Все формулы биссектрисы прямоугольного треугольника. Формула биссектриса


Все формулы биссектрисы прямоугольного треугольника

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α - угол прилежащий к гипотенузе

 

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

 

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

 

 

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α, β - углы прилежащие к гипотенузе

 

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

 

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

 

Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 07 октября 2011 Обновлено: 16 мая 2017

www-formula.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Планиметрия

      Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

      Определение. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Рис.1

      Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

      На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD.

      Теорема 1. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

      Доказательство. Продолжим сторону AC треугольника ABC, изображенного на рисунке 1, за точку A. Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD. Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Рис.2

      Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD, поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD. Заметим также, что угол BEA равен углу DAC, поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD. Таким образом, угол EBA равен углу BEA, откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

      Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

что и требовалось доказать.

      Следствие 1. Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

Рис.3

b = |AC|,   a = |BC|,   c = |AB|,   p = |BD|,   q = |DC|.

      Тогда

      Доказательство. Поскольку

то

что и требовалось доказать.

      Следствие 2. Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O.

Рис.4

      Тогда справедлива формула:

      Доказательство. Поскольку

то

что и требовалось доказать.

      Замечание. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

      Теорема 2. Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

Рис.5

      Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

      Доказательство. Из рисунка 5 следует формула

|EB| = 2c cos α .

      Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC, получаем:

что и требовалось доказать.

      Теорема 3. Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 6

Рис.6

и воспользуемся теоремой косинусов:

      Теперь воспользуемся формулой «Косинус двойного угла»:

      Следовательно,

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

что и требовалось доказать.

      Задача. Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высотаCE.

Рис.7

Доказать, что выполнено равенство:

      Решение. Поскольку CD – биссектриса угла ACB, то

      Поскольку CE – высота, то

      Следовательно,

что и требовалось доказать.

      Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

      Следствие. Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Все формулы для треугольника

L - биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам

a, b - стороны треугольника

с - сторона на которую опущена биссектриса

d, e - отрезки полученные делением биссектрисы

γ - угол ABC, разделенный биссектрисой пополам

p - полупериметр, p=(a+b+c)/2

 

 

Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):

 

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):

 

Длина биссектрисы через три стороны, (L):

 

Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):

 

 

 

Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α - угол прилежащий к гипотенузе

 

 

Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):

 

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):

 

 

 

2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:

 

L - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла

a, b - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза

α, β - углы прилежащие к гипотенузе

 

 

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):

 

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):

 

Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.

В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.

 

L - высота=биссектриса=медиана

a - одинаковые стороны треугольника

b - основание

α - равные углы при основании

β - угол вершины

 

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

 

 

 

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Формула для вычисления высоты= биссектрисы= медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

 

 

L - высота=биссектриса=медиана

a -  стороны треугольника

 

 

 

Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

 

 

Медиана - отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам. Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

 

 

M - медиана, отрезок |AO|

c - сторона на которую ложится медиана

a , b - стороны треугольника

γ - угол CAB

 

 

Формула длины медианы через три стороны, (M):

 

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

 

 

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам. Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

M - медиана

R - радиус описанной окружности

O - центр описанной окружности

с - гипотенуза

a, b - катеты

α - острый угол CAB

 

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

 

Формула длины через катеты, (M):

 

Формула длины через катет и острый угол, (M):

 

 

Высота- перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется - ортоцентр.

 

H - высота треугольника

a - сторона, основание

b. c - стороны

β, γ - углы при основании

p - полупериметр, p=(a+b+c)/2

R - радиус описанной окружности

S - площадь треугольника

 

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

 

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

 

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

 

 

 

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр - точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

 

H - высота из прямого угла

a, b - катеты

с - гипотенуза

c1 , c2 - отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α, β - углы при гипотенузе

 

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):

 

Формула длины высоты через катет и угол, (H):

 

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):

 

 

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

 

 

a, b, c - стороны произвольного треугольника

α, β, γ - противоположные углы

 

 

 

Формула  длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):

*Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла ( α>90), сosα, принимает отрицательное значение

 

Формула  длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

 

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b - сторона (основание)

a - равные стороны

α - углы при основании

β - угол образованный равными сторонами

 

 

 

Формулы длины стороны (основания), (b):

 

Формулы длины равных сторон , (a):

 

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

 

 

a, b - катеты

c - гипотенуза

α, β - острые углы

 

 

Формулы для катета, (a):

 

Формулы для катета, (b):

 

Формулы для гипотенузы, (c):

 

Формулы сторон по теореме Пифагора, (c, a, b):

 

 

zdesformula.ru

Math.by - Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы :

Теория

Биссектриса угла - это луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.

Биссектрисой треугольника называется отрезок бессектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Длина биссектрисы треугольника, проведенная из вершины B, вычисляется по следующей формуле:

,где p - полупериметр:

Аналогично получаем формулу биссектрисы проведенной из вершины A:

и для биссектрисы проведенной из вершины C:

Свойства биссектрис треугольника:

  • биссектриса угла - это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла;
  • биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам;
  • точка пересечений биссектрис треугольника является окружности, вписанной в этот треугольник.

www.math.by

Биссектриса — WiKi

Биссектриса AD делит пополам угол A

Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла[1]. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

lc=ab(a+b+c)(a+b−c)a+b=2abp(p−c)a+b{\displaystyle l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} \over {a+b}}={\frac {2{\sqrt {abp(p-c)}}}{a+b}}} , где p{\displaystyle p}  — полупериметр. lc=ab−albl{\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-a_{l}b_{l}}}}  lc=2abcos⁡γ2a+b{\displaystyle l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}  lc=hccos⁡α−β2{\displaystyle l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}} 

Для трёх биссектрис углов A{\displaystyle A} , B{\displaystyle B}  и C{\displaystyle C}  с длинами соответственно la,lb,{\displaystyle l_{a},l_{b},}  и lc{\displaystyle l_{c}} , справедлива формула[8]

(b+c)2bcla2+(c+a)2calb2+(a+b)2ablc2=(a+b+c)2.{\displaystyle {\frac {(b+c)^{2}}{bc}}l_{a}^{2}+{\frac {(c+a)^{2}}{ca}}l_{b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}l_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.} , wc2=aw⋅bw−ab=CE2=BE⋅AE−ab{\displaystyle w_{c}^{2}=a_{w}\cdot b_{w}-ab=CE^{2}=BE\cdot AE-ab} ,

где:

  • a,b,c{\displaystyle a,b,c}  — стороны треугольника против вершин A,B,C{\displaystyle A,B,C}  соответственно,
  • α,β,γ{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }  — внутренние углы треугольника при вершинах A,B,C{\displaystyle A,B,C}  соответственно,
  • hc{\displaystyle h_{c}}  — высота треугольника, опущенная на сторону c{\displaystyle c} .
  • lc{\displaystyle l_{c}}  — длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне c{\displaystyle c} ,
  • al,bl{\displaystyle a_{l},b_{l}}  — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса lc{\displaystyle l_{c}}  делит сторону c{\displaystyle c} ,
  • wc{\displaystyle w_{c}}  — длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины C{\displaystyle C}  к продолжению стороны AB{\displaystyle AB} .
  • aw,bw{\displaystyle a_{w},b_{w}}  — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса wc{\displaystyle w_{c}}  делит сторону c=AB{\displaystyle c=AB}  и её продолжение до основания самой биссектрисы.
  • Если медиана m{\displaystyle m} , высота h{\displaystyle h}  и внутренняя биссектриса t{\displaystyle t}  выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса R{\displaystyle R} , тогда[9]:p.122,#96
4R2h3(t2−h3)=t4(m2−h3).{\displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).} 

ru-wiki.org

Задачи на теоремы Менелая, Чевы и Стюарта. Формулы для биссектрисы и медианы

\(\blacktriangleright\) Теорема Менелая: пусть прямая пересекает треугольник в точке \(C_1\) на стороне \(AB\), в точке \(A_1\) на стороне \(BC\) и в точке \(B_1\) на продолжении стороны \(AC\). Тогда имеет место следующее соотношение:

 

Доказательство: Проведем через точку \(C\) прямую параллельно \(AB\). Пусть она пересечет \(A_1B_1\) в точке \(K\). Тогда по двум углам \(\triangle A_1BC_1\sim \triangle A_1KC \Rightarrow\)

 

\(\dfrac{C_1B}{CK}=\dfrac{BA_1}{A_1C}\) или \(\dfrac{BA_1\cdot CK}{A_1C\cdot C_1B}=1 \ (*)\)

 

Т.к. \(\triangle AB_1C_1\sim \triangle CKB_1 \Rightarrow \)

 

\(\dfrac{CK}{AC_1}=\dfrac{B_1C}{AB_1}\), откуда \(CK=\dfrac{B_1C\cdot AC_1}{AB_1}\)

 

Подставив последнее равенство в \((*)\) и сгруппировав множители, получим требуемое равенство.

 

\(\blacktriangleright\) Теорема, обратная теореме Менелая: пусть в треугольнике точка \(B_1\) лежит на продолжении стороны \(AC\), а точки \(A_1, C_1\) — на сторонах \(BC\) и \(AB\) соответственно. Тогда, если выполнено равенство \[\dfrac{AB_1}{B_1C}\cdot \dfrac{CA_1}{A_1B}\cdot \dfrac{BC_1}{C_1A}=1,\] то точки \(A_1, B_1, C_1\) лежат на одной прямой.

 

Доказательство: Предположим, что эти три точки не лежат на одной прямой. Тогда прямая \(A_1B_1\) пересечет сторону \(AB\) в точке \(C_2\), отличной от точки \(C_1\). Тогда по теореме Менелая для точек \(A_1, B_1, C_2\) будет выполнено равенство:

 

\(\dfrac{AB_1}{B_1C}\cdot \dfrac{CA_1}{A_1B}\cdot \dfrac{BC_2}{C_2A}=1\)

 

Сравнивая это равенство с равенством из условия, получим, что \(\dfrac{BC_2}{C_2A}=\dfrac{BC_1}{C_1A}\),

 

то есть точки \(C_1\) и \(C_2\) поделили отрезок \(AB\) в одинаковом соотношении. Значит, эти точки совпадут.

 

Теорема Чевы: пусть на сторонах треугольника \(ABC\) выбраны точки \(A_1\in BC, B_1\in AC, C_1\in AB\). Отрезки \(AA_1, BB_1, CC_1\) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено равенство \[{\large{\dfrac{AB_1}{B_1C}\cdot \dfrac{CA_1}{A_1B}\cdot \dfrac{BC_1}{C_1A}=1}}\]

Доказательство:

1) Докажем, что из пересечения отрезков следует данное равенство:

 

Применим теорему Менелая для \(\triangle ABB_1\) и прямой \(CC_1\):

 

\(\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot \dfrac{BO}{OB_1}\cdot\dfrac{B_1C}{CA}=1\)

 

Применим теперь теорему Менелая для \(\triangle BB_1C\) и прямой \(AA_1\):

 

\(\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot \dfrac{CA}{AB_1}\cdot \dfrac{B_1O}{OB}=1\)

 

Перемножив полученные два равенства, получим:

 

\(\dfrac{AB_1}{B_1C}\cdot\dfrac{CA_1}{A_1B}\cdot\dfrac{BC_1}{C_1A}=1\)

 

2) Докажем, что из данного равенства следует, что отрезки пересекутся в одной точке:

 

Предположим, что отрезок \(CC_1\) не проходит через точку \(O\). Тогда проведем отрезок \(CC_2\) через точку \(O\). Т.к. три отрезка \(AA_1, BB_1, CC_2\) пересеклись в одной точке, то для них верно:

 

\(\dfrac{AB_1}{B_1C}\cdot\dfrac{CA_1}{A_1B}\cdot\dfrac{BC_2}{C_2A}=1\)

 

Сравнивая полученное равенство с равенством из условия, заключаем, что

 

\(\dfrac{BC_2}{C_2A}=\dfrac{BC_1}{C_1A}\), т.е. точки \(C_1\) и \(C_2\) поделили отрезок \(AB\) в одинаковом отношении. Это возможно только в том случае, когда эти точки совпадают, т.е. \(C_1=C_2\).

 

\(\blacktriangleright\) Теорема Стюарта: пусть в треугольнике на стороне \(AB\) отмечена точка \(P\).Тогда, если \(CP=p, AP=x, BP=y,AC=b, BC=a\), верно следующее соотношение:

 

Доказательство: Рассмотрим \(\triangle ABC\): по теореме косинусов имеем\(a^2=b^2+(x+y)^2-2b(x+y)\cos \angle A \Rightarrow \cos\angle A=\dfrac{b^2+(x+y)^2-a^2}{2b(x+y)}\)

 

Рассмотрим \(\triangle ACP\):\(p^2=b^2+x^2-2bx\cos \angle A \Rightarrow \cos\angle A=\dfrac{b^2+x^2-p^2}{2bx}\)

 

Следовательно: \(\dfrac{b^2+x^2-p^2}{2bx}=\dfrac{b^2+(x+y)^2-a^2}{2b(x+y)} \Rightarrow \dfrac{b^2+x^2-p^2}{x}=\dfrac{b^2+(x+y)^2-a^2}{x+y}\), откуда получаем равенство из условия.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью теоремы Стюарта выводятся формулы нахождения биссектрис и медиан треугольника:

 

I. Если \(l_c\) — биссектриса, проведенная к стороне \(c\) и разбивающая эту сторону на отрезки \(x\) и \(y\), а \(a,b\) — две другие его стороны, то \[{\large{l^2_c=ab-xy}}\]

Действительно, т.к. \(l_c\) — биссектриса, то она делит сторону \(c\) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е.

 

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{b}{a}\)

 

Следовательно, можно принять \(x=kb, y=ka\), где \(k\) — этот коэффициент пропорциональности.

 

Запишем теорему Стюарта:

 

\(l^2_c=a^2\cdot \dfrac x{x+y}+b^2\cdot \dfrac y{x+y}-xy=\dfrac{a^2kb}{k(a+b)}+\dfrac{b^2ka}{k(a+b)}-xy=\dfrac{kab(a+b)}{k(a+b)}-xy=ab-xy\)

 

II. Если \(m_c\) — медиана, проведенная к стороне \(c\) треугольника, а \(a,b\) — две другие его стороны, то \[{\large{m^2_c=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}4}}\]

Действительно, т.к. \(m_c\) — медиана, то \(x=y\). Подставив это в равенство Стюарта, получим формулу вычисления медианы треугольника.

shkolkovo.net

Свойство биссектрисы угла треугольника

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………. 2

  1. Свойство биссектрисы треугольника и способы

доказательства …………………………………………………………4

  1. Нахождение длины биссектрисы (формулы) ………………………7

  1. Соотношения, связанные с биссектрисой………………………..…...13

4.Задачи…………………………………………………………………….16

5. Выводы…………………………………………………………………..20

6. Список литературы…………………………………………………….21

ВВЕДЕНИЕ

Цель работы:

Показать многообразие способов доказательства свойства биссектрисы треугольника.

Задачи:

  1. Ознакомиться с литературой по данной теме, повторить ряд геометрических фактов, необходимых для проекта

  2. Систематизировать теоретический материал, используемый для доказательства теоремы

  3. Выяснить практическое применение формул для вычисления биссектрисы треугольника

  4. Создание презентации к работе

Что мы знаем о биссектрисе угла треугольника? Наверное не так уж и много – определение биссектрисы; факт, что точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности и свойство деления стороны биссектрисой на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.

В своей работе я постаралась систематизировать сведения и найти дополнительную информацию, которая углубляет знания об этом понятии в теории треугольников. С помощью научной литературы по теме и работы с научным руководителем, мы привели несколько способов доказательства свойства биссектрисы треугольника. При этом использовали следующие теоремы и понятия:

1.Теорему Фалеса о пропорциональных отрезках

2. Подобие треугольников

3. Применение формул площадей треугольника

4. Теорема синусов

Доказательство теоремы разными способами позволят повторить широкий спектр геометрических фактов, совершенствовать навыки применения разных методов и приемов решения задач, способствует более глубокому и прочному пониманию и запоминанию материала.

В работе значительно расширены сведения о биссектрисах треугольника:

  • приводятся 4 вида формул для вычисления биссектрисы треугольника, эти формулы имеют практическое применение;

  • выводятся формулы радиуса окружности, вписанной в треугольник;

  • формулируются свойства точки пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной окружностью;

  • устанавливается взаимное расположение высоты, медианы и биссектрисы треугольника, проведенных из одной вершины ( 3 способа).

.

РАЗДЕЛ 1

Свойство биссектрисы треугольника и способы его доказательства.

Теорема.

Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки пропорциональные двум другим сторонам .

Дано: ∆ АВС, BD – его биссектриса.

Доказать:

Рис. 1.1

1. Применим к доказательству теорему Фалеса

Проведем прямую CK||BD и продолжим сторону AB до пересечения с этой прямой. 2 = 3 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и KC и секущей BC. 1 = 4 как соответственные углы при CK||BD и секущей BC.

∆ BCK – равнобедренный.

Тогда по теореме Фалеса:

Т.е , что и требовалось доказать

  1. Применим подобие треугольников (рис. 1.2)

Проведем перпендикуляры из вершин А и С на биссектрису и ее продолжение, тогда имеем:

Рис. 1.2

∆ AND ~ ∆ CMD (по двум углам). Из определения подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

, (*)

∆ ABN~ ∆ CBM, тогда ; (**)

В равенствах (*) и (**) равны правые части, а значит:

  1. Применим формулы площади треугольника (рис. 1.3)

Точка D лежит на биссектрисе угла ABC, значит она равноудалена от его сторон, то есть

Тогда:

Получили, что

4. Применим теорему синусов

Рис. 1.4

Из ∆ ABD по теореме синусов: , или упростив, имеем: (*)

Из ∆ BDС по теореме синусов: (**)

Разделим равенство (*) на (**), получим

. 5. Докажем теорему, используя формулы площади треугольника (рис. 1.4)

Получили

РАЗДЕЛ 2

Формулы для вычисления длины биссектрисы

В разделе выводятся четыре формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника [3].

2.1. Длина биссектрисы через пропорциональные стороны и отрезки

Рис. 2.1.1.

2.1.1.Доказательство. I способ - через вписанные углы (рис. 2.1.1).

Опишем вокруг ∆ABC окружность и продолжим биссектрису CD =l до

пересечения с окружностью, F – точка пересечения. Пусть DF= x.

Вписанные углы BFC и CAB равны, так как опираются на одну и ту же дугу BC. Тогда ∆FCB ~ ∆ACD по двум углам. У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны:

или

Тогда (1).

По свойству пересекающихся хорд

или .

Подставим последнее равенств в формулу (1), получим

2.1.2.Доказательство. II способ – через теорему косинусов (рис.2.1.2)

Рис 2.1.2

Из пропорции следует, что , (2).

Из ∆ BCD из теоремы косинусов.

Из ∆ DCA .Получим равенство .

После умножения на 2abl получим:

Перегруппировка слагаемых

. Подставим формулы (2) в равенство вместо m и n

В случае, если делим на (b – a) и получаем

2.2. Длина биссектрисы через две стороны и угол между ними (рис. 2.2)

Рис. 2.2

Доказательство через площадь треугольника.

.

Равенство умножим на 2, а заменим по формулам двойного угла

Так как разделим на него и найдём l. ;

Следствие. В прямоугольном треугольнике угол , поэтому биссектриса опущенная на гипотенузу равна , где a и b – катеты.

    1. Длина биссектрисы через стороны треугольника (рис. 2.3)

Рис. 2.3

Выразим отрезки m и n через стороны треугольника, решив систему.

; ; ; =c ; .

Аналогично .

Подставим найденные выражения в формулу биссектрисы

Тогда .

    1. Угол между высотой и биссектрисой треугольника , проведенными

из одной вершины [1]

Рис. 2.4

Пусть CM= h – высота, а CD= l биссектриса треугольника, проведенная из той же вершины. Найдем угол MCD между высотой и биссектрисой треугольника.

Из

Из ∆BCM () BCM =

MCD= BCD - BCM = .

2.5.Длина биссектрисы через высоту (рис. 2.4)

Из ∆CMD () .

РАЗДЕЛ 3

Соотношения, связанные с биссектрисой

В разделе будет получено отношение, в котором биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения; найден угол, образованный при пересечении биссектрис; установлена связь между сторонами треугольника и отрезками касательных ко вписанной в треугольник окружности.

3.1. Отношение , в котором биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения (рис. 3.1)

Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Найдём, в каком отношении делятся биссектрисы точкой пересечении.

Рис. 3.1

Дано: биссектрисы CD и AM ∆АВС пересекаются в точке I (инцентр)

Пусть CI = x, а ID = y. Найдём отношение .

Из ∆ CDB по свойству биссектрис . Учитывая что , находим .

Получили соотношение

    1. Угол , образованный при пересечении биссектрис,

(рис. 3.2)

Рис. 3.2

Из :

3.3 . Связь между сторонами треугольника и отрезками касательных к вписанной в треугольник окружности (рис. 3.3)

Рис. 3.3

В ∆АВС вписана окружность. Пусть М,К, N – точки касания окружности сторон треугольника. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки, AM=AK=x, CM=CN=y, NB=KB=z . Тогда

.

Сложив уравнения системы, получим

, где р – полупериметр.

Вычитая из последнего равенства уравнения системы, получим

Формулы, выражающие отрезки касательных через стороны треугольника.

Привожу без доказательства утверждения о свойстве точки пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной около него окружностью, о расположении биссектрисы треугольника. Эта часть работы будет продолжена.

1. Точка пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной около него окружностью, равноудалена от двух других вершин и инцентра

2. В неравнобедренном треугольнике биссектриса всегда расположена между высотой и медианой, проведенными из одной вершины.

Задачи

1. Дан треугольник ABC, в котором угол В = 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Определите площадь треугольника ABD (рис. 1).

Рис. 1

Решение. По свойству биссектрисы AD/DC = AB/BC = 4/6 = 2/3.

Пусть AD = 2х; DC = Зх.

Ответ: 12/5.

Задача.

Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону.

Дано: AC=10 см, BC=11 см, AB=12 см, AP = биссектриса.

Найти: CP и BP.

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника:

   

   

Пусть CP=x см, тогда BP=11-x см:

   

откуда по основному свойству пропорции

   

   

   

CP=5 см, BP=6 см.

Ответ: 5 см, 6 см.

Найти биссектрису угла B треугольника ABC и определить, в каком отношении центр вписанной в треугольник окружности делит эту биссектрису, если AB = 4, BC = 5 и AC = 6.

Решение

 

      Пусть BD и AK – биссектрисы углов B и A треугольника ABC и O – центр вписанной окружности.        Так как AB = 4 и BC = 5, то по теореме о биссектрисе AD = 4t и CD = 5t, поэтому AC = 6 = 4t + 5t, т.е. , и тогда .

     

 и

, т.е. .

      И, наконец, определим по теореме о биссектрисе из треугольника BAD, в каком отношении точка O делит отрезок BD:

.

Ответ:  и .

Найти биссектрисы острых углов в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 6 и 8 см.

Решение

 

      Пусть ABC – прямоугольный треугольник, у которого AB = 6, BC = 8, B = 90 °, P и H – основания биссектрис углов C и A соответственно. Тогда по теореме Пифагора .  По теореме о биссектрисе BP = 8t и Pa = 10t , откуда AB = AB = 6 = 8t + 10t и .        Поэтому , и по теореме Пифагора . Аналогично находим . 

Ответ:  см,  см.

ВЫВОДЫ

В этой работе мы показали разнообразие способов доказательства свойства биссектрисы треугольника. Выведена формула для вычисления длины биссектрисы, рассмотрен ряд задач, которые были в заданиях на ЕГЭ разных лет. Доказано положение биссектрисы в неравнобедренном треугольнике. Показано отношение , в котором биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения; определен угол , образованный при пересечении биссектрис. Для многих свойств приводится несколько способов доказательства.

Работая над проектом и находя различные способы доказательств, приобретаются логические навыки, умение анализировать и сопоставлять, сравнивать. С помощью доказанных свойств многие задачи решаются легче и доступней.

Данная работа может служить справочным материалом при подготовке к ЕГЭ, как в теоретическом, так и в практическом плане.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Шарыгин И.Ф. Учимся решать задачи по геометрии //Математика в школе.-1989.-№2. –С. 87-89.

  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Геометрия .8 класс: Учебник. Харьков: Гимназия,2008.- С.83-84.

  3. Биссектриса треугольника.- [Электронный ресурс] .-режим доступа: ru.wikipedia.org/

  4. Апостолова Г.В. Геометрия .8 класс: Учебник. Киев: Генеза, 2008.-С.36-37.

infourok.ru