Что делать со степенями при сложении и вычитании числе? Если одинаковые основания но разные степени


Свойства степеней с одинаковыми основаниями — Науколандия

Существует три свойства степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Это

  • Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть сумма показателей исходных множителей.
  • Частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть разность показателей исходных множителей.
  • Возведение степени числа в степень равно выражению, в котором основание — это то же самое число, а показатель — это произведение двух степеней.

Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует.

Запишем эти свойства-правила в виде формул:

  • am × an = am+n
  • am ÷ an = am–n
  • (am)n = amn

Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.

52 × 53 = 55 — здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:

52 × 53 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55 — пять в квадрате — это пять умноженное на пять, а в кубе — произведение трех пятерок. В результате получилось произведение пяти пятерок, но это нечто иное как пять в пятой степени: 55.

39 ÷ 35 = 39–5 = 34. Запишем деление в виде дроби:

Ее можно сократить:

В результате получим:

Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.

Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу am ÷ an = am–n накладываются ограничения: a ≠ 0 и m > n.

Перейдем к третьему свойству:(22)4 = 22×4 = 28

Запишем в развернутом виде:(22)4 = (2 × 2)4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 28

Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.

scienceland.info

Свойства степени с одинаковыми основаниями.

Понятие степени в математике вводится еще в 7 классе на уроке алгебры. И в дальнейшем на протяжении всего курса изучения математики это понятие активно используется в различных своих видах. Степени - достаточно трудная тема, требующая запоминания значений и умения правильно и быстро сосчитать. Для более быстрой и качественной работы со степенями математики придумали свойства степени. Они помогают сократить большие вычисления, преобразовать огромный пример в одно число в какой-либо степени. Свойств не так уж и много, и все они легко запоминаются и применяются на практике. Поэтому в статье рассмотрены основные свойства степени, а также то, где они применяются.

Свойства степени

Мы рассмотрим 12 свойств степени, в том числе и свойства степеней с одинаковыми основаниями, и к каждому свойству приведем пример. Каждое из этих свойств поможет вам быстрее решать задания со степенями, а так же спасет вас от многочисленных вычислительных ошибок.

1-е свойство.

а0 = 1

Про это свойство многие очень часто забывают, делают ошибки, представляя число в нулевой степени как ноль.

2-е свойство.

а1 = а

3-е свойство.

аn * am = a(n+m)

Нужно помнить, что это свойство можно применять только при произведении чисел, при сумме оно не работает! И нельзя забывать, что это, и следующее, свойства применяются только к степеням с одинаковыми основаниями.

4-е свойство.

an/am = a(n-m)

Если в знаменателе число возведено в отрицательную степень, то при вычитании степень знаменателя берется в скобки для правильной замены знака при дальнейших вычислениях.

Свойство работает только при делении, при вычитании не применяется!

5-е свойство.

(an)m = a(n*m)

6-е свойство.

a-n = 1/an

Это свойство можно применить и в обратную сторону. Единица деленная на число в какой-то степени есть это число в минусовой степени.

7-е свойство.

(a*b)m = am * bm

Это свойство нельзя применять к сумме и разности! При возведении в степень суммы или разности используются формулы сокращенного умножения, а не свойства степени.

8-е свойство.

(a/b)n = an/bn

9-е свойство.

а½ = √а

Это свойство работает для любой дробной степени с числителем, равным единице, формула будет та же, только степень корня будет меняться в зависимости от знаменателя степени.

Также это свойство часто используют в обратном порядке. Корень любой степени из числа можно представить, как это число в степени единица деленная на степень корня. Это свойство очень полезно в случаях, если корень из числа не извлекается.

10-е свойство.

(√а)2 = а

Это свойство работает не только с квадратным корнем и второй степенью. Если степень корня и степень, в которую возводят этот корень, совпадают, то ответом будет подкоренное выражение.

11-е свойство.

n √an = a

Это свойство нужно уметь вовремя увидеть при решении, чтобы избавить себя от огромных вычислений.

12-е свойство.

am/n = n √am

Каждое из этих свойств не раз встретится вам в заданиях, оно может быть дано в чистом виде, а может требовать некоторых преобразований и применения других формул. Поэтому для правильного решения мало знать только свойства, нужно практиковаться и подключать остальные математические знания.

Применение степеней и их свойств

Они активно применяются в алгебре и геометрии. Степени в математике имеют отдельное, важное место. С их помощью решаются показательные уравнения и неравенства, а так же степенями часто усложняют уравнения и примеры, относящиеся к другим разделам математики. Степени помогают избежать больших и долгих расчетов, степени легче сокращать и вычислять. Но для работы с большими степенями, либо со степенями больших чисел, нужно знать не только свойства степени, а грамотно работать и с основаниями, уметь их разложить, чтобы облегчить себе задачу. Для удобства следует знать еще и значение чисел, возведенных в степень. Это сократит ваше время при решении, исключив необходимость долгих вычислений.

Особую роль понятие степени играет в логарифмах. Так как логарифм, по сути своей, и есть степень числа.

Формулы сокращенного умножения - еще один пример использования степеней. В них нельзя применять свойства степеней, они раскладываются по особым правилам, но в каждой формуле сокращенного умножения неизменно присутствуют степени.

Так же степени активно используются в физике и информатике. Все переводы в систему СИ производятся с помощью степеней, а в дальнейшем при решении задач применяются свойства степени. В информатике активно используются степени двойки, для удобства счета и упрощения восприятия чисел. Дальнейшие расчеты по переводам единиц измерения или же расчеты задач, так же, как и в физике, происходят с использованием свойств степени.

Еще степени очень полезны в астрономии, там редко можно встретить применение свойств степени, но сами степени активно используются для сокращения записи различных величин и расстояний.

Степени применяют и в обычной жизни, при расчетах площадей, объемов, расстояний.

С помощью степеней записывают очень большие и очень маленькие величины в любых сферах науки.

Показательные уравнения и неравенства

Особое место свойства степени занимают именно в показательных уравнениях и неравенствах. Эти задания очень часто встречаются, как в школьном курсе, так и на экзаменах. Все они решаются за счет применения свойств степени. Неизвестное всегда находится в самой степени, поэтому зная все свойства, решить такое уравнение или неравенство не составит труда.

fb.ru

Как умножить степени с разными основаниями и показателями?

1) Если умножаются 2 числа с одинаковыми основаниями, но разными показателями, то общее основание возводится в сумму степеней.:

Пример3⁴*3³=3⁴⁺³=3⁷

2) Если основания разные, а показатели одинаковые. В этом случае мы возводим в степень произведение оснований.aⁿ*bⁿ=(ab)ⁿ

Пример:5²*2²=(5*2)²=10²=1003) Если основания разные и показатели разные, то тут 2 варианта:1. Выделяем одинаковое основание, т.е. раскладываем один из множителей.

Представим число b=a*c

Пример

2. Приводим к общему показателю:

Пример

Оцени ответ

nebotan.com

Свойства степени

Наверное, ни для кого не является секретом, что большинство математических утверждений, прежде, чем установится, проходят несколько этапов. Давайте подробно рассмотрим, как же.

Первый этап – это, конечно же, когда человек замечает некоторую одну и ту же закономерность в ряде случаев.

Второй этап – формулировка закономерности. Говоря проще, человек пытается предположить, что данная закономерность действует не только в одном конкретном случае, а и во всех подобных.

Третий этап – человек пытается доказать то, что закономерность, которую он подметил, а потом сформулировал, верна, то есть он пытается ее доказать. Но что же значит доказать, что утверждение верно? Конечно же, это значит объяснить верность предположений, но при этом опираться необходимо обязательно только лишь на уже проверенные факты, теоремы и утверждения.

Теперь давайте рассмотрим подробнее, непосредственно, свойства степеней.

Итак, первое свойство: aH * aK = aH+K

Проверим данное свойство на примере: 22 * 23 = 22+3. Как видим, утверждение правильное. Мы можем взять еще несколько подобных примеров, и все время будет получать только лишь верный результат.

Второе свойство (подобное к первому, за исключением нескольких различий в знаках). В данном случае мы будем иметь дело с делением: aH : aK = aH-K

Проверяем данное свойство также на примере: : 22 : 23 = 22-3. Опять-таки получили верный результат.

Третье свойство: (aH)K = aH*K

Опять же проверяем на примере: (22)3 = 26. Получили очередное правильное свойство.

Исходя из вышеуказанных формул и примеров, легко выводятся три основных правила, связанные со свойством степеней:

  1. Если у степени одинаковое основание, показатели разные, а сами основания умножаются, то мы можем преобразоваться это в степень с одним основанием, а показатели степени просто суммируются.
  2. Если у степени одинаковое основание, показатели разные, а сами основания делятся, то мы можем преобразоваться это в степень с одним основанием, а показатели степени просто вычитаются.
  3. Если мы хотим возвести степень в степень, то необходимо просто перемножить показатели степени.

Например: 2^2+3^2

Свойства степени
a * a = a m + n 
a : a = a m - n 
(a * b) = a * b
( ab ) -m   = ( ba ) m  
a 1n   =
a mn   =

mateshka.ru

Что делать со степенями при сложении и вычитании числе?

Что делать со степенями при сложении и вычитании числе?

  • Если умножать степени с одинаковым основанием, то показатели степени складываются:

    Например: 2^2 х 2^4 = 2^6 = 64

    Если делить степени с одинаковым основанием, то показатели степени вычитаются:

    Например: 2^4 / 2^2 = 2^2 = 4.

    Если же умножать или делить степени с разным основанием, то нужно сначала возвести основание в степень, а потом совершать умножение или деление.

    В вашем случае 2^3 x 4^5 = 8 х 1024 = 8192.

  • При умножении степеней, которые имеют одинаковые основания - числа степеней складываются.

    При делении степеней, которые имеют одинаковые основания - числа степеней вычитаются.

    А вот если умножать, либо делить степени, которые имеют разные основания, нужно выполнить следующие действия:

    • возвести основание в степень
    • выполнить заданное умножение или деление.
  • На вашем примере нужно привести к одной основе, то есть 4 - это 2^2. Поэтому запишем выражение следующим образом 2^3 x 4^5 = 2^3 x (2^2)^5. Теперь нам нужно избавиться от этих скобочек. Мы знаем, что по правилу степени просто перемножаются, поэтому, у нас получится следующее выражение: 2^3 x 2^10. А теперь у нас есть единая основа, значит мы можем просто сложить степени. Получится такое выражение: 2^13. Ответ будет 8192.

    Итак, на представленном вами примере мы использовали всего лишь 2 правила, а именно сложение степеней, когда есть одна основа, и умножение их, когда мы возводим одну степень в другую.

  • У вас не сложение , или вычитание , а умножение. И это очень меняет дело*

    В данном примере нужно привести 4 к степени двойки : 4 =2^(2) , тогда

    2^(3) * 4^(5) = 2^(3) * 2^(2)^5 = 2^(3 * 2^(10) = 2 ^ (3+10) = 2 ^ (13) или 2 в 13 степени.

    Если бы был пример на сложение ,то есть :

    2 ^ (3) + 4 ^ (5) = 2 ^( 3) + (2 )^ 2 ^ 5 = 2 ^ (3) + 2 ^( 10)= 2 ^(3) *1+2 ^( 7).

    И это совсем другой результат.А правила действий со степенями такие :

    a ^ (m) * a ^ (n) = a ^ (m+n)

    a ^(m) a ^ (n) = a ^ (m-n)

    a^ (m )+ a ^( n) = a ^(m) *a ^(m-n)+1}

    Вот это правило очень важное,потому что когда степени стоят как слагаемые,то их нельзя иначе преобразовать,как только вынести общий множитель за скобки.

    ({a ^ (m)}^n= a ^ (m*n)

  • Ничего кроме выполнения отдельных операций согласно их приоритету, вы тут не сделаете. Если вам нужно сложить два разных числа в разных степенях, то сначала каждое число вы возводите в свою степень и после этого выполняете сложение.

    Если у двух слагаемых в основании одно число в разных степенях, можно вынести общее кратное:

    Например, а^x+y + а^x = а^x * (а^y + 1)

    Если основания разные, но степень одна, то в некоторых простых частных случаях можно воспользоваться алгебраическими формулами вроде: а^2-b^2= (а-b) * (a+b). Но это очень редкие совпадения, расчитывать на которые не стоит.

  • В общем случае с этим ничего не сделать, в вашем конкретном примере можно 4 представить как 2 во 2-й степени. Получится (2^2)^5. Далее, т.к. при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, получаем 2^3 x 2^10 = 2^13 = 8192.

    Т.е. числа нужно приводить ко одинаковому основанию или показателю степени. Тут 2 правила:

    X^a * X^b = X^(a+b)

    X^a * Y^a = (XY)^a.

  • В общем случае ничего с таким умножением сделать нельзя. То есть если требуется умножить 2 в квадрате на 3 в кубе, то это не значит, что мы должны 2 умножить на 3 и возвести результат в 5 степень - ответ получится неверный. Приходится возводить 2 в квадрат, а 3 в куб и только потом перемножать числа. Но если требуется 2 в произвольной степени умножить на 4 в произвольной степени, то мы представляем 4 как 2 в квадрате и просто складываем степени. Если же мы складываем или вычитаем два числа возведенных в степени, то тут нет никакого правила - надо возводить и складывать (вычитать) результат: а^3 + b^4 не упростить да и не надо.

  • info-4all.ru

    Как делить степени | Алгебра

    Как делить степени? При каких условиях деление степеней возможно?

    В алгебре найти частное степеней можно в двух случаях:

    1) если степени имеют одинаковые основания;

    2) если степени имеют одинаковые показатели.

    Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя (или коротко: при делении степеней показатели вычитают):

       

    или

       

    или

       

    (последнюю формулу удобно использовать, если показатель степени в знаменателе больше показателя степени в числителе).

    При делении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

       

    Рассмотрим, как делить степени, на конкретных примерах.

       

    Единицу в показателе степени не пишут, но при делении степеней ее следует учесть:

       

    При делении степеней с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями получаем единицу:

       

       

       

       

    Вынесение общего показателя при делении степеней позволяет упростить вычисления:

       

       

    В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

    Если нужно число разделить на степень либо степень разделить на число, сначала следует выполнить возведение в степень, а затем — деление:

       

       

    www.algebraclass.ru

    Как сравнивать степени | Логарифмы

    Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?

    Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.

    Сравнение степеней с одинаковыми основаниями

    • Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.
    • Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.

    С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:

    Примеры.

    №1. Сравнить значения выражений:

       

    Решение:

    Сравниваем показатели степеней: 1,5<1,9.

    Основание a=2/7 меньше единицы, функция убывает, знак неравенства между степенями меняется на противоположный:

       

       

    Решение:

    Сравниваем показатели степеней:

       

    Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется:

       

    №2. Сравнить показатели m и n, если известно, что для степеней выполняется неравенство:

       

    Решение:

    Основание a=0,21<1, функция убывает, поэтому знак неравенства между показателя степеней нужно изменить на противоположный: m>n.

       

    Решение:

    Основание

       

    функция возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется: m<n.

    Сравнение степеней с одинаковыми показателями.

    1) Для возрастающих функций ( x>0):

       

       

    Пример.

    Для положительных значений аргумента

       

    например,

       

    Для отрицательных значений аргумента

       

    например,

       

     

    2) Для убывающих функций:

       

       

    Пример.

    Для положительных значений аргумента

       

    например,

       

    Для отрицательных значений аргумента:

       

    например,

       

     

    Как сравнивать степени, если и основания, и показатели различны?

    Можно попробовать, например, сравнить каждую из степеней с единицей. Любая степень с основанием, большим единицы, при положительных значениях аргумента принимает значения, большие единицы:

       

    при отрицательных — меньшие 1:

       

    Если основание меньше единицы — соответственно,

       

       

    Пример.

    Сравнить

       

    Решение:

       

    В алгебре сравнивать степени чаще всего приходится при решении показательных неравенств.

    Как решать показательные неравенства, мы рассмотрим позже.

    www.logarifmy.ru