Высота равнобедренного треугольника. Формула треугольника неравнобедренного треугольника


Формулы равнобедренного треугольника

Определение и формулы равнобедренного треугольника

Формулы, выражающие стороны равнобедренного треугольника:

   

Площадь равнобедренного треугольника:

   

Радиус вписанной окружности

   

Радиус описанной окружности

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Формулы треугольника, с примерами

Формулы площади треугольника

1. По стороне и проведенной к ней высоте

   

2. По двум сторонам и углу между ними

   

3. Формула Герона

   

где – полупериметр треугольника

4. Через радиусы вписанной и описанной окружностей

   

где – полупериметр треугольника, – радиус вписанной окружности;

   

здесь – радиус описанной окружности.

Теоремы треугольника

ТЕОРЕМА Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

   

ТЕОРЕМА Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

   

ТЕОРЕМА Теорема тангенсов. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

   

Равносторонний треугольник со стороной :

– радиус описанной окружности,

– радиус вписанной окружности,

– высота, совпадающая с медианой и биссектрисой,

– площадь треугольника.

Формулы прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике с , гипотенузой и катетами и

   

   

ТЕОРЕМА Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

   

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В равностороннем треугольнике со стороной см найти площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей.
Решение Площадь равностороннего треугольника найдем по формуле , подставив :

   

Тогда искомые радиусы вписанной и описанной окружностей

   

   

Ответ см см см.
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике стороны см см, а . Найти все стороны и все углы треугольника .
Решение Сделаем рисунок. Воспользуемся теоремой синусов и найдем угол :

   

   

откуда , т.е. . Следовательно, треугольник является прямоугольным. Значит,

   

Найдем сторону по теореме Пифагора:

см

Ответ см.
Читайте также:

Египетский треугольник

Неравенство треугольника

Виды треугольников

Тупоугольный треугольник

Остроугольный треугольник

Признаки подобия треугольников и свойства

ru.solverbook.com

Все формулы для треугольника

Геометрия. Планиметрия

Формулы для произвольного треугольника

к содержанию справочника

  1. Медиана треугольника.

    Обратите внимание, что медиана проведена именно к стороне .

  2. Биссектриса треугольника.

    Обратите внимание, что биссектриса проведена именно к стороне

  3. Теорема косинусов.

  4. Теорема синусов.

    (следствие)

  5. Площадь треугольника.

    (формула Герона),где (полупериметр)

  6. Радиус вписанной окружности.

    , где

    (периметр)

  7. Радиус описанной окружности.

  8. Теорема Менелая.

 

Метки треугольник. Смотреть запись.

www.itmathrepetitor.ru

Высота равнобедренного треугольника | Онлайн калькулятор

Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.

Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам - это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.

Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:

Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.

Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами - например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена. И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.

Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрошенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:

Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне

Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.

Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sin⁡α

Формула через боковую сторону и угол напротив основания β:

Формула через основание и угол при нем α:

через основание и угол противолежащий ему β:

allcalc.ru

Треугольник | Формулы и расчеты онлайн

Треугольник - многоугольник с тремя сторонами. Стороны треугольника часто обозначаются малыми буквами, соответствующими обозначению противоположных вершин.

Остроугольный треугольник Прямоугольный треугольник Тупоугольный треугольник

Если все три угла острые, то треугольник - остроугольный.

Если один из углов прямой, то треугольник - прямоугольный.

Стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Сторона против прямого угла - гипотенузой.

Если один из углов тупой - то треугольник тупоугольный.

Равнобедренный треугольник Равносторонний треугольник Внешний угол треугольника

Треугольник равнобедренный, когда две его стороны равны.

Треугольник равносторонний или правильный, когда все три его стороны равны.

Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми. Третья сторона - основанием.

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Против равных сторон - равные углы, Равносторонний треугольник вместе с тем равноугольный.

Сумма углов в треугольнике

Во всяком треугольнике сумма углов равна 180°.В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

\[ A + B + C = 180° \]

Продолжив одну из сторон треугольника, получим внешний угол ∠BCD Внешний угол равен сумме внутренних, с ним не смежных углов.

\[ ∠BCD = ∠DAB + ∠ABC \]

В помощь студенту

Треугольник
стр. 230

www.fxyz.ru

Как высчитать площадь неравнобедренного треугольника?

S= 1/2 a * h где a - сторона треугольника, а h - высота, проведенная к этой стороне

Смотря что дано в условии задачи.. . Если дана сторона и опущенная на нее высота, то S=1/2*a*h Если даны две стороны и угол между ними, то: s=1/2*a*b*sin(угла между ними) . Если даны три стороны, то по формуле Герона S=Корень квадратний (p*(p-a)*(p-b)*(p-c)), где p=(a+b+c)/2 - полупериметр Возможны еще варианты...

s=(a*h)/2 где h это высота а "а" то основание

А что известно?

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника и высоты, проведенной к данной стороне. S= 1/2*(AB*h), где h-высота, проведенная из вершины C в треугольнике АВС.

разделить на2 прямоугольных высотой найти ихS=a(*)b:2,сложить

Например: S=1/2*h*a или теорема Герона: корень квадратный из p(p-a)(p-b)(p-c)

используя формулу герона, можно найти площадь любого треугольника только надо, чтобы было известно 3 стороны

Боже мой, чему вас только в школе учат? Возьми учебник по геометрии, найди раздел "треугольники" и выбери оптимальное решение.

touch.otvet.mail.ru

Площадь треугольника

Площадь треугольника, формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Для всех треугольников

1

Площадь треугольника по основанию и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на высоту, опущенную на это основание: . Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.

Вычислить площадь:

Сторона a

Высота h

2

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между этими сторонами: . Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.

Вычислить площадь:

Сторона a

Сторона b

Угол α° между сторонами a и b

3

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника равна половине суммы всех трех сторон треугольника умноженной на радиус вписанной окружности.

или по-другому можно сказать: "Площадь треугольника равна половине периметра треугольника, умноженного на радиус вписанной окружности."

Вычислить площадь:

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус r вписанной окружности

4

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Площадь треугольника равна произведению трех сторон треугольника, деленных на четыре радиуса описанной окружности:

Вычислить площадь:

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус R описанной окружности

5

Площадь треугольника по формуле Герона

Если известны все три стороны треугольника, можно вычислить его площадь используя формулу Герона: , где p – это полупериметр треугольника, вычисляемый по формуле

Вычислить площадь:

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Полупериметр:

Для равнобедренных треугольников

6

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Вычислить площадь:

Боковая сторона a (a = b)

Угол α° между боковыми сторонами

7

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Вычислить площадь:

Боковая сторона a (a = b)

Основание треугольника c

Угол β° между основанием и стороной

8

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Вычислить площадь:

Основание треугольника c

Угол α° между боковыми сторонами

Для равносторонних треугольников

9

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Вычислить площадь:

Сторона a (a = b = c)

10

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Вычислить площадь:

Высота h

11

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Вычислить площадь:

Радиус r вписанной окружности

12

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Вычислить площадь:

Радиус R описанной окружности

Для прямоугольных треугольников

13

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Вычислить площадь:

Катет a

Катет b

14

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Вычислить площадь:

Отрезокd

Отрезок e

15

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Формула Герона для прямоугольного треугольника , где p – это полупериметр треугольника, вычисляемый по формуле

Вычислить площадь:

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Полупериметр:

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить:

Для всех треугольников

  1. по основанию и высоте
  2. по двум сторонам и углу между ними
  3. по радиусу вписанной окружности и трем сторонам
  4. по радиусу описанной окружности и трем сторонам
  5. по формуле Герона

Для равнобедренных треугольников

  1. по боковым сторонам и углу между ними
  2. по боковой стороне, основанию и углу между боковыми сторонами и основанием
  3. по основанию и углу между боковыми сторонами

Для равносторонних треугольников

  1. по стороне
  2. по высоте
  3. по радиусу вписанной окружности
  4. по радиусу описанной окружности

Для прямоугольных треугольников

  1. по двум катетам
  2. по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность
  3. по формуле Герона

doza.pro