Как найти площадь поверхности пирамиды. Грани пирамиды площадь


Как вычислить площадь пирамиды: основания, боковую и полную?

При подготовке к ЕГЭ по математике учащимся приходится систематизировать знания по алгебре и геометрии. Хочется объединить все известные сведения, например, о том, как вычислить площадь пирамиды. Причем начиная от основания и боковых граней до площади всей поверхности. Если с боковыми гранями ситуация ясна, так как они являются треугольниками, то основание всегда разное.

Как быть при нахождении площади основания пирамиды?

Оно может быть совершенно любой фигурой: от произвольного треугольника до n-угольника. И это основание, кроме различия в количестве углов, может являться правильной фигурой или неправильной. В интересующих школьников заданиях по ЕГЭ встречаются только задания с правильными фигурами в основании. Поэтому речь будет идти только о них.

Правильный треугольник

То есть равносторонний. Тот, у которого все стороны равны и обозначены буквой «а». В этом случае площадь основания пирамиды вычисляется по формуле:

S = (а2 * √3) / 4.

Квадрат

Формула для вычисления его площади самая простая, здесь «а» - снова сторона:

S = а2.

Произвольный правильный n-угольник

У стороны многоугольника то же обозначение. Для количества углов используется латинская буква n.

S = (n * а2) / (4 * tg (180º/n)).

Как поступить при вычислении площади боковой и полной поверхности?

Поскольку в основании лежит правильная фигура, то все грани пирамиды оказываются равными. Причем каждая из них является равнобедренным треугольником, поскольку боковые ребра равны. Тогда для того, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды, потребуется формула, состоящая из суммы одинаковых одночленов. Число слагаемых определяется количеством сторон основания.

Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле, в которой половина произведения основания умножается на высоту. Эта высота в пирамиде называется апофемой. Ее обозначение - «А». Общая формула для площади боковой поверхности выглядит так:

S = ½ Р*А, где Р — периметр основания пирамиды.

Бывают ситуации, когда не известны стороны основания, но даны боковые ребра (в) и плоский угол при ее вершине (α). Тогда полагается использовать такую формулу, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды:

S = n/2 * в2 sin α.

Задача № 1

Условие. Найти общую площадь пирамиды, если в его основании лежит равносторонний треугольник со стороной 4 см, а апофема имеет значение √3 см.

Решение. Его начинать нужно с расчета периметра основания. Поскольку это правильный треугольник, то Р = 3*4 = 12 см. Поскольку апофема известна, то можно сразу вычислить площадь всей боковой поверхности: ½*12*√3 = 6√3 см2.

Для треугольника в основании получится такое значение площади: (42*√3) / 4 = 4√3 см2.

Для определения всей площади потребуется сложить два получившихся значения: 6√3 + 4√3 = 10√3 см2.

Ответ. 10√3 см2.

Задача № 2

Условие. Имеется правильная четырехугольная пирамида. Длина стороны основания равна 7 мм, боковое ребро — 16 мм. Необходимо узнать площадь ее поверхности.

Решение. Поскольку многогранник — четырехугольный и правильный, то в его основании лежит квадрат. Узнав площади основания и боковых граней, удастся сосчитать площадь пирамиды. Формула для квадрата дана выше. А у боковых граней известны все стороны треугольника. Поэтому можно использовать формулу Герона для вычисления их площадей.

Первые расчеты просты и приводят к такому числу: 49 мм2. Для второго значения потребуется вычислить полупериметр: (7 + 16*2):2 = 19,5 мм. Теперь можно вычислять площадь равнобедренного треугольника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16)2) = √2985,9375 = 54,644 мм2. Таких треугольников всего четыре, поэтому при подсчете итогового числа потребуется его умножить на 4.

Получается: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм2.

Ответ. Искомое значение 267,576 мм2.

Задача № 3

Условие. У правильной четырехугольной пирамиды необходимо вычислить площадь. В ней известна сторона квадрата — 6 см и высота — 4 см.

Решение. Проще всего воспользоваться формулой с произведением периметра и апофемы. Первое значение найти просто. Второе немного сложнее.

Придется вспомнить теорему Пифагора и рассмотреть прямоугольный треугольник. Он образован высотой пирамиды и апофемой, которая является гипотенузой. Второй катет равен половине стороны квадрата, поскольку высота многогранника падает в его середину.

Искомая апофема (гипотенуза прямоугольного треугольника) равна √(32 + 42) = 5 (см).

Теперь можно вычислять искомую величину: ½*(4*6)*5+62 = 96 (см2).

Ответ. 96 см2.

Задача № 4

Условие. Дана правильная шестиугольная пирамида. Стороны ее основания равны 22 мм, боковые ребра — 61 мм. Чему равна площадь боковой поверхности этого многогранника?

Решение. Рассуждения в ней такие же, как были описаны в задаче №2. Только там была дана пирамида с квадратом в основании, а теперь это шестиугольник.

Первым делом вычисляется площадь основания по указанной выше формуле: (6*222) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см2.

Теперь необходимо узнать полупериметр равнобедренного треугольника, который является боковой гранью. (22+61*2):2 = 72 см. Осталось по формуле Герона сосчитать площадь каждого такого треугольника, а потом умножить ее на шесть и сложить с той, что получилась для основания.

Расчеты по формуле Герона: √(72*(72-22)*(72-61)2)=√435600=660 см2. Вычисления, которые дадут площадь боковой поверхности: 660*6 = 3960 см2. Осталось их сложить, чтобы узнать всю поверхность: 5217,47≈5217 см2.

Ответ. Основания - 726√3 см2, боковой поверхности - 3960 см2, вся площадь - 5217 см2.

fb.ru

Площадь боковой поверхности пирамиды - формула, пример расчета

Пирамида – это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной, если треугольник – то треугольной. Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F. AB=BC=CD=DE=EA=3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды. Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен: Теперь можно найти боковую площадь пирамиды:

Площадь правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Площадь усеченной пирамиды

Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Дана правильная четырехугольная пирамида. Длины основания равны b = 5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры. Для начала найдем периметр оснований. В большем основании он будет равен: В меньшем основании: Посчитаем площадь:

Таким образом, применив несложные формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.

2mb.ru

Площадь поверхности пирамиды | Мозган калькулятор онлайн

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь основания и апофему.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.

Боковая поверхность через периметр и апофему

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему:

p - периметр основания пирамиды; l - апофема пирамиды.
Боковая поверхность через высоту и сторону основания

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:

a - сторона основания; h - высота пирамиды; n - число сторон в основании.
Полная поверхность через высоту и сторону основания

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:

a - сторона основания; h - высота пирамиды; n - число сторон в основании.
Полная площадь тетраэдра

Формула полной площадь тетраэдра:

a - сторона основания.

mozgan.ru

Площадь четырехугольной пирамиды - формулы, примеры расчетов

Полная площадь боковой поверхности пирамиды состоит из суммы площадей его боковых граней.В четырехугольной пирамиде различается два вида граней – четырехугольник в основании и треугольники с общей вершиной, которой образуют боковую поверхность.Для начала потребуется рассчитать площадь боковых граней. Для этого можно использовать формулы площади треугольника, а можно также воспользоваться формулой площади поверхности четырехугольной пирамиды (только в случае, если многогранник правильный). Если пирамида правильная и в ней известна длина ребра a основания и проведенной к нему апофемы h, то:

Если по условиям даны длина ребра c правильной пирамиды и длина стороны основания a, то можно найти значение по следующей формуле:Если же дана длина ребра в основании и противолежащий ей острый угол у вершины, то можно рассчитать площадь боковой поверхности по соотношению квадрата стороны a к удвоенному косинусу половины угла α:Рассмотрим пример расчета площади поверхности четырехугольной пирамиды через боковое ребро и сторону основания.

Задача: пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Длина ребра b = 7 см, длина стороны основания a = 4 см. Подставим заданные значения в формулу:

Мы показали расчеты площади одной боковой грани для правильной пирамиды. Соответственно. Чтобы найти площадь всей поверхности необходимо умножить результат на количество граней, то есть на 4. Если пирамида произвольная и ее грани не равны между собой, то рассчитать площадь необходимо для каждой отдельной стороны. Если в основании лежит прямоугольник или параллелограмм, то стоит вспомнить их свойства. Стороны у этих фигур попарно параллельны, а соответственно грани пирамиды будут также попарно одинаковы.Формула площади основания четырехугольной пирамиды напрямую зависит от того, какой четырехугольник лежит в основании. Если пирамида правильная, то площадь основания рассчитывается по формуле площади квадрата, если в основании лежит ромб, то потребуется вспомнить, как находится площадь ромба. Ели же в основании лежит прямоугольник, то найти его площадь будет довольно просто. Достаточно знать длины сторон основания. Рассмотрим пример расчета площади основания четырехугольной пирамиды.

2mb.ru

Как найти площадь грани в пирамиде

Пирамида – одна из самых мистических фигур в геометрии. С ней связывают потоки космической энергии, многие древние народы избирали именно эту форму для строительства своих культовых сооружений. Тем не менее, с точки зрения математики, пирамида – это всего лишь многогранник, с многоугольником в основании, а гранями являются треугольники с общей вершиной. Рассмотрим, как найти площадь грани в пирамиде.

Вам понадобится

калькулятор.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти площадь грани в пирамиде" Как вычислить площадь пирамиды Как найти площадь оснований пирамиды Как найти площадь прямоугольной призмы

Инструкция

1

Пирамиды бывают следующих типов: правильная (в основании - правильный многоугольник, а проекция вершины пирамиды на основание – его центр), произвольная (в основании лежит любой многоугольник, а проекция вершины необязательно совпадает с его центром), прямоугольная (одно из боковых ребер составляет с основанием прямой угол) и усеченная. В зависимости от того, сколько сторон имеет многоугольник в основании пирамиды, ее называют трех-, четырех-, пяти или, к примеру, десятиугольной.

2

Поскольку боковая грань любой пирамиды (кроме усеченной) - это треугольник, нахождение площади грани сводится к определению его площади. В усеченной пирамиде боковая грань – трапеция. Итак, разберемся, как найти площадь грани пирамиды в каждом отдельном случае.

3

Для всех видов пирамид, кроме усеченной:

Перемножьте длины основания треугольника и опущенной на него высоты из вершины пирамиды. Разделите полученное произведение на 2 – это и будет искомая площадь боковой грани пирамиды.

4

Усеченная пирамида

Сложите оба основания трапеции, являющейся гранью такой пирамиды. Разделите полученную сумму на два. Умножьте полученное значение на высоту грани-трапеции. Полученная в результате величина – площадь боковой грани пирамиды данного типа.

Как просто

masterotvetov.com

Пирамида. Виды пирамид | Подготовка к ЕГЭ по математике

Пирамида – многогранник,  основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды 

 

1) Если все боковые ребра равны, то 

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

 

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Виды пирамид

 

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные  равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно  вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

 

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда  это ребро и есть высота пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

 

Смотрите также таблицу «Объемы пирамиды и призмы. Площадь поверхности пирамиды и призмы».

egemaximum.ru

Площадь поверхности пирамиды

Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина  пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:

В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), можете посмотреть.

В заданиях ЕГЭ, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами не встречал.

Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:

Рассмотрим задачи:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.

Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись формулой Герона:

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:

Ответ: 28224

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:

Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

Ответ: 3240

*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.

27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды,  стороны основания которой равны 6 и высота равна 4. 

Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.

Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):

*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.

Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):

Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой  равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:

Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:

Ответ: 96

27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:

где φ — двугранный угол при основании

Отсюда площадь полной поверхности правильной пирамиды может быть найдена по формуле:

Еще одна формула боковой поверхности правильной пирамиды:

  P — периметр основания, l — апофема пирамиды

*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.

Если хотите узнать подробнее  как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru