Косинус в треугольнике. Формула косинуса в треугольнике


Теорема косинусов: формулы | Треугольники

Теорема косинусов может быть применена к любой из сторон треугольника.

Запишем формулы для каждой из сторон и выясним, как применять теорему косинусов в зависимости от условия задачи.

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 

Для треугольника ABC

теорема косинусов

может быть записана

в одной из трех вариаций:

   

   

   

Обозначив

   

   

получим следующие три формулы теоремы косинусов:

   

   

   

К какой стороне треугольника применить теорему косинусов?

Теорему косинусов применяют к той стороне, напротив которой определен угол (то есть, он либо известен, либо как раз его надо найти).

Далее рассмотрим применение теоремы косинусов при решении задач.

Теорема косинусов

www.treugolniki.ru

Теорема косинусов для треугольника, формула и примеры

ТЕОРЕМА Для произвольного треугольника квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

То есть для треугольника , изображенного на рисунке 1, имеют место следующие соотношения:

   

   

   

Следствие из теоремы косинусов

Косинус любого угла треугольника , при условии, что известны все его стороны, можно найти из соотношений

   

   

   

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике стороны см и см, угол между ними . Найти неизвестную сторону .
Решение Запишем для неизвестной стороны теорему косинусов:

   

Подставляя известные значения сторон и угла, получим:

   

   

(см)

Ответ см
ПРИМЕР 2
Задание Стороны треугольника равны соответственно 3, 7 и 8 см. Найти угол, лежащий против стороны длинной 7 см.
Решение Обозначим стороны треугольника: ; а против стороны лежит . По следствию из теоремы косинусов, косинус выражается через стороны треугольника следующим образом:

   

Подставим известные значения длин сторон, получим

   

   

   

Ответ

ru.solverbook.com

Теорема косинусов | Треугольники

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

 

Дано:

∆ ABC.

Доказать:

 

   

Доказательство:

 

I. Если треугольник ABC — остроугольный.

1) Опустим перпендикуляр CD на сторону AB.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC.

По теореме Пифагора,

   

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

   

следовательно,

   

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC.

   

По теореме Пифагора

   

   

   

Упрощаем

   

   

Откуда

   

 

 II. Если треугольник ABC — тупоугольный.

1) Опускаем перпендикуляр CD на прямую, содержащую сторону AB.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC.

По теореме Пифагора,

   

По определению косинуса,

   

Так как углы A и CAD — смежные, то ∠CAD=180º-∠A. По формуле приведения

   

   

   

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC.

   

   

Дальнейшая часть доказательства полностью повторяет рассуждения пункта I.

III. Если треугольник ABC — прямоугольный, где ∠A=90º, получаем теорему Пифагора (cos90º=0).

www.treugolniki.ru

Косинус в треугольнике | Треугольники

Что такое косинус в треугольнике? Как найти косинус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Определение

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

 

  Например, для угла A треугольника ABC

прилежащий катет — это AC.

Соответственно, косинус угла A в треугольнике ABC — это

   

 

 

  Для угла B треугольника ABC

прилежащим является катет BC.

Соответственно,  косинус угла B в треугольнике ABC

равен отношению BC к AB:

   

 

Таким образом, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины прилежащего катета на длину гипотенузы.

Длины отрезков — положительные числа, поэтому косинус острого угла прямоугольного треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то косинус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Вывод:

Косинус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

   

 

Косинус зависит от величины угла.

Если в треугольнике изменить длины сторон, но не изменять угол, значение косинуса этого угла не изменится.

 

Например,

в треугольниках ABC и FPK

∠A=60º, ∠F=60º.

 

   

   

 

Косинус угла в произвольном (не прямоугольном треугольнике) определяется через теорему косинусов. О том, как это делать, мы будем говорить позже.

www.treugolniki.ru

Теорема косинусов — WiKi

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c,AC=b,CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα). Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:a2=(bcos⁡a−c)2+b2sin2⁡a{\displaystyle a^{2}=(b\cos {a}-c)^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}} a2=b2cos2⁡a−2bccos⁡a+c2+b2sin2⁡a{\displaystyle a^{2}=b^{2}\cos ^{2}{a}-2bc\cos {a}+c^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}} a2=b2(cos2⁡a+sin2⁡a)+c2−2bccos⁡a{\displaystyle a^{2}=b^{2}(\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a})+c^{2}-2bc\cos {a}} Так какcos2⁡a+sin2⁡a=1{\displaystyle \cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a}=1}  (основное тригонометрическое тождество), тоa2=b2+c2−2bccos⁡a{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {a}} Теорема доказана.Стоит отметить, что для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² - известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.

ru-wiki.org

Теорема косинусов

Решение треугольников

Теорема косинусовВ любом треугольнике все три его стороны и угол между двумя из них имеют свойство, которое выражается в теореме косинусов:

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Если в треугольнике три стороны обозначить как a, b, c, и противоположные им углы соответственно α, β, γ, то справедливы соотношения:

.

Из теоремы косинусов следует, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон плюс минус удвоенный произведение одной из сторон на проекции другой стороны. Если противоположный угол острый, то берем знак минус, если противоположный угол тупой, берем знак плюс.

Если квадрат некоторой стороны треугольника меньше суммы квадратов двух других сторон, то противоположный ему угол является острым.

Если квадрат некоторой стороны треугольника больше суммы квадратов двух других сторон, то противоположный ему угол тупой.

Если квадрат некоторой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то противоположный ему угол является прямым.

Из теоремы косинусов получаем формулу косинуса любого угла треугольника:

Косинус некоторого угла треугольника равен отношению суммы квадратов сторон, прилегающих к тупика без квадрата противоположной ему стороны к удвоенного произведения прилегающих к углу сторон.

.

С помощью теоремы косинусов можно доказать теорему о диагонали параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов двух смежных его сторон.

 

xn----7sbfhivhrke5c.xn--p1ai

Теорема косинусовФормулы по геометрии

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС.

a, b, с – стороны треугольника

α – угол треугольника, противолежащий стороне a

β – угол треугольника, противолежащий стороне b

γ – угол треугольника, противолежащий стороне с

A, B, C – вершины треугольника

Теорема косинусов формулируется следующим образом: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними

 

 

 

 

 

Все формулы по теме Теорема косинусов:

formylu.ru