Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта. Дискриминант в математике


Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

  1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
  2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
  3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b2 - 4ac

так как она относится к формуле:

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле, можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата либо искать корни по формуле, либо сделать вывод что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

3x2 - 4x + 2 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 3, b = -4, c = 2

Найдём дискриминант:

D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 · 3 · 2 = 16 - 24 = -8, D < 0

Ответ: корней нет.

Пример 2.

x2 - 6x + 9 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -6, c = 9

Найдём дискриминант:

D = b2 - 4ac = (-6)2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0, D = 0

Уравнение имеет всего один корень:

Ответ: 3.

Пример 3.

x2 - 4x - 5 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -4, c = -5

Найдём дискриминант:

D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0

Уравнение имеет два корня:

x1 = (4 + 6) : 2 = 5,   x2 = (4 - 6) : 2 = -1

Ответ: 5, -1.

naobumium.info

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

                 ,

где

x - переменная,

a,b,c - постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта: 

Формула дискриминанта: .

       О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

  • D>0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 - уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D<0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей - корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х2.

tehtab.ru

Дискриминант. Теорема Виета

Дискриминант, как и квадратные уравнения начинают изучать в курсе алгебры в 8 классе. Решить квадратное уравнение можно через дискриминант и с помощью теоремы Виета. Методика изучения квадратных уравнений, как и формулы дискриминанта достаточно неудачно прививается школьникам, как и многое в настоящем образовании. Поэтому проходят школьные годы, обучение в 9-11 классе заменяет "высшее образование" и все снова ищут - "Как решить квадратное уравнение?", "Как найти корни уравнения?", "Как найти дискриминант?" и ...

Формула дискриминанта

Дискриминант D квадратного уравнения a*x^2+bx+c=0 равен D=b^2–4*a*c. Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) : D>0 – уравнение имеет 2 различных действительных корня;D=0 - уравнение имеет 1 корень (2 совпадающих корня):D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.Формула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому множество сайтов предлагают онлайн калькулятор дискриминанта. Мы с такого рода скриптами еще не разобрались, поэтому кто знает, как это реализовать просим писать на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра..

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения:

Корни уравнения находим по формулеЕсли коэффициент при переменной в квадрате парный то целесообразно исчислять не дискриминант, а четвертую его частьВ таких случаях корни уравнения находят по формуле

Вторая способ нахождения корней - это Теорема Виета.

Формулируется теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов. Это Вы можете почитать в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1) Суть формул Виета заключается в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с противоположным знаком. Произведение корней уравнения равно свободном члену. Формулами теорема Виета имеет запись.Вывод формулы Виета достаточно прост. Распишем квадратное уравнение через простые множителиКак видите все гениальное одновременно является простым. Эффективно использовать формулу Виета когда разница корней по модулю или разница модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни До 4 уравнения анализ должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6, следовательно корнями могут быть значения (1, 6) и (2, 3) или пары с противоположным знаком. Сумма корней равна 7 (коэффициент при переменной с противоположным знаком). Отсюда делаем вывод что решения квадратного уравнения равны x=2; x=3.Проще подбирать корни уравнения среди делителей свободного члена, корректируя их знак с целью выполнения формул Виета. В начале это кажется трудно сделать, но с практикой на ряде квадратных уравнений такая методика окажется эффективнее вычисления дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения классическим способом.Как видите школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла - "Зачем школьникам квадратное уравнение?", "Какой физический смысл дискриминанта?".

Давайте попробуем разобраться, что описывает дискриминант?

В курсе алгебры изучают функции, схемы исследования функции и построения графика функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде Так вот физический смысл квадратного уравнения - это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox Свойства парабол которые описаны ниже попрошу Вас запомнить. Придет время сдавать экзамены, тесты, или вступительные экзамены и Вы будете благодарны за справочный материал. Знак при переменной в квадрате соответствует тому, будут ли ветки параболы на графике идти вверх (a>0),

или парабола ветвями вниз (a<0).

Вершина параболы лежит посередине между корнями

Физический смысл дискриминанта:

Если дискриминант больше нуля (D>0) парабола имеет две точки пересечения с осью Ox. Если дискриминант равен нулю (D=0) то парабола в вершине касается оси абсцисс.И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении коэффициент при свободном члене или переменной равны нулю то такие уравнения называют неполными. Корни уравнений находим по упрощенной формулеГрафик функций всегда симметричен относительно начала координат. Стоит отметить, что уравнение имеет действительные корни только тогда, когда в уравнении чередуются знаки при коэффициентах "+, -" или "-, +". Неполное квадратное уравнение видаодним из корней всегда имеет точку x=0. В таком контексте решения квадратных уравнений становится нужным, а при построении графиков парабол, еще и визуально интересным времяпрепровождением, особенно если речь идет о школьном занятии по анализу графика функций, или изучении темы парабол. Поэтому в 8, 9 классе рекомендуем эти две темы в алгебре сочетать.Если материал помог Вам в обучении, просьба поделиться с друзьями ссылкой на статью!

yukhym.com

Дискриминант квадратного уравнения с большими коэффициентами

Сложно встретить старшеклассника, НЕ умеющего находить корни квадратного уравнения через дискриминант.

Но, к сожалению, в отдельных случаях, получая громоздкий дискриминант,  многие начинают паниковать (без калькулятора).

А на ЕГЭ по математике, например, в задачах категории В14, вам вполне может встретиться причудливый дискриминант.

Нет безвыходных ситуаций!

На чем можно сэкономить силы при вычислении дискриминанта

 

Прежде чем разбирать примеры, вспомним все же  формулу дикриминанта для вычисления корней квадратного уравнения  

Тогда корни  уравнения находим по формуле

Надеюсь, вы помните, что удобно искать корни уравнения через дискриминант в случае, если имеем дело с полным  квадратным уравнением ( и – ненулевые).

Как решать неполные квадратные уравнения мы уже говорили.

1) Используем формулу «разность квадратов».

Допустим, нам нужно решить уравнение  

Ясно, что дискриминант следующий:

Не спешим возводить 53 в квадрат! Замечаем, что , поэтому

Корни данного уравнения, думаю, теперь каждый из вас найдет без труда…

2) Используем прием вынесения общего множителя за скобки.

Допустим, нам нужно решить уравнение (кстати, оно взято из реальной текстовой задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике).

Ясно, что дискриминант следующий: 

Нет, мы не пойдем напролом!

Замечаем, что , а .

Мы можем вынести за скобку общий множитель

Корни найти – уже не проблема…

3) Формула сокращенного дискриимнанта.

Допустим, нам нужно решить уравнение

Вы знаете, что такое ? + показать

Его очень удобно применять в случае четности второго коэффициента (при x).

Вот формулы дискриминанта и корней в этом случае:

для уравнения , где – четное

Тогда корни следующие: , то есть или

Хоть на чуть-чуть, но упростили вычисления. Считаете, что неоправданно, – лишней формулой забивать голову… Выбор за вами.

4) Вместо дискриминанта – т. Виета.

Допустим, нам нужно решить уравнение

Вспоминаем  теорему  Виета:

Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при  в котором равен единице)   сумма корней равна коэффициенту , взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену , то есть ,

Так вот, очевидно, на роль корней уравнения  претендуют числа и , так как и

Вот, пожалуй, все основные случае, где можно сэкономить время и силы при решении квадратного уравнения, о которых я хотела рассказать.

За улыбкой –> + показать

egemaximum.ru

Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье "Решение неполных квадратных уравнений".

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах2 + b x + c = 0, где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b2 – 4ас .

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D < 0),то корней нет.

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х1 = (-b - √D)/2a ,  и  х2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х2 – 4х + 4= 0.

D = 42 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х2 + х + 3 = 0.

D = 12 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет.

Решить уравнение 2х2 + 5х – 7 = 0.

D = 52 – 4 · 2 · (–7) = 81

х1 = (-5 - √81)/(2·2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

х2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1.

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1. 

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах2 + bx + c, иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 32 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах2, затем с меньшим  – bx, а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2. 

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х2 равен единице и уравнение примет вид х2 + px + q = 0. Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а, стоящий при х2.

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х2 + 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 62 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х1 = (-6 - 6√3 )/(2 · 3) = (6 ( -1- √(3)))/6 = –1 – √3

х2 = (-6 + 6√3 )/(2 · 3) = (6 ( -1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам , приведенным на схеме рисунка D1 = 32 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

х2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного уравнения рисунок 3.

D2 = 22 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х1= (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

х2= (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Дискримінант рівняння. Формула Вієта

Дискримінант, як і квадратні рівняння починають вивчати у 8 клаcі в курсі алгебри. Розв'язати квадратне рівняння можна через дискримінант і за допомогою теореми Вієта. Методика вивчення квадратних рівнянь, як і формули дискримінанта досить невдало прищеплюються школярам, як і багато чого в теперішній освіті. Тому проходять шкільні роки, навчання в 9-11 класі заміняє "вища освіта" і всі знову шукають – "Як розв'язати квадратне рівняння?", "Як знайти корені рівняння?", "Як знайти дискримінант?" і ...

Формула дискримінанту

Дискримінант D квадратного рівняння a*x2 + bx + c=0 рівний D=b2 – 4*a*c. Корені (розв'язки) квадратного рівняння залежать від знаку дискримінанту (D) : D>0 – рівняння має 2 різних дійсних коренів; D=0 - рівняння має 1 корінь (2 одинакові корені):D<0 – не має дійсних коренів (в шкільній теорії). У ВУЗ-ах вивчають комплексні числа і вже на множині комплексних чисел рівняння з від'ємним дискримінантом має два комплексні корені.

Формула для обчислення дискримінанту досить проста, тому безліч сайтів пропонують онлайн калькулятор дискримінанту. Ми з такого роду скриптами ще не розібралися, тому хто знає, як це реалізувати просимо писати на пошту Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

Загальна формула для знаходження коренів квадратного рівняння:

Корені рівняння знаходимо за формулоюЯкщо коефіцієнт при змінній в квадраті парний то доцільно обчислювати не дискримінант, а четверту його частинуВ таких випадках корені рівняння знаходять за формулою

Другий спосіб знаходження коренів – це Теорема Вієта.

Формулюється теорема не тільки для квадратних рівнянь, а й для многочленів. Це Ви можете почитати у Вікіпедій чи других електронних ресурсах. Однак для спрощення розглянемо ту її частину, що стосується приведених квадратних рівнянь , тобто рівнянь вигляду (a=1) Суть формул Вієта полягає в тому, що сума коренів рівняння рівна коефіцієнту при змінній, взятому з протилежним знаком. Добуток коренів рівняння рівний вільному члену. Формулами теорема Вієта має запис. Виведення формули Вієта достатньо просто. Розпишемо квадратне рівняння через прості множники Як бачите, все геніальне є одночасно простим. Найефективніше використовувати формулу Вієта коли різниця коренів за модулем або різниця модулів коренів рівна 1, 2. Наприклад, наступні рівняння за теоремою Вієта мають корені До 4 рівняння аналіз має виглядати наступним чином. Добуток коренів рівняння рівний 6, тобто коренями можуть бути значення (1; 6) та (2;3) або пари з протилежним знаком. Сума коренів рівна 7 (коефіцієнту при змінній з протилежним знаком). Звідси робимо висновок, що розв'язки квадратного рівняння рівні x=2; x=3.Найпростіше підбирати корені рівняння серед дільників вільного члена, корегуючи їх знак з метою виконання формул Вієта. На початку це здається важко зробити, але з практикою на ряді квадратних рівнянь така методика виявиться ефективнішою за обчислення дискримінанту та знаходження коренів квадратного рівняння класичним способом.

Як бачите шкільна теорія вивчення дискримінанту та способів знаходження розв'язків рівняння позбавлена практичного змісту – "Для чого школярам квадратне рівняння?", "Який фізичний зміст дискримінанту?".

Давайте спробуємо розібратися, що описує дискримінант?

В курсі алгебри вивчають функції, схеми дослідження функції та побудови графіку функцій. І серед усіх функцій важливе місце займає парабола, рівняння якої можна записати у вигляді Так от фізичний зміст квадратного рівняння – це нулі параболи, тобто точки перетину графіка функції з віссю Ox Властивості парабол, які описані нижче попрошу Вас запам'ятати. Прийде час здавати екзамени, тести, чи вступні іспити і Ви будете вдячні за довідковий матеріал. Знак при змінній в квадраті відповідає чи будуть вітки параболи на графіку іти вгору (a>0),

чи парабола вітками донизу (a<0).

Вершина параболи лежить посередині між коренями

Фізичний зміст дискримінанту:

Якщо дискримінант більший нуля (D>0) парабола має дві точки перетину з віссю Ox. Якщо дискримінант рівний нулю (D=0) то парабола у вершині дотикається до осі абсцис.

І останній випадок, коли дискримінант менший нуля (D<0) – графік параболи належить площині над віссю абсцис (вітки параболи вгору), або графік повністю під віссю абсцис (вітки параболи опущені донизу).

Неповніні квадратні рівняння

Якщо в квадратному рівнянні коефіцієнт при вільному члені або змінній рівні нулю то такі рівняння називають неповними. Корені рівнянь знаходимо за простішими формулами Графік функцій завжди симетричний відносно початку координат. Варто зазначити, що рівняння має дійсні корені лише тоді коли в рівнянні чергуються знаки при коефіцієнтах "+, -" або "-, +".

Неповне квадратне рівняння виглядуодним з коренів завжди має точку x=0. В такому контексті розв'язування квадратних рівнянь стає потрібним, а при побудові графіків парабол, ще й візуально цікавим проведенням часу, особливо якщо йде мова про шкільні заняття з аналізу графіку функцій, чи вивченні теми парабол. Тому в 8, 9 класі рекомендуємо ці дві теми в алгебрі поєднувати.Якщо матеріал допоміг Вам в навчанні, просьба поділитися з друзями посиланням на статтю !

yukhym.com

Квадратное уравнение. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета.

Квадратным уравнением называется уравнение вида:

                 ,

гдеx - переменная,a,b,c - постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта

Формула дискриминанта: .
О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :
  • D>0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 - уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D<0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей - корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х2

www.dpva.ru