Урок Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника. Формула биссектрисы треугольника


Калькулятор расчета длины биссектрисы треугольника

Треугольник — геометрическая фигура с 3-мя сторонами и 3-мя углами. Отрезок, опущенный из вершины треугольника к противоположной ей стороне и поделивший этот угол пополам, считается биссектрисой. В треугольнике 3 вершины, соответственно, можно провести 3 биссектрисы. В зависимости от исходных данных длину биссектрисы можно рассчитать:— через две стороны и угол, как удвоенное произведение двух сторон на косинус половины угла между ними и все это поделенное на сумму длин этих сторон: где L — биссектриса; a, b — стороны; γ — угол между сторонами а и b, который биссектриса делит пополам.

— через полупериметр и стороны, как удвоенный корень квадратный из произведения двух сторон на полупериметр и на разницу между полупериметром и третьей стороной, после чего полученный результат делится на сумму двух сторон: где L — биссектриса; a, b, с — стороны; p — полупериметр, равный половине суммы трех сторон треугольника p=(a+b+c)/2.

— через три стороны, как корень квадратный из произведения двух сторон на сумму трех сторон и на величину, полученную в результате вычитания из суммы двух сторон третьей стороны, затем полученный результат следует поделить на сумму двух сторон: где L — биссектриса; a, b, с — стороны.

— через две стороны и отрезки третьей стороны, полученные делением биссектрисы, проведенной из угла между сторонами а и b на сторону с. В этом случае длина биссектрисы равна корню из произведения двух сторон минус произведения отрезков 3-й стороны: где L — биссектриса; a, b — стороны треугольника; d, e — отрезки от деления биссектрисой.

Рассчитать длину биссектрисы треугольника

infofaq.ru

Все формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.

В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.

 

L - высота = биссектриса = медиана

a - одинаковые стороны треугольника

b - основание

α - равные углы при основании

β - угол образованный равными сторонами

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

 

 

 

 

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

 

Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 07 октября 2011 Обновлено: 16 мая 2017

www-formula.ru

Как найти длину биссектрисы в треугольнике

Как найти биссектрису треугольника?

Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника представляет собой часть биссектрисы любого угла. Это отрезок от вершины угла до пересечения с противоположной стороной треугольника.

Если вывести биссектрисы из всех углов, то они пересекутся в одной точке, которая называется центр вписанного треугольника.

Вычислить биссектрису можно, если знать длину стороны, которую она делит пополам, или же величины углов треугольника.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Поскольку в равнобедренном треугольнике две стороны равны друг другу, то и биссектрисы прилегающих углов будут равными. Т.к. углы треугольника также равны.

При проведении биссектрисы из одного из углов, она будет считаться высотой данного треугольника и его медианой.

Задачи, как найти биссектрису треугольника, решаются с применением формул.

Для решения данных формул в условии должны быть обозначены значения длин сторон, или величин углов треугольника. Зная их, можно вычислить биссектрису по косинусам, либо по периметру.

Например, берем равнобедренный треугольник ABC и проводим биссектрису AE к основанию BC. Полученный треугольник AEB – прямоугольный. Биссектриса – это его высота, сторона AB – гипотенуза прямоугольного треугольника, а BE и AE – катеты.

Применяется теорема Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Исходя из нее BE = v (AB — AE). Поскольку AE – это медиана треугольника ABC, то катет BE = BC/2. Таким образом, BE = v (AB — (BC /4)).

В случае, если задан угол основания ABC, то биссектриса треугольника AEB, AE = AB/sin(ABC). Угол основания AEB, BAE = BAC/2. Поэтому биссектриса AE = AB/cos (BAC/2).

Как найти биссектрису треугольника, вписанного в другой треугольник?

В равнобедренном треугольнике ABC проведем к стороне АС сторону ВК. Этот отрезок не будет являться ни биссектрисой треугольника, ни его медианой. Здесь применятся формула Стюарта.

По ней вычисляется периметр треугольника – сумма длин всех его сторон. Для ABC вычисляем полупериметр. Это периметр треугольника, деленный пополам.

Р = ( АВ+ ВС+ АС)/2. По этой формуле высчитываем биссектрису, проведенную к стороне. ВК = v(4*ВС*АС*Р (Р-АВ)/ (ВС+АС).

По теореме Стюарта можно также увидеть, что биссектриса, проведенная к другой стороне треугольника, будет равна ВК, т.к. эти две стороны треугольника равны между собой.

Биссектриса прямоугольного треугольника

Для того чтобы знать, как находиться биссектриса в прямоугольном треугольнике, нужно также пользоваться формулами. Не стоит забывать, что в прямоугольном треугольнике один угол обязательно прямой, т.е. равный 90 градусам. Таким образом, если биссектриса начинается из прямого угла, даже если в условии не будет указан синус или косинус угла, можно их узнать по величине угла.

  • Находится биссектриса по формуле Стюарта. Если имеется треугольник АВК, и его полупериметр высчитывается, как Р = ( АВ+ ВК+ АК)/2. Исходя из полученного, высчитываем биссектрису АЕ = v(4*ВК*АК*Р (Р-АВ)/ (ВК+АК).
  • Длина биссектрисы определяется еще таким образом. АЕ = v (ВК*АК) – (ЕВ*ЕК), где ЕВ и ЕК – отрезки, на которые биссектриса АЕ делит сторону ВК.
  • Либо можно воспользоваться косинусами углов прямоугольного треугольника, если они известны. Биссектриса будет равна (2*аb*(cos c/2))/(a+b).
  • Либо находить биссектрису так. По формуле (cos а) – (cos b)/2, найдите необходимый в дальнейшем делитель. Далее высота, проведенная к стороне с, делится на полученное значение. Для получения косинусов нужно знать величину углов. Либо вычислить их, исходя из величины единственно известного угла – прямого, в 90 градусов.

Равносторонний треугольник

В таком треугольнике все стороны равны между собой, соответственно и углы. Поэтому все биссектрисы и медианы также будут равными. Если некоторые значения сторон будут неизвестными, то нужным будет значение одной стороны. Т.к. стороны равны. И величины углов также. Поэтому для нахождения биссектрисы по формуле косинусов, нужно знать либо вычислить значение лишь одного из углов.

Длина медианы и биссектриса треугольника равна — L.

Стороны треугольника равны — а.

L = (аv3)/2.

В треугольнике АВС, биссектриса АЕ = (АВСv3)/2.

По этой же формуле вычисляются высота и медиана равностороннего треугольника.

Разносторонний треугольник

В таком треугольнике все стороны имеют разные значения, поэтому и биссектрисы не равны между собой.

Берется треугольник с произвольными значениями сторон. Если некоторые значения сторон неизвестны, то они вычисляются по формуле периметра треугольника.

После того, как биссектрисы углов будут проведены, стоит прибавить к их обозначениям нижний индекс1. Отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону, обозначаются также с нижним индексом 1.

Длины этих отрезков вычисляются по теореме синусов.

Длина же биссектрисы вычисляется как L = v аb – а1b1, где аb – прилежащие к отрезкам стороны, а а1b1 – произведение отрезков. Формула применяется ко всем сторонам разностороннего треугольника. Главное, это знать длины сторон, либо вычислить их, зная величины прилегающих к ним углов.

Источник: https://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/kak-najti-bissektrisu-treugolnika

Вычисление биссектрисы треугольника с известными свойствами

Главная > Наука > Вычисление биссектрисы треугольника с известными свойствами

Математика, как известно, — царица наук. Неслучайно это выражение так любят учителя, особенно старой формации.

Математика открывается исключительно тем, кто умеет, во-первых, логически мыслить, а во-вторых, тем, кто любит всегда добиваться ответа, оперируя изначальными условиями, не жульничая, а основывая решения на анализе, построение опять-таки логических связей.

Эти качества, вынесенные со школьной скамьи, способны модулироваться и к взрослой серьезной жизни как в рабочих, так и в иных сложных моментах.

Сегодня многие сталкиваются с проблемами при решении математических задач еще в начальной школе.

Однако даже те школьники, которые успешно осваивают первичную математическую программу, переходя на новый школьный и жизненный этап, где алгебра отделяется от геометрии, бывает, сталкиваются с серьезными затруднениями.

Между тем, один раз выучив и, главное, поняв, как найти биссектрису треугольника, ученик навсегда запомнит эту формулу. Рассмотрим треугольник ABC с тремя проведенными биссектрисами.

Как видно из рисунка, все они сходятся в одной точке.

Во-первых, определим, что биссектриса треугольника, и это одно из важнейших ее свойств, делит угол, из которого такой отрезок исходит, пополам. То есть в приведенном примере угол BAD равен углу DAC.

Свойства

  1. Биссектриса треугольника разделяет сторону, к которой она проведена на два отрезка, обладающие свойствами пропорциональности к сторонам, которые прилегают к каждому отрезку, соответственно.

    Таким образом, BD/CD = AB/AC.

  2. Каждый треугольник способен обладать тремя данными отрезками. Другие значимые свойства касаются как частных, так и общих случаев конкретных рассматриваемых треугольников.

Свойства в равнобедренных треугольниках

  1. Первое свойство биссектрис равнобедренного треугольника формулируется в том, что равенство двух биссектрис свидетельствует о равнобедренности этого треугольника. Третья же его биссектриса — медиана, а также высота его угла.
  2. Разумеется, что будет верным и обратное свойство.

    То есть в равнобедренном треугольнике неизменно наблюдается равенство двух его биссектрис.

  3. Из сказанного ранее вытекает вывод о том, что биссектриса, исходящая из противоположного основанию, служит также медианой и высотой.
  4. Все биссектрисы равностороннего треугольника обладают равенством.

Определение биссектрисы треугольника

Допустим, что в рассматриваемом треугольнике ABC сторона AB = 5 cm, AC = 4 cm. Отрезок CD = 3 cm.

Определение длины

Определить длину можно по следующей формуле. AD = квадратный корень из разности произведения сторон и произведения пропорциональный отрезков.

Найдем длину стороны BC.

  • Из свойств известно, что BD/CD = AB/AC.
  • Значит, BD/CD = 5/4 = 1,25.
  • BD/3 = 5/4.
  • Значит, BD = 3,75.
  • ABxAC = 5×4=20.
  • CDxBD = 3×3,75 = 11,25.

Так, для того чтобы рассчитать длину, требуется вычесть из 20 11,25 и извлечь квадратный корень из получившегося 8,75. Результат с учетом тысячных долей получится 2,958.

Данный пример призван также эксплицитно указать на ситуацию, когда значения длины биссектрисы, как и все другие значения в математике, будут выражены не в натуральных числах, однако бояться этого не стоит.

Нахождение величины угла

Для нахождения углов, образующихся биссектрисой, важно, прежде всего, помнить о сумме углов, неизменно составляющей 180 градусов. Предположим, что угол ABC равен 70 градусам, а угол BCA — 50 градусам. Значит, путем простейших вычислений получим, что CAB = 180 — (70+50) = 60 градусов.

Если использовать главное свойство, в соответствии с которым угол, из которого она исходит, делится пополам, получим равные значения углов BAD и CAD, каждый из которых будет 60/2 = 30 градусов.

Если требуется дополнительный наглядный пример, рассмотрим ситуацию, когда известен лишь угол BAD равный 28 градусам, а также угол ABC равный 70 градусам. Используя свойство биссектрисы, сразу найдем угол CAB путем умножения значения угла BAD на два. CAB = 28×2 =56. Значит, BAC = 180 — (70+56) или 180 — (70+28×2)= 180 — 126 = 54 градуса.

Специально не рассматривалась ситуация, когда данный отрезок выступает в качестве медианы или высоты, оставив для этого другие специализированные статьи.

Таким образом, мы рассмотрели такое понятие, как биссектриса треугольника, формула для нахождения длины и углов которой заложена и реализована в приведенных примерах, имеющих целью наглядно показать, каким образом можно использовать для решения тех или иных задач в геометрии. Также к данной теме относятся такие понятия, как медиана и высота. Если данный вопрос прояснился, следует обращаться к дальнейшему изучению различных других свойств треугольника, без которых немыслимо дальнейшее изучение геометрии.

Биссектриса треугольника

Источник: https://obrazovanie.guru/nauka/vychislenie-bissektrisy-treugolnika-s-izvestnymi-svojstvami.html

Как найти биссектрису треугольника?

Как найти биссектрису треугольника?

  • Биссектриса, как известно, бегает по углам и грызет угол пополам.Если есть транспортир, найти биссектрису треугольника достаточно просто: сначала определяем величину угла треугольника, затем делим эту величину пополам, и проводим прямую, служащую стороной найденного угла.Если есть только циркуль, а нужно найти биссектрису треугольника, то нужно провести из вершины угла окружность, пересекающую стороны угла, затем провести из точек пересечения еще две окружности. Прямая, проходящая через две точки пересечения этих окружностей, и будет биссектрисой треугольника.
  • Если известны длины сторон треугольника назовем их а,б,с , и сторону с биссектриса делит пополам , то по формуле . Стороnу с делим на две части назовем их условно отрезки с1 и с2 и получается биссектриса равна корень а*б — с1*с2… Надеюсь понятно , давненько я в школе училась …

  • Биссектрису любого угла равностороннего треугольника найти просто — это перпендикуляр на противоположную углу сторону, то есть совпадает с высотой. В равнобедренном треугольнике такой метод тоже сработает, но только для одного угла, между равными сторонами.

    Для произвольного же треугольника графически найти биссектрису можно по методу Матвея с помощью циркуля. В задачах на решение треугольников биссектриса часто используется, вернее используется то, что угол она делит пополам.

    Причем есть свойство, согласно которому биссектриса делит сторону треугольника пропорционально другим сторонам треугольника:

    Так что если известны стороны треугольника и углы, то длину биссектрисы легко найти по теореме синусов:

  • Источник: http://info-4all.ru/drugoe/kak-najti-bissektrisu-treugolnika/

    Что такое биссектриса треугольника: свойства, связанные с отношением сторон

    Биссектриса треугольника – распространенное геометрическое понятие, которое не вызывает особых затруднений в изучении. Владея знаниями о ее свойствах, с решением многих задач можно справиться без особого труда. Что такое биссектриса? Постараемся ознакомить читателя со всеми секретами этой математической прямой.

    Суть понятия

    Наименование понятия пошло от использования слов на латыни, значение которых заключается «би» — две, «сектио» — разрезать. Они конкретно указывают на геометрический смысл понятия – разбивание пространства между лучами на две равные части.

    Биссектриса треугольника – отрезок, который берет начало из вершины фигуры, а другой конец размещен на стороне, которая расположена напротив него, при этом делит пространство на две одинаковые части.

    Многие педагоги для быстрого ассоциативного запоминания учащимися математических понятий пользуются разной терминологией, которая отображена в стихах или ассоциациях. Конечно, использовать такое определение рекомендуется для детей старшего возраста.

    Как обозначается эта прямая? Здесь опираемся на правила обозначения отрезков или лучей. Если речь идет об обозначении биссектрисы угла треугольной фигуры, то обычно ее записывают как отрезок, концы которого являются вершиной и точкой пересечения с противоположной вершине стороной. Причем начало обозначения записывается именно из вершины.

    Внимание! Сколько биссектрис имеет треугольник? Ответ очевиден: столько же, сколько вершин, – три.

    Свойства

    Кроме определения, в школьном учебнике можно найти не так уж много свойств данного геометрического понятия. Первое свойство биссектрисы треугольника, с которым знакомят школьников, – центр вписанной окружности, а второе, напрямую связанное с ним, – пропорциональность отрезков. Суть заключается в следующем:

    1. Какая бы ни была делящая прямая, на ней расположены точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от сторон, которые составляют пространство между лучами.
    2. Для того чтобы вписать в треугольную фигуру окружность, необходимо определить точку, в которой будут пересекаться эти отрезки. Это и есть центральная точка окружности.
    3. Части стороны треугольной геометрической фигуры, на которые разбивает ее делящая прямая, находятся в пропорциональной зависимости от образующих угол сторон.

    Постараемся привести в систему остальные особенности и представить дополнительные факты, которые помогут глубже познать достоинства этого геометрического понятия.

    Длина

    Одним из видов задач, которые вызывают затруднение у школьников, является нахождение длины биссектрисы угла треугольника. Первый вариант, в котором находится ее длина, содержит такие данные:

    • величина пространства между лучами, из вершины которого выходит данный отрезок;
    • длины сторон, которые образуют этот угол.

    Для решения поставленной задачи используется формула, смысл которой заключается в нахождении отношения увеличенного в 2 раза произведения значений сторон, составляющих угол, на косинус его половины к сумме сторон.

    Рассмотрим на определенном примере. Допустим, дана фигура АВС, в которой отрезок проведен из угла А и пересекает сторону ВС в точке К. Значение А обозначим Y. Исходя из этого, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+АС).

    Второй вариант задачи, в котором определяется длина биссектрисы треугольника, содержит такие данные:

    • известны значения всех сторон фигуры.

    При решении задачи такого типа первоначально определяем полупериметр. Для этого необходимо сложить значения всех сторон и разделить пополам: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далее применяем вычислительную формулу, с помощью которой определялась длина данного отрезка в предыдущей задаче.

    Необходимо только внести некоторые изменения в суть формулы в соответствии с новыми параметрами.

    Итак, необходимо найти отношение увеличенного в два раза корня второй степени из произведения длин сторон, которые прилегают к вершине, на полупериметр и на разность полупериметра и длины противолежащей ему стороны к сумме сторон, составляющих угол. То есть АК=(2٦АВ*АС*р*(р-ВС))/(АВ+АС).

    Внимание! Чтобы легче освоить материал, можно обратиться к имеющимся в Интернете шуточным сказкам, повествующим о «приключениях» этой прямой.

    Частные случаи

    Биссектриса прямоугольного треугольника имеет все общие свойства. Но следует отметить частный случай, который присущ только ей: при пересечении отрезков, основания которых являются вершинами острых углов прямоугольного треугольника, между лучами получается 45 град.

    Биссектриса равнобедренного треугольника также имеет свои особенности:

    • Если основание этого отрезка – вершина, противолежащая основанию, то она является и высотой, и медианой.
    • Если отрезки проведены из вершин углов при основании, то их длины равны между собой.

    Урок геометрии, изучаем свойства биссектрисы

     

    Свойства биссектрисы треугольника

    Источник: https://uchim.guru/matematika/bissektrisa-treugolnika-svojstva.html

    Формулы для треугольника, как найти сторону, биссектрису, медиану, высоту, угол

    Формулы для треугольника, как найти сторону, биссектрису, медиану, высоту, угол…

    Найти длину биссектрисы в треугольнике

    L — биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

    a, b — стороны треугольника

    с — сторона на которую опущена биссектриса

    d, e — отрезки полученные делением биссектрисы

    γ — угол ABC, разделенный биссектрисой пополам

    p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

    Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

    Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

    Длина биссектрисы через три стороны, (L):

    Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

    Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

    Биссектриса прямоугольного треугольника

    1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

    L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)

    a, b — катеты прямоугольного треугольника

    с — гипотенуза

    α — угол прилежащий к гипотенузе

    Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

    Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

    2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

    L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла

    a, b — катеты прямоугольного треугольника

    с — гипотенуза

    α, β — углы прилежащие к гипотенузе

    Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

    Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

    Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

    Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.

    В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.

    L — высота=биссектриса=медиана

    a — одинаковые стороны треугольника

    b — основание

    α — равные углы при основании

    β — угол вершины

    Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

    Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

    Найти медиану=биссектрису=высоту равностороннего треугольника

    Формула для вычисления высоты= биссектрисы= медианы.

    В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

    L — высота=биссектриса=медиана

    a —  стороны треугольника

    Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

    Найти длину медианы треугольника по формулам

    Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам. Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

    M — медиана, отрезок |AO|

    c — сторона на которую ложится медиана

    a , b — стороны треугольника

    γ — угол CAB

    Формула длины медианы через три стороны, (M):

    Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

    Длина медианы прямоугольного треугольника

    Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам. Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

    M — медиана

    R — радиус описанной окружности

    O — центр описанной окружности

    с — гипотенуза

    a, b — катеты

    α — острый угол CAB

    Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

    Формула длины через катеты, (M):

    Формула длины через катет и острый угол, (M):

    Найти длину высоты треугольника

    Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

    H — высота треугольника

    a — сторона, основание

    b. c — стороны

    β, γ — углы при основании

    p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

    R — радиус описанной окружности

    S — площадь треугольника

    Формула длины высоты через стороны, (H):

    Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

    Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

    Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

    Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

    В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

    H — высота из прямого угла

    a, b — катеты

    с — гипотенуза

    c1 , c2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

    α, β — углы при гипотенузе

    Формула длины высоты через стороны, (H):

    Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

    Формула длины высоты через катет и угол, (H):

    Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

    Как найти неизвестную сторону треугольника

    Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

    a, b, c — стороны произвольного треугольника

    α, β, γ — противоположные углы

    Формула  длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

    *Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла ( α>90),сosα, принимает отрицательное значение

    Формула  длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

    Формулы сторон равнобедренного треугольника

    Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

    b — сторона (основание)

    a — равные стороны

    α — углы при основании

    β — угол образованный равными сторонами

    Формулы длины стороны (основания), (b):

    Формулы длины равных сторон , (a):

    Как узнать сторону прямоугольного треугольника

    Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

    a, b — катеты

    c — гипотенуза

    α, β — острые углы

    Формулы для катета, (a):

    Формулы для катета, (b):

    Формулы для гипотенузы, (c):

    Формулы сторон по теореме Пифагора, (c, a, b):

    Источник: http://ifreestore.net/2774/

    Совет 1: Как найти длину биссектрисы в треугольнике

    После этого часть формулы длины биссектрисы (L) из предыдущего шага надо будет заменить — в числитель дроби поставьте удвоенный квадратный корень из произведения длин сторон, образующих разделенный биссектрисой угол, на полупериметр и частное от вычитания из полупериметра длины третьей стороны.

    Для этого найдите значение удвоенного произведения длин сторон на косинус половины угла между ними и разделите полученный результат на сумму длин сторон: L=2*a*b*cos(?/2)/(a+b).

    2Если величина угла, который делится биссектрисой, неизвестна, но даны длины всех сторон треугольника (a, b и c), то для вычислений удобнее ввести дополнительную переменную — полупериметр: p=?*(a+b+c).

    Для этого оставьте знаменатель (сумма длин сторон разделенного угла) без изменений, а в числителе должен быть квадратный корень из произведения длин этих же сторон на сумму их длин, из которой вычтена длина третьей стороны, а также на сумму длин всех трех сторон: L=v(a*b*(a+b-c)*(a+b+c))/(a+b).

    4Если в исходных условиях даны не только длины сторон (a и b), образующих разделенный биссектрисой угол, но и длины отрезков (d и e), на которые эта биссектриса поделила третью сторону, то тоже придется извлекать квадратный корень. В результате формула должна выглядеть так: L=2*v(a*b*p*(p-c))/(a+b).

    3Если усложнить подкоренное выражение формулы из предыдущего шага, то можно обойтись и без полупериметра. Знаменатель же оставьте без изменений — это должна быть сумма длин сторон разделенного угла треугольника. Длину биссектрисы (L) в этом случае рассчитывайте как корень из произведения длин известных сторон, из которого вычтено произведение длин отрезков: L=v(a*b-d*e). Инструкция1Если вам известны длины сторон (a и b) треугольника, образующие разделенный пополам угол (?), то длину биссектрисы (L) можно вывести из теоремы косинусов.

    Еще по теме

    Как ведут себя ревнивцы

    Ревность — это не самое лучшее качество человека. От него страдает и ревнивец, и тот, к кому ревнуют….

    Как справиться с изменой мужа

    Инструкция1Сначала сядьте и успокойтесь. От того, что вы будете устраивать истерику и скандалить – лучше не будет, таким образом вы только усугубите положение. Подумайте,…

    Как отменить услугу Погода

    Инструкция1Оператор МТС — один из тех, кто предоставляет своим абонентам услугу под названием «Прогноз погоды». Кроме того…

    Источник: http://www.oootemp.ru/nauka/13210_sovet-1-kak-nayti-dlinu-bissektrisi-v-treugolnike.php

    __________________________________________

    novpedkolledg2.ru

    Произвольный треугольник. Определение медианы, высоты, биссектрисы. Формулы

    Рис. 1. Треугольник (общий случай)

    Треугольник — замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков (в общем случае, разных). В физике эти отрезки классически называются буквами латинского алфавита (

    и т.д.), в отличие от обозначений в геометрии.

    Итак, треугольник, у которого все стороны имеют разную длину и ни один из углов не равен 

    , называется произвольным (рис. 1).

    В случае, если у треугольника равны две стороны, данный треугольник называется равнобедренным.

    В случае, если у треугольника все стороны одинаковы, он называется равносторонним.

    В случае, если у треугольника один и углов прямой (

    ), он называется прямоугольным.

    Для произвольного треугольника вводят ряд отрезков, характеризующих треугольник и обладающих собственными свойствами:

    1. Биссектриса
    2. Высота
    3. Медиана

    Для разных типов треугольников поиск длин параметров треугольника может происходить по-разному. Для физических задач использование конкретной формулы диктуется конкретными данными задачи.

    Рис. 2. Треугольник (биссектриса)

    Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от сторон этого угла. Т.е. биссектриса — это линия, которая делит угол треугольника пополам (рис. 2). Известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

    Для нахождения биссектрисы угла через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

    • через две стороны и угол:

    (1)
    • через три стороны:

    (2)

    Медиана треугольника — отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке: данная точка делит медианы в соотношении 2 к 1, считая от вершины (рис. 3).

    Рис. 3. Треугольник (медиана)

    Для нахождения медианы треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

    • через три стороны:

    (3)
    • через две стороны и угол между ними:

    (4)

    Рис. 4. Треугольник (высота)

    Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение (рис. 4).

     Для нахождения высоты треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

    • через сторону и угол:

    (5)
    • через сторону и площадь треугольника ()

    (6)

    Важно: то, какую формулу выбрать для решения конкретной задачи, зависит от того, что легче найти, исходя из дано.

    Поделиться ссылкой:

    www.abitur.by

    Репетитор по математике и физике » Медиана, высота и биссектриса треугольника

    Автор Сергей

    Среда, Сентябрь 12, 2012

    Для решения задач по геометрии, связанных с треугольниками, важно усвоить одну простую, но важную истину. Существует третий признак равенства треугольников («по трем сторонам»), из которого следует, что не существует двух различных треугольников с одинаковыми сторонами. Следовательно, зная длины всех сторон треугольника, можно узнать об этом треугольнике все, что нужно. В том числе длины его медиан, биссектрис и высот. Разберем более подробно, каким образом это можно сделать.

    Теорема о длине высоты треугольника

    Для нахождения длины высоты треугольника можно расписать его площадь двумя способами. Во-первых, используя формулу Герона, во-вторых, как половину произведения высоты на основание, к которому проведена данная высота.

       

    здесь — полупериметр треугольника.

    Из сравнения данных формул находим:

       

    Отметим, что это лишь один из способов нахождения длины высоты треугольника по его сторонам, который удобен далеко не всегда. Существует огромное множество альтернативных способов, с которыми читатель может ознакомиться в предыдущих уроках.

    Пример 1. Известно, что расстояние от центра описанной окружности до стороны AB треугольника ABC равняется половине радиуса этой окружности. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AB, если она (высота) меньше а две другие стороны равны 2 и 3.

    Решение. Треугольник BOA на рисунке является равнобедренным, поэтому ∠ OAH = ∠ OBH = 30° (катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы). Тогда ∠ BOA и соответствующая дуга окружности, на которую он опирается, равны по 120°. Тогда дуга, на которую опирается ∠ BCA, равна 240°, а значит сам угол ∠ BCA = 120°.

    Площадь треугольника ABC находим по формуле: Длину стороны AB находим по теореме косинусов для треугольника ABC, она равна . С другой стороны, площадь треугольника есть половина произведения высоты на основание, к которому данная высота проведена. Отсюда выражаем требуемую длину высоты что меньше  Случай с остроугольным треугольником ABC не подходит. Проверьте самостоятельно.

    Задача для самостоятельного решения №1. В остроугольном треугольнике ABC BC = a, AC = b, ∠ ACB равен α. Найти высоту CD и ∠ ABC.

    Показать ответОтвет:

       

       

    Теорема о длине медианы треугольника

    Медиана треугольника определяется через три его стороны по формуле:

       

    где a, b, c — стороны треугольника, ma — медиана, проведенная к a. С доказательством этого утверждения интересующийся читатель может ознакомиться в видеоуроке.

    Пример 2. В треугольнике ABC со стороной AB =  из вершины B к стороне AC проведены медиана BM = и высота BH = 2. Найдите сторону BC, если известно, что ∠ B + ∠ C < 90°.

    Решение. Из анализа условия задачи делаем вывод, что ∠ A — тупой. Действительно, ведь сумма всех углов в треугольнике равна 180°. Находим по теореме Пифагора длину HA = 1. Далее по теореме Пифагора находим длину HM = 2. Следовательно, AM = HM — HA = 1. При этом AM = MC = 1 (т. к. BM — медиана). Итак, HC = HA + AM + MC = 3. Следовательно, по теореме Пифагора BC = . Прямой подстановкой убеждаемся в справедливости ранее полученной формулы для длины медианы треугольника.

    Задача для самостоятельного решения №2. В треугольнике ABC медианы, проведенные к сторонам AC и BC, пересекаются под прямым углом. Известно, что AC = b, BC = a. Найдите длину стороны AB.

    Показать ответОтвет: 

    Теорема о длине биссектрисы треугольника

    Длина биссектрисы треугольника определяется по следующей формуле: где — биссектриса, проведенная к стороне — отрезки, на которые биссектриса делит сторону прилежащую к сторонам и соответственно. С доказательством этого утверждения интересующийся читатель может ознакомиться в видеоуроке.

    Пример 3. Дан треугольник со сторонами 4; 8; 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

    Решение. Найдем сперва длины отрезков CL и LA. Используем для этого свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника разбивает противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть CL : CB = LA : BA или CL : 4 = LA : 8. Учитывая также, что CL + LA = 9, получаем, что CL = 3, LA = 6. По доказанной ранее теореме, длину биссектрисы BL можно найти по следующей формуле: BL2 = CB · BA — CL · LA = 4·8 — 3·6 = 14. Итак, BL = 

    Задача для самостоятельного решения №3. В треугольнике ABC сторона AB равна 21, биссектриса BD равна а отрезок DC равен 8. Найти периметр треугольника ABC.

    Показать ответ

    Ответ: 60.

    Сергей ВалерьевичРепетитор по геометрии на Юго-Западной

    yourtutor.info

    Урок Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

    Урок 5.

    Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

    Можно вывести различные формулы, с помощью которых можно вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны:

    Докажем первую из формул.

      1. Вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны длинны двух прилежащих сторон треугольника и угол между ними.

    Решение. Пусть в треугольнике АВС известно, что

    .

    Обозначим биссектрису AD через la .

    Требуется найти la.

    Так как

    то

    Отсюда

    .

    Используя формулу синуса двойного угла, получаем:

    .

    Следовательно,

    Ответ: .

    Выражение называется средним гармоническим чисел а и с. Поэтому формулу можно запомнить следующим образом:

    биссектриса треугольника равна произведению среднего гармонического прилежащих сторон треугольника на косинус половинного угла между ними.

    Доказательство остальных формул можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

    1. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.
    Решение. Воспользуемся формулой для вычисления биссектрисы угла, если известны три стороны треугольника:

    Получаем

    Ответ: 10.

    1. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.

    Решение.

    Пусть в треугольнике АВС АС=35, АВ=14, AD- биссектриса, AD=12.

    Используя формулу

    ,

    Вычислим , получаем:

    , .

    (по основному тригонометрическому тождеству).

    Далее по формуле синуса двойного угла вычисляем

    .

    Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой .

    Получаем

    Ответ. 235,2.

    1. . В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD
    проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 20 и DE = 10. Найдите BE.

    Решение.

    Используя свойство биссектрисы угла треугольника (урок 4), получаем

    , то есть .

    Таким образом, нам известны длины двух прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону, поэтому

    Ответ :.

    Задачи для самостоятельного решения

    1. Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

    Посмотреть решение.

    1. В треугольнике ABC известно, что АВ = 10, АС = 15, BAC = 120°. Найдите биссектрису AD.

    Посмотреть решение.

    1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

    Посмотреть решение.

    1. В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 18 и DE = 12. Найдите BE.

    Посмотреть решение.

    kaz2.docdat.com

    Формула биссектриса равностороннего треугольника | Помощь школьнику

    вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-4x+5, y=0, x=0, x=4, и y=0.

    Биссектриса равностороннего треугольника

    Какими свойствами обладает биссектриса равностороннего треугольника? Как, зная сторону правильного треугольника, найти его биссектрису? Чему равна длина биссектрисы через радиус вписанной и описанной окружностей?

    (свойство биссектрисы равностороннего треугольника)

    В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая к любой стороне, является также его медианой и высотой.

    Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

    Проведем биссектрису BF.

    По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и высотой.

    Аналогично, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, а его биссектрисы AK и CD — еще и медианы и высоты.

    Что и требовалось доказать.

    (свойство биссектрис равностороннего треугольника)

    Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

    AK, BF CD — биссектрисы треугольника ABC.

    В треугольниках ABF, BCD и CAK:

      AB=BC=CA (по условию) ∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника) ∠ABF=∠BCD=∠CAK (как как AK, BF CD — биссектрисы равных углов).

    Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK=BF=CD.

    Что и требовалось доказать.

    Из теорем 1 и 2 следует, что В равностороннем треугольнике все биссектрисы, медианы и высоты равны между собой.

    1) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через его сторону.

    По свойствам равностороннего треугольника, BF — высота ∆ ABC, ∠A=60º.

    Из прямоугольного треугольника ABF по определению синуса

    Таким образом, формула биссектрисы равностороннего треугольника по его стороне:

    2) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

    Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектрисы равностороннего треугольника также являются его медианами. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

    Следовательно, точка O — центр вписанной и описанной окружностей, OF — радиус вписанной окружности, OF=r, BO — радиус описанной окружности, BO=R и BO:OF=2:1.

    Таким образом, длина биссектрисы через радиус вписанной окружности равна

    Формула биссектриса равностороннего треугольника

    Биссектриса равностороннего треугольника

    Какими свойствами обладает биссектриса равностороннего треугольника? Как, зная сторону правильного треугольника, найти его биссектрису? Чему равна длина биссектрисы через радиус вписанной и описанной окружностей?

    (свойство биссектрисы равностороннего треугольника)

    В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая к любой стороне, является также его медианой и высотой.

    Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

    Проведем биссектрису BF.

    По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и высотой.

    Аналогично, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, а его биссектрисы AK и CD — еще и медианы и высоты.

    Что и требовалось доказать.

    (свойство биссектрис равностороннего треугольника)

    Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

    AK, BF CD — биссектрисы треугольника ABC.

    В треугольниках ABF, BCD и CAK:

      AB=BC=CA (по условию) ∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника) ∠ABF=∠BCD=∠CAK (как как AK, BF CD — биссектрисы равных углов).

    Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK=BF=CD.

    Что и требовалось доказать.

    Из теорем 1 и 2 следует, что В равностороннем треугольнике все биссектрисы, медианы и высоты равны между собой.

    1) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через его сторону.

    По свойствам равностороннего треугольника, BF — высота ∆ ABC, ∠A=60º.

    Из прямоугольного треугольника ABF по определению синуса

    Таким образом, формула биссектрисы равностороннего треугольника по его стороне:

    2) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

    Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектрисы равностороннего треугольника также являются его медианами. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

    Следовательно, точка O — центр вписанной и описанной окружностей, OF — радиус вписанной окружности, OF=r, BO — радиус описанной окружности, BO=R и BO:OF=2:1.

    Таким образом, длина биссектрисы через радиус вписанной окружности равна

    Формула биссектриса равностороннего треугольника

    Формула биссектриса равностороннего треугольника

    Все формулы для треугольника, как найти сторону, биссектрису, медиану, высоту, угол.

    Найти длину биссектрисы в треугольнике

    С — сторона на которую опущена биссектриса

    D , E — отрезки полученные делением биссектрисы

    Γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам

    Длина биссектрисы через две стороны и угол, ( L ):

    Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, ( L ):

    Длина биссектрисы через три стороны, ( L ):

    Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

    Биссектриса прямоугольного треугольника

    1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

    L — биссектриса, отрезок ME, исходящий из прямого угла (90 град)

    Α — угол прилежащий к гипотенузе

    Формула длины биссектрисы через катеты, ( L ):

    Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L ):

    2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

    L — биссектриса, отрезок ME, исходящий из острого угла

    Α, Β — углы прилежащие к гипотенузе

    Формулы длины биссектрисы через катет и угол, ( L ):

    Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, ( L ):

    Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

    Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.

    В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.

    A — одинаковые стороны треугольника

    Α — равные углы при основании

    Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, ( L ):

    Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, ( L ):

    Найти медиану=биссектрису=высоту равностороннего треугольника

    Формула для вычисления высоты= биссектрисы= медианы.

    В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

    A — стороны треугольника

    Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, ( L ):

    Найти длину медианы треугольника по формулам

    Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону C пополам. Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

    C — сторона на которую ложится медиана

    A, B — стороны треугольника

    Формула длины медианы через три стороны, ( M ):

    Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, ( M ):

    Длина медианы прямоугольного треугольника

    Медиана, отрезок |CO| , исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу C , пополам. Медиана в прямоугольном треугольнике ( M ), равна, радиусу описанной окружности ( R ).

    R — радиус описанной окружности

    O — центр описанной окружности

    Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, ( M ):

    Формула длины через катеты, ( M ):

    Формула длины через катет и острый угол, ( M ):

    Найти длину высоты треугольника

    Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — Ортоцентр.

    A — сторона, основание

    R — радиус описанной окружности

    Формула длины высоты через стороны, ( H ):

    Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

    Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

    Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

    Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

    В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

    Формула длины высоты через стороны, ( H ):

    Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, ( H ):

    Формула длины высоты через катет и угол, ( H ):

    Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы, ( H ):

    Как найти неизвестную сторону треугольника

    Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

    Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( A ):

    * Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла ( Α >90) , Сos α , принимает отрицательное значение

    Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( A ):

    Формулы сторон равнобедренного треугольника

    Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

    Β — угол образованный равными сторонами

    Формулы длины стороны (основания), ( B ):

    Формулы длины равных сторон, ( A ):

    Как узнать сторону прямоугольного треугольника

    Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

    © 2016 Все права защищены.

    При использовании материалов сайта ссылка на источник обязательна.

    poiskvstavropole.ru