Общая формула для объемов тел вращения. Формула объем тела


Все формулы объема геометрических тел

Все формулы объема геометрических тел

 

 

 

a - сторона куба

 

 

 

Формула объема куба, (V ):

 

 

 

 

a, b, c- стороны параллелепипеда

 

 

 

Формула объема параллелепипеда, (V):

 

 

 

R- радиус шара

π ≈ 3,14

 

 

 

Объем шара, (V):

 

 

h- высота шарового слоя

R- радиус нижнего основания

r- радиус верхнего основания

π ≈ 3,14

 

 

Объем шарового слоя, (V):

 

 

 

h - высота сегмента

R - радиус шара

π ≈ 3,14

 

 

Объем шарового сектора, (V):

Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.

R - радиус шара

h - высота сегмента

π ≈ 3,14

 

 

 

Объем шарового сегмента, (V):

 

 

 

 

h- высота цилиндра

r- радиус основания

π ≈ 3,14

 

 

 

Объем цилиндра, (V):

 

 

 

 

 

H- высота конуса

R- радиус основания

π ≈ 3,14

 

Объем конуса, (V):

 

 

 

R- радиус нижнего основания

r- радиус верхнего основания

h- высота конуса

π ≈ 3,14

 

Объем усеченного конуса,  (V ):

 

 

h - высота пирамиды

S - площадь основания ABCDE

 

 

 

Объем пирамиды, (V):

 

 

h - высота пирамиды

Sниж - площадь нижнего основания, ABCDE

Sверх - площадь верхнего основания, abcde

 

 

Объем усеченной пирамиды, (V):

 

Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.

h - высота пирамиды

a - сторона основания пирамиды

n - количество сторон многоугольника в основании

 

 

Объем правильной пирамиды, (V):

 

Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.

h - высота пирамиды

a - сторона основания

 

 

 

Объем правильной треугольной пирамиды, (V):

 

Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.

h - высота пирамиды

a - сторона основания

 

 

 

Объем правильной четырехугольной пирамиды, (V):

 

 

 

Правильный тетраэдр- пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.

а -ребро тетраэдра

 

 

 

 

Объем правильного тетраэдра (V):

 

 

© 2016 Все права защищены.

При использовании материалов сайта ссылка на источник обязательна.

zdesformula.ru

Формулы объема геометрических фигур.

Объем геометрической фигуры - количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба

где

V

- объем куба,

a

- длина грани куба.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы

где

V

- объем призмы,

So

- площадь основания призмы,

h

- высота призмы.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда

где

V

- объем параллелепипеда,

So

- площадь основания,

h

- длина высоты.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

где

V

- объем прямоугольного параллелепипеда,

a

- длина,

b

- ширина,

h

- высота.

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

Формула объема пирамиды

где

V

- объем пирамиды,

So

- площадь основания пирамиды,

h

- длина высоты пирамиды.

Объем правильного тетраэдра

Формула объема правильного тетраэдра

где

V

- объем правильного тетраэдра,

a

- длина ребра правильного тетраэдра.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

    Формулы объема цилиндра
  • V =

    π R

    2

    h

  • V =

    So h

где

V

- объем цилиндра,

So

- площадь основания цилиндра,

R

- радиус цилиндра,

h

- высота цилиндра,

π = 3.141592

.

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса

где

V

- объем конуса,

So

- площадь основания конуса,

R

- радиус основания конуса,

h

- высота конуса,

π = 3.141592

.

Объем шара

Объем шара равен четырем третим от его радиуса в кубе помноженого на число пи.

Формула объема шара

где

V

- объем шара,

R

- радиус шара,

π = 3.141592

.

Добавить комментарий

o-math.com

Объем, Площадь поверхности, формулы объема

Стандартное обозначение объема есть V. Этим мы измеряем количество (наример, воды), которая может заполнить фигуру.Только пространственные фигуры имеют объем. Например, треугольники, квадраты не имеют объема, но шар имеет объем (потому что он может быть заполнен чем-то, например водой).

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед это фигура, все стороны которой - прямоугольники.Если длины стороны прямоугольника в основе есть a и b и третье ребро c тогда формула объема есть:

$V = a \cdot b \cdot c$

Площадь поверхности:

S = $2(a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$

Куб

Куб есть параллелепипедом, все ребра (стороны) которого равны.

Если длина стороны куба равна a, тогда формула объема:

$V = a.a.a = a^3$

Площадь поверхности:

$S = 6a \cdot a = 6a^2$

Параллелепипед

Параллелепипед это фигура, все стороны которой - параллелограммы. Если площадь основы равна S и высота параллелепипеда равны h,то формула объема есть:

$V = S \cdot h$

Пирамида

Пирамида это фигура, основа которой есть треугольник, параллелограмм (квадрат, прямоугольник) или другая фигура с n-углами и треугольными сторонами.Если площадь основы есть S и высота пирамиды есть h,тогда формула ее объема есть:

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h$

Правильный тетраэдр

$V = \frac{\sqrt{2}\cdot a^3}{12}$

Площадь поверхности:

$S = \sqrt{3}\cdot a^2$

Прямой круговой конус

Конус это фигура с основанием в виде окружности и имеющая одну вершину, как у пирамиды.Если площадь основы есть S и длиныа стороны конуса равна h,то формула объема есть:

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2\cdot h$

Формула площади боковой поверхности конуса:

$S=\pi\cdot r \cdot l$

Формула площади полной поверхности конуса (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания):

$S=\pi\cdot r(r + l)$

Сфера

Сфера есть шар.Она имеет радиус - расстояние от центральной точки сферы к поверхности. Если длина радиуса есть R, то формула объема есть:

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$

Площадь поверхности:

$S = 4\cdot\pi\cdot r^2$

Цилиндр

Цилиндр это фигура с двумя параллельными окружностями.Если ралиус основы равен r и высота (расстояние между основами) цилиндра есть h,то его объем вычисляется по формуле:

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Прямой круговой цилиндр
Объём

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Площадь боковой поверхности:

$S = 2\cdot\pi\cdot r \cdot h$

Площадь полной поверхности:

$S = 2\cdot\pi\cdot r(h + r)$

Тест: объём и площадь поверхности

www.math10.com

7.3 Вычисление объема тела

а) Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Пусть требуется найти объем тела V при известной площади S сечений этого тела относительно плоскости, перпендикулярной некоторой оси, например, ох;. Применим метод 2.

Через произвольную точку проведем плоскость, перпендикулярную оси ох. Обозначим черезплощадь сечения тела этой плоскостью.считаем известной и изменяющейся непрерывно при изменении. Черезобозначим объем части тела, лежащие левее плоскости. Будем считать, что на отрезкевеличинаесть функция от, т.е.. Теперь найдем дифференциал функции. Он представляет собой слой тела, заключенного между параллельными плоскостями, пересекающими осьв точкахи, который можно приближено принять за цилиндр с основаниеми высотой(рис.1). поэтому дифференциал объема. Тогда для нахождения полного объема это соотношение надо проинтегрировать в пределах отдо.

- полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Пример: Найти объем эллипсоида. Если эллипсоид рассечен плоскостью, параллельной плоскостии на расстоянииот нееполучим эллипс (см. рис. 2).

.

Площадь этого эллипса равна . Поэтому объем эллипсоида

б) Объем тела вращения

Пусть вокруг осивращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линиейотрезкоми прямымии. Полученная от вращения фигура, называется телом вращения. Сечение этого тела - плоскостью, перпендикулярной оси, проведенной через произвольную точку, есть круг радиуса. Следовательно,. Поскольку- выражение для объема тела вращения вокруг оси. Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функциии прямымипри условии, то для объема тела, образованного вращением этой трапеции относительно оси, по аналогии с полученным выше можно записать:

в) Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластина), ограниченная кривойи прямыми(рис. 2). Будем считать, что плотность пластиныесть величина. Тогда масса всей пластины, т.е.Выделим элементарный участок пластины в виде бесконечно малой узкой вертикальной полосы и будем считать его прямоугольником. Его масса равна. Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Это точкастоит от осина расстоянии, а от осина расстоянии. Тогда для элементарных статистических моментов относительно осейиполучим следующие соотношения:и. Отсюда;. Если обозначим координаты центра тяжести плоской фигурыто получим, что;, т.е.илии.

8. Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции. Если можно найти первообразнуюфункции, то интеграл находится по формуле Ньютона-Лейбница:

. Но поиск первообразной функции иногда весьма сложен, кроме того не для всякой функции первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях прибегают к приближенным формулам, с помощью которых интеграл находится с любой степенью сложности.

8.1. Формулы прямоугольников

Пусть на отрезкезадана непрерывная функция. Требуется вычислитьинтегралчисленно равный площади соответствующей трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т.е. отрезокнаравных частей длиныс помощью точек. Можно записать, что. В середине каждого отрезка. Построим ординатуграфика функции. Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью. Тогда сумма площадей всех прямоугольников даст площадь фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла:. Эта формула и называется формулой прямоугольников. Абсолютная погрешность оценивается с помощью следующего соотношения, где- максимальное значениена отрезке.

studfiles.net

Общая формула для объемов тел вращения - Стереометрия

Тело вращения в простейшем случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными оси вращения, пересекаются по кругам с центрами на этой прямой. 

 

Проведем плоскость через ось тела и введем в этой плоскости декартовы координаты x, y, приняв ось тела за ось x. Плоскость xy пересекает поверхность тела по линии, для которой ось x является осью симметрии. Пусть y = f(x) – уравнение той части этой линии, которая расположена над осью x. Проведем через точку (x,0) плоскость, перпендикулярную оси x, и обозначим через V(x) объем части тела, лежащей слева от этой плоскости; V(x) является функцией от x. Разность V(x+h) – V(x) представляет собой объем слоя тела толщиной h, заключенного между двумя плоскостями, которые перпендикулярны оси x и проходят через точки с абсциссами x и x+h. Пусть M – наибольшее, а m – наименьшее значение функции f(x) на отрезке [x,x+h]. Тогда рассматриваемый слой тела содержит цилиндр с радиусом m и высотой h и содержится в цилиндре с радиусом M и той же высотой h. Поэтому 

 

При стремлении высоты h к нулю левая и правая части последнего неравенства стремятся к одной и той же величине πf^2(x). Средняя же часть этого неравенства при стремлении h к 0 стремится к производной V`(x) функции V(x). Значит, 

 

По формуле анализа 

 

Эта формула и дает объем части тела, заключенной между параллельными плоскости x=a и x=b.

intellect.ml

Формулы объема, площади поверхности, объем конуса, объем цилиндра, объем шара

Тела вращения, изучаемые в школе, - это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Смотрите также: Формулы объема и площади поверхности многогранников.Кроме формул, в решении задач по стереометрии нужны также элементарная логика и пространственное воображение. Есть и свои небольшие секреты.

Например, такой важный факт:

Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем - в 8 раз. 

(ведь , ).

Вот такая задача. Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.

1. Объем конуса равен . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.Очевидно, что объем меньшего конуса в раз меньше объема большого и равен двум.

Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?Всё просто — рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.

Говорят, что хороший чертеж - это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче С2 (16). Мы тоже расскажем о ней.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Объём тела вращения

Пусть [cbm]T[/cbm] — тело вращения, образованное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми [cbm]x=a[/cbm] и [cbm]x=b[/cbm] и графиком непрерывной функции [cbm]y=f(x)[/cbm] .

Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объем выражается формулой

[cbm]V=\pi \int\limits_{a}^{b} f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_{a}^{b}y^2\,dx\,.[/cbm]

Сначала докажем, что это тело вращения регулярно, если в качестве [cbm]\Pi[/cbm] выберем плоскость [cbm]Oyz[/cbm] , перпендикулярную оси вращения. Отметим, что сечение, находящееся на расстоянии [cbm]x[/cbm] от плоскости [cbm]Oyz[/cbm] , является кругом радиуса [cbm]f(x)[/cbm] и его площадь [cbm]S(x)[/cbm] равна [cbm]\pi f^2(x)[/cbm] (рис. 46). Поэтому функция [cbm]S(x)[/cbm] непрерывна в силу непрерывности [cbm]f(x)[/cbm] . Далее, если [cbm]S(x_1)\leqslant S(x_2)[/cbm] , то это значит, что [cbm]f(x_1)\leqslant f(x_2)[/cbm] . Но проекциями сечений на плоскость [cbm]Oyz[/cbm] являются круги радиусов [cbm]f(x_1)[/cbm] и [cbm]f(x_2)[/cbm] с центром [cbm]O[/cbm] , и из [cbm]f(x_1)\leqslant f(x_2)[/cbm] вытекает, что круг радиуса [cbm]f(x_1)[/cbm] содержится в круге радиуса [cbm]f(x_2)[/cbm] .

Итак, тело вращения регулярно. Следовательно, оно кубируемо и его объем вычисляется по формуле

[cbm]V=\pi \int\limits_{a}^{b} S(x)\,dx= \pi \int\limits_{a}^{b}f^2(x)\,dx\,.[/cbm]

Если бы криволинейная трапеция была ограничена и снизу и сверху кривыми [cbm]y_1=f_1(x),[/cbm] [cbm]y_2=f_2(x)[/cbm] , то

[cbm]V= \pi \int\limits_{a}^{b}y_2^2\,dx- \pi \int\limits_{a}^{b}y_1^2\,dx= \pi\int\limits_{a}^{b}\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.[/cbm]

Формулой (3) можно воспользоваться и для вычисления объема тела вращения в случае, когда граница вращающейся фигуры задана параметрическими уравнениями. В этом случае приходится пользоваться заменой переменной под знаком определенного интеграла.

В некоторых случаях оказывается удобным разлагать тела вращения не на прямые круговые цилиндры, а на фигуры иного вида.

Например, найдем объем тела, получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ординат. Сначала найдем объем, получаемый при вращении прямоугольника с высотой y#, в основании которого лежит отрезок [cbm][x_k;x_{k+1}][/cbm] . Этот объем равен разности объемов двух прямых круговых цилиндров

[cbm]\Delta V_k= \pi y_k x_{k+1}^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_{k+1}+x_k\bigr) \bigl(x_{k+1}-x_k\bigr).[/cbm]

Но теперь ясно, что искомый объем оценивается сверху и снизу следующим образом:

[cbm]2\pi \sum_{k=0}^{n-1} m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_{k=0}^{n-1} M_kx_k\Delta x_k\,.[/cbm]

Отсюда легко следует формула объёма тела вращения вокруг оси ординат:

[cbm]V=2\pi \int\limits_{a}^{b} xy\,dx\,.[/cbm]

(4)

Пример 4. Найдем объем шара радиуса [cbm]R[/cbm] .

Решение. Не теряя общности, будем рассматривать круг радиуса [cbm]R[/cbm] с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь вокруг оси [cbm]Ox[/cbm] , образует шар. Уравнение окружности имеет вид [cbm]x^2+y^2=R^2[/cbm] , поэтому [cbm]y^2=R^2-x^2[/cbm] . Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдем сначала половину искомого объема

[cbm]\frac{1}{2}V= \pi\int\limits_{0}^{R}y^2\,dx= \pi\int\limits_{0}^{R} (R^2-x^2)\,dx= \left.{\pi\!\left(R^2x- \frac{x^3}{3}\right)}\right|_{0}^{R}= \pi\!\left(R^3- \frac{R^3}{3}\right)= \frac{2}{3}\pi R^3.[/cbm]

Следовательно, объем всего шара равен [cbm]\frac{4}{3}\pi R^3[/cbm] .

Пример 5. Вычислить объем конуса, высота которого [cbm]h[/cbm] и радиус основания [cbm]r[/cbm] .

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось [cbm]Ox[/cbm] совпала с высотой h (рис. 47), а вершину конуса примем за начало координат. Тогда уравнение прямой [cbm]OA[/cbm] запишется в виде [cbm]y=\frac{r}{h}\,x[/cbm] .

Пользуясь формулой (3), получим:

[cbm]V=\pi \int\limits_{0}^{h} y^2\,dx= \pi \int\limits_{0}^{h} \frac{r^2}{h^2}\,x^2\,dx= \left.{\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{x^3}{3}}\right|_{0}^{h}= \frac{\pi}{3}\,r^2h\,.[/cbm]

Пример 6. Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды [cbm]\begin{cases}x=a\cos^3t\,,\\ y=a\sin^3t\,.\end{cases}[/cbm] (рис. 48).

Решение. Построим астроиду. Рассмотрим половину верхней части астроиды, расположенной симметрично относительно оси ординат. Используя формулу (3) и меняя переменную под знаком определенного интеграла, найдем для новой переменной [cbm]t[/cbm] пределы интегрирования.

Если [cbm]x=a\cos^3t=0[/cbm] , то [cbm]t=\frac{\pi}{2}[/cbm] , а если [cbm]x=a\cos^3t=a[/cbm] , то [cbm]t=0[/cbm] . Учитывая, что [cbm]y^2=a^2\sin^6t[/cbm] и [cbm]dx=-3a\cos^2t\sin{t}\,dt[/cbm] , получаем:

[cbm]V=\pi \int\limits_{a}^{b} y^2\,dx= \pi \int\limits_{\pi/2}^{0} a^2\sin^6t \bigl(-3a\cos^2t\sin{t}\bigr)\,dt= \ldots= \frac{16\pi}{105}\,a^3.[/cbm]

Объем всего тела, образованного вращением астроиды, будет [cbm]\frac{32\pi}{105}\,a^3[/cbm] .

Пример 7. Найдем объем тела, получаемого при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и первой аркой циклоиды [cbm]\begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\ y=a(1-\cos{t}).\end{cases}[/cbm] .

Решение. Воспользуемся формулой (4): [cbm]V=2\pi \int\limits_{a}^{b}xy\,dx[/cbm] , и заменим переменную под знаком интеграла, учитывая, что первая арка циклоиды образуется при изменении переменной [cbm]t[/cbm] от [cbm]0[/cbm] до [cbm]2\pi[/cbm] . Таким образом,

[cbm]\begin{aligned}V&= 2\pi \int\limits_{0}^{2\pi} a(t-\sin{t})a(1-\cos{t})a(1-\cos{t})\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_{0}^{2\pi} (t-\sin{t})(1-\cos{t})^2\,dt=\\ &= 2\pi a^3 \int\limits_{0}^{2\pi}\bigl(t-\sin{t}- 2t\cos{t}+ 2\sin{t}\cos{t}+ t\cos^2t- \sin{t}\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.{2\pi a^3\!\left( \frac{t^2}{2}+ \cos{t}- 2t\sin{t}- 2\cos{t}+ \sin^2t+ \frac{t^2}{4}+ \frac{t}{4}\sin2t+ \frac{1}{8}\cos2t+ \frac{1}{3}\cos^3t\right)}\right|_{0}^{2\pi}=\\ &= 2\pi a^3\!\left( 2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac{1}{8}+ \frac{1}{3}-1+2- \frac{1}{8}- \frac{1}{3}\right)= 6\pi^3a^3. \end{aligned}[/cbm]

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Источник

calcsbox.com