и разрешения возникшей проблемы.

  2. Формировать учебно - интеллектуальные умения: анализировать, обобщать, сравнивать.

  3. Формировать умения применять ранее полученные знания о функции для получения новых знаний.

  4. Нахождение нового способа определения координат вершины и оси симметрии параболы квадратичной функции . Метапредметные, в том числе: регулятивные: поставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что ещё неизвестно; определить последовательность действий для решения поставленной задачи; откорректировать результат с учётом оценки самим обучающимся, учителем, учениками; осознать качество и уровень усвоения нового материала. Коммуникативные: научиться инициативному сотрудничеству в поиске решения поставленной задачи; научиться с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.

Ожидаемый результат:

- осознание, принятие и разрешение проблемы учащимися;

-формирование способов получения новых знаний через сравнение и сопоставления фактов, способа от частного к общему;

- узнают формулы нахождения координат вершины и оси симметрии параболы для функций вида y = ax2+bx+c.

Тип урока: урок постановки учебной задачи. Методы обучения – наглядно-иллюстративный, словесный, обучение в сотрудничестве, проблемный, элементы технологии критического мышления.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, демонстрационный экран, слайды презентации по теме: «Формулы для нахождения координат вершины параболы»; листы формата А3; цветные маркеры.

Технология - системно-деятельностный подход.

Этапы урока:

  1. Психологический настрой(мотивация).

  2. Актуализация опорных знаний(создание ситуации успеха).

  3. Постановка проблемы.

  4. Формулирование темы и цели урока.

  5. Решение проблемы.

  6. Анализ хода решения проблемы.

  7. Применение результатов решения проблемы в последующей деятельности.

  8. Подведение итогов урока (итог «глазами» ученика, итог «глазами» учителя.).

  9. Домашнее задание.

Ход урока:

  1. Психологический настрой.

Задача: Учится решать общую задачу и работать в коллективе(работа в группах по 5 чел.).

Ребята, на протяжении последних четырёх уроков мы занимались изучением квадратичной функции, но знания наши пока ещё не совсем полные, поэтому мы продолжаем изучать квадратичную функцию с целью узнать что-то новое об этой функции.

Мотивация учащихся к самостоятельной постановке темы и цели урока.

Функция и ее график.

; ;

Не выполняя построения графика функций, можем ли мы ответить на вопросы:

  1. Что является графиком функций?

  2. Какая прямая является осью симметрии (если она существует)?

3. Есть ли вершина, каковы её координаты?

Знаю

1.

2.

3.

…..

Хочу узнать

1.

2.

3.

…..

Узнал

1.

2.

3.

…..

Таблица заполняется по ходу проведения урока.

  1. Актуализация опорных знаний и умений учащихся. Разминка. 1. Вынести за скобки старший коэффициент: 5x2 + 25x -5; ax2 + bx + c. 2.Выделить удвоенное произведение: ab; ax; b/a. 3.Возвести в квадрат: b/2; c2/a; 2a/3b. 4.Представить в виде алгебраической суммы: а – в; x –(- b/2a).

Объясните, как, зная вид графика функции y =ƒ(x), построить графики функций:

а) y =ƒ(x - a), - с помощью параллельного переноса на а единиц вправо вдоль оси х;

б) y =ƒ(x) + b, - с помощью параллельного переноса на b единиц вверх вдоль оси y;

в) y =ƒ(x - а) + b, ↔ на а единиц, ↕ на b единиц;

г) Как построить график функции y = (x - 2) 2 + 3 ? Что является ее графиком?

Назовите вершину параболы.Графиком является парабола y = x2 с вершиной в точке (2; 3).

Назовите координаты вершины параболы: y =x- 4x + 5 ( проблема ). Почему нельзя определить координаты вершины параболы по виду функции? (другой вид имеет квадратичная функция ).

Деятельность учащихся:

Строят речевые конструкции с использованием функциональной терминологии.

Обсуждение ответов. Сравнивают, сопоставляют с ранее изученными функциями, выбирают и записывают на доске знания и умения, которые им могут понадобиться для решения проблемы в столбик «ЗНАЮ»:

1.

2.

3.

4.

5. знаю, как построить графики этих функций

6. знаю, как найти координаты вершины этих парабол и ось параболы

В столбик «Хочу узнать»:вершину, ось симметрии параболы .

Учащиеся могут записывать в столбики «ЗНАЮ» и «ХОЧУ ЗНАТЬ» функции как в общем виде, так и частные случаи. Постановка учебной задачи: найти координаты вершины параболы, если квадратичная функция задана в общем виде y = ax+ bx + c. Учащиеся формулируют и записывают в тетрадь тему и цель урока. (Вывод формул для вычисления координат вершины параболы. Научиться находить координаты вершины параболы новым способом – по формулам).

Решение проблемы.

Деятельность учащихся: Сравнивая «старые» знания с новыми знаниями учащиеся предлагают выделить полный квадрат. На конкретных примерах ; и получают соответственно ; . Находят координаты вершины и уравнение оси симметрии, Понимают, что с задачей справились, т.к. привели новую функцию к знакомому виду.

Учащиеся выделяют полный квадрат для функции ; , сравнивают полученный результат, делают вывод по данной функции. Находят координаты вершины и ось симметрии.

Сможете ли вы назвать вершину и ось параболы, если функция задана в общем виде , не выделяя полного квадрата? Как вы будете действовать в этом случае? И как применить ваш предыдущий опыт по нахождению вершины и оси параболы?

Деятельность учащихся:

Опираясь на уже имеющиеся знания, опыт учащиеся начинают понимать, что нужно идти дальше, от частного к общему, проводят доказательства в общем виде.

. Появляются новые затруднения. В группах появляется решение: . Анализ хода решения проблемы. Заслушивается один представитель от каждой группы.

Сравнивают, анализируют записи и , записывается в тетрадь одно общее решение поставленной задачи - формулы координат вершины параболы .

.

Учащиеся делают вывод: координаты вершины и ось параболы для функции можно найти рациональным способом.

Применение результатов по решению проблемы в последующей деятельности.

Деятельность учащихся:

Решение заданий из учебника №121; 123. Найдите координаты вершины параболы новым рациональным способом. Запишите уравнение прямой, которая является осью симметрии параболы.

Подведение итогов (рефлексия учебной деятельности на уроке).

Вернемся к таблице и заполним столбик «УЗНАЛ».

Итог урока «глазами» учащихся:

ЗНАЮ

ХОЧУ УЗНАТЬ

УЗНАЛ

1.

2.

3.

4.

5. знаю, как построить графики этих функций

6. знаю, как найти координаты вершины этих парабол и ось параболы

7. метод выделения полного квадрата

8. как находить координаты вершин, ось параболы.

1. координаты вершины параболы

2. уравнение оси симметрии параболы

1. координаты вершины параболы

2 .как вывести формулу

3. рациональный способ нахождения оси параболы и координат вершины параболы

Итог « глазами учителя»:

  1. Цель урока достигнута.

  2. Учащиеся осознали, приняли и разрешили возникшую проблему.

  3. В процессе решения учебно-проблемной задачи учащиеся не только приобрели новые знания: зависимость коэффициентов квадратного трехчлена и координат вершины параболы, уравнения оси симметрии, но самое главное на уроке – формирование обобщенных способов приобретения новых знаний, самостоятельного анализа проблемы и нахождения неизвестного.

Домашнее задание: п.7 №122 ;127(б) ;128.

P.S. Представленный урок проведен 15 октября 2014 года в рамках городского семинара учителей математики по теме «Формирование УУД на уроках математики».

На этапе «Применение результатов…» при решении заданий из учебника некоторые учащиеся начали понимать ценность своего «открытия»: более простого способа нахождения координат вершины и уравнения оси симметрии, а другие не скрывали радости, ведь не надо «мучаться» с выделением полного квадрата. Но самое главное – сделали все сами!

kopilkaurokov.ru

подскажите формулу для нахождения вершины параболы?

Уравнение параболы в общем виде: y=ах^2+bх+с. Для нахождения вершины (экстремума) нужно взять производную и приравнять к нулю. Получится 2ах+b=0, отсюда х=-b/(2а) (предыдущий ответчик это уже написал) . Далее вторую координату не сложно определить: у=-b^2/(4а) +с.

Формулы две одна для поиска нулевого икс (x0) ,а другая игрек нулевого (y0). x0=-b/2*a y0=a*x0+b*x0+c

спасибббббббббббб)))))))))))

Xo=-b/2a Yo=-D/4a (Xo,Yo)-вершина параболы.

touch.otvet.mail.ru

определение

  Квадратичная функция

 

Функция вида  называется   квадратичной функцией.

Выделим полный квадрат

Абсцисса вершины    параболы

Ординатавершины параболы

          Дискриминант

Общий видквадратного уравнения

корней нет

Теорема Виета

Для того чтобы числа x1, x2, были решениями уравнения ax2+bx+c=0 необходимо и достаточно, чтобы x1+x2=-b/a; x1x2=c/a.

Графиком квадратичной функции является парабола, получаемая из графика функции y = ax2 с помощью двух параллельных переносов:1) сдвига вдоль оси ОХ на x0 единиц (вправо, если x0 > 0 и влево, если x0 < 0).2) сдвига вдоль оси ОY на y0 единиц (вверх, если y0 > 0 и вниз, если y0 < 0).Точка с координатами (x0; y0) называется вершиной параболы.

 

  D>0

 

 

 D=0

 D<0

Используются технологии uCoz

kvadraf.narod.ru

Как найти вершину

5 методика:Поиск числа вершин многогранникаПоиск вершины области системы линейных неравенствПоиск вершины параболы через ось симметрииПоиск вершины параболы через дополнение до полного квадратаПоиск вершины параболы по простой формуле

В математике существует ряд задач, в которых требуется найти вершину. Например, вершину многогранника, вершину или несколько вершин области системы неравенств, вершину параболы или квадратного уравнения. Эта статья расскажет вам, как найти вершину в разных задачах.

Шаги

Метод 1 из 5: Поиск числа вершин многогранника

  1. 1 Теорема Эйлера. Теорема утверждает, что в любом многограннике число его вершин плюс число его граней минус число его ребер всегда равно двум.[1]
  2. Формула, описывающая теорему Эйлера: F + V - E = 2
  3. F - число граней.
  4. V - число вершин.
  5. E - число ребер.
  6. 2 Перепишите формулу, чтобы найти число вершин. Если вам дано число граней и число ребер многогранника, вы можете быстро найти число его вершин с помощью формулы Эйлера.
  7. V = 2 - F + E
  8. 3 Подставьте данные вам значения в эту формулу. В результате вы получите число вершин многогранника.
  9. Пример: найдите число вершин многогранника, у которого 6 граней и 12 ребер.
  10. V = 2 - F + E
  11. V = 2 - 6 + 12
  12. V = -4 + 12
  13. V = 8

Метод 2 из 5: Поиск вершины области системы линейных неравенств[2]

  1. 1 Постройте график решения (области) системы линейных неравенств. В определенных случаях на графике можно увидеть некоторые или все вершины области системы линейных неравенств. В противном случае вам придется найти вершину алгебраически.
  2. При использовании графического калькулятора вы можете посмотреть весь график и найти координаты вершин.
  3. 2 Преобразуйте неравенства в уравнения. Для того, чтобы решить систему неравенств (то есть найти «х» и «у»), вам необходимо вместо знаков неравенства поставить знак «равно».
  4. Пример: дана система неравенств:
  5. у < х
  6. у> - х + 4
  7. Преобразуйте неравенства в уравнения:
  8. у = х
  9. у = - х + 4
  10. 3 Теперь выразите любую переменную в одном уравнении и подставьте ее в другое уравнение. В нашем примере подставьте значение «у» из первого уравнения во второе уравнение.
  11. Пример:
  12. у = х
  13. у = - х + 4
  14. Подставляем у = х в у = - х + 4:
  15. х = - х + 4
  16. 4 Найдите одну из переменных. Сейчас у вас есть уравнение только с одной переменной «х», которую легко найти.
  17. Пример: х = - х + 4
  18. х + х = 4
  19. 2x = 4
  20. 2x/2 = 4/2
  21. х = 2
  22. 5 Найдите другую переменную. Подставьте найденное значение «х» в любое из уравнений и найдите значение «у».
  23. Пример: у = х
  24. у = 2
  25. 6 Найдите вершину. Вершина имеет координаты, равные найденным значениям «х» и «у».
  26. Пример: вершина области данной системы неравенств есть точка О(2,2).

Метод 3 из 5: Поиск вершины параболы через ось симметрии

  1. 1 Разложите уравнение на множители. Есть несколько способов разложения квадратного уравнения на множители. В результате разложения вы получаете два двучлена, которые при перемножении приведут к исходному уравнению.
  2. Пример: дано квадратное уравнение
  3. 3x2 - 6x - 45
  4. Сначала вынесите за скобку общий множитель: 3(x2 - 2x - 15)
  5. Перемножьте коэффициенты «а» и «с»: 1 * (-15) = -15.
  6. Найдите два числа, результат умножения которых равен -15, а их сумма равна коэффициенту «b» (b = -2): 3 * (-5) = -15; 3 - 5 = -2.
  7. Подставьте найденные значения в уравнение ax2 + kx + hx + c: 3(x2 + 3x - 5x - 15).
  8. Разложите исходное уравнение: f(x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
  9. 2 Найдите точку (точки), в которой график функции (в данном случае парабола) пересекает ось абсцисс.[3] График пересекает ось Х при f(x) = 0.
  10. Пример: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
  11. х +3 = 0
  12. х - 5 = 0
  13. х = -3; х = 5
  14. Таким образом, корни уравнения (или точки пересечения с осью Х): А(-3, 0 ) и В(5, 0)
  15. 3 Найдите ось симметрии. Ось симметрии функции проходит через точку, лежащую посередине между двумя корнями. При этом вершина лежит на оси симметрии.
  16. Пример: х = 1; это значение лежит посередине между -3 и +5.
  17. 4 Подставьте значение «х» в исходное уравнение и найдите значение «у». Эти значения «х» и «у» - координаты вершины параболы.
  18. Пример: у = 3x2 - 6x - 45 = 3(1)2 - 6(1) - 45 = -48
  19. 5 Запишите ответ.
  20. Пример: вершина данного квадратного уравнения есть точка О(1,-48)

Метод 4 из 5: Поиск вершины параболы через дополнение до полного квадрата

  1. 1 Перепишите исходное уравнение в виде[4]: y = a(x - h)^2 + k, при этом вершина лежит в точке с координатами (h,k). Для этого нужно дополнить исходное квадратное уравнение до полного квадрата.
  2. Пример: дана квадратичная функция у = - х^2 - 8x - 15.
  3. 2 Рассмотрите первые два члена. Вынесите за скобку коэффициент первого члена (при этом свободный член игнорируется).
  4. Пример: -1(х^2 + 8x) - 15.
  5. 3 Разложите свободный член (-15) на два числа так, чтобы одно из них дополнило выражение в скобках до полного квадрата. Одно из чисел должно быть равно квадрату половины коэффициента второго члена (из выражения в скобках).
  6. Пример: 8/2 = 4; 4*4 = 16; поэтому
  7. -1(х^2 + 8x + 16)
  8. -15 = -16 + 1
  9. у = -1 (х ^ 2 + 8x + 16) + 1
  10. 4 Упростите уравнение. Так как выражение в скобках есть полный квадрат, можно переписать это уравнение в следующем виде (если необходимо, проведите операции сложения или вычитания за скобками):
  11. Пример: у = -1(х + 4)^2 + 1
  12. 5 Найдите координаты вершины. Напомним, что координаты вершины функции вида y = a(x - h)^2 + k равны (h,k).
  13. k = 1
  14. h = -4
  15. Таким образом, вершина исходной функции есть точка О(-4,1).

Метод 5 из 5: Поиск вершины параболы по простой формуле

  1. 1 Найдите координату «х» по формуле: x = -b/2a (для функции вида y = ax^2 + bx + c). Подставьте значения «a» и «b» в формулу и найдите координату «х».
  2. Пример: дана квадратичная функция у = - х^2 - 8x - 15.
  3. х = -b/2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
  4. х = -4
  5. 2 Подставьте найденное значение «х» в исходное уравнение. Таким образом вы найдете «у». Эти значения «х» и «у» - координаты вершины параболы.
  6. Пример: у = - х^2 - 8x - 15 = -(-4 )^2 - 8(-4) - 15 = -(16) -(-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
  7. у = 1
  8. 3 Запишите ответ.
  9. Пример: вершина исходной функции есть точка О(-4,1).

Что вам понадобится

  • Калькулятор
  • Карандаш
  • Бумага

ves-mir.3dn.ru

Как найти координаты вершины параболы

График квадратичной функции называют параболой. Эта линия имеет весомое физическое значение. По параболам движутся некоторые небесные тела. Антенна в форме параболы фокусирует лучи, идущие параллельно оси симметрии параболы. Тела, кинутые вверх под углом, долетают до верхней точки и падают вниз, также описывая параболу. Видимо, что неизменно пригодно знать координаты вершины этого движения.

Инструкция

1. Квадратичная функция в всеобщем виде записывается уравнением: y = ax? + bx + c. Графиком этого уравнения является парабола, ветви которой направлены вверх (при a > 0) либо вниз (при a < 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное уравнение, получите y0: y0 = a(-b/2a)? — b?/2a + c = — b?/4a + c.

2. Людям, приятелем с представлением производной, легко обнаружить вершину параболы. Само­стоятельно от расположения ветвей параболы ее вершина является точкой экстремума (минимума, если ветви направлены вверх, либо максимума, когда ветви направлены вниз). Дабы обнаружить точки полагаемого экстремума всякий функции, нужно вычислить ее первую производную и приравнять ее к нулю. В всеобщем виде производная квадратичной функции равна f'(x) = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. Приравняв к нулю, вы получите 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.

3. Парабола — симметричная линия. Ось симметрии проходит через вершину параболы. Зная точки пересечения параболы с осью координат X, дозволено легко обнаружить абсциссу вершины x0. Пускай x1 и x2 — корни параболы (так называют точки пересечения параболы с осью абсцисс, от того что эти значения обращают квадратное уравнение ax? + bx + c в нуль). При этом пускай |x2| > |x1|, тогда вершина параболы лежит посередине между ними и может быть обнаружена из дальнейшего выражения: x0 = ?(|x2| — |x1|).

Парабола – это график квадратичной функции, в всеобщем виде уравнение параболы записывается y=aх^2+bх+с, где а?0. Это универсальная кривая второго порядка, которая описывает многие явления в жизни, скажем, движение подбрасываемого и после этого падающего тела, форму радуги, следственно знание обнаружить параболу может дюже сгодиться в жизни.

Вам понадобится

  • — формула квадратичного уравнения;
  • — лист бумаги с координатной сеткой;
  • — карандаш, ластик;
  • — компьютер и программа Excel.

Инструкция

1. В первую очередь обнаружьте вершину параболы. Дабы обнаружить абсциссу этой точки, возьмите показатель перед х, поделите его на удвоенный показатель перед х^2 и умножьте на -1 (формула х=-b/2a). Ординату обнаружьте, подставив полученное значение в уравнение либо по формуле у=(b^2-4ac)/4a. Вы получили координаты точки вершины параболы.

2. Вершину параболы дозволено обнаружить и иным методом. Потому что вершина является экстремумом функции, то для ее вычисления вычислите первую производную и приравняйте ее к нулю. В всеобщем виде вы получите формулу f(x)’ = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. А приравняв ее к нулю, вы придете к той же самой формуле — х=-b/2a.

3. Узнайте, направлены ли ветви параболы вверх либо вниз. Для этого посмотрите на показатель перед х^2, то есть на а. Если а>0, то ветви направлены вверх, если а

4. Постройте ось симметрии параболы, она пересекает вершину параболы и параллельна оси оу. Все точки параболы будут равноудалены от нее, следственно дозволено возвести лишь одну часть, а после этого симметрично отобразить ее касательно оси параболы.

5. Постройте линию параболы. Для этого обнаружьте несколько точек, подставляя различные значения х в уравнения и решая равенство. Комфортно обнаружить пересечение с осями, для этого подставляйте в равенство х=0 и у=0. Возведя одну сторону, отразите ее симметрично касательно оси.

6. Дозволено возвести параболу при помощи программы Excel. Для этого откройте новейший документ и выделите в нем два столбика, х и у=f(х). В первом столбике запишите значения х на выбранном отрезке, а во втором столбце запишите формулу, скажем, =2В3*В3-4В3+1 либо =2В3^2-4В3+1. Дабы не писать эту формулу всякий раз, «растяните» ее на каждый столбец, нажав мышкой на небольшой крестик в нижнем правом углу и потянув вниз.

7. Получив таблицу, нажмите меню «Вставка» — «Диаграмма». Выберите точечную диаграмму, нажмите «Дальше». В появившемся окне добавьте ряд, нажав кнопку «Добавить». Дабы предпочесть необходимые ячейки, щелкните поочередно по кнопкам, обведенным красным овалом ниже, после этого выделите ваши столбики со значениями. Нажав кнопку «Готово», оцените итог – готовую параболу .

Видео по теме

При изыскании квадратичной функции, графиком которой является парабола, в одном из пунктов нужно обнаружить координаты вершины параболы. Как это сделать аналитически, применяя заданное для параболы уравнение?

Инструкция

1. Квадратичная функция — это функция вида y=ax^2+bx+c, где a — старший показатель (он неукоснительно должен быть ненулевым), b — младший показатель, с — вольный член. Данная функция дает своим графиком параболу, ветви которой направлены либо вверх (если а>0), либо вниз (если а<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Обнаружим координату x0 вершины параболы. Она находится по формулеx0=-b/a.

3. y0=y(x0).Дабы обнаружить координату y0 вершины параболы, нужно в функцию взамен x подставить обнаруженное значение x0. Сосчитайте, чему равен y0.

4. Координаты вершины параболы обнаружены. Запишите их в виде координат одной точки (x0,y0).

5. При построении параболы помните, что она симметрична касательно оси симметрии параболы, проходящей вертикально через вершину параболы, т.к. квадратичная функция является четной. Следственно довольно по точкам возвести только одну ветвь параболы, а иную достроить симметрично.

Видео по теме

Для функций (вернее их графиков) применяется представление наибольшего значения, в том числе и локального максимума. Представление же «вершина» скорее связано с геометрическими фигурами. Точки максимумов гладких функций (имеющих производную) легко определить с подмогой нулей первой производной.

Инструкция

1. Для точек, в которых функция не дифференцируема, но постоянна, наибольшее на интервале значение может иметь вид острия (на пример y=-|x|). В таких точках к графику функции дозволено провести сколь желательно много касательных и производная для нее легко не существует. Сами функции такого типа обыкновенно задаются на отрезках. Точки, в которых производная функции равна нулю либо не существует, именуются скептическими.

2. Выходит, для нахождения точек максимумов функции y=f(x) следует:- обнаружить скептические точки;- для того дабы предпочесть точку максимума, следует обнаружить знак производной в окрестности скептической точки. Если при прохождении точки происходит чередование знака с «+» на «-», то имеет место максимум.

3. Пример. Обнаружить наибольшие значения функции (см. рис.1).y=x+3 при x?-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1.

4. Реение. y=x+3 при x?-1 и y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1. Функция задана на отрезках умышленно, потому что в данном случае преследуется цель отобразить все в одном примере. Легко проверить, что при х=-1 функция остается постоянной.y’=1 при x?-1 и y’=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3(x^(1/3))/(x^(1/3)) при x>-1. y’=0 при x=8/27. y’ не существует при x=-1 и x=0.При этом y’>0 если x

Видео по теме

Парабола – одна из кривых второго порядка, ее точки возведены в соответствии с квадратным уравнением. Основное в построении этой косой – обнаружить вершину параболы . Это дозволено сделать несколькими методами.

Инструкция

1. Дабы обнаружить координаты вершины параболы , воспользуйтесь дальнейшей формулой: х=-b/2а, где а – показатель перед х в квадрате, а b – показатель перед х. Подставьте ваши значения и рассчитайте его значение. После этого подставьте полученное значение взамен х в уравнение и посчитайте ординату вершины. Скажем, если вам дано уравнение у=2х^2-4х+5, то абсциссу обнаружьте дальнейшим образом: х=-(-4)/2*2=1. Подставив х=1 в уравнение, рассчитайте значение у для вершины параболы : у=2*1^2-4*1+5=3. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1;3).

2. Значение ординаты параболы дозволено обнаружить и без заблаговременного расчета абсциссы. Для этого воспользуйтесь формулой у=-b^2/4ас+с.

3. Если вы знакомы с представлением производной, обнаружьте вершину параболы при помощи производных, воспользовавшись дальнейшим свойством всякий функции: первая производная функции, приравненная к нулю, указывает на точки экстремума. Потому что вершина параболы , само­стоятельно от того, направлены ее ветви вверх либо вниз, является точкой экстремума, вычислите производную для вашей функции. В всеобщем виде она будет иметь вид f(х)=2ах+b. Приравняйте ее к нулю и получите координаты вершины параболы , соответствующей вашей функции.

4. Испробуйте обнаружить вершину параболы , воспользовавшись таким ее свойством, как симметричность. Для этого обнаружьте точки пересечения параболы с осью ох, приравняв функцию к нулю (подставив у=0). Решив квадратное уравнение, вы обнаружите х1 и х2. Потому что парабола симметрична касательно директрисы, проходящей через вершину , эти точки будут равноудалены от абсциссы вершины. Дабы ее обнаружить, поделим расстояние между точками напополам: х=(Iх1-х2I)/2.

5. Если какой-нибудь из показателей равен нулю (помимо а), рассчитайте координаты вершины параболы по облегченным формулам. Скажем, если b=0, то есть уравнение имеет вид у=ах^2+с, то вершина будет лежать на оси оу и ее координаты будут равны (0;с). Если же не только показатель b=0, но и с=0, то вершина параболы находится в начале координат, точке (0;0).

Видео по теме

Исходя из одной точки, прямые образуют угол, где всеобщая для них точка является вершиной. В разделе теоретической алгебры частенько встречаются задачи, когда нужно обнаружить координаты этой вершины , дабы после этого определить уравнение проходящей через вершину прямой.

Инструкция

1. Перед тем, как начать процесс нахождения координат вершины , определитесь с начальными данными. Примите, что желанная вершина принадлежит треугольнику ABC, в котором вестимы координаты 2-х остальных вершин, а также числовые значения углов , равные «e» и «k» по стороне AB.

2. Совместите новую систему координат с одной из сторон треугольника AB таким образом, дабы предисловие системы координат совпадало с точкой A, координаты которой вам знамениты. Вторая вершина B будет лежать на оси OX, и ее координаты вам также знамениты. Определите по оси ОХ значение длины стороны AB согласно координатам и примите ее равной «m».

3. Опустите перпендикуляр из незнакомой вершины C на ось ОХ и на сторону треугольника AB соответственно. Получившаяся высота «y» и определяет значение одной из координат вершины C по оси OY. Примите, что высота «y» делит сторону AB на два отрезка, равные «x» и «m – x».

4. От того что вам вестимы значения всех углов треугольника, значит, знамениты и значения их тангенсов. Примите значения тангенсов для углов , примыкающих к стороне треугольника AB, равными tan(e) и tan(k).

5. Введите уравнения для 2-х прямых, проходящих по сторонам AC и BC соответственно: y = tan(e) * x и y = tan(k) * (m – x). После этого обнаружьте пересечение этих прямых, применяя преобразованные уравнения прямых: tan(e) = y/x и tan(k) = y/(m – x).

6. Если принять, что tan(e)/tan(k) равняется (y/x) /( y/ (m – x)) либо позже сокращения «y» — (m – x) / x , в итоге вы получите желанные значения координат, равные x = m / (tan(e)/tan(k) + e) и y = x * tan(e).

7. Подставьте значения углов (e) и (k), а также обнаруженное значение стороны AB = m в уравнения x = m / (tan(e)/tan(k) + e) и y = x * tan(e).

8. Преобразуйте новую систему координат в начальную систему координат, от того что между ними установлено взаимно-однозначное соответствие, и получите желанные координаты вершины треугольника ABC.

Видео по теме

Видео по теме

jprosto.ru